高考冲刺数学试题附答案
2023届重庆高考冲刺训练数学试题及参考答案
2023年重庆高考冲刺训练数学试题及参考答案一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合A ＝{y |y ＝x }，B ＝{x |y ＝x }，全集为R ，则A ∩(∁R B )等于()A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．{0,1}D ．{(0,0)，(1,1)}2．已知复数z 的共轭复数为z ，若z ＋z ＝4，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z 等于()A ．2＋iB ．2－iC ．－2＋iD ．－2－i3．已知|a |＝5，b ＝(1,2)，且a ∥b ，a ·b <0，则a 的坐标为()A ．(1,2)B ．(－1,2)C ．(1，－2)D ．(－1，－2)4．甲、乙、丙三人参加社区义工活动，每人从编号为1到6的社区中任选一个，所选社区编号数各不相同且不相邻，则不同的选择方案的种数为()A ．12B ．24C ．36D ．485．已知数列{a n }满足a 1＝2，S n ＋1＝2(1＋S n )，若a 6是a m ，a 2n 的等比中项，m ，n ∈N *，则m ＋2n 等于()A ．12B ．123C ．22D ．46．如图所示，F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若|AB |∶|BF 2|∶|AF 2|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为()A ．2B .15 C.13 D.37．如图，已知三棱锥P －ABC 的四个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥平面ABC ，AC ＝BC ＝2，AB ＝2，球心O 到平面ABC 的距离为3，则球O 的体积为()A.32π3B.16π3C ．16πD ．32π8．已知f(x)＝x(l n x－a)，不等式f(x)≥x2－e x－1恒成立，则实数a的取值范围是() A．(－∞，－1]B．(－∞，0]C．(－∞，1]D．(－∞，e]二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分)9．已知函数f(x)＝sin2x＋3cos2x，则下列四个命题正确的是()A．f(x)的最小值为－2B．f(x)向右平移π3个单位长度后得到的函数是奇函数C．f(x)在0，π12上单调递增D．f(x)关于直线x＝7π12对称10．已知x>0，y>0，且x＋y＋xy－3＝0，则()A．x y的取值范围是[1,9]B．x＋y的取值范围是[2，＋∞)C．x＋4y的最小值是3D．x＋2y的最小值是42－311．有两个箱子，第1个箱子有3个白球，2个红球，第2个箱子有4个白球，4个红球，现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里，再从第2个箱子中随机取1个球放到第1个箱子里，则下列判断正确的是()A．从第2个箱子里取出的球是白球的概率为2345B．从第2个箱子里取出的球是红球的概率为2245C．若从第2个箱子里取出的球是白球，则从第1个箱子里取出的是白球的概率为1523D．两次取出的球颜色不同的概率为5912．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝2a2.则下列结论正确的是()A．当E与D1重合时，异面直线AE与BF所成的角为π3B．三棱锥B－AEF的体积为定值C．EF在平面ABB1A1内的射影长为a2D．当E向D1运动时，二面角A－EF－B的平面角保持不变三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．在的二项展开式中，所有项的系数之和为81，则常数项为________．14．设曲线y＝12x2在点A1，12y＝x l n x在点P处的切线互相平行，则点P的坐标为________．15．以模型y＝c e k x(c>0)去拟合一组数据时，设z＝l n y，将其变换后得到经验回归方程z ＝2x－1，则c＝________.16．在△ABC中，AB＝2，AC＝23，BC＝4，点O为△ABC的外心，则AO→·BC→＝________，P是△ABC外接圆圆O上一动点，则PA→·(PB→＋PC→)的最小值为________．四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)在①a3＋a11＝20，②a3S10＝310这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，若1a n a n＋1n∈N*)的前2023项和；若问题中的数列不存在，说明理由．问题：是否存在正项等差数列{a n}(n∈N*)，其前n项和为S n，且a1＝1，________？18．(12分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，已知a c o s C＋c c o s A＝3，a＝2b.(1)求a；(2)若S＝312(a2＋c2－b2)，求A.19．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，△PAB为正三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD，M为PD的中点．(1)求证：PB∥平面ACM；(2)求直线BM与平面PAD所成角的正弦值．20．(12分)某新华书店将在六一儿童节进行有奖促销活动，凡在该书店购书达到规定金额的小朋友可参加双人PK赢取“购书券”的游戏．游戏规则为：游戏共三局，每局游戏开始前，在不透明的箱中装有5个号码分别为1,2,3,4,5的小球(小球除号码不同之外，其余完全相同)．每局由甲、乙两人先后从箱中不放回地各摸出一个小球(摸球者无法摸出小球号码)．若双方摸出的两球号码之差为奇数，则甲被扣除2个积分，乙增加2个积分；若号码之差为偶数，则甲增加n(n∈N*)个积分，乙被扣除n个积分．PK游戏开始时，甲、乙的初始积分均为零，PK游戏结束后，若双方的积分不等，则积分较大的一方视为获胜方，将获得“购书券”奖励；若双方的积分相等，则均不能获得奖励．(1)设PK游戏结束后，甲的积分为随机变量ξ，求ξ的分布列；(2)以(1)中的随机变量ξ的均值为决策依据，当游戏规则对甲获得“购书券”奖励更为有利时，记正整数n的最小值为n0.①求n0的值，并说明理由；②当n＝n0时，求在甲至少有一局被扣除积分的情况下，甲仍获得“购书券”奖励的概率．21．(12分)在平面直角坐标系中，已知F为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，点P(t，s)(s>0)为抛物线C上一点，P关于x轴对称的点为Q，且△OPQ和△OPF的面积分别为16和2.(1)求C的方程；(2)设点D(a,2)，A，B为抛物线C上不同的三点，直线DA，DB的倾斜角分别为α，β，且满足tanα＋tanβ＝1，证明：直线AB经过定点．22．(12分)已知函数f(x)＝ln x＋ax－b(其中a，b为参数)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若a＝1，函数g(x)＝f(x e x)有且仅有2个零点，求b的取值范围．参考答案1．B 2.B 3.D4.B5.A6.C7．A[如图，因为AC ＝BC ＝2，AB ＝2，所以AC 2＋BC 2＝AB 2，所以AC ⊥BC .因为PA ⊥平面ABC ，AB ，BC ⊂平面ABC ，所以PA ⊥AB ，PA ⊥BC .又AC ∩PA ＝A ，PA ，AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC ，所以BC ⊥PC ，所以球心O 是PB 的中点．取AB 的中点D ，连接OD ，则OD ∥PA ，所以OD ⊥平面ABC ，所以OD ＝ 3.设球O 的半径为R ，在Rt △ODB 中，R ＝OB ＝OD 2＋DB 2＝(3)2＋12＝2，所以球O 的体积为43πR 3＝43×π×23＝32π3.]8．B[由题意可知x >0，由f (x )≥x 2－e x －1，可得a ≤e x －1x＋l n x －x .∵e x －1x ＋l n x －x ＝1e ·e x x ＋l n x e x ，令t ＝e xx ，则t ′＝e x x －e x x 2＝e x (x －1)x 2，∴t ＝e xx在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴t ≥t (1)＝e ，因此令φ(t )＝1e t ＋ln 1t ＝1e t －ln t (t ≥e)，φ′(t )＝t －e t e ≥0，∴φ(t )在[e ，＋∞)上单调递增，故φ(t )≥φ(e)＝0，∴a ≤0.]9．ACD 10．BD[因为x >0，y >0，所以x ＋y ≥2xy ，所以3－xy ≥2xy ，解得0<xy ≤1，即0<xy ≤1，故A 错误；因为x >0，y >0，所以x y ，所以3－(x ＋y )，即(x ＋y )2＋4(x ＋y )－12≥0，解得x ＋y ≥2，故B 正确；因为x ＋y ＋x y －3＝0，所以x ＝－y ＋3y ＋1＝－1＋4y ＋1，则x ＋4y ＝－1＋4y ＋1＋4y ＝4y ＋1＋4(y ＋1)－5≥2×4－5＝3，当且仅当4y ＋1＝4(y ＋1)，即y ＝0时等号成立．因为y >0，所以x ＋4y >3，故C 错误；x ＋2y ＝－1＋4y ＋1＋2y ＝4y ＋1＋2(y ＋1)－3≥42－3，当且仅当4y ＋1＝2(y ＋1)，即y ＝2－1时等号成立，故D 正确．]11．ABC[从第2个箱子里取出的球是白球的概率为35×59＋25×49＝2345，故A 正确；从第2个箱子里取出的球是红球的概率为35×49＋25×59＝2245，故B 正确；设从第2个箱子取出的球是白球为事件A ，从第1个箱子取出的球是白球为事件B ，则P (B |A )＝P (AB )P (A )＝35×592345＝1523，故C 正确；两次取出的球颜色不同的概率为35×49＋25×49＝49，故D 错误．]12．BCD[当E 与D 1重合时，因为EF ＝22a ，此时F 为B 1D 1的中点，记BD中点为O ，连接D 1O ，如图，由正方体性质可知，BO ∥D 1F ，BO ＝D 1F ，所以四边形BOD 1F 为平行四边形，所以D 1O ∥BF ，所以AE 与BF 所成的角为∠AD 1O .又D 1O＝6a 2，AD 1＝2a ，AO ＝2a 2，所以cos ∠AD 1O ＝3a 22＋2a 2－a 222×6a2×2a＝32，故A 错误；V B －AEF ＝V A －BEF ，易知点A 到平面BB 1D 1D 的距离和点B 到直线B 1D 1的距离为定值，且EF ＝2a2为定值，所以三棱锥A －BEF 的体积为定值，故B 正确；易知∠A 1B 1D 1＝π4，EF 在平面ABB 1A 1内的射影在A 1B 1上，所以射影长为2a 2×cos π4＝a2，故C 正确；二面角A －EF －B 即为二面角A －B 1D 1－B ，显然其平面角不变，故D 正确．]13．8；14.(1,0)；15.1e 解析由z ＝l n y ，得l n y ＝2x －1，y ＝e 2x －1＝e －1·e 2x ，所以c ＝e －1＝1e.16．40解析因为AB 2＋AC 2＝BC 2，所以AB ⊥AC ，所以O 是BC 的中点．以A 为原点，AB ，AC 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0,0)，B (2,0)，C (0,23)，O (1，3)，AO →＝(1，3)，BC →＝(－2,23)，所以AO →·BC →＝4.圆O 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.设P (x ，y )，则PA →＝(－x ，－y )，PB →＝(2－x ，－y )，PC →＝(－x ,23－y )，所以圆上点P d min ＝r －1＝2－1＝1，所以PA →·(PB →＋PC →)的最小值为2×12－2＝0.17．解若选择①1＝1，3＋a 11＝a 1＋2d ＋a 1＋10d ＝20，所以d ＝32，所以a n ＝1＋(n －1)×32＝32n －12.由a 3S 10＝(1＋2d＋10×92d 310，得d ＝32(舍负)，因此a n ＝1＋(n －1)×32＝32n －12.因为1a n a n ＋1＝所以1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4＋…＋1a 2023a 2024＝－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a 2023＝23×＝40466071.18．解(1)在△ABC 中，由a cos C ＋c cos A ＝3及余弦定理，可得a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝3，即2b 2＝23b ，则b ＝3，而a ＝2b ，所以a ＝ 6.(2)由S ＝312(a 2＋c 2－b 2)，得S ＝312×2ac ×cos B ＝36ac cos B ，又S ＝12ac sin B ，所以12ac sin B ＝36ac cos B ，则tan B ＝33，因为B ∈(0，π)，故B ＝π6，根据a ＝2b ，得sin A ＝2sin B ＝22，又A >B ，A ∈(0，π)，所以A ＝π4或3π4.19．(1)证明连接BD 交AC 于点N ，连接MN ，如图，在正方形ABCD 中，N 为BD 的中点，而M 为PD 的中点，则PB ∥MN ，而MN ⊂平面ACM ，PB ⊄平面ACM ，所以PB ∥平面ACM .(2)解取AB 的中点O ，连接PO ，如图，在正△PAB 中，PO ⊥AB ，因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，侧面PAB ∩底面ABCD ＝AB ，PO ⊂侧面PAB ，则PO ⊥平面在平面ABCD 内，过点O 作OE ⊥AB 交CD 于点E ，则射线OB ，OE ，OP 两两垂直，以O 为原点，射线OB ，OE ，OP 分别为x ，y ，z 轴的非负半轴建立空间直角坐标系，则B (1,0,0)，A (－1,0,0)，D (－1,2,0)，P (0,0，3)，－12，1AD →＝(0,2,0)，AP →＝(1,0，3)，BM →－32，1设平面PAD 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)·AD →＝2y 1＝0，·AP →＝x 1＋3z 1＝0，令z 1＝1，得m ＝(－3，0,1)，设直线BM 与平面PAD 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈m ，BM →〉|＝|m ·BM →||m ||BM →|＝232×2＝32，所以直线BM 与平面PAD 所成角的正弦值为32.20．解(1)记“一局游戏后甲被扣除2个积分”为事件A ，“一局游戏后乙被扣除n 个积分”为事件B ，由题意可知P (A )＝C 12C 13A 22A 25＝35，则P (B )＝1－P (A )＝25，当三局均为甲被扣除2个积分时，ξ＝－6，当两局为甲被扣除2个积分，一局为乙被扣除n 个积分时，ξ＝n －4，当一局为甲被扣除2个积分，两局为乙被扣除n 个积分时，ξ＝2n －2，当三局均为乙被扣除n 个积分时，ξ＝3n ，所以P (ξ＝－6)＝27125，P (ξ＝n －4)＝C 23×25＝54125，P (ξ＝2n －2)＝C 13×35×＝36125，P (ξ＝3n )＝8125，所以随机变量ξ的分布列为ξ－6n －42n －23n P2712554125361258125(2)①由(1)易得E (ξ)＝(－6)×27125＋(n －4)×54125＋(2n －2)×36125＋3n ×8125＝6n －185，显然甲、乙双方的积分之和恒为零，当游戏规则对甲获得“购书券”奖励更为有利时，则需E (ξ)＝6n －185>0，所以n >3，即正整数n 的最小值n 0＝4.