二项、泊松和正态分布计算公式
二项分布、泊松分布和正态分布的区别及联系
二项分布、泊松分布和正态分布的区别及联系二项分布、泊松分布和正态分布的区别及联系二项分布、泊松分布和正态分布的区别及联系?被浏览8,9732 个回答猴子微信公众号：猴子聊人物之前你已经了解概率的基础知识（如果还不知道概率能干啥，在生活中有哪些应用的例子，可以看我之前的《投资赚钱与概率》）。
今天我们来聊聊几种特殊的概率分布。
这个知识目前来看，还没有人令我满意的答案，因为其他人多数是在举数学推导公式。
我这个人是最讨厌数学公式的，但是这并不妨碍我用统计概率思维做很多事情。
相比熟悉公式，我更想知道学的这个知识能用到什么地方。
可惜，还没有人讲清楚。
今天，就让我来当回雷锋吧。
首先，你想到的问题肯定是：1. 什么是概率分布？2. 概率分布能当饭吃吗？学了对我有啥用？好了，我们先看下：什么是概率分布？1. 什么是概率分布？要明白概率分布，你需要知道先两个东东：1）数据有哪些类型2）什么是分布数据类型（统计学里也叫随机变量）有两种。
第1种是离散数据。
离散数据根据名称很好理解，就是数据的取值是不连续的。
例如掷硬币就是一个典型的离散数据，因为抛硬币的就2种数值（也就是2种结果，要么是正面，要么是反面）。
你可以把离散数据想象成一块一块垫脚石，你可以从一个数值调到另一个数值，同时每个数值之间都有明确的间隔。
第2种是连续数据。
连续数据正好相反，它能取任意的数值。
例如时间就是一个典型的连续数据1.25分钟、1.251分钟，1.2512分钟，它能无限分割。
连续数据就像一条平滑的、连绵不断的道路，你可以沿着这条道路一直走下去。
什么是分布呢？数据在统计图中的形状，叫做它的分布。
其实我们生活中也会聊到各种分布。
比如下面不同季节男人的目光分布.。
各位老铁，来一波美女，看看你的目光停在哪个分布的地方。
美女也看了，现在该专注学习了吧。
现在，我们已经知道了两件事情：1）数据类型（也叫随机变量）有2种：离散数据类型（例如抛硬币的结果），连续数据类型（例如时间）2）分布：数据在统计图中的形状现在我们来看看什么是概率。
二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布
二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分
布
二项分布是离散概率分布的一种，适用于只有两种可能结果（成功和失败）的独立重复试验。
每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p。
试验的次数为n。
二项分布表示了在n次独立重复试验中，成功次数为k的概率分布。
泊松分布：
泊松分布是在一段固定时间或空间中，随机事件发生的次数的概率分布。
它适用于事件发生率较低，但时间或空间较大的情况。
泊松分布的参数λ表示单位时间或单位空间中事件的平均发生率。
泊松分布的概率质量函数是离散的，表示了事件发生次数为k的概率。
均匀分布：
均匀分布是连续概率分布的一种，也称为矩形分布。
在一个定义在[a, b]区间上的随机变量的情况下，均匀分布概率密度函数使得[a, b]区间上每个区间的长度相等，且概率密度函数在该区间上是常数。
均匀分布的概率密度函数是恒定的，且在[a, b]区间外为零。
指数分布：
指数分布是连续概率分布的一种。
它适用于描述独立随机事件的等待时间，当事件发生的概率是恒定的。
指数分布的概率密度函数呈指数形式下降，并且在x 轴上永不为零。
指数分布的参数λ表示单位时间内事件发生的平均次数。
正态分布：
正态分布是连续概率分布的一种，也称为高斯分布。
它是最常见的概率分布之一，常被用于描述自然界中许多现象的分布情况，如身高、体重等。
正态分布的概率密度函数呈钟形曲线，均值和标准差是正态分布的参数。
正态分布具有许多重要的性质，如对称性、中心极限定理等。
六个常用分布的数学期望和方差
即
12
若随机变量X~U( a , b ),则
ab
(b a)2
E(X)
, D( X )
2
12
五.指数分布
随机变量X服从参数为λ的指数分布，其概率密度为：
f
(
x)
1
θ
e
x θ
0
x0 x0
E(X )
xf ( x)dx
x
1
e
x θ
dx
x
（ x）de θ
0
θ
0
（
x）e
x
x
e dx
X X1 X2 Xn
E( X ) E( X1 ) E( X 2 ) E( X n ) np
