贝努利概型与二项概率公式-.ppt
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1.5_伯努利(Bernoulli)概型
2017年3月25日星期六
4
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解 设系队得胜人数为 X ，则在上述三种方案中，系队 胜利的概率分别为
(1) P X 2 C 0.4 0.6
k 2 5 k 3 k k 5 k
3
3 k
0.352. 0.317. 0.290.
(2) P X 3 C 0.4 0.6
§1.5 伯努利(Bernoulli)概型
2017年3月25日星期六
1
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定义 1：如果随机试验只有两个可能结果： A 与 A ， 其中 P(A)=p, P( A )=1-p=q, 为伯努利试验 .
__
__
0＜p＜1, 则称该试验
定义 2：独立地重复 n 次伯努利试验，称为 n 重伯 努利试验，也称伯努利概型.
在 n 重伯努利试验中，我们将事件 A 发生 k 次的概 率记作 B(k;n,p).
2017年3月25日星期六
2
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在 n 重 伯 努 利 试 验 中 ， 设 P( A) p ， P( A) 1 p q (其中 0 p 1 )，则事件 A 恰好发生 k 次 的概率为： k k n k k k n k P ( k ) C p (1 p ) C , (k 0,1, 2,, n) . n n n p q 定理
2017年3月25日星期六
7
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【例】 某人有一串 m 把外形相同的钥匙， 其中只有一把 能打开家门． 有一天该人酒醉后回家， 下意识地每次从 m 把钥匙中随便拿一只去开门，问该人在第 k 次才把门打 开的概率 多大？
二项分布教学课件ppt
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0
1
2
3
x
(0.2+0.8)3 二项分布示意图
构成成-败型实验序列的n次实验中，事件A出现 的次数X的概率分布为：
P X CnX X 1 nX
其中X=0，1，2…，n。 n，π是二项分布的两个参数 。
对于任何二项分布，总有
中国福利彩票
发行量1500万元，特等奖100个，金额5万元； 每张彩票面值2元，中奖概率1/75000。
投入金额 未中概率 中奖概率
100元 1000元 1万元 10万元 100万元 0.99933 0.99336 0.93551 0.51341 0.00127 0.00067 0.00664 0.06449 0.48659 0.99873
例4-2 临床上用针灸治疗某型头疼，有效的概率为60% 现以该疗法治疗3例，其中2例有效的概率是多大？
B(X;n,π)或B(n,π)。
二项分布的概率函数
• 任意一次试验中，只有事件A发生和不发生
两种结果，发生的概率分别是: 和1－
• 若在相同的条件下，进行n次独立重复试验，
用X表示这n次试验中事件A发生的次数，那 么X服从二项分布，记做 XB(n,) 或 B(X;n,π) 。
举例 设实验白鼠共3只，要求它们同种属、同 性别、体重相近，且他们有相同的死亡概率， 即事件“白鼠用药后死亡”为A，相应死亡概率 为π。记事件“白鼠用药后不死亡”为 ，相 应不死亡概率为1-π。设实验后3只白鼠中死亡 的白鼠数为X，则X的可能取值为0，1，2和3，
例 实验白鼠3只，白鼠用药后死亡的死亡概率 π=0.6，则3只白鼠中死亡鼠数X的总体均数为
概率论与数理统计第11讲 二项概率公式
解(续) 设A=“至少命中两次”
P50 (k) C5k0 (0.08)k (0.92)50k , k 0,,50.
n = 50, p = 0.08, = 500.08 = 4.
所求概率为
P(A)
查poisson 分布表
50 k 2
50
C5k00.08k (0.92)50k
4k
e4
k 2
故 Pn (k) P(Bk ) Cnk pk qnk .
二项概率公式
推论
n
Pn (k) 1.
k 0
Pn (k) Cnk pk qnk
证明 n
n
Pn (k) Cnk pk qnk ( p q)n 1.
k 0
k 0
例1 连续投n次均匀骰子，求6点恰好出现
k次的概率？（k≤n）
解 设A=每次出现6点， A =每次不出现6点，
0.908.
k2 k !
4k
k!
e4
k e
km k!