②当n ＝4时，记“甲至少有一局被扣除积分”为事件C ，则P (C )＝1＝117125，由题设可知若甲获得“购书券”奖励，则甲被扣除积分的局数至多为1，记“甲获得‘购书券’奖励”为事件D ，易知事件CD 为“甲恰好有一局被扣除积分”，则P (CD )＝C 13×35×＝36125，所以P (D |C )＝P (CD )P (C )＝36125×125117＝413，即在甲至少有一局被扣除积分的情况下，甲仍获得“购书券”奖励的概率为413.21．(1)解由题意知|PQ |＝2s ，所以△OPQ 的面积为12×t ×2s ＝ts ，则ts ＝16.①又因为焦点|OF |＝p 2，则△OPF 的面积为12×p 2×s ＝ps 4，则ps4＝2.②由①②联立解得t ＝2p ，s ＝8p，则p将P 点坐标代入抛物线方程得＝2p ·2p ，解得p ＝2，故C 的方程为y 2＝4x .(2)证明将D (a ,2)代入抛物线C 的方程得22＝4a ，解得a ＝1，所以D (1,2)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝my ＋n ，＝my ＋n ，2＝4x ，消去x 得y 2－4my －4n ＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4n .因为tan α＋tan β＝1，即k DA ＋k DB ＝1，所以y 1－2x 1－1＋y 2－2x 2－1＝1，所以y 1－2y 214－1＋y 2－2y 224－1＝4y 1＋2＋4y 2＋2＝1，整理得y 1y 2－2(y 1＋y 2)－12＝0，所以－4n －2×4m －12＝0，则n ＝－2m －3，所以直线AB 的方程为x ＝my －2m －3，即x ＋3＝m (y －2)，所以直线AB 经过定点(－3,2)．22．解(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －ax2.当a ≤0时，f ′(x )>0，所以f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；当a >0时，令f ′(x )>0，解得x >a ，令f ′(x )<0，解得0<x <a ，11所以f (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞)．(2)当a ＝1时，g (x )＝f (x e x )＝ln x e x ＋1x e x －b ＝ln x ＋x ＋1x ex －b ，g ′(x )＝1x ＋1－x ＋1x 2e x ＝(x ＋1)(x e x －1)x 2ex .令g ′(x )＝0，则x e x ＝1(x ＝－1舍去)，令h (x )＝x e x －1(x >0)，则h ′(x )＝(x ＋1)e x >0，所以h (x )在(0，＋∞)上单调递增．又＝12e －1<0，h (1)＝e －1>0，且函数h (x )在(0，＋∞)上的图象是连续不断的曲线，所以根据零点存在定理，存在唯一的x 0h (x 0)＝x 00e x －1＝0，并且当x ∈(0，x 0)时，h (x )<0，当x ∈(x 0，＋∞)时，h (x )>0，所以当x ∈(0，x 0)时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减；当x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增，所以g (x )min ＝g (x 0)＝ln x 0＋x 0＋1e x x 00－b ＝1－b .因为函数g (x )有且仅有2个零点，所以必须有g (x )min <0，即b >1.下面证明当b >1时，函数g (x )有且仅有2个零点．因为g (x 0)＝1－b <0，g (b )＝ln b ＋1b eb >0，且g (x )在(x 0，＋∞)上单调递增且连续，所以g (x )在(x 0，＋∞)上有且仅有1个零点，因为g (x )＝f (x e x )＝ln x e x ＋1x e x －b ，令x e x ＝t (0<t <x 0)，则F (t )＝ln t ＋1t－b .因为b >1，所以0<e －b <1e <12，F (e －b )＝ln e －b ＋e b －b ＝e b －2b ，令φ(b )＝e b －2b ，b >1，显然φ(b )＝e b －2b 在(1，＋∞)上单调递增，所以φ(b )＝e b －2b >e －2>0，又g (x 0)＝1－b <0，所以g (x )在(0，x 0)上有且仅有1个零点．综上，b >1.。
2023-2024学年上海市徐汇区高考数学冲刺模拟试题(5月)含解析
2023-2024学年上海市徐汇区高考数学冲刺模拟试题（5月）一、填空题1．集合{}1,0,1,2A =-，{}02B x x =<<，则A B = ______．【正确答案】{}1【分析】直接计算交集得到答案.【详解】{}1,0,1,2A =-，{}02B x x =<<，则{}1A B ⋂=.故答案为.{}12．已知i 为虚数单位，复数z 满足11zi z-=+，则z ________.【正确答案】1【分析】利用复数的四则运算求出z ，再求其模．【详解】因为11zi z -=+，所以21(1)1(1)1(1)(1)i i z z i z i i i i ---=+⇒===-++-，则||1z ==.故1.本题考查复数的四则运算，考查复数模的运算，属于基础题．3．函数πtan 34y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为______．【正确答案】3π/13π【分析】直接根据周期公式计算得到答案.【详解】函数πtan 34y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为π3T =.故答案为.π34．81x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为______．【正确答案】70【分析】利用二项展开式的通项即可求得结果.【详解】81x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为8181C (k k k k T x x -+=-828C (1)k k kx -=⋅-⋅，令820k -=得，4k =，故常数项为448C (1)70⋅-=，故70.5．已知,x y R +∈，且+21x y =，则xy 的最大值为________.【正确答案】18【分析】由题意结合均值不等式即可求得xy 的最大值.【详解】由均值不等式可得：12x y =+≥，求解不等式1≤可得：18xy ≤，当且仅当122x y ==时等号成立.即xy 的最大值为18.故答案为18．本题主要考查基本不等式的应用，由基本不等式求最大值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．抛物线28y x =的准线方程为__________．【正确答案】132y =-【分析】抛物线28y x =的标准形式为218x y =∴抛物线28y x =的准线方程为132y =-故答案为:132y =-7．首项为1，公比为12-的无穷等比数列{}n a 的各项和为______．【正确答案】23【分析】根据等比数列前n 项和公式即可求解.【详解】由由等比数列前n 项和公式可得11212113212nn⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭，当n 趋于无穷大的时候，{}n a 的各项和为23.故238．已知某圆锥体的底面半径3r =，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为23π的扇形，则该圆锥体的表面积是______．【正确答案】【详解】试题分析：由已知沿圆锥体的母线把侧面展开后得到的扇形的弧长为，从而其母线长为，从而圆锥体的表面积为；故答案为圆锥体的表面积．9．已知两个随机变量X 、Y ，其中1~4,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()()2~,0Y N μσσ>，若[][]E X E Y =，且()10.4P Y <=，则()3P Y >=______．【正确答案】0.1/110【分析】确定[]1E X =得到1μ=，确定()10.1P Y <-=，再根据()()31P Y P Y >=<-得到答案.【详解】1~4,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则[]1414E X =⨯=，[][]1E X E Y ==，故1μ=，()10.4P Y <=，()10.5P Y <=，故()10.50.40.1P Y <-=-=，()()310.1P Y P Y >=<-=.故答案为.0.110．已知甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和4个红球．若先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球，则在第一次取出的球是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率为______．【正确答案】1732【分析】设出事件，根据全概率公式得到()1760P AB =，()815P A =，再利用条件概率公式计算得到答案.【详解】设第一次取出红球的事件为A ，第二次取出的球是白球的事件为B ，取到甲袋，乙袋的事件分别为1C ，2C ，则()()()()()11221231421725426560P AB P AB C P C P AB C P C =⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯=，()()()()()112212148252615P A P A C P C P A C P C =⋅+⋅=⨯+⨯=，则()()()17176083215P AB P B A P A ===.故答案为.173211．函数()()202320231cos 1cos y x x =++-，2π2π,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值城为______．【正确答案】20232,2⎡⎤⎣⎦【分析】确定12cos 1,t x ⎡⎤-⎢⎥=∈⎣⎦，确定()()()2023202311f t t t =++-，利用二项式定理展开，确定函数为偶函数且在[]0,1上单调递增，计算得到值域.【详解】2π2π,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，设12cos 1,t x ⎡⎤-⎢⎥=∈⎣⎦，()()()202320232244202220222023202320231122C 2C 2C f t t t t t t=++-=++++ ，()f t 为偶函数，不妨取[]0,1t ∈，函数在[]0,1上单调递增，故()()min 02f t f ==，()()2023max 12f t f ==，故函数值域为20232,2⎡⎤⎣⎦.故答案为.20232,2⎡⎤⎣⎦12．已知平面向量a ，b ，c ，满足1a = ，π,7,96a b a c a c =--= ，则b c - 的取值范围是______．【正确答案】1,2⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦【分析】建立直角坐标系，B在直线y x =，0x >上，取()7,0M ，()9,0N ，根据向量的运算确定C 的轨迹，确定圆心和半径，结合点到直线的距离得到范围.【详解】如图所示的平面直角坐标系中，设OA a = ，OB b = ，OC c =，不妨取B 在第一象限，则B在直线y x =，0x >上，()77,0a = ，()99,0a =，取()7,0M ，()9,0N ，则7a c CM -= ，9a c CN -= ，故π6MCN ∠=，故C 在如图所示的关于x 轴对称的两段圆弧上，取C 在第一象限，则π3MQN ∠=，2MN =，故(3Q ，圆的半径为2r =，圆心Q 到直线的距离为83335293d -=+，b c CB -= ，CB 的最小值为51222d r -=-=，故答案为.1,2⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦本题考查了轨迹方程，向量的运算，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中建立坐标系，确定C 的轨迹，将题目转化为圆上的点到直线的距离是解题的关键.二、单选题13．若0a b <<,则下列不等式恒成立的是A ．11a b>B ．a b->C ．22a b >D ．33a b <【正确答案】D 【详解】∵0a b <<∴设1,1a b =-=代入可知,,A B C 均不正确对于D ，根据幂函数的性质即可判断正确故选D14．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是A ．tan y x =B ．3xy =C ．13y x=D ．lg y x=【正确答案】C【详解】A 在定义域内不是增函数;B 不是奇函数;C 满足要求；D 是偶函数．15．设{}n a 是等比数列，则“对于任意的正整数n ，都有2n n a a +>”是“{}n a 是严格递增数列”（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】C【分析】根据严格递增数列定义可判断必要性，分类讨论可判断充分性.【详解】若{}n a 是严格递增数列，显然2n n a a +>，所以“对于任意的正整数n ，都有2n n a a +>”是“{}n a 是严格递增数列”必要条件；22n n n a a q a +=> 对任意的正整数n 都成立，所以{}n a 中不可能同时含正项和负项，20,1n a q ∴>>，即0,1n a q >>，或20,1n a q <<，即0,01n a q <<<，当0,1n a q >>时，有n n a q a >，即1n n a a +>，{}n a 是严格递增数列，当0,01n a q <<<时，有n n a q a >，即1n n a a +>，{}n a 是严格递增数列，所以“对于任意的正整数n ，都有2n n a a +>”是“{}n a 是严格递增数列”充分条件故选：C16．已知定义在R 上的可导函数()f x ，对任意的实数x ，都有()()2f x f x x --=，且当(0,)x ∈+∞时，()1f x '>恒成立，若不等式()(1)21f a f a a --≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【正确答案】A【分析】由题意可得()()()-=---f x x f x x ，令()()F x f x x =-，根据奇偶性的定义，可得()F x 为偶函数，利用导数可得()F x 的单调性，将题干条件化简可得()(1)(1)f a a f a a -≥---，即()(1)F a F a ≥-，根据()F x 的单调性和奇偶性，计算求解，即可得答案.【详解】由()()2f x f x x --=，得()()()-=---f x x f x x ，记()()F x f x x =-，则有()()F x F x =-，即()F x 为偶函数，又当(0,)x ∈+∞时，()()10F x f x ''=->恒成立，所以()F x 在(0,)+∞上单调递增，所以由()(1)21f a f a a --≥-，得()(1)(1)f a a f a a -≥---，即()(1)F a F a ≥-(||)(|1|)F a F a ⇔- ，所以|||1|a a - ，即2212a a a ≥+-，解得12a ，故选：A.三、解答题17．