D( X ) D( X1 ) D( X 2 ) D( X n ) np(1 p)
即： 若随机变量X~B( n , p ),则
E( X ) np，D( X ) np(1 p)
E[3( X 2 1)] 3E( X 2 ) 3
3{D( X ) [E( X )]2 } 3 33
例2.已知X和Y相互独立，且X在区间(1，5)上服从
均匀分布， Y ~ N (1,求9)(1, ) (X,Y)的联合概率密度;(2)
E(3X 4Y 2) , D(3X 4Y 2)
E( X ) xf ( x)dx
b
x
1
dx
a ba
1 x2 b
ba 2 a
ab 2
E( X 2 ) b x 2
1
b3 a3 dx
a 2 ab b2
a ba
3(b a)
3
D( X )
E( X 2 ) [E( X )]2
13个期望计算公式
13个期望计算公式期望是概率论中的一个重要概念，它描述了一个随机变量的平均值。
在现实生活中，我们经常需要计算某种随机变量的期望，以便更好地理解和预测各种现象。
本文将介绍13个常见的期望计算公式，帮助读者更好地理解和运用期望的概念。
1. 离散型随机变量的期望计算公式。
对于离散型随机变量X，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = Σx P(X=x)。
其中，x表示随机变量X可能取的值，P(X=x)表示X取值为x的概率。
2. 连续型随机变量的期望计算公式。
对于连续型随机变量X，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = ∫x f(x) dx。
其中，f(x)表示X的概率密度函数。
3. 二项分布的期望计算公式。
对于二项分布B(n,p)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = n p。
其中，n表示试验的次数，p表示每次试验成功的概率。
4. 泊松分布的期望计算公式。
对于泊松分布P(λ)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = λ。
其中，λ表示单位时间（或单位面积）内事件发生的平均次数。
5. 几何分布的期望计算公式。
对于几何分布G(p)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = 1/p。
其中，p表示每次试验成功的概率。
6. 均匀分布的期望计算公式。
对于均匀分布U(a,b)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = (a+b)/2。
其中，a和b分别表示随机变量X的取值范围的下限和上限。
7. 指数分布的期望计算公式。
对于指数分布Exp(λ)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = 1/λ。
其中，λ表示事件发生的速率。
8. 正态分布的期望计算公式。
对于正态分布N(μ,σ²)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = μ。
其中，μ表示分布的均值。
9. 超几何分布的期望计算公式。
对于超几何分布H(N,M,n)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = n (M/N)。
其中，N表示总体容量，M表示总体中具有成功属性的个体数量，n表示抽取的样本容量。
几种常见概率分布
• P(x=0)=0.510／(0!×1.6653)=0.6005
• P(x=1)=0.511／(1!×1.6653)=0.3063
• P(x=2)=0.512／(2!×1.6653)=0.0781
P(x=3)=0.513／(3!×1.6653)=0.0133
P(x=4)=0.514／(4!×1.6653)=0.0017
k=0Βιβλιοθήκη 项分布的性质Today: 2019/10/13
m
P(X ≤m) = Pn (k ≤m) =
C
k n
p
k
q
n
k
k=0
n
P(X ≥m) = Pn (k ≥m) = Ckn pkqn-k
k=m
P(m1 ≤X ≤m2 ) Pn (m1 ≤k ≤m2 )
m2
Cnk pk qn-k (m1 ≤m2 ) k m1
χ服从正态分布,记为χ～(µ,σ2).相应的概率分布函
数为
F(x) = 1