4k e4 0.90842
k2 k !
例3 一个工厂某产品的废品率为0.005，任取
1000件，求（1）不超过5件废品的概率，
（2）其中至少有两件废品的概率.
解 n=1000, p=0.005 , λ=np=5
（1）设A=“废品不超过5件”，则
求证
Pn (k) Cnk pk qnk
证明 设Bk=“n次试验成功A恰好发生k次”,
Ai =“第i次试验成功”, Ai=“第i次试验失败”，
则 P( A1A2 Ak Ak1 An )
P( A1)P( A2 )P( Ak )P( Ak1)P( An ) pkqnk .
同理可得其它项的概率也是 pk qnk ,
概率论1.4贝努利公式
1、A、B相互独立， P( A) 0, P( B) 0, 则一定有 P( A B) （
A.
P( A) P( B)
）.
B. P( A) P( B)
C. 1 P( A) P( B)
D. 1 P( A) P( B)
2、甲乙两人独立破译密码，若他们各人译出的概率均 为0.25，则这份密码能破译的概率为( ). 3、若A、B相互独立， P( A) 0.5, P( B) 0.6, 则 P( A B) （ ）. A. 0.9 B. 0.7 C. 0.2 D.0.1 4、A、B为两个随机事件，若A，B之积为不可能事件， 则称 A. A与B 相容 B. A与B互不相容 C. A与B 互为独立 D. A与B为样本空间的一个划分
（2）家庭中有三个小孩。 解 情形（2）的样本空间为
Ω ={（男男男），（男男女），（男女男），（女男男） （男女女），（女男女），（女女男），（女女女）}
6 1 3 P( A) , P( B) , P( AB) 8 2 8
此种情形下，事件A、B是独立的。
定理
下列四组事件，有相同的独立性：
P( B)
贝叶斯公式 Bayes’ Theorem
设A1，A2，…, An构成完备事件组，且诸P（Ai）>0)
B为样本空间的任意事件，P（ B） >0 , 则有
P ( Ak | B )
P ( Ak ) P ( B | Ak )
P( A ) P( B | A )
i i i 1
n
证明
P ( Ak B ) P ( Ak B ) P( B)
（2）家庭中有三个小孩。
解 情形（1）的样本空间为 Ω ={（男男），（男女），（女男），（女女）}
1-7 独立性和贝努里概型
证明: 容易算出 P(A)=1/2, P(B)=1/2, P(C)=1/2, P(AB)=1/4, P(AC)=1/4, P(BC)=1/4, P(ABC)=0.
从而具有等式 P(AB)=P(A)P(B); P(AC)=P(A)P(C); P(BC)=P(B)P(C)
所以A,B,C两两独立. 容易看出 P(ABC)=0≠P(A)P(B)P(C)
定理 设A，B是两事件，且P(A)>0(P(B)>0)，则A，B相 互独立的充要条件是
P(B|A)=P(B) (或 P(A|B)=P(A))。
2、三个事件的独立性
定义1 设A，B，C是三事件，如果具有等式 P(AB)=P(A)P(B), P(BC)=P(B)P(C), P(AC)=P(A)P(C).
=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=rn+rn-r2n=RⅠ
Ⅱ 第一对元件可靠性
P(A1∪B1)=P(A1)+P(B1)-P(A1)P(B1)=2r-r2， 第二对元件的可靠性
P(A2∪B2)=P(A2)+P(B2)-P(A2)P(B2)=2r-r2, ……
第n对元件的可靠性 P(An∪Bn)=P(An)+P(Bn)-P(An)P(Bn)=2r-r2
设E为贝努里试验，将E独立地重复进行n次，（这里 的“重复”是指试验E在相同条件下进行）而且每次试 验中结果A出现的概率保持不变。我们把这n次独立重 复贝努利试验总起来看成一个试验，称这种试验叫n重 贝努里试验。总之，n重贝努里试验有下面四个约定：
（1）每次试验的结果只能是两个可能的结果A和A之一, （2）A在每次试验中出现的概率p保持不变, （3）各次试验相互独立, （4）共进行了n次.