直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB AC ⊥，2AB AC ==，14AA =，M 是侧棱1CC 上一点，设MC h =．(1)若1BM AC ⊥，求h 的值；(2)若2h =，求直线1BA 与平面ABM 所成的角．【正确答案】（1）1h =（2）arc 【详解】试题分析：（1）以A 为坐标原点，以射线AB 、AC 、1AA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，求出BM ，1AC，利用10BM AC⋅= ，求出h 的值；（2）求出直线1BA 的方向向量与平面ABM 的法向量，求出向量的夹角的余弦值可得结果.试题解析：（1）以A 为坐标原点，以射线AB 、AC 、1AA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则()2,0,0B ,()10,0,4A ，()0,2,0C ，()0,2,M h ()2,2,BM h =- ，()10,2,4AC =- 由1BM AC ⊥得10BM AC ⋅=，即2240h ⨯-=解得1h =．(2)解法一：此时()0,2,2M ()()()12,0,0,0,2,2,2,0,4AB AM BA ===-设平面ABM 的一个法向量为(),,n x y z =由0{0n AB n AM ⋅=⋅=得0{0x y z =+=所以()0,1,1n =-设直线1BA 与平面ABM 所成的角为θ则11sin 5n BA n BA θ⋅===⋅ 所以直线1BA 与平面ABM所成的角为sin 5arc 解法二：联结1A M ，则1A M AM ⊥，1,AB AC AB AA ⊥⊥ ，AB ∴⊥平面11AAC C 1AB A M∴⊥1A M ∴⊥平面ABM所以1A BM ∠是直线1BA 与平面ABM 所成的角；在1Rt A BM中，11A M A B ==所以111sin A M A BM A B ∠===所以1arcsin5A BM ∠=所以直线1BA 与平面ABM所成的角为sin5arc 点睛：本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用之利用空间向量的数量积证明垂直关系，利用空间向量求直线与平面所成的角角；两直线垂直等价于直线的方向向量互相垂直即数量积为0，直线与平面所成的角θ与直线的方向向量与平面的法向量之间所成的角相加为90 或相减为90 ，且满足sin cos ,m n θ=〈〉 .18．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若3B b ABC π==的面积2S =，求a +c 值；（2）若2cos C （BA BC ⋅ +AB AC ⋅）=c 2，求角C ．【正确答案】（1）5（2）3π【分析】（1）由已知利用三角形面积公式可求ac=6，结合余弦定理可求a+c 的值．（2）利用平面向量数量积的运算，正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可求cosC=，结合范围C∈（0，πC 的值．【详解】解：（1）∵3B b ABC π==，的面积S =，=12ac sin B ，可得：ac =6，∵由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ，可得：7=a 2+c 2-ac =（a +c ）2-3ac =（a +c ）2-18，解得：a +c =5．（2）∵2cos C （BA BC ⋅ +AB AC ⋅）=c 2，∴2cos C （ac cos B +bc cos A ）=c 2，可得：2cos C （a cos B +b cos A ）=c ，∴由正弦定理可得：2cos C （sin A cos B +sin B cos A ）=sin C ，即2cos C sinC=sin C ，∵sin C ≠0，∴cos C =12，∵C∈（0，π），∴C=3π．本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，平面向量数量积的运算，正弦定理，三角函数恒等变换的应用在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．疫苗在上市前必须经过严格的检测，并通过临床实验获得相关数据，以保证疫苗使用的安全和有效．某生物制品研究所将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如下：未感染病毒感染病毒总计未注射疫苗40p x注射疫苗60q y总计100100200现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为3 5．(1)求22⨯列联表中的数据p，q，x，y的值；(2)是否有95%的把握认为注射此种疫苗有效？说明理由；(3)在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取10只进行病例分析，然后从这10只小白鼠中随机抽取4只对注射疫苗情况进行核实，记X为4只中未注射疫苗的小白鼠的只数，求X的分布与期望()E X．附：()()()()()22n ad bca b c d a c b dχ-=++++，其中n a b c d=+++．()2P kχ≥0.100.050.010.0050.001k 2.706 3.841 6.6357.87910.828【正确答案】(1)60,40,100,100；(2)有95%的把握认为注射此种疫苗有效，理由见解析；(3)分布列见解析，12 ()5 E X=.【分析】（1）由统计表列出方程，即可求值；（2）利用列联表求出2χ的值，对照临界值得出结论；（3）写出X 的取值，分别求出相应的概率，进而列出分布列，利用数学期望公式求出()E X .【详解】（1）因为从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为35，所以4032155x =-=，解得100x =，则200100100y =-=，1004060p =-=，1006040q =-=；（2）零假设为0H ：注射此种疫苗无效，由()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，解得22200(40406060)8100100100100 3.841χ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，根据小概率值0.05α=的独立性检验，推断0H 不成立，所以有95%的把握认为注射此种疫苗有效；（3）因为在感染病毒的小白鼠中，未注射疫苗和注射疫苗的比例为60:403:2=，所以抽取的10只小白鼠中，未注射疫苗的有6只，注射疫苗的有4只，由题意X 的取值为0，1，2，3，4，44104C 1(0)C 210P X ===，3146410C C 4(1)C 35P X ===，2246410C C 3(2)C 7P X ===，1346410C C 8(3)C 21P X ===44106C 1(4)C 14P X ===X 的分布列为X 01234P 1210435378211141438112()0123421035721145E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.20．已知椭圆22:143x y C +=．(1)求该椭圆的离心率；(2)设点00(,)P x y 是椭圆C 上一点，求证：过点P 的椭圆C 的切线方程为00143x x y y +=；(3)若点M 为直线l ：x =4上的动点，过点M 作该椭圆的切线MA ，MB ，切点分别为,A B ，求△MAB 的面积的最小值．【正确答案】(1)12(2)详见解析；(3)92【分析】（1）利用椭圆离心率定义即可求得该椭圆的离心率；（2）利用直线与椭圆位置关系即可求得过点P 的椭圆C 的切线方程，进而证得结论成立；（3）先求得直线AB 的方程，求得弦AB 的长度，进而求得△MAB 的面积表达式，进而求得△MAB 的面积的最小值．【详解】（1）椭圆22:143x y C +=中，224,3a b ==，则21c =，则2,1a c ==，则椭圆的离心率为12c a =（2）当切线斜率存在时，其方程可设为y kx t =+，由22143y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2223484(3)0k x ktx t +++-=，则()()22281634(3)0kt k t ∆=-+-=，则2234t k =+此时方程的根为()284234kt k t k -=-+，则切点横坐标04k x t=-，切点纵坐标220043k t y kx t t t -+=+==，则03t y =，0003144x k tx y =-=-，则切线方程为000334x y x y y =-+，整理得00143x x y y +=；当切线斜率不存在时，其切点为(2,0)或(2,0)-，切线方程为2x =±，满足00143x x y y +=.综上，点00(,)P x y 是椭圆C 上一点时，过点P 的椭圆C 的切线方程为00143x x y y +=（3）设1122(,),(,)A x y B x y ，(4,)M n ，则椭圆C 在点,A B 的切线方程分别为11143x x y y +=，22143x x y y +=，又M 在两条切线上，则114143x ny +=，224143x ny +=，则直线AB 的方程为4143x ny +=，即13ny x +=由2213143ny x x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得，()22212241240n x x n +-+-=，则212122224124,1212n x x x x n n -+==++，则AB =()224912n n +=+，又点M 到直线AB的距离d =，则△MAB 的面积为()2249112212n AB d n +⋅=⨯⨯+令s =229n s =-，3s ≥，3223s s =+，3s ≥令322()3x p x x =+，3x ≥，则()()()224422222634218()033x x x x x p x x x +-+'==++恒成立，则322()3x p x x =+在[)3,+∞上单调递增，则2279()(3)932p x p ⨯≥==+当且仅当0n=即点M坐标为(4,0)时等号成立，则△MAB的面积的最小值为9 2.21．设函数()()ln1f x x=+，()1xg xx=+．(1)记()11x g=，()1n nx g x+=，Nn∈，1n≥．证明：数列1nx⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；(2)设m∈Z．若对任意0x>均有()()1f x mg x>-成立，求m的最大值；(3)是否存在正整数t使得对任意Nn∈，n t≥，都有()()1nkf n t ng k=-<-∑成立?若存在，求t 的最小可能值；若不存在，说明理由．【正确答案】(1)证明见详解；(2)1；(3)1.【分析】（1）对条件()1n nx g x+=两边取倒数后即可得证；（2）构造函数()()()1h x f x mg x=-+，0x>，则问题转化为()0h x>恒成立，又(0)0h=，故判断()h x在(0,)+∞单调性即可求出m的最大值;（3）首先证明ln(1)x x+<，令x分别取111,,,231n+得()122ln12()2()31nknn n g knn=-+++=-++<∑，要使存在正整数t使得对任意Nn∈，n t≥，都有()()1nkf n t ng k=-<-∑成立，只需()2ln(2n t nf-≤+，从而求出t的最小可能值.【详解】（1）由题()1112x g==，()11nn nnxx g xx+==+，两边取倒数得，11111nn n nxx x x++==+，即1111n nx x+-=，所以数列1nx⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项是12，公差是1的等差数列.（2）令()()()1h x f x mg x=-+，0x>，则()ln(1)101mxh x xx=+-+>+恒成立.221(1)()1(1)(1)m x m h x x x x --'=-=+++,当10m -≤时，()0h x '≥，所以()h x 在(0,)+∞单调递增.又(0)ln10110h =-+=>，所以则()0h x >成立.故1m £.当10m ->时，当(0,1)x m ∈-，()0h x '<，故()h x 在(0,1)m -单调递减；当(1,)x m ∈-+∞，()0h x '>，故()h x 在(1,)m -+∞单调递增.故min ()(1)(0)0h x h m h =-<=与()0h x >矛盾.综上，1m £，所以m 的最大值是1.（3）令()ln(1)x x x ϕ=+-，0x >，则1()1011x x x x ϕ-=-=<++'，所以()ln(1)x x x ϕ=+-在(0,)+∞单调递减，又(0)ln(1)00φ=-=，所以()0x ϕ<，即ln(1)x x +<.令x 分别取111,,,231n + 得11ln(1)22+<，11ln(1)33+<，L ，11ln(1)11n n +<++，累加得111111ln(1)ln(1)ln(1)231231n n ++++++<+++++ ，即)342l 1n(231111(11231n n n n --+⨯+-++-⨯⨯<++ 整理得()122ln 12()2()31n k n n n g k n n =-+++=-++<∑ 要使存在正整数t 使得对任意N n ∈，n t ≥，都有()()1nk f n t n g k =-<-∑成立，只需()2ln(2n t n f -≤+，即()2ln()l 12n n t n -++≤，化简得121n n t -++≤，所以2t n ≥.又N n ∈且t 为正整数，故1t ≥.所以存在正整数t 使得对任意N n ∈，n t ≥，都有()()1nk f n t n g k =-<-∑成立，t 的最小可能值是1.结论点睛：导数解决不等式问题中，常用的不等关系有：①e 1x x ≥+；②1e x x -≥；③ln 1≤-x x ；④()ln 1x x ≤+.。
(整理版)高考数学小题狂做冲刺训练(详细解析)
高考数学小题狂做冲刺训练〔详细解析〕、选择题〔本大题共10小题，每题5分，共50分。