e x
－(x－μ) 2 2σ2
σ 2 π －∞
（二）特征 正态分布密度曲线是以χ =µ
为对称轴的单峰、对称的悬 钟形； f(x)在χ =µ处达到极大值,极 大值为 f（μ）= 1
σ 2π
f(x)是非负数，以x轴为渐进 线；
由计算可知 ， 注射 A 疫苗无效的概率为 0.0352，比B疫苗无效的概率0.1671小得多。因 此，可以认为A疫苗是有效的，但不能认为B 疫苗也是有效的。
Today: 2019/10/13
（二）应用条件（三个）
n个观察单位的观察结果互相独立; 各观察单位只具有互相对立的一种结果，如
阳性或阴性，生存或死亡等，属于二项分类 资料。 已知发生某一结果(如死亡) 的概率为p，其对 立结果的概率则为1-P=q，实际中要求p 是 从大量观察中获得的比较稳定的数值。
统计学常用分布
统计学常用分布一、引言在统计学中，分布是描述数据变化规律和概率的重要工具。
不同的数据类型和问题背景需要采用不同的分布来描述。
本篇文章将介绍统计学中常用的几种分布，包括正态分布、二项分布与泊松分布、指数分布与对数正态分布、卡方分布与t分布等。
二、正态分布正态分布是最常见的连续概率分布之一，它在自然现象、工程技术和社会科学等领域都有广泛的应用。
正态分布的曲线呈钟形，数据值集中在均值附近，随着远离均值，概率逐渐减小。
正态分布在统计学中具有重要地位，许多统计方法和模型都以正态分布为基础。
三、二项分布与泊松分布1.二项分布：二项分布是用来描述伯努利试验中的随机事件的概率分布，其中每次试验只有两种可能的结果，并且每次试验都是独立的。
二项分布适用于计数数据，尤其在生物实验和可靠性工程等领域有广泛应用。
2.泊松分布：泊松分布是二项分布在伯努利试验次数趋于无穷时的极限形式，常用于描述单位时间内随机事件的次数。
泊松分布在概率论和统计学中具有重要地位，广泛应用于保险、通信和生物医学等领域。
四、指数分布与对数正态分布1.指数分布：指数分布描述的是随机事件之间的独立间隔时间或者随机变量的概率分布。
指数分布常用于描述寿命测试和等待时间等问题，例如电话呼叫的间隔时间和电子元件的寿命等。
2.对数正态分布：对数正态分布在统计学中用于描述那些其自然对数呈正态分布的随机变量。
许多生物学、经济学和社会科学中的数据都服从对数正态分布，例如人的身高、体重以及股票价格等。
五、卡方分布与t分布1.卡方分布：卡方分布在统计学中主要用于描述离散型概率分布。
卡方分布是通过对两个独立的随机变量进行平方和运算得到的，常用于拟合检验和置信区间的计算。
2.t分布：t分布在统计学中广泛应用于样本数据的参数估计和假设检验。
相比于正态分布，t分布在数据量较小或参数偏离正态性时具有更好的稳定性。
t分布在金融、生物医学和可靠性工程等领域有广泛应用。
六、结论在统计学中，不同的数据类型和问题背景需要采用不同的分布来描述。
二项分布与其他分布的关系
二项分布与其他分布的关系二项分布与其他分布的关系摘要：二项分布是一种常见的离散型随机变量的概率模型，在概率教学中占有重要地位。
本文从二项分布的定义入手，重点分析和阐述了二项分布和“0-1”分布、超几何分布、泊松分布、正态分布的近似关系及基于这些关系所带来的计算上的便利。
以期在教学中能使学生更全面深入的理解和认识二项分布。
关键词：二项分布“0-1”分布超几何分布泊松分布正态分布近似1.二项分布的定义设随机变量X示n重伯努利试验中事件A发生的次数，其概率函数为：p(x)=P(X=x)=Cxnpxqn-x x=0，1，…，n则称设随机变量X服从参数为n和p的二项分布，记为X～B(n，p)，也称广义贝努里试验。
2.二项分布与其它分布的关系2.1二项分布与“0-1”分布间的关系进行一次试验，其结果要么“成功”，要么“失败”，记X=1成功0失败，即随机变量X表示一次试验中成功的次数，且p(x)=P(X=x)=pxq1-x(x=0，1)则称随机变量X～“0-1”分布，p为试验结果“成功”发生的概率。
该试验也称为贝努里试验。
X～“0-1”分布，其期望、平方的期望、方差及特征函数容易得到：E(X)=0×(1-p)+1×p=pE(X2)=02×(1-p)+12×p=pD(X)=E(X2)-E2(X)=p-p2=p(1-p)φ(t)=E(eitX)=eit?o×(1-p)+eit?1×p=1-p+peit将贝努里试验在相同条件下独立进行n次，并以随机变量Y表示n次试验中“成功”的次数，则Y～B(n，p)。