条件概率
事件的独立性及贝努利概型课件
⇐ 同时成立, 则称事件 事件A 同时成立 则称事件 、B、C 相互独立 . 事件， 设 个事件的独立性定义2： 类似可写出 n 个事件的独立性定义 ： A1,A2, …,An 是 n 个事件， 如果对其中任意一组事件 Ai1, Ai 2, L, Ai k (1< k ≤ n), 有 ) P( Ai1 Ai 2 LAi k ) = P( Ai1 )P( Ai 2 )LP(Ai k ) 则称事件 则称事件 A1, A2, …,An 为相互独立 .
假如生男生女概率相等， 例2 假如生男生女概率相等，考虑一个有两个 孩子的家庭， 表示“ 孩子的家庭，以A表示“该家庭至多有一个男 表示 表示“ 孩”，B表示“该家庭男女孩都有”，问A和B是 表示 该家庭男女孩都有” 和 是 否独立？ 否独立？ 解 试验的样本空间为
{ （男，男），（男，女
），（女，男）（女，
显然有P(AB)=P(A)P(B)，此时 和B ，此时A和
相互独立
若事件A, 满足P( ) ( ) ( ) 定义 1 若事件 B 满足 (AB)= P(A)P(B), 则称事件 则称事件 A 与 B 相互独立 . 简称独立 . 简称独立 我们很容易验证，必然事件、 我们很容易验证，必然事件、不可能事件与任一 事件都是相互独立的
i =1 n
故 P( A) = 1 − P( A1)P( A2)LP( An) = 1 − (1− p)n
= 1 − 0. 996n. 当 n = 500 时， P(A)= 0. 865 . ( )
lim lim 只要 P(A)= p <1, 就有 n→∞ P( A) = n→∞[1 − (1− p)n ] = 1 ( ) 只要你坚持重复地做， 发生概率再小的事件总会发生 只要你坚持重复地做， 发生概率再小的事件总会发生.
伯努利概型
e
Cnk
pk (1
p)nk
e
n
nk n!
n! k!(n
k )!
pk
(1
p)nk
(p)k
k!
e
[
nk
(1 p)]nk (n k)!
(p)k
k!
e
m0
[
(1
p)]m m!
(p)k e e(1 p)
k!
解 设Bm表示4道题中碰对m道题这一事实,则
P ( Bm
)
C4m
(1)m 4
( 3 )4 m 4
(m 0,1,2,3,4)
经计算得
P(B0 )
C40
(
1 4
)0
(
3 4
)40
0.316
P(B3 )
C
3 4
(
1 4
)3
(
3 4
)43
0.048
几何分布 在贝努利试验中，通常需要计算事件 A
P(B) (p)k ep , (k 0,1,2, )
k!
(2) 若某蚕养出k只小蚕，求它产了n个卵的概率. 由贝叶斯公式，得
P( An
B)
P( An )P(B P(B)
An )
(p)n
n!
e
C p k n
pk
(1
(p)k ep
p)nk
[(1 p)]nk
(n k)!
P(
5)
5 k 0
P(
贝努力概型
由全概率公式知：P(B） P( Ai )P(B | Ai ) i0 由贝努利概型的公式知：P(Ai ) C4i pi (1 p)4i,(i 0,1, 2,3, 4)
所以：P(B) C40(0.3)0(0.7)4 0.2 C41(0.3)1(0.7)3 0.5 [C42(0.3)2(0.7)2 C43(0.3)1(0.7)3 C44(0.3)4(0.7)0]0.8
例2 从一批灯泡中，任取n只作寿命试验，而每 只灯泡的寿命结果不会影响其它灯泡的寿命结果， 故此亦为n次重复且相互独立试验。
注意到例1 与例2的试验，前者每次试验只有两个结果{H， T}，而后者有无穷多结果{t | t0},本节重在讨论前一种 试验类型，即贝努利概型。
二、贝努利概型
1、定义 设试验E的结果只有两个，即A或A,且P(A) p,
i2
i 1
等价于 : 3 p3 8 p2 7 p 2 0
等价于 : ( p 1)2(3p 2) 0
所以 :
p
2 3
例巴拿赫火柴盒问题）某数学家有两盒火柴，
每盒有ｎ根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取
一盒并从中任取一根。试求他首次摸到空盒时另
一个盒中还有ｒ根火柴的概率。 (1 r n)
i1
1
C
k n
pk
(1
p)nk
k 0
i
Pቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ (A至多发生i次)
C
k n
pk
(1
p)nk
k 0
n
1
C
k n
pk
(1
p)nk
k i1
例：进行一系列独立试验，每次成功的概率
为p，求下面的概率(1)第k次才成功的概 率.(2)n次试验中恰有k次成功的概率.(3)在第 n次成功前已有k-1次成功的概率.