在每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的〕 1.点P 在曲线323+-=x x y 上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，那么角α的取值范围是( )A.［0，2π］B.［0，2π〕∪［43π,π) C.［43π,π) D.(2π,43π］解析:∵y′＝3x 2-1,故导函数的值域为［-1，+∞). ∴切线的斜率的取值范围为［-1,+∞〕. 设倾斜角为α,那么tanα≥-1. ∵α∈［0,π),∴α∈［0,2π)∪［43π,π).答案:B2.假设方程x 2+ax+b ＝0有不小于2的实根,那么a 2+b 2的最小值为( )A.3B.516 C.517 D.518 解析:将方程x 2+ax+b ＝0看作以(a,b)为动点的直线l:xa+b+x 2＝0的方程,那么a 2+b 2的几何意义为l 上的点(a,b)到原点O(0,0)的距离的平方,由点到直线的距离d 的最小性知a 2+b 2≥d 2＝211)1(1)100(2224222-+++=+=+++x x x x x x (x ≥2), 令u ＝x 2+1,易知21)(-+=u u u f (u ≥5)在［5,+∞)上单调递增,那么f(u)≥f(5)＝516, ∴a 2+b 2的最小值为516.应选B. 答案:B3.国际上通常用恩格尔系数来衡量一个国家或地区人民生活水平的状况,它的计算公式为yxn =(x:人均食品支出总额,y:人均个人消费支出总额),且y ＝2x+475.各种类型家庭情相同的情况下人均少支出75元，那么该家庭属于( )解析:设1998年人均食品消费x 元，那么人均食品支出：x(1-7.5%)＝92.5%x,人均消费支出：2×92.5%x+475，由题意,有2×92.5%x+475+75＝2x+475,∴x＝500. 此时，14005.462475%5.922%5.92=+⨯=x x x ≈0.3304＝33.04%,应选D.答案:D4.(海南、宁夏高考,文4)设f(x)＝xlnx,假设f′(x 0)＝2,那么x 0等于( )2B.eC.22ln 解析:f′(x)＝lnx+1,令f′(x 0)＝2, ∴lnx 0+1＝2.∴lnx 0＝1.∴x 0＝e. 答案:B5.n ＝log n+1 (n+2)(n∈N *).定义使a 1·a 2·a 3·…·a k 为整数的实数k 为奥运桔祥数,那么在区间［1,2 008］内的所有奥运桔祥数之和为( )A.1 004B.2 026C.4 072D.2 044解析:a n ＝log n+1 (n+2)＝)1lg()2lg(++n n ,a 1·a 2·a 3·…·a k ＝2lg )2lg()1lg()2lg(4lg 5lg 3lg 4lg 2lg 3lg +=++••k k k . 由题意知k+2＝22,23,…,210,∴k＝22-2,23-2,…,210-2.∴S＝(22+23+…+210)-2×9＝20261821)21(49=---. 答案：B6.从2 004名学生中选取50名组成参观团,假设采用下面的方法选取,先用简单随机抽样法从2 004人中剔除4人,剩下的 2 000人再按系统抽样的方法进行,那么每人入选的概率〔 〕A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等且为002125D ．都相等且为401解析：抽样的原那么是每个个体被抽到的概率都相等,所以每人入选的概率为002125. 答案：C7.将数字1,2,3,4,5,6拼成一列，记第i 个数为a i 〔i ＝1,2,…,6〕,假设a 1≠1,a 3≠3,5≠5,a 1＜a 3＜a 5,那么不同的排列方法种数为〔 〕A ．18B ．30C ．36D ．48 解析：∵a 1≠1且a 1＜a 3＜a 5,∴〔1〕当a 1＝2时，a 3为4或5,a 5为6，此时有12种； 〔2〕当a 1＝3时，a 3仍为4或5，a 5为6，此时有12种； 〔3〕当a 1＝4时，a 3为5，a 5为6，此时有6种. ∴共30种. 答案：B8.在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为1,2,3,…,18的18名火炬手.假设从中任选3人,那么选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为〔 〕A ．511 B ．681 C ．3061 D ．4081 解析：属于古典概型问题,根本领件总数为318C ＝17×16×3,选出火炬手编号为a n ＝a 1＋3〔n －1〕〔1≤n ≤6〕,a 1＝1时,由1,4,7,10,13,16可得4种选法; a 1＝2时,由2,5,8,11,14,17可得4种选法; a 1＝3时,由3,6,9,12,15,18可得4种选法. 故所求概率68131617444444318=⨯⨯++=++=C P . 答案：B9.复数i 3(1+i)2等于( )A.2B.-2 C解析：i 3(1+i)2=-i(2i)=-2i 2=2. 答案：A 10.(全国高考卷Ⅱ,4)函数x xx f -=1)(的图象关于( ) A.y 轴对称 B.直线y ＝-x 对称 C.坐标原点对称 D.直线y ＝x 对称 解析: x xx f -=1)(是奇函数,所以图象关于原点对称. 答案:C、填空题〔本大题共5小题，每题5分，共25分〕11.垂直于直线2x-6y+1=0且与曲线y=x 3+3x 2-5相切的直线方程为___________________.解析：与直线2x-6y+1=0垂直的直线的斜率为k=-3,曲线y=x 3+3x 2-5的切线斜率为y ′=3x 2+6x.依题意,有y ′=-3,即3x 2+6x=-3,得x=-1.当x=-1时，y=(-1)3+3·(-1)2-5=-3.故所求直线过点(-1，-3)，且斜率为-3,即直线方程为y+3=-3(x+1), 即3x+y+6=0. 答案：3x+y+6=0 12.函数13)(--=a axx f (a≠1).假设f(x)在区间(0,1］上是减函数，那么实数a 的取值范围是______________. 解析：由03)1(2)('<--=axa a x f ,⎪⎩⎪⎨⎧<->-②,0)1(2①,03a aax由①,得a ＜x3≤3. 由②,得a ＜0或a ＞1,∴当a ＝3时,f(x)在x∈(0,1)上恒大于0,且f(1)＝0,有f(x)＞f(1). ∴a 的取值范围是(-∞,0)∪(1,3］. 答案:(-∞,0)∪(1,3］ 13.平面上三点A 、B 、C满足3||=AB ,5||=CA ,4||=BC ,那么AB CA CA BC BC AB •+•+•的值等于________________.解析：由于0=++CA BC AB ，∴)(2||||||)(2222AB CA CA BC BC AB CA BC AB CA BC AB •+•+•+++=++0)(225169=•+•+•+++=AB CA CA BC BC AB ,即可求值.答案：-2514.设一次试验成功的概率为p,进行100次独立重复试验，当p=_________________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为___________________________________.解析：4)2(2n q p n npq D =+≤=ξ,等号在21==q p 时成立，此时Dξ＝25，σξ＝5. 答案：215 15.设z 1是复数,112z i z z -=(其中1z 表示z 1的共轭复数),z 2的实部是-1,那么z 2的虚部为___________________.解析：设z 1=x+yi(x,y ∈R),那么yi x z -=1. ∴z 2=x+yi-i(x-yi)=x-y+(y-x)i. ∵x-y=-1, ∴y-x=1. 答案：1。
兰州第一中学年高考冲刺模拟数学试题及答案考(文)
第Ⅰ 卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合2{|10}M x x =-≤,11{|24,}2x N x x Z +=<<∈,则M N = ( )A ．}1{B ．}0,1{-C ．}1,0,1{-D ．∅2. 若i z )54(cos 53sin -+-=θθ是纯虚数，则)4tan(πθ-的值为 ( )A ．7-B ．71- C. 7 D.7-或17-3. 设{n a }是公比为正数的等比数列，若16,453==a a ，则数列{n a }的前5项和为（ ）A ．41B ．15C ．32D ．314.在空间给出下面四个命题（其中m 、n 为不同的两条直线，a 、b 为不同的两个平面）①m ^a ，n //a Þm n ^ ②m //n ，n //a Þm //a③m //n ，n b ^，m //a Þa b ^ ④m n A =，m //a ，m //b ，n //a ，n //b Þa //b 其中正确的命题个数有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5.若下边的程序框图输出的S 是126，则条件①可为 ( )A ．n ≤5B ．n ≤6C ．n ≤7D ．n ≤86.一个几何体的三视图如右图所示,且其左视图是一个等边．．三角形,则这个几何体的体积为 ( )A ． (4π+C 7. 给出如下四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题；②命题:"0":"0"11x x p p x x ≥⌝<--则 ③对分类变量X 与Y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握越大； ④“0x >”是“12x x+≥”的充分必要条件. 其中正确的命题个数是 ( )A.1B.2C.3D.48.已知函数()sin())(0,||)2f x x x πωϕωϕωϕ=++><，其图象相邻的两条对称轴方程为0x =与2x π=，则 ( )A ．)(x f 的最小正周期为π2，且在),0(π上为单调递增函数B ．)(x f 的最小正周期为π2，且在),0(π上为单调递减函数C ．)(x f 的最小正周期为π，且在(0,)2π上为单调递增函数D ．)(x f 的最小正周期为π，且在(0,)2π上为单调递减函数9.设变量,x y 满足约束条件：3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩,则目标函数1y z x +=取值范围是( )A ．1[,2]2B ．[1,3]C ．3[,3]2D ． 3[1,]212. 已知直线)2(-=x k y (k ＞0)与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若||2||FA FB =，则k 的值为（ ）A ．13BC． D ．23第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。
甘肃省白银市2025届高考冲刺模拟数学试题含解析
甘肃省白银市2025届高考冲刺模拟数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（） A ．B ．C ．D ．2．已知角α的终边经过点P(0sin 47,cos 47)，则sin(013α-)= A ．12B ．32C ．12-D ．32-3．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（ ）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A ．互联网行业从业人员中90后占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C ．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D ．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多4．已知全集为R ，集合122(1),{|20}A x y x B x x x -⎧⎫⎪⎪==-=-<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则()A B =R （ ）A ．(0,2)B ．(1,2]C ．[0,1]D ．(0,1]5．在ABC 中，3AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，点D ，E 分别在线段AB ，CD 上，且2BD AD =，2CE ED =，则BE AB ⋅=（ ）．A ．3-B ．6-C ．4D ．96．若21i iz =-+，则z 的虚部是A ．3B ．3-C ．3iD ．3i -7．如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为30，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A ．20B ．27C ．54D ．648．己知函数sin ,2,2(),2223sin ,2,2(),222x x k k k z y x x k k k z ππππππππππ⎧⎛⎫⎡⎫+∈-+∈ ⎪⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭=⎨⎛⎫⎡⎫⎪-+∈++∈ ⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭⎩的图象与直线(2)(0)y m x m =+>恰有四个公共点()()()()11123344,,,,.,,,A x y B x y C x y D x y ，其中1234x x x x <<<，则()442tan x x +=（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．222+ 9．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()1,2P ，则cos2θ=（ ） A ．35B ．45-C ．35D ．4510．如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近()lg 20.3≈（ ）A ．30010B ．40010C ．50010D ．6001011．已知三棱锥P ABC -中，O 为AB 的中点，PO ⊥平面ABC ，90APB ∠=︒，2PA PB ==，则有下列四个结论：①若O 为ABC 的外心，则2PC =；②ABC 若为等边三角形，则⊥AP BC ；③当90ACB ∠=︒时，PC 与平面PAB 所成的角的范围为0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦；④当4PC =时，M 为平面PBC 内一动点，若OM ∥平面PAC ，则M 在PBC 内轨迹的长度为1．其中正确的个数是（ ）． A ．1B ．1C ．3D ．412．点P 为棱长是2的正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 球面上的动点，点M 为11B C 的中点，若满足DP BM ⊥，则动点P 的轨迹的长度为（ ） A ．55πB ．255πC ．455πD ．855π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【高考冲刺】普通高等学校招生全国统一考试高考模拟卷(三)-理科数学(附答案及答题卡)
上有
且仅有"个零点$则符合条件的正整数 的值为!!!!!! 三解答题共7$分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤
一必考题共6$分
!7!本小题满分!#分
如图所示$在平面四边形 "$)+ 中$+"*"$$)+)"5)
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第卷
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2023-2024学年四川省成都市高三高考冲刺卷(一)数学(理)模拟试题(含解析)