若以Xi表示第i次试验中成功的次数，则X1，X2…Xn，独立同“0-1”分布(i=1，2…n)且Y=∑ni=1Xi。
则二项分布的期望、方差及特征函数可由二项分布和“0-1”分布间的函数关系得到：E(Y)=E(∑ni=1Xi)=∑ni=1E(Xi)=npD(Y)=D(∑ni=1Xi)=∑ni=1D(Xi)=np(1-p)φY(t)=E(eitY)=E(eit∑ni=1Xi)=∏ni=1E(eitXk)=∏ni=1(1-p+peit)=(1-p+peit)n易见，在教学中利用二项分布和“0-1”分布的关系，使二项分布的上述特征数更容易计算和理解。
二项分布的近似计算与应用举例
科技视界Science &Technology VisionScience &Technology Vision 科技视界1二项分布二项分布:在伯努利试验中,若事件A 发生的概率P (A )=p (0<p <1),随机变量X 表示n 重伯努利试验中事件A 发生的次数,事件A 正好发生k 次的概率为P (X =k )=C kn p k (1-p )n -k,(k =0,1,2,…,n )则称X 服从参数为n ,p 的二项分布,记为X ~B (n ,p )。
2二项分布的两种近似方法当n 很大时,二项分布的概率计算相当繁琐,我们通常用以下两个定理进行近似计算。
2.1泊松分布近似二项分布二项分布在一定的条件下用泊松分布来近似计算,依据如下。
定理1(泊松定理):在n 重伯努利试验中,若事件A 在每次试验中发生的概率p (0<p <1)记np =λ当n →∞时,np →λ,则lim n →∞C kn p k(1-p )n -k=λk e-λk !(k =0,1,2,…)这就是二项分布的泊松逼近,n 应尽可能地大,p 应尽可能地小,否则近似效果会不佳。
实际计算时,若X ~B (n ,p ),当n ≥10,p ≤0.1时均可用泊松分布近似计算概率,n ≥100,np ≤10时效果更佳。
2.2正态分布近似二项分布定理2(棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理):在n 重伯努利试验中,若事件A 在每次试验中发生的概率p (0<p <1),记X n 为n 次试验中事件A 出现的次数,则对任意x ,有lim n →∞PX n -npnp (1-p )√≤x ()=ʃx-∞12π√e -t 22dx =Φ(x )定理2是概率论历史上的第一个中心极限定理,专门针对二项分布,所以又称为“二项分布的正态近似”。
根据定理2,当n 充分大时,X n -npnp (1-p )√近似服从N (0,1),或等价地X n 近似服从N (np ,np (1-p )),于是可以近似地计算概率:P (Xn =k )=C kn p k(1-p )n -k≈1np (1-p )√Φk -np np (1-p )√[]P (X n ≤x )≈Φ(x-np np (1-p )√),P (a <X n ≤b )≈Φ(b -np np (1-p )√)-Φ(a-np np (1-p )√)对于概率P (a ≤X n ≤b ),P (a ≤X n <b ),P (a <X n <b )均可用上式近似计算,理由是n 很大时,P (X n =a ),P (X n =b )的值很小,可以忽略不计。
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一点一点重学统计学（二）——二项、泊松和正态分布
原创2013年09月11日14:30:10
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贝努里大数定律：当试验在不变的条件下，重复次数无限大，抽样群体某一个概率与理论概率的差值，必定小于一个任意小的正数，所以这两者可以基本相等，也可以用线性模型来解释，随着抽样的总数增加误差的平均会越来越小。
如果群体只有两种类型，则使用二项分布；随着n增大分布趋于对称；随着p趋于0.5分布趋于对称。
如果某事件概率很小，而群体很大，即有很小的p值和很大的n值，则使用泊松分布；入为其平均
数和方差，入=np；当入趋于无穷大时，泊松分布逼近正态分布；当入=20时，已和正态分布非常接近。
当二项分布p<0.1和np<5时，可以用泊松分布来计算。
实验误差的分布一般服从正态分布；u为平均数，o为总体标准差；x =u+o为正态曲线的拐点；当n相当大或者p与q基本接近，二项分布接近正态分布；当入较大时，泊松分布接近正态分布。