所以：P(B) C40(0.3)0(0.7)4 0.2 C41(0.3)1(0.7)3 0.5 [C42(0.3)2(0.7)2 C43(0.3)1(0.7)3 C44(0.3)4(0.7)0]0.8
例2 从一批灯泡中，任取n只作寿命试验，而每 只灯泡的寿命结果不会影响其它灯泡的寿命结果， 故此亦为n次重复且相互独立试验。
注意到例1 与例2的试验，前者每次试验只有两个结果{H， T}，而后者有无穷多结果{t | t0},本节重在讨论前一种 试验类型，即贝努利概型。
二、贝努利概型
1、定义 设试验E的结果只有两个，即A或A,且P(A) p,
i2
i 1
等价于 : 3 p3 8 p2 7 p 2 0
等价于 : ( p 1)2(3p 2) 0
所以 :
p
2 3
例巴拿赫火柴盒问题）某数学家有两盒火柴，
每盒有ｎ根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取
一盒并从中任取一根。试求他首次摸到空盒时另
一个盒中还有ｒ根火柴的概率。 (1 r n)
i1
1
C
k n
pk
(1
p)nk
k 0
i
Pቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ (A至多发生i次)
C
k n
pk
(1
p)nk
k 0
n
1
C
k n
pk
(1
p)nk
k i1
例：进行一系列独立试验，每次成功的概率
为p，求下面的概率(1)第k次才成功的概 率.(2)n次试验中恰有k次成功的概率.(3)在第 n次成功前已有k-1次成功的概率.
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2 给出了随机事件的频率及概率的含义和基本性 质。
3 给出了条件概率的定义及乘法公式、全概率 公式和贝叶斯公式。
4 给出了随机事件独立性的概念，会利用事件 独立性进行概率计算。
6 引进贝努里概型及n重贝努里试验的概念，要会 计算与之相关事件的概率。
作业：P29 1,2,4, P30 6,7,10,12,13,17, P31 20,25,29,31,33,35.
• 对同一目标进行一次射击，若只考虑“击中目标” 与“未击中目标”两种情况，则“同一目标进行一 次射击”是Bernoulli试验． • 在某一时间间隔内观察通过某路口的汽车数，若只 考虑“至少通过100辆车”与“至多通过99辆车” 这两种情况，这也是Bernoulli试验．
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§5 n重贝努里概型
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PB
C
k n
M N
k
1
M N
nk
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§5 n重贝努里概型
例5
一大批产品的次品率为0.05，现从中取出10
件．试求下列事件的概率：
B={ 取出的10件产品中恰有4件次品 }
C={ 取出的10件产品中至少有2件次品 }
D={ 取出的10件产品中没有次品 }
解：
取10件A 产品取可出看一作件是产一品10为重次Be品rnoulli试
§5 n重贝努里概型
§5 n重贝努里概型
一.独立随机试验 设 E1 与 E2 是两个随机试验， 如果 E1 的各个结果与 E2 的各个结果相互独立，
则称 E1 与 E2 是相互独立的随机试验 ．
二.n次相互独立试验
如果随机试验 E1， E2， ， En 的各个结果 相互独立，则称 E1， E2， ， En 为相互独 立的随机试验．
设在n重Bernoulli 试验中，p( A) p, p( A) 1 p, 1 , 2 , , n 是一个样本点．
假设在此样本点中，有k个wi取 A，其余n-k个wi取 A，则由
独立性，得基本事件 1 , 2 , , n 的概率为pkq ： nk
pw1, w2 , , wn pk qnk
§5 n重贝努里概型
例6 对同一目标进行射击，设每次射击的命中率均 为0.23，问至少需进行多少次射击，才能使至少命 中一次目标的概率不少于0.95？ 解：
设需进行n次射击，才能使至少命中一次目标的概 率不少于0.95．
令：AB={命n次中射目击标至少则命，中P一次A目标0.2}3 进行n次射击，可看成是一n重Bernoulli试验． 返回主目录