2023-2024学年四川省成都市高三高考冲刺卷（一）数学（理）模拟试题一、单选题1．已知集合2{|60},{|4}A x x x B y y x =+-≥=≤≤，则集合()A B =R ð（）A ．(,0)[2,)-∞⋃+∞B ．(,0)(2,)-∞+∞C ．(,3][2,)-∞-+∞UD ．(,3](2,)-∞-+∞ 【正确答案】A【分析】根据题意，将集合,A B 分别化简，然后结合集合的运算，即可得到结果.【详解】因为{2{|60}2A x x x x x =+-≥=≥或}3x ≤-，且{}{|4}02B y y x y x ==≤≤=≤≤，则()(),02,B =-∞+∞R ð，所以(,0)[2(),)A B -∞⋃+=∞R ð.故选：A2．走路是最简单优良的锻炼方式，它可以增强心肺功能，血管弹性，肌肉力量等，甲、乙两人利用手机记录了去年下半年每个月的走路里程（单位：公里），现将两人的数据绘制成如图所示的折线图，则下列结论中正确的是（）A ．甲走路里程的极差等于10B ．乙走路里程的中位数是26C ．甲下半年每月走路里程的平均数小于乙下半年每月走路里程的平均数D ．甲下半年每月走路里程的标准差小于乙下半年每月走路里程的标准差【正确答案】C【分析】根据折线图，得到甲、乙下半年的走路历程数据，根据极差、中位数、平均数以及标准差与数据稳定性之间的关系求解.【详解】对于A 选项，712-月甲走路的里程为：31、25、21、24、20、30，甲走路里程的极差为312011-=公里，A 错；对于B 选项，712-月乙走路的里程为：29、28、26、28、25、26，由小到大排列分别为：25、26、26、28、28、29，所以，乙走路里程的中位数是2628272+=，B 对；对于C 选项，甲下半年每月走路里程的平均数31252124203015166+++++=，乙下半年每月走路里程的平均数为2928262825261622766+++++==，所以，甲下半年每月走路里程的平均数小于乙下半年每月走路里程的平均数，C 对；对于D 选项，由图可知，甲下半年走路里程数据波动性大于乙下半年走路里程数据，所以甲下半年每月走路里程的标准差大于乙下半年每月走路里程的标准差，D 错.故选：C.3．已知平面向量||2a = ，||1b = ，,a b 的夹角为60 ，)a tb t +=∈R ，则实数t （）A ．1-B ．1C ．12D ．1±【正确答案】A【分析】对a tb +=两边平方，再由数量积公式计算可得答案.【详解】因为a tb += ，所以22223a a b t t b +⋅⋅+= ，即2422cos603t t +⨯⨯+= ，解得1t =-.故选：A.4．若直线y ax =是曲线2ln 1y x =+的一条切线，则实数=a A ．12e -B ．122e -C ．12e D ．122e 【正确答案】B【分析】设出切点坐标，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程，进行比较建立方程关系进行求解即可．【详解】数的定义域为（0，+∞），设切点为（m ，2lnm+1），则函数的导数2f x x'=（），则切线斜率2k m =，则对应的切线方程为22122y lnm x m x m m-+=-=-（）（），即221y x lnm m=+-，2y ax a m=∴= ，且210lnm -=，即12lnm =，则12m e =，则121222a ee-=，故选B ．本题主要考查函数的导数的几何意义的应用，求函数的导数，建立方程关系是解决本题的关键．5．函数1e ()sin 1e xxf x x -=⋅+的部分图象大致形状是（）A ．B ．C．D．【正确答案】C【分析】先判断函数的奇偶性，结合对称性以01x <<时的函数值的正负判断可得答案.【详解】由1e ()sin 1e xxf x x -=⋅+，x ∈R ，定义域关于原点对称，得()()()()1e e 11e sin sin sin 1e e 11ex x xx x x f x x x x f x ------=⋅-=⋅-=⋅=+++，则函数()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，排除BD ；当01x <<时，1e 0x-<，1e 0x+>，sin 0x >，所以()1e sin 01e xxf x x -=⋅<+，排除A.故选：C.6．已知正方体1111ABCD A B C D -(如图1)，点P 在棱1DD 上(包括端点).则三棱锥1B ABP -的侧视图不可能．．．是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】D【分析】根据题意结合三视图逐项分析判断.【详解】对于选项A ：当点P 于点D 重合，则1B ABP -的侧视图如选项A 所示，故A 正确；对于选项B ：当点P 于点1D 重合，则1B ABP -的侧视图如选项B 所示，故B 正确；对于选项C ：当点P 为线段1DD 的中点，则1B ABP -的侧视图如选项C 所示，故C 正确；对于选项D ：因为点P 在棱1DD 上运动，则侧视图中右边的一条边与底边垂直，且右边的一条边的边长与正方体的棱长相等，所以1B ABP -的侧视图如不可能如选项D 所示，故D 错误；故选：D.7．已知抛物线24y x =的焦点和椭圆的一个焦点重合，且抛物线的准线截椭圆的弦长为3，则椭圆的标准方程为（）A ．22132x y +=B ．22143x y +=C ．22154x y +=D ．22165x y +=【正确答案】B【分析】根据椭圆的焦点以及31,2⎛⎫-± ⎪⎝⎭在椭圆上，即可求解,,a b c 的值.【详解】抛物线24y x =的焦点为()1,0，准线为=1x -，设椭圆的方程为()222210x y a b a b +=>>，椭圆中，1c =，当=1x -时，32y =，故229141,a b+=又222a b c =+，所以2,a b ==，故椭圆方程为22143x y +=，故选：B8．已知()()sin f x x ωϕ=+（0,ωϕ>为常数），若()f x 在ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且π5ππ263f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则ϕ的值可以是（）A ．5π6-B ．π6-C ．π3D ．2π3【正确答案】A【分析】根据()f x 在ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭上单调，可得03ω<≤，再由π5ππ263f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭求得()f x 的一条对称轴和一个对称中心，进而求得2ω=，再求ϕ的值.【详解】对于函数()()sin f x x ωϕ=+，0ω>，因为()f x 在ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭上单调，所以πππ262T ω-≤=，即03ω<≤.又π5ππ263f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以π5π2π2623x +==为()f x 的一条对称轴，且ππ23,02⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭即5π,012⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 的一个对称中心，因为2π5πππ312432T-=<≤，所以2π3x =和5π,012⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 同一周期内相邻的对称轴和对称中心，则2π5π4312T =-，即πT =，所以(]2π20,3Tω==∈，所以()()sin 2f x x ϕ=+，又5π,012⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 的一个对称中心，则5π2π12k ϕ⨯+=，Z k ∈，则5ππ6k ϕ=-+，Z k ∈，当0k =时，5π6ϕ=-.故选：A.9．如图，在矩形ABCD 中，E F 、分别为边AD BC 、上的点，且3AD AE =，3BC BF =，设P Q 、分别为线段AF CE 、的中点，将四边形ABFE 沿着直线EF 进行翻折，使得点A 不在平面CDEF 上，在这一过程中，下列关系不能．．成立的是（）A ．直线//AB 直线CD B ．直线AB ⊥直线PQC ．直线//PQ 直线ED D ．直线//PQ 平面ADE【正确答案】C【分析】画出翻折之后的立体图形，根据点线面之间的位置关系以及平行与垂直的相关定理，可以证明或证伪相关命题.【详解】翻折之后如图所示：①因为3AD AE =，3BC BF =，所以//AB EF 且//EF CD ，因此//AB CD ，故选项A 成立；②连接FD ，因为P Q 、分别为FA FD 、的中点，所以//PQ AD ，又因为AB AD ⊥，所以AB PQ ⊥，故选项B 成立；③因为//PQ AD ，⋂=ED AD D ，所以PQ 与ED 不平行，故选项C 不成立；④因为//PQ AD ，且PQ ⊄平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，所以//PQ 平面ADE ，故选项D 成立.故选：C10．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1所示）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心O 到水面的距离h 为1.5m ，筒车的半径r 为2.5m ，筒车每秒转动rad 12π，如图2所示，盛水桶M 在0P 处距水面的距离为3m ，则2s 后盛水桶M 到水面的距离近似为（）A ．3.2mB ．3.4mC ．3.6mD ．3.8m【正确答案】D设ts 后盛水桶M 到水面的距离h 关于t 的函数解析式为()()()sin 0,0h t A t b A ωϕω=++>>，根据题中信息求出函数()h t 的解析式，再令2t =即可得解.【详解】设ts 后盛水桶M 到水面的距离h 关于t 的函数解析式为()()()sin 0,0h t A t b A ωϕω=++>>，由题意可得()()max min 41.52.51h t A b h t A b ⎧=+=⎪⎨=-=-=-⎪⎩，解得 2.51.5A b =⎧⎨=⎩，由于筒车每秒转动rad 12π，所以，函数()h t 的最小正周期为()22412T s ππ==，所以，212T ππω==，则() 2.5sin 1.512t h t πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由于盛水桶M 在0P 处距水面的距离为3m ，则()0 2.5sin 1.53h ϕ=+=，可得3sin 5ϕ=，由于函数()h t 在0=t 附近单调递增，则ϕ为第一象限角，所以，4cos 5ϕ=，所以，()12 2.5sin 1.5 2.5cos 1.5622h πϕϕϕ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2.5 1.5 3.8m =≈.故选：D.思路点睛：建立三角函数模型解决实际问题的一般步骤：（1）审题：审清题目条件、要求、理解数学关系；（2）建模：分析题目变化趋势，选择合适的三角函数模型；（3）求解：对所建立的数学模型进行分析研究，从而得出结论.11．已知双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>l 与圆2220(0)x y mx m +-=>相切于M ，与双曲线C 的两条渐近线分别相交于A ，B ，且M 为AB中点，则双曲线C 的离心率为（）A ．2BCD【正确答案】B 【分析】.设出直线l 的方程，求出A ，B 的坐标，从而可得点M 的坐标，代入圆方程中即可求离心率【详解】依题意，设直线l的方程为(0)y n n =+>，圆2220(0)x y mx m +-=>的方程可化为222()x m y m -+=，即圆心坐标为(,0)m ，半径为m ，因为直线l 与圆相切于Mm =，由0n >可化简得m =，则直线l的方程为()3y x m =+，双曲线C 的两条渐近线分别为b y x a =，b y x a =-，由)y x m b y xa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得A，同理可得B ，因为M 为AB中点，由中点坐标公式可得222(3ma M b a -，M 在圆上，将M 的坐标代入圆方程可得222222())3ma m m b a -+=-，化简整理得222()0a b -=，从而可得a b =，则双曲线C 的离心率ce a==故选：B12．已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且满足(1)(3)4,(1)(3)6---=++-=f x g x g x f x ，(2)g x +为奇函数，则1071()n f n ==∑（）A ．5350-B ．5250-C ．5150-D ．5050-【正确答案】A【分析】由条件通过赋值，结合周期函数的定义证明()()h x f x x =+为周期为2的周期函数，再求()()0,1h h ，结合周期函数性质求1071()n h n =∑，由此可得结论.【详解】因为函数(2)g x +为奇函数，所以()()220g x g x ++-+=，在(1)(3)4f x g x ---=中将x 代换为1x +可得()(2)4f x g x --=①，在(1)(3)6g x f x ++-=中将x 代换为1x +可得(2)(2)6g x f x ++-=②，①②两式相减可得()()(2)(2)22g x f x f x g x ++--+-+=，所以()(2)2f x f x --=，即()(2)2f x x f x x -+-=+，设()()h x f x x =+，则()()2h x h x +=，所以函数()()h x f x x =+为周期为2的周期函数，由()()220g x g x ++-+=取0x =可得()20g =，由()(2)4f x g x --=取0x =可得(0)(2)4f g -=，所以(0)4f =，在()(2)2f x f x --=中取1x =可得()(1)12f f --=，在()(2)4f x g x --=中取1x =可得(1)(1)4f g -=④，在()(2)4f x g x --=中取=1x -可得(1)(3)4f g --=⑤，在()()220g x g x ++-+=中取1x =可得()()310g g +=⑥，将④⑤⑥相加可得()(1)18f f -+=，又()(1)12f f --=，所以()13f =，又(0)4f =，()()h x f x x =+，所以()()0004h f =+=，()()1114h f =+=，又函数()()h x f x x =+为周期为2的周期函数，所以()()()()1071()1231074107428n h n h h h h ==+++⋅⋅⋅+=⨯=∑，所以()()()()()1071()112210710742812107n h n n h h h =-=-+-+⋅⋅⋅+-=-++⋅⋅⋅+∑，所以()()()10711107107428428577853502n h n n =+⨯-=-=-=-∑，所以1071()5350n f n ==-∑.故选：A.知识点点睛：本题考查奇函数的性质，周期函数的定义，周期函数的性质，组合求和法，等差数列求和，考查赋值法，属于综合题，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力.二、填空题13．若复数z 满足(2i)12i z +=-，则z 的共轭复数z 的虚部为________.【正确答案】1【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可由共轭复数的概念以及虚部概念求解.【详解】由(2i)12i z +=-得()()()()12i 2i 12i 2i 4i 2i 2i 2i 2i 5z ------====-++-，故i z =，且虚部为1，故114．在[]4,4-之间任取一个实数m ，使得直线0x y m ++=与圆222x y +=有公共点的概率为________.【正确答案】12/0.5【分析】利用直线与圆的位置关系求出m 的取值范围，再利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】圆222x y +=因为直线0x y m ++=与圆222x y +=≤，解得22m -≤≤，因此，所求事件的概率为()()221442P --==--.故答案为.1215．已知正三棱柱111ABC A B C -所有顶点都在球O 上，若球O 的体积为32π3，则该正三棱柱体积的最大值为________.【正确答案】8【分析】由条件结合球的体积公式求球的半径，设正三棱柱的底面边长为x ，求出三棱柱的高，结合棱柱的体积求三棱柱的体积，再利用导数求其最大值.【详解】设正三棱柱111ABC A B C -的上，下底面的中心分别为12,O O ，连接12O O ，根据对称性可得，线段12O O 的中点O 即为正三棱柱111ABC A B C -的外接球的球心，线段OA 为该外接球的半径，设OA R =，由已知3432ππ33R =，所以2R =，即2OA =，设正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为x ，设线段BC 的中点为D ，则2AD x =，1223323AO AD ==⨯=，在1Rt AO O △中，1OO ==所以12O O =，0x <<，又ABC 的面积1122S BC AD x =⋅=⨯=所以正三棱柱111ABC A B C -的体积242x V x =⨯设t ，则22123x t =-，02t <<，所以)2123V t t =-，02t <<，所以)2129V t '=-，令0V '=，可得3t =或3t =-，舍去，所以当0t <<0V '>，函数)2123V t t =-在0,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，当2323t <<时，0V '<，函数()231232V t t =-在23,23⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，所以当233t =时，()231232V t t =-取最大值，最大值为8，所以当22x =时，三棱柱111ABC A B C -的体积最大，最大体积为8.故答案为.816．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos cos a C c A b c -=-，且1a c +=，则当边c 取得最大值时，ABC 的周长为________.【正确答案】33/33【分析】由正弦定理结合两角和的正弦公式可求得cos A 的值，结合角A 的取值范围可得出角A 的值，利用正弦定理可求得c 的最大值及其对应的C 的值，进而可求得b 的值，由此可得出ABC 的周长.【详解】因为cos cos a C c A b c -=-，由正弦定理可得sin cos cos sin sin sin A C A C B C -=-，即()sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin A C A C A C C A C A C C -=+-=+-，整理可得2cos sin sin A C C =，因为A 、()0,πC ∈，所以，sin 0C >，则1cos 2A =，故π3A =，由正弦定理可得)231sin sin 332c a c c C A =-，整理可得2332332sin 31sin 23sin Cc C C C=+++因为2π03C <<，当π2C =时，c 取最大值，且c 4323=-+，此时，(1143a c =-=--=，π6B =，所以，22c b ==因此，当边c 取得最大值时，ABC的周长为()((32423a b c ++=+-+-=-.故答案为.3三、解答题17．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*231n n S a n N =-∈．()1求{}n a 的通项公式；()2若()()1311nn n n b a a +=++，求{}n b 的前n 项和n T ．【正确答案】(1)13n n a -=．(2)311 2231n n T ⎛⎫=- +⎝⎭．【分析】()1利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式．()2利用()1的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．【详解】() 1等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*231.n n S a n N =-∈①当1n =时，解得11a =．当2n ≥时11231n n S a --=-②-①②得1323n n n a a a --=，所以13(nn a a -=常数)，故11133n n n a --=⋅=．()2由于13n n a -=，所以()()1133111123131n n n n n n b a a -+⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，所以011311113112313131312231n n n n T -⎛⎫⎛⎫=-+⋯+-=- ⎪ ⎪+-+++⎝⎭⎝⎭．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．18．“五一黄金周”期间，某商场为吸引顾客，增加顾客流量，推出购物促销优惠活动，具体优惠方案有两种：方案一：消费金额不满300元，不予优惠；消费金额满300元减60元；方案二：消费金额满300元，可参加一次抽奖活动，活动规则为：从装有3个红球和3个白球共6个球的盒子中任取3个球（这些小球除颜色不同其余均相同），抽奖者根据抽到的红球个数不同将享受不同的优惠折扣，具体优惠如下：抽到的红球个数0123优惠折扣无折扣九折八折七折(1)现有甲乙两位顾客各获得一次抽奖活动，求这两位顾客恰好有一人获得八折优惠折扣的概率；(2)若李女士在该商场消费金额为x 元（300x >），请以李女士实付金额的期望为决策依据，对李女士选择何种优惠方案提出建议.【正确答案】(1)99200(2)答案见解析【分析】（1）先求事件抽奖的顾客获得八折优惠的概率，再根据独立重复试验的概率公式求两位顾客恰好有一人获得八折优惠折扣的概率；（2）在300x >条件下，分别求两种方案下李女士实付金额的期望，由此提出建议.【详解】（1）设事件A ：抽奖的顾客获得八折优惠，则213336C C 9()C 20P A ⋅==；由于甲乙两位顾客获得八折优惠的概率均为920，设甲乙两位顾客恰好一人获得八折优惠的概率P ，则129999C (12020200P =⨯-=；所以甲乙两位顾客恰好一人获得八折优惠的概率为99200.（2）方案一：设实付金额1ξ，则160x ξ=-,（300x >）.方案二：设实付金额2ξ，则2ξ的可能取值有：x ，0.9x ，0.8x ，0.7x ；（300x >）.03236C 1()C 20P x ξ===；1233236C C 9(0.9)C 20P x ξ===；29(0.8)20P x ξ==；33236C 1(0.7)C 20P x ξ===；所以()219998178520201020102010100E x x x x x ξ=+⨯+⨯+⨯=.①若8560100x x -<，解得300400x <<，选择方案一；②若8560100x x -=，解得400x =，选择方案一或方案二均可；③若8560100x x ->，解得400x >，选择方案二.，所以当消费金额大于300且小于400时，选择方案一；当消费金额等于400时，选择方案一或方案二均可；当消费金额大于400时，选择方案二.19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点E ，F 分别是BC ，11AC 中点，平面11ABB A 平面AEF l =．(1)证明：l EF ∥；(2)若AB AC ==，平面11ACC A ⊥平面11ABB A ，且1AB EF ⊥，求直线l 与平面11A B E 所成角的余弦值．【正确答案】(1)证明过程见详解【分析】（1）取AB 中点G ，连接EG ，1A G ，先证明四边形1EGA F 为平行四边形，再证明EF ∥平面11ABB A ，再根据直线与平面平行的性质即可证明l EF ∥；（2）根据题意先证明11AC ，11A B ，1AA 两两垂直，从而建立空间直角坐标系，再根据1AB EF ⊥求得1AA 的值，再利用线面角的向量求法即可求解．【详解】（1）取AB 中点G ，连接EG ，1A G ，∵E ，G 分别是BC ，AB 中点，∴EG AC ∥且12EG AC =，又∵1A F AC ∥且112A F AC =，∴1A F EG ∥且1=A F EG ，∴四边形1EGA F 为平行四边形，∴1EF A G ∥，又EF ⊄平面11ABB A ，1AG ⊂平面11ABB A ，∴EF ∥平面11ABB A ，∵EF ⊂平面AEF ，平面AEF ⋂平面11ABB A l =，∴EF l ∥．（2）由三棱柱为直棱柱，∴1AA ⊥平面111A B C ，∴111AA AC ⊥，111AA A B ⊥，∵平面11ACC A ⊥平面11ABB A ，平面11ACC A 平面111ABB A AA =，11AC ⊂平面11ACC A ，∴11A C ⊥平面11ABB A ，∴1111A C A B ⊥，故以1A 为坐标原点，以11A C ，11A B ，1AA 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设1AA a =，则1B ，F ，)E a ，(0,0,)A a ，所以1)AB a =- ，(0,)EF a =-，又1AB EF ⊥，则10AB EF ⋅=，解得2a =，所以2)E ，(0,0,2)A，则11A B =，12)A E =，设平面11A B E 法向量为(,,)n x y z =，所以11100n A B n A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020z ⎧=⎪+=，取x =，得1)n =- ，由（1）知直线EF l ∥，则l方向向量为(0,2)EF =-，设直线l 与平面11BCC B 所成角为α，则sin cos ,3n EF n EF n EF α⋅===⋅，则cos α=所以直线l 与平面11BCC B所成角的余弦值为3．20．已知抛物线C ：22y x =，过(1,0)P 的直线与C 相交于A ，B 两点，其中O 为坐标原点.(1)证明：直线OA ，OB 的斜率之积为定值；(2)若线段AB 的垂直平分线交y 轴于M ，且12tan 5AMB ∠=，求直线AB 的方程.【正确答案】(1)证明见解析(2)10x -=或10x -=【分析】（1）直线与抛物线方程联立，利用韦达定理表示斜率乘积；（2）结合二倍角公式，求||4||3AB MN =，以及弦长公式求AB ，并利用韦达定理表示MN ，利用比值，即可求直线方程.【详解】（1）设1222(,),(,)A x y B x y ，设直线AB ：x =my +1.联立221y x x my ⎧=⎨=+⎩化简可得：2220.y my --=由韦达定理可得：12122,2y y m y y +==-；所以1212221212124222OA OB y y y y k k y y x x y y ⋅====-⋅，所以直线OA ，OB 的斜率之积为定值2-.（2）设线段AB 的中点N ，设AMN θ∠=.则22tan 12tan tan 21tan 5AMB θθθ∠===-，解得2tan 3θ=，所以||2||3AN MN =，即||4||3AB MN =；所以12|||AB y y =-=又线段AB 的中点N ，可得122N y y y m +==，所以211N N x my m =+=+.因为MN AB ⊥，所以MN k m =-，所以2|||1)N M MN x x m =-=+.所以||4||3AB MN =，解得m =所以直线AB 的方程为：10x -=或10x +-=.21．已知()ln 1(R)f x x kx k =-+∈，()(e 2)x g x x =-.(1)求()f x 的极值；(2)若()()g x f x ≥，求实数k 的取值范围.【正确答案】(1)答案见解析(2)1k ≥【分析】（1）根据题意，求导得()f x '，然后分0k ≤与0k >讨论，即可得到结果.（2）根据题意，将问题转化为1n 2e l xx k x+≥-+在0x >恒成立，然后构造函数1ln ()e 2xx h x x+=-+，求得其最大值，即可得到结果.【详解】（1）已知1()ln 1,(),0f x x kx f x k x x'=-+=->（），当0k ≤时，()0f x '≥恒成立，()f x 无极值，当0k >时，1()kx f x x -'=，()f x 在10k ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，在1,k ⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭单调递减，当1x k =时，()f x 有极大值，1(ln f k k=-，无极小值，综上：当0k ≤时，()f x 无极值；当0k >时，极大值为1()ln f k k=-，无极小值；（2）若()()g x f x ≥，则(e 2)ln 10x x x kx --+-≥在0x >时恒成立，l 2e 1n x x k x +∴≥-+恒成立，令()()221ln ln e e 2,xx x x x h x h x x x '+--=-+=，令2ln e x x x x φ=--（），则21(2)e 0(0)x x x x x xφ'=--+<>（），()x φ在()0+∞，单调递减，又12e 11e 0,(1)e 0e φφ-⎛⎫=->=-< ⎪⎝⎭，由零点存在定理知，存在唯一零点01,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00x φ=，即0001ln 20000000111ln e lne ,ln e e x x x x x x x x x x x -===，，令e (0),()(1)e 0,()x x x x x x x x ωωω'=>=+>（）在()0+∞，上单调递增，000011ln(),ln x x x x ωω⎛⎫=∴= ⎪⎝⎭，即00ln x x -=∴当0(0,)x x ∈时，()h x 单调递增，0(,)x x ∈+∞单调递减，()()0000max 0001ln 11e 221x x x h x h x x x x +-==+=-+=，0()1k h x ∴≥=，即k 的取值范围为1k ≥.关键点睛：本题主要考查了用导数研究函数极值问题，难度较难，解答本题的关键在于分离参数，然后构造函数，将问题转化为最值问题.22．在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C的参数方程为：1cos x y φφ⎧=⎪⎨⎪=⎩（φ为参数），曲线2C 的参数方程为：sin 2sin cos x ty t t =⎧⎨=+⎩（t 为参数）.(1)将曲线12,C C 化为普通方程；(2)若曲线2C 与y 轴相交于,A B ，与x 轴相交于C ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线π:(0)6l θρ=≥与曲线2C 相交于P ，求四边形ACBP 的面积.【正确答案】(1)2212y x -=；21y x =+，[1,1]x ∈-(2)1【分析】（1）根据关系2221sin 1cos cos φφφ-=消去曲线1C 的参数可得其普通方程，根据平方关系消去参数t 可得曲线2C 的普通方程，（2）先求点,,,A B C P 的坐标，再求四边形ACBP 面积即可.【详解】（1）曲线1C的参数方程为：1cos x y φφ⎧=⎪⎨⎪=⎩（φ为参数）可得222221cos sin 2cos x y φφφ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（φ为参数）消去参数φ可得：2212y x -=，所以曲线1C 的普通方程为.2212y x -=曲线2C 的参数方程为sin 2sin cos x t y t t =⎧⎨=+⎩（t 为参数）可得22sin cos 12sin cos x t ty t t=⎧⎨=+⎩（t 为参数）消去参数t 可得21y x -=，又因为sin 2[1,1]t ∈-，所以[1,1]x ∈-.所以曲线2C 的普通方程为：21y x =+，[1,1]x ∈-.（2）易得曲线2C 与y 轴交于(0,1)±，与x 轴交于(1,0)-.将射线π:(0)6l θρ=≥化为直角坐标方程.(0)3y x =≥联立()22012y x y x ⎧=≥⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以四边形ACBP 的面积()112ACB ACPC P S S SAB x x =+=+=+所以四边形ACBP的面积为123．设,,x y z 均为正数，且1x y z ++=，证明：（Ⅰ）13xy yz zx ++≤（Ⅱ）22212x y z y z x z x y ++≥+++【正确答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析．【分析】（1）先由基本不等式可得222x y z xy yz xz ++≥++，再结合()2x y z ++的展开式即可证明原式成立；（2）利用柯西不等式[]2222()()()()1x y z x y y z x z x y z y z x z x y ⎛⎫+++++++≥++= ⎪+++⎝⎭证明.【详解】证明：（Ⅰ）：因为()()()2222222222xy y z x z x y z xy yz xz+++++++=≥++所以22221()2223()x y z x y z xy yz xz xy yz zx =++=+++++≥++故13xy yz zx ++≤，当且仅当x y z ==时“=”成立.（Ⅱ）,,x y z 均为正数，由柯西不等式得：2222[()()()]()1x y z x y y z x z x y z y z x z x y ⎛⎫+++++++≥++= ⎪+++⎝⎭即22221x y z y z x z x y ⎛⎫++≥ ⎪+++⎝⎭，故22212x y z y z x z x y ++≥+++，当且仅当x y z ==时“=”成立.本题考查利用基本不等式、柯西不等式等证明不等式，难度一般.证明时，利用整体思想，注意“1”的巧妙代换.。