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§5 n重贝努里概型
n重Bernoulli 试验中的样本点
•n重Bernoulli 试验中的每一个样本点可记作
1 , 2 , , n
其中每一个 wi 取 A或者A，表示在第i次试验中 A发生 或者 A发生。
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§5 n重贝努里概型
例2
将一枚硬币掷 5 次，可看作是一5重Bernoulli试
P A2 P C1C2C3 P C1C2C3 P C1C2C3 PC1PC2 PC3 PC1PC2 PC3 PC1PC2 PC3
0.30.60.2 0.30.40.8 0.70.60.8 0.468
PA3 PC1C2C3 PC1PC2 PC3
0.30.60.8 0.144
§5 n重贝努里概型
例 6（续）
则有 PB 1 PB 1 0.77n
由题意，得 PB 1 0.77 n 0.95
所以，有 取对数，得 所以，有
0.77n 0.05
nln 0.77 ln 0.05 n ln 0.05 11.46
ln 0.77
即至少需进行12次射击，才能使至少命中一次目 标的概率不少于0.95．
点”与“不出现六点”这两种情况，故“掷 n 颗骰 子”也可以看作是一 n 重 Bernoulli试验．
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§5 n重贝努里概型
n重Bernoulli 试验的例子
• 对同一目标进行n次射击，若每次射击只考虑“击 中目标”与“未击中目标”两种情况，则“同一 目标进行n次射击”是一n重Bernoulli试验． • 在某一时间间隔内观察通过某路口的汽车数，若 只考虑“至少通过100辆车”与“至多通过99辆 车”这两种情况，这是一次Bernoulli试验．若独 立重复地做该试验 n 次，则它是一n重Bernoulli试 验．
验则． PA 0.05
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§5 n重贝努里概型
例 5（续）
所以，
PB C140 0.054 0.95104 9.648104
PC 1 PC
1 C100 0.050 0.9510 C110 0.051 0.959 0.08614
PD 0.9510 0.5987
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验令：A 出现正面 A, A, A, A, A 表示 5次抛掷全出现正面；
A, A, A, A, A 表示5次抛掷前两次出现正面，
后3次出现反面；
A, A, A, A, A 表示5次抛掷中第1、2、4 次出现
正面，第3、5 次出现反面．
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n重Berno§u5llni 重试贝验努中里概基型本事件的 概率
目标，目标被摧毁的概率为0.2；若两门火炮击中
目标，目标被摧毁的概率为0.6；若三门火炮击中
目标，目标被摧毁的概率为0.9．试求目标被摧毁
的概率．
解：设：BAi ={有目i标门火被炮摧击毁中}目标 Ci 第i门火炮击中目标
i 1， 2， 3 i 1， 2， 3
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§5 n重贝努里概型
B={ 取出的n件产品中恰有k件次品 } 每取一次只有两种结果：
A 取出次品， A 取出正品，
因此每取一次产品可看作是一次Bernoulli试验
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§5 n重贝努里概型
例 4（续）
并且，
PA M ， PA1 M
N
N
因此，有放回地取 n 件产品可看作是一个 n 重
Bernoulli试验．由前面的讨论，可知
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§5 n重贝努里概型