2023年广东省深圳市高考数学一冲刺试卷(一)(4月份)+答案解析(附后)
2023年广东省深圳市高考数学一冲刺试卷（一）（4月份）1. 已知集合，则( )A.B.C.D.2. 已知复数z 满足，则z 在复平面内所对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 圆锥侧面展开图扇形的圆心角为，底面圆的半径为8，则圆锥的侧面积为( )A. B.C.D.4. 已知，则的值为( )A.B. C. D.5. 某班学生的一次的数学考试成绩满分：100分服从正态分布：，且，，( )A. B. C. D.6. 已知双曲线C ：的左、右焦点分别为，，过的直线与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，，，，则实数( )A.B. C. 2 D. 47. 如图所示，是边长为8的等边三角形，P 为AC 边上的一个动点，EF 是以B 为圆心，3为半径的圆的直径，则的取值范围是( )A.B.C.D.8. 定义在R 上的函数满足，①对于互不相等的任意，都有，且当时，，②对任意恒成立，③的图象关于直线对称，则、、的大小关系为( )A. B.C. D.9. 已知a，b都是正实数，则下列不等式中恒成立的是( )A. B.C. D.10. 某研究机构为了探究吸烟与肺气肿是否有关，调查了200人.统计过程中发现随机从这200人中抽取一人，此人为肺气肿患者的概率为在制定列联表时，由于某些因素缺失了部分数据，而获得如图所示的列联表，下列结论正确的是( )患肺气肿不患肺气肿合计吸烟15不吸烟120合计200参考公式与临界值表：A. 不吸烟患肺气肿的人数为5人B. 200人中患肺气肿的人数为10人C. 的观测值D. 按的可靠性要求，可以认为“吸烟与肺气肿有关系”11. 若函数，则下列结论正确的是( )A. 函数的最小正周期为B. 函数在区间上单调递增C. 函数图象关于对称D. 函数的图象关于点对称12. 已知函数且，且，，，则下列结论正确的是( )A. 为R上的增函数B. 无极值C. D.13. 若函数为奇函数，则______ .14. 展开式中的系数为______ .15. 已知椭圆C：的离心率为，F为椭圆C的一个焦点，P为椭圆C上一点，则的最大值为______ .16. 已知数列的前n项和为，满足：，且，为方程的两根，且若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为______ .17. 已知等比数列的前n项和为，其公比，，且求数列的通项公式；等比数列的前n项和为，其公比，，求证：18. 某食品公司在八月十五来临之际开发了一种月饼礼盒，礼盒中共有7个两种口味的月饼，其中4个五仁月饼和3个枣泥月饼.一次取出两个月饼，求两个月饼为同一种口味的概率；依次不放回地从礼盒中取2个月饼，求第1次、第2次取到的都是五仁月饼的概率；依次不放回地从礼盒中取2个月饼，求第2次取到枣泥月饼的概率.19. 已知a、b、c分别为三内角A、B、C所对的边，且求A；若，且，求c的值.20. 已知正三棱柱中，侧棱长为，底面边长为2，D为AB的中点.证明：；求二面角的大小；求直线CA与平面所成角的正弦值.21. 已知斜率存在的直线l过点且与抛物线C：交于A，B两点.若直线l的斜率为1，M为线段AB的中点，M的纵坐标为2，求抛物线C的方程；若点Q也在x轴上，且不同于点P，直线AQ，BQ的斜率满足，求点Q 的坐标.22. 已知函数当时，求曲线在点处的切线方程；若函数有两个极值点，求实数a的取值范围.答案和解析1.【答案】C【解析】解：，故选：由指数函数的性质求解集合B，结合交集的概念运算可得出结果．本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：由题意，，z在复平面内所对应的点为，位于第二象限．故选：化简复数z，可得z在复平面内所对应的点，以及该点所在的象限．本题考查复数的运算，考查复数的几何意义，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：设圆锥的半径为r，母线长为l，则，由题意知，，解得：，所以圆锥的侧面积为故选：运用扇形的弧长公式及圆锥的侧面积公式计算即可．本题主要考查圆锥的侧面积，圆锥的结构特征，考查运算求解能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：故选：由余弦的两角和与差公式，以及余弦的二倍角公式化简求值即可．本题考查余弦的二倍角公式，考查余弦的两角和与差公式，考查学生计算能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：根据题意，，且，则，又由，则故选：根据题意，由正态分布的性质可得，又由，计算可得答案．本题考查正态分布的性质，涉及互斥事件概率的计算，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：如图所示：设，，即，解得，，即，故，，，所以，，解得，即故选：设，根据双曲线性质得到，计算得到，再根据得到答案．本题主要考查了双曲线的性质，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：由图形得，，是EF的中点，，，即，，由题意得，，为AC边上的一个动点，当P为AC中点时，最小，此时，又当P为A或C时，最大，此时，则，，又，则故选：利用已知条件，把用基底表示，再利用向量数量积公式可得，再根据的范围，即可得出答案．本题考查平面向量的数量积，考查转化思想和运动思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：对于互不相等的任意，都有，且当时，，任取，则，，即，，在上单调递增，对任意恒成立，，是周期为4的周期函数，的图象关于直线对称，的图象关于y轴对称，即为偶函数，，，，在上单调递增，且，，即故选：利用函数单调性的定义，由条件①可得在上单调递增，利用函数的周期性，由条件②可得是周期为4的周期函数，利用函数图象的对称性，由条件③可得为偶函数，进而比较，，的大小关系即可．本题主要考查了抽象函数的应用，考查了函数的单调性、奇偶性和周期性，属于中档题．9.【答案】AC【解析】解：A选项，因为a，b都是正实数，故，当且仅当，即时，等号成立，A正确；B选项，因为a，b都是正实数，故，当且仅当，即时，等号成立，B错误；C选项，，故恒成立，C正确；D选项，a是正实数，故，其中，故，当且仅当，即时，等号成立，D错误．故选：AB选项，利用基本不等式求出最小值，得到A正确，B错误；C选项，作差法比较出大小关系；D选项，先变形后利用基本不等式进行求解．本题主要安康从基本不等式及其应用，属于基础题．10.【答案】AD【解析】解：A选项，200人中抽取一人，此人为肺气肿患者的概率为，故肺气肿患者共有人，由于吸烟患肺气肿的人数为15人，故不吸烟患肺气肿的人数为5人，A正确，B 错误；C选项，列联表如下：患肺气肿不患肺气肿合计吸烟156075不吸烟5120125合计20180200则的观测值，C错误；D 选项，由于，故按的可靠性要求，可以认为“吸烟与肺气肿有关系”，D正确．故选：根据题意求出肺气肿患者人数，结合表格中数据得到不吸烟患肺气肿的人数为5人，判断AB选项，补充列联表，计算出卡方，并判断出相应结论，得到C错误，D正确．本题主要考查独立性检验公式，属于基础题．11.【答案】BCD【解析】解：由，则最小正周期为，A错误；当，则，故在上递增，B正确；由，故是的一条对称轴，C正确；由，故是的一个对称点，D正确．故选：利用三角恒等变换、诱导公式化简得，根据正弦型函数的性质判断A、B，代入法验证函数的对称轴、对称中心判断C、本题主要考查正弦函数的性质，考查转化能力，属于基础题．12.【答案】ABC【解析】解：已知函数且，则，则，所以，故在R上单调递增，A选项正确；因为为R上的增函数，所以无极值，B选项正确；因为是增函数，所以，因为是减函数，所以，因为是减函数，所以，综上可知，，又为增函数，则，C选项正确，D选项错误；故选：先求导，分析函数的单调性和极值，再利用指数函数和对数函数的单调性比较a，b，c的大小，利用函数的单调性比较对应函数值的大小．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，考查运算求解能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：由函数为奇函数，可得，解得，当时，，此时函数为奇函数，符合题意；当时，，则，即，此时函数为奇函数，符合题意，综上可得，实数a的值为故答案为：根据奇函数的性质，得到，求得，结合奇偶性的定义，即可求解．本题主要考查了函数的奇偶性的应用，属于基础题．14.【答案】【解析】解：的展开式的通项为：，，取和，计算得到系数为：故答案为：变换，根据二项式定理计算得到答案．本题主要考查二项式定理，属于基础题．15.【答案】【解析】解：设椭圆的半长轴为a，半焦距为c，因为，所以，故椭圆焦点在y轴上，因为，离心率为，所以，解得，所以，，由椭圆性质知，，故答案为：根据椭圆方程及其离心率可求得值，再根据椭圆的性质可求的最大值．本题主要考查了椭圆的性质，属于中档题．16.【答案】【解析】解：由可知数列是等差数列，设其公差为d，解方程得或，又，，，，，，由得，，设，则，由对于任意恒成立，所以只考虑的符号，设，，令解得，即在上单调递增，令解得，即在上单调递减，，，，当，，当，时，，即，，当，，即，即从，开始单调递减，即，，即，的取值范围为故答案为：先利用等差数列通项公式求解，再利用数列的单调性求解数列的最大值，进而解决不等式恒成立问题即可．本题主要考查了等差数列的性质，考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题．17.【答案】解：因为是等比数列，公比为，则，，，，所以，解得，由，可得，解得，所以数列的通项公式为；证明：由知，，，则等比数列的前n项和为，因为，所以，所以【解析】利用等比数列的通项公式和前n项和公式即可求出数列的通项公式；利用等比数列的前n项和公式即可完成证明．本题主要考查了等比数列的通项公式和前n项和公式，属于中档题．18.【答案】解：一次取出2个月饼，共有种方法，其中两个都是五仁的有种方法，两个都是枣泥的有种方法，两个月饼为同一种口味的概率为；依次不放回地从礼盒中取2个月饼，共有种方法，其中求第1次、第2次取到的取到都是五仁月饼的有种方法，所以第1次、第2次取到的都是五仁月饼的概率是；依次不放回地从礼盒中取2个月饼，共有种方法，第1次取五仁、第2次取到枣泥月饼的方法有种，第1次取到枣泥、第2次也取到枣泥月饼的方法有种，所以第2次取到枣泥月饼的概率为【解析】根据组合知识，利用古典概型概率公式求解即可；根据两个计数原理以及排列知识，利用古典概型概率公式求解即可；根据两个计数原理以及排列知识，利用古典概型概率公式求解即可；本题主要考查古典概型及其概率计算公式，属于基础题．19.【答案】解：因为，由正弦定理得：，由，所以，所以，所以，又因为，所以，所以由以及余弦定理变形式得：即，由，解得或舍去，所以，【解析】利用正弦定理边化角以及和差的正弦公式化简即可求解；结合余弦定理与条件即可求解．本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．20.【答案】解：证明：三棱柱为正三棱柱，D为AB的中点平面底面ABC，，又底面ABC，平面底面，平面，又平面，；根据题意及建系如图，则根据题意可得：，，，，，，，设平面的法向量为，则，取，设平面的法向量为，则，取，设二面角的平面角为，且由图易知为锐角，，，二面角的大小为；由知，平面的法向量为，直线CA与平面所成角的正弦值为：【解析】根据面面垂直的性质即可证明；建系，根据向量法即可求解；建系，根据向量法即可求解．本题考查面面垂直的性质定理，向量法求解二面角问题，向量法求解线面角的问题，属中档题．21.【答案】解：因为直线l的斜率为1且过点，所以直线l的方程为：，设，，由，得：，所以，，所以，因为M为线段AB的中点，M的纵坐标为2，所以，所以抛物线的方程为：；设直线l的方程为：，，，得：，所以，由，由，所以，即，所以，所以点Q的坐标为【解析】由题知直线l的方程，联立抛物线，利用韦达定理以及中点公式即可求解；设出直线l的方程及Q的坐标，联立方程组，消元，韦达定理，利用直线斜率公式写出将韦达定理代入，化简求出参数即可得点Q的坐标．本题考查了直线与抛物线的综合应用，属于中档题．22.【答案】解：当时，，则，，切线斜率为，切线方程为：，即，定义域为，，又有两个极值点，有两个零点，即：有两个不同的根．即：有两个不同的根．令，则与在上有两个不同的交点．，则，，在上单调递增，在上单调递减，又，，当时，；当时，，的图象如图所示，，，即实数a的取值范围是【解析】运用导数几何意义求得切线的斜率，进而求得切线方程．将问题转化为有两个不同的根，运用分离参数研究函数与在上有两个不同的交点，运用导数研究函数的图象观察即可．本题主要考查利用导数研究函数的极值，利用导数求曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．。
2025届陕西省西安市第八中学高考冲刺模拟数学试题含解析
2025届陕西省西安市第八中学高考冲刺模拟数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（ ） A ．21B ．42C ．63D ．842．已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为V ，点M ，N 分别在棱1BB ，1CC 上，满足1AM MN ND ++最小，则四面体1AMND 的体积为( ) A ．112V B ．18VC ．16VD ．19V3．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则3a b -＝（ ） A ．11B ．37C ．210D ．434．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()e xf x x =+，则32(2)a f =-,2(log 9)b f =，(5)c f =的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>5．设命题:p 函数()x xf x e e -=+在R 上递增，命题:q 在ABC ∆中，cos cos A B A B >⇔<，下列为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝6．由曲线y ＝x 2与曲线y 2＝x 所围成的平面图形的面积为( ) A ．1B ．13C ．23D ．437．等腰直角三角形ABE 的斜边AB 为正四面体ABCD 侧棱，直角边AE 绕斜边AB 旋转，则在旋转的过程中，有下列说法：（1）四面体E -BCD 的体积有最大值和最小值； （2）存在某个位置，使得AE BD ⊥；（3）设二面角D AB E --的平面角为θ，则DAE θ≥∠；（4）AE 的中点M 与AB 的中点N 连线交平面BCD 于点P ，则点P 的轨迹为椭圆. 其中，正确说法的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．已知()21AB =-，，()1,AC λ=，若10cos 10BAC ∠=，则实数λ的值是（ ） A ．-1B ．7C ．1D ．1或79．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．23B ．13C ．43D ．5610．如图，在中，点M 是边的中点，将沿着AM 翻折成，且点不在平面内，点是线段上一点.若二面角与二面角的平面角相等，则直线经过的（ ）A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心11．若直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为25m =（ ） A ．1B ．2C 5D ．312．己知函数sin ,2,2(),2223sin ,2,2(),222x x k k k z y x x k k k z ππππππππππ⎧⎛⎫⎡⎫+∈-+∈ ⎪⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭=⎨⎛⎫⎡⎫⎪-+∈++∈ ⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭⎩的图象与直线(2)(0)y m x m =+>恰有四个公共点()()()()11123344,,,,.,,,A x y B x y C x y D x y ，其中1234x x x x <<<，则()442tan x x +=（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．222+ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
浙江省宁波市鄞州区2025届高考冲刺模拟数学试题含解析
浙江省宁波市鄞州区2025届高考冲刺模拟数学试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知3ln 3,log ,log a b e c e π===，则下列关系正确的是（ ） A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．b c a <<2．已知集合1|2A x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭，{|10}B x x =-<<则AB =（ ）A ．{|0}x x <B ．1|2x xC ．1|12x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭D ．{|1}x x >-3．已知0a b >>，椭圆1C 的方程22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b -=，1C 和2C 2C 的渐近线方程为（ ）A ．0x ±=B 0y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=4．已知正三角形ABC 的边长为2，D 为边BC 的中点，E 、F 分别为边AB 、AC 上的动点，并满足2AE CF =，则DE DF ⋅的取值范围是（ ） A ．11[,]216- B ．1(,]16-∞ C ．1[,0]2-D ．(,0]-∞5．数列{}n a 满足：21n n n a a a +++=，11a =，22a =，n S 为其前n 项和，则2019S =（ ） A ．0B ．1C ．3D ．46．地球上的风能取之不尽，用之不竭.风能是淸洁能源，也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，2014年累计装机容量就突破了100GW ，达到114.6GW ，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图. 根据所给信息，正确的统计结论是（ ）A ．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值B ．10年来全球新增装机容量连年攀升C ．10年来中国新增装机容量平均超过20GWD ．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过137．中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A 、B 、C 、D 、E 为顶点的多边形为正五边形，且512PT AP -=，则512AT ES --=（ ）A ．512QR B ．512RQ C ．512RD D ．512RC 8．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（ ） A ．35B ．710C ．45D ．9109．已知双曲线22122:1x y C a b -=与双曲线222:14y C x -=没有公共点，则双曲线1C 的离心率的取值范围是( )A ．(3⎤⎦B ．)3,⎡+∞⎣C ．(5D ．)5,⎡+∞⎣10．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．50,6⎛⎤ ⎥ ⎝⎦B ．5,15⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C ．250,5⎛⎤⎥ ⎝⎦D ．25,15⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭11．若[]0,1x ∈时，|2|0xe x a --≥，则a 的取值范围为（ ） A ．[]1,1-B ．[]2,2e e --C ．[]2e,1-D ．[]2ln 22,1-12．已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：根据该折线图可知，下列说法错误的是（ ） A ．该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高 B ．该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低C ．该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益D ．该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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高考冲刺数学试题 一、选择题：(本大题共6小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1.已知全集U=R，集合103xAxx，集合13(),3xBxyxR，则()UACB为（ ） A． 31xx B．31xx C．31xx D．31xx 2. 已知函数)0(cossin3)(xxxf的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为2的等差数列，把函数)(xf的图象沿x轴向左平移6个单位，得到函数)(xg的图象.关于函数)(xg，下列说法正确的是（ ） A. 在]2,4[上是增函数 B. 其图象关于直线4x对称
C. 函数)(xg是奇函数 D. 当]32,6[x时，函数)(xg的值域是]1,2[
3．给定区域:D44420xyxyxyx，令点集000000{(,)|,,(,)TxyDxyxyZ是zxy在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点最多能确定三角形的个数为（ ） A．15 B．25 C．28 D．32
4. 函数14)62sin(2xxxy的图象大致为（ ）
5．已知四棱锥P－ABCD的底面四边形ABCD的对边互不平行，现用一平面去截此四棱锥，且要使截面是平行四边形，则这样的平面（ ） A、有且只有一个 B、有四个 C、有无数个 D、不存在 6．定义在R上的函数320fxaxbxcxa()()的单调增区间为11(,)，若方程 2320afxbfxc(())()恰有4个不同的实根，则实数a的值为（ ）
A．12 B．12 C．1 D. －1 二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分) 7、已知O为的外心，若3450OAOBOC，则∠C＝＿＿＿＿
8、已知双曲线 22221(0,0)xyabab 上一点C，过双曲线中心的直线交双曲线于A、B两点，记直
线AC、BC的斜率分别为12,kk ，当12121lnlnkkkk最小时，双曲线离心率为 。 9、在锐角三角形ABC中，a,b,c分别为内角A，B，C的对边，若A＝2B，a=6,b=4,则c=＿＿＿ 10、已知22012(21)nnxaaxaxax，令x=0就可以求出常数，即01a，请研究其中蕴含的解题方法并完成下列问题：若2012xnneaaxaxax，则123123______nnaaaa。 请将选择题和填空题答案统一填写在答题卡上 一、选择题：(本大题共6小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1 2 3 4 5 6
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分) 7. ； 8. ；9. ；10. ； 三、解答题：
11、（本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和为Sn,且2111()22nSnnnN. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设1(211)(29)nnncaa,数列{cn}的前n项和为Tn,求使不等式Tn>2015k对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值; (3)设(21)()313(2)nnankkNfnankkN，，,是否存在m∈N*,使得f(m+15)=5f(m)成立?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由. 12 (本小题满分12分)直三棱柱111ABCABC 中，11AAABAC，E，F分别是1CC、BC 的中点，11AEAB，D为棱11AB上的点. （1）证明：DFAE;
（2）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为1414?若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由.
ED
FB
1
BA1
AC1
C 13．(本小题满分13分)如图，已知1212,,,AABB分别是椭圆C：22221(0)xyabab的四个顶点，112ABB的外接圆为圆M，
椭圆C过点631(1,),(,)322 （1）、求椭圆C及圆M的方程。 （2）、若点D是圆M劣弧12AB
上一动点（点D异于端点12,AB），直线1BD分别交线段12AB，椭圆C于点E，G，直线2BG与11AB交于点F。
()i求11GBEB的最大值。 ()iiE，F两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说
明理由。
14．(本小题满分13分)已知函数2()2lnfxxxax（aR）． （1）若函数()fx的图象在2x处切线的斜率为1，且不等式2fxxm在1[e]e,上有解，求 实数m的取值范围； （2）若函数()fx的图象与x轴有两个不同的交点12(0)(0)AxBx，，，，且120xx，求证：
12()02xxf
（其中()fx是()fx的导函数）． 参考答案
一、选择题：(本大题共6小题，每小题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1. D 2. D 3．B 4. D 5． C 6． B 二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分)
7、0135 8、 3 9、 5 10、 (1)!1n 三、解答题：
11、（(本小题满分12分)）（1）当1n时，116aS， 当2n时，221111111()[(1)(1)]52222nnnaSSnnnnn 而当1n时，56n， ∴5nan（nN）. （4分） （2）11111()(211)(29)(21)(21)22121nnncaannnn， ∴12111111[(1)()()]2335212121nnnTcccnnn. ∵11102321(21)(23)nnnnTTnnnn，∴nT单调递增，min11()3nTT. 令132015k，得26713k，所以m671axk. （8分） （3）5(21)()32(2)nnkkNfnnnkkN，， 当m为奇数时，15m为偶数，∴347525mm，11m. 当m为偶数时，15m为奇数，∴201510mm，57mN （舍去） 综上，存在唯一正整数11m，使得(15)5()fmfm成立. （12分） 12 (本小题满分12分) （1）证明：11AEAB ，11AB∥AB ABAE 又1ABAA 1AEAAA
AB面11AACC 又AC面11AACC ABAC ………2分
以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz 则0,0,0A, 10,1,2E, E
D
FB
1
BA1
AC1
C 11,,022F
, 1(0,0,1)A,1(1,0,1)B 设,,Dxyz ，111ADAB 且[0,1],即：
,,11,0,0xyz,0,1D 11,,122DF 10,1,2AE
11022DFAE DFAE
……6分
（2）假设存在,设面DEF的法向量为 ,,nxyz ， 则 00nFEnDF 111,,222FE 11,,122DF
111022211022xyzxyz 即： 3211221xzyz 令21z 3,12,21n . 由题可知面ABC的法向量0,0,1m ………9分 平面DEF与平面ABC 所成锐二面的余弦值为1414 14cos,14mnmnmn 即：2221141491241
12或74 （舍） 当点D为11AB中点时，满足要求. ………12分 14．(本小题满分13分) 解：（Ⅰ）由 2()2fxxax，得切线的斜率(2)31,2,kfaa，故2()2ln2fxxxx， 2分 由2fxxm得22lnmxx ∵不等式2fxxm在1[e]e,上有解，所以2max(2ln)mxx ……4分 令2()2lngxxx 则22(1)(1)()2xxgxxxx， ∵1[e]ex，，故()0gx时，1x．当11ex时，()0gx；当1ex时，()0gx． 故()gx在1x处取得最大值(1)1g， 所以1m ……6分 （Ⅱ）因为fx的图象与x轴交于两个不同的点12,0,,0AxBx 所以方程22ln0xxax的两个根为12,xx，则211122222ln02ln0xxaxxxax，两式相减得 121212
2lnlnxxaxxxx， ……8分
又222ln,2fxxxaxfxxax，则 1212
12
121212
2lnln442xxxxfxxaxxxxxx
下证1212122lnln40xxxxxx（*），即证明211112222ln0,xxxxtxxxx
120,01,xxt即证明21ln01tuttt在01t上恒成立 …10分
因为222221211114(1)(1)(1)tttuttttttt又01t，所以0ut 所以，ut在0,1上是增函数，则10utu，从而知2111222ln0xxxxxx 故1212122lnln40xxxxxx，即1202xxf成立 ………13分