例7 某病的自然痊愈率为 0.25，某医生为检验某种新药 是否有效，他事先制定了一个决策规则：把这药给 10 个病人服用，如果这 10 病人中至少有4 个人痊 愈，则认为新药有效；反之，则认为新药无效．求： ⑴ 新药有效，并且把痊愈率提高到 0.35，但通过 试验却被否定的概率． ⑵新药完全无效，但通过试验却被判为有效的概 率．
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§5 n重贝努里概型
例 7（续） 解：
给10个病人服药可看作是一10重Bernoulli试验．
令：A 某病人痊愈 PA 0.35
⑴ 若新药有效，则
此时若否定新药，只有在试验中不到4人痊愈．因此
3
P 否定新药 C1i0 0.35i 0.6510i i0 0.5138 返回主目录
由全概率公PB
Ai
而
i 1
P A1 P C1C2C3 P C1C2C3 P C1C2C3
PC1PC2 PC3 P C1PC2 PC3 P C1PC2 PC3
0.30.40.2 0.70.60.2 0.70.40.8
0.332
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§5 n重贝努里概型
1、掷一枚硬币，只有“出现正面”与“出现反面”两种
结果，因此“掷一枚硬币”可看作是一次Bernoulli试验．
2、掷一颗骰子，有六种结果．但如果我们只关心“出现
六点”与“不出现六点”这两种情况，故“掷一颗骰子”
也可以看作是Bernoulli试验．
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§5 n重贝努里概型
Bernoulli 试验的例子
n重Bernoulli 试验
• 若独立重复地进行n次Bernoulli试验，这里“重复” 是指每次试验中事件 A 发生的概率（即每次试验中 “成功”的概率）不变，则称该试验为 n 重 Bernoulli 试验．
n重Bernoulli 试验的例子
• 掷n次硬币，可看作是一 n 重 Bernoulli试验． • 掷 n 颗骰子，如果我们对每颗骰子只关心“出现六
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§5 n重贝努里概型
n重Bernoulli 试验中恰好成功k次的概率
设在n重Bernoulli 试验中，
PA p， PA 1 p q
现考虑事件
Bn，k n重Bernoulli试验中事件 A恰好发生 k次
现求概率 P Bn，k ： 在n次试验中，指定k 次出现 A 成功，其余n k 次出 现 A 失败，这种指定的方法共有Cnk种．
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§5 n重贝努里概型
例3
将一枚硬币掷 5 次，可看作是一5重Bernoulli试
令验：A 出现正面 且：PA p，PA q
则，PA, A, A, A, A p5 ；
PA, A, A, A, A p2q3； PA, A, A, A, A p3q2； PA, A, A, A, A p3q2．
• 在例 7 的第一问中，该医生把有用的药给否定了，这种错 误在统计学中称为第Ⅰ类错误（弃真错误），犯这类错误 的概率称为Ⅰ类风险；
• 在例 7 的第二问中，该医生把无用的药给肯定了，这种错 误在统计学中称为第Ⅱ类错误（取伪错误），犯这类错误 的概率称为Ⅱ类风险；
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第一章 小 结
1 阐述了随机试验的特征以及随机事件之间的关 系及运算。
k 0， 1， 2， ， n
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§5 n重贝努里概型
注意
由二项式定理，我们有
n
n
P Bn，k Cnk pk qnk
k 0
k 0
p qn
1
返回主目录
§5 n重贝努里概型
例4
设在N件产品中有M件次品，每次从中任意取出一 件，有放回地取n次．试求取出的n件产品中恰有k 件次品的概率． 解：
3 给出了条件概率的定义及乘法公式、全概率 公式和贝叶斯公式。
4 给出了随机事件独立性的概念，会利用事件 独立性进行概率计算。
6 引进贝努里概型及n重贝努里试验的概念，要会 计算与之相关事件的概率。
作业：P29 1,2,4, P30 6,7,10,12,13,17, P31 20,25,29,31,33,35.
• 对同一目标进行一次射击，若只考虑“击中目标” 与“未击中目标”两种情况，则“同一目标进行一 次射击”是Bernoulli试验． • 在某一时间间隔内观察通过某路口的汽车数，若只 考虑“至少通过100辆车”与“至多通过99辆车” 这两种情况，这也是Bernoulli试验．
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§5 n重贝努里概型
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PB
C
k n
M N
k
1
M N
nk
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§5 n重贝努里概型
例5
一大批产品的次品率为0.05，现从中取出10
件．试求下列事件的概率：
B={ 取出的10件产品中恰有4件次品 }
C={ 取出的10件产品中至少有2件次品 }
D={ 取出的10件产品中没有次品 }
解：
取10件A 产品取可出看一作件是产一品10为重次Be品rnoulli试
§5 n重贝努里概型
§5 n重贝努里概型
一.独立随机试验 设 E1 与 E2 是两个随机试验， 如果 E1 的各个结果与 E2 的各个结果相互独立，
则称 E1 与 E2 是相互独立的随机试验 ．
二.n次相互独立试验
如果随机试验 E1， E2， ， En 的各个结果 相互独立，则称 E1， E2， ， En 为相互独 立的随机试验．
设在n重Bernoulli 试验中，p( A) p, p( A) 1 p, 1 , 2 , , n 是一个样本点．
假设在此样本点中，有k个wi取 A，其余n-k个wi取 A，则由
独立性，得基本事件 1 , 2 , , n 的概率为pkq ： nk
pw1, w2 , , wn pk qnk
§5 n重贝努里概型
例6 对同一目标进行射击，设每次射击的命中率均 为0.23，问至少需进行多少次射击，才能使至少命 中一次目标的概率不少于0.95？ 解：
设需进行n次射击，才能使至少命中一次目标的概 率不少于0.95．
令：AB={命n次中射目击标至少则命，中P一次A目标0.2}3 进行n次射击，可看成是一n重Bernoulli试验． 返回主目录
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§5 n重贝努里概型
n重Bernoulli 试验中的样本点
•n重Bernoulli 试验中的每一个样本点可记作
1 , 2 , , n
其中每一个 wi 取 A或者A，表示在第i次试验中 A发生 或者 A发生。
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§5 n重贝努里概型
例2
将一枚硬币掷 5 次，可看作是一5重Bernoulli试
P A2 P C1C2C3 P C1C2C3 P C1C2C3 PC1PC2 PC3 PC1PC2 PC3 PC1PC2 PC3
0.30.60.2 0.30.40.8 0.70.60.8 0.468
PA3 PC1C2C3 PC1PC2 PC3
0.30.60.8 0.144
§5 n重贝努里概型
例 6（续）
则有 PB 1 PB 1 0.77n
由题意，得 PB 1 0.77 n 0.95
所以，有 取对数，得 所以，有
0.77n 0.05
nln 0.77 ln 0.05 n ln 0.05 11.46
ln 0.77
即至少需进行12次射击，才能使至少命中一次目 标的概率不少于0.95．
点”与“不出现六点”这两种情况，故“掷 n 颗骰 子”也可以看作是一 n 重 Bernoulli试验．
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§5 n重贝努里概型
n重Bernoulli 试验的例子
• 对同一目标进行n次射击，若每次射击只考虑“击 中目标”与“未击中目标”两种情况，则“同一 目标进行n次射击”是一n重Bernoulli试验． • 在某一时间间隔内观察通过某路口的汽车数，若 只考虑“至少通过100辆车”与“至多通过99辆 车”这两种情况，这是一次Bernoulli试验．若独 立重复地做该试验 n 次，则它是一n重Bernoulli试 验．
验则． PA 0.05
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§5 n重贝努里概型
例 5（续）
所以，
PB C140 0.054 0.95104 9.648104
PC 1 PC
1 C100 0.050 0.9510 C110 0.051 0.959 0.08614
PD 0.9510 0.5987
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验令：A 出现正面 A, A, A, A, A 表示 5次抛掷全出现正面；
A, A, A, A, A 表示5次抛掷前两次出现正面，
后3次出现反面；
A, A, A, A, A 表示5次抛掷中第1、2、4 次出现
正面，第3、5 次出现反面．
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n重Berno§u5llni 重试贝验努中里概基型本事件的 概率
目标，目标被摧毁的概率为0.2；若两门火炮击中
目标，目标被摧毁的概率为0.6；若三门火炮击中
目标，目标被摧毁的概率为0.9．试求目标被摧毁
的概率．
解：设：BAi ={有目i标门火被炮摧击毁中}目标 Ci 第i门火炮击中目标
i 1， 2， 3 i 1， 2， 3
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§5 n重贝努里概型
B={ 取出的n件产品中恰有k件次品 } 每取一次只有两种结果：
A 取出次品， A 取出正品，
因此每取一次产品可看作是一次Bernoulli试验
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§5 n重贝努里概型
例 4（续）
并且，
PA M ， PA1 M
N
N
因此，有放回地取 n 件产品可看作是一个 n 重
Bernoulli试验．由前面的讨论，可知
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§5 n重贝努里概型
例7 某病的自然痊愈率为 0.25，某医生为检验某种新药 是否有效，他事先制定了一个决策规则：把这药给 10 个病人服用，如果这 10 病人中至少有4 个人痊 愈，则认为新药有效；反之，则认为新药无效．求： ⑴ 新药有效，并且把痊愈率提高到 0.35，但通过 试验却被否定的概率． ⑵新药完全无效，但通过试验却被判为有效的概 率．
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§5 n重贝努里概型
例 7（续） 解：
给10个病人服药可看作是一10重Bernoulli试验．
令：A 某病人痊愈 PA 0.35
⑴ 若新药有效，则
此时若否定新药，只有在试验中不到4人痊愈．因此
3
P 否定新药 C1i0 0.35i 0.6510i i0 0.5138 返回主目录
由全概率公PB
Ai
而
i 1
P A1 P C1C2C3 P C1C2C3 P C1C2C3
PC1PC2 PC3 P C1PC2 PC3 P C1PC2 PC3
0.30.40.2 0.70.60.2 0.70.40.8
0.332
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§5 n重贝努里概型
1、掷一枚硬币，只有“出现正面”与“出现反面”两种
结果，因此“掷一枚硬币”可看作是一次Bernoulli试验．
2、掷一颗骰子，有六种结果．但如果我们只关心“出现
六点”与“不出现六点”这两种情况，故“掷一颗骰子”
也可以看作是Bernoulli试验．
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§5 n重贝努里概型
Bernoulli 试验的例子
n重Bernoulli 试验
• 若独立重复地进行n次Bernoulli试验，这里“重复” 是指每次试验中事件 A 发生的概率（即每次试验中 “成功”的概率）不变，则称该试验为 n 重 Bernoulli 试验．
n重Bernoulli 试验的例子
• 掷n次硬币，可看作是一 n 重 Bernoulli试验． • 掷 n 颗骰子，如果我们对每颗骰子只关心“出现六
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§5 n重贝努里概型
n重Bernoulli 试验中恰好成功k次的概率
设在n重Bernoulli 试验中，
PA p， PA 1 p q
现考虑事件
Bn，k n重Bernoulli试验中事件 A恰好发生 k次
现求概率 P Bn，k ： 在n次试验中，指定k 次出现 A 成功，其余n k 次出 现 A 失败，这种指定的方法共有Cnk种．
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§5 n重贝努里概型
例3
将一枚硬币掷 5 次，可看作是一5重Bernoulli试
令验：A 出现正面 且：PA p，PA q
则，PA, A, A, A, A p5 ；
PA, A, A, A, A p2q3； PA, A, A, A, A p3q2； PA, A, A, A, A p3q2．
• 在例 7 的第一问中，该医生把有用的药给否定了，这种错 误在统计学中称为第Ⅰ类错误（弃真错误），犯这类错误 的概率称为Ⅰ类风险；
• 在例 7 的第二问中，该医生把无用的药给肯定了，这种错 误在统计学中称为第Ⅱ类错误（取伪错误），犯这类错误 的概率称为Ⅱ类风险；
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第一章 小 结
1 阐述了随机试验的特征以及随机事件之间的关 系及运算。
k 0， 1， 2， ， n
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§5 n重贝努里概型
注意
由二项式定理，我们有
n
n
P Bn，k Cnk pk qnk
k 0
k 0
p qn
1
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§5 n重贝努里概型
例4
设在N件产品中有M件次品，每次从中任意取出一 件，有放回地取n次．试求取出的n件产品中恰有k 件次品的概率． 解：