负二项分布与二项分布
几种常见的分布
应用：假设检验。
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各种分布之间的关系
Gamma分布与指数分布、正态分布
当gamma分布的形状系数k为正整数时，gamma分布可看作k个独立的指数分布 之和，当k趋向于较大数值时，分布近似于正态分布。
在Gamma分布中：k=n（正整数）时的gamma分布可以看作n个独立的k=1的 gamma分布（即指数分布）之和，按照中心极限定理，独立同分布随机变量 之和趋于正态分布。
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六、Gamma分布
E[X]=
D[X]=
应用：用于描述随机变量X等到第K件事发生所需等候的时间。
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七、瑞利分布(Rayleigh distribution)
定义：当一个随机二维向量的两个分量呈独立的、有着相同的方差的正态分 布时，这个向量的模呈瑞利分布。
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ห้องสมุดไป่ตู้
四、对数正态分布
定义：如果一个随机变量的对数服从正态分布，那么该随机变量服从对数 正态分布。
应用：金融保险业、投资收益计算等。
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五、柯西分布(Cauchy distribution)
应用：主要应用于物理学中，它是描述受迫共振的微分方程的解。在光谱学中， 它用来描述被共振或者其他机制加宽的谱线形状。
应用：在自然情况下，均匀分布极为罕见。在实际问题中，当我们无法区分在 区间内取值的随机变量取不同值的可能性有何不同时，我们就可以假定随机变 量服从区间上的均匀分布。
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三、指数分布(Exponential distribution)
几种常见的分布
十一、几何分布
定义：在第 n 次伯努利实验，才得到第一次成功的机率。更详细的说是：n 次伯努利试验，前 n-1 次皆失败，第 n 次才成功的概率。
应用：射击比赛等。
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十二、超几何分布
定义：在产品质量的不放回抽检中，若N件产品中有M件次品，抽检n件时所 得次品数X=k，是一个随机变量：
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十、负二项分布(Negative binomial distribution)
定义：已知一个事件在伯努利试验中每次的出现概率是p，在一连串伯努利 试验中，一件事件刚好在第r + k次试验出现第r次的概率。
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取r = 1，负二项分布等于几 何分布。其概率质量函数 为
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六、Gamma分布
E[X]=
D[X]=
应用：用于描述随机变量X等到第K件事发生所需等候的时间。
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七、瑞利分布(Rayleigh distribution)
定义：当一个随机二维向量的两个分量呈独立的、有着相同的方差的正态分 布时，这个向量的模呈瑞利分布。
应用：瑞利分布常用于描述平坦衰落信号接收包络或独立多径分量接受包络统 计时变特性。如两个正交高斯噪声信号之和的包络服从瑞利分布。
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各种分布之间的关系
Gamma分布与指数分布、正态分布
当gamma分布的形状系数k为正整数时，gamma分布可看作k个独立的指数分布 之和，当k趋向于较大数值时，分布近似于正态分布。
在Gamma分布中：k=n（正整数）时的gamma分布可以看作n个独立的k=1的 gamma分布（即指数分布）之和，按照中心极限定理，独立同分布随机变量 之和趋于正态分布。
负二项分布在统计学中的应用与解释
负二项分布在统计学中的应用与解释统计学作为一门研究数据收集、分析和解释的学科，广泛应用于各个领域。
负二项分布作为一种常见的概率分布模型，在统计学中具有重要的应用和解释。
本文将探讨负二项分布在统计学中的应用，并对其进行解释。
一、负二项分布的定义与特点负二项分布是二项分布的推广，用于描述在一系列独立的伯努利试验中，直到出现r次成功为止所需要的试验次数。
负二项分布的概率质量函数为：P(X=k) = C(k-1, r-1) * p^r * (1-p)^(k-r)，其中C(n, r)表示从n个元素中选取r个元素的组合数，p表示每次试验成功的概率。
负二项分布的特点在于它是离散型的，且具有两个参数：成功次数r和成功概率p。
成功次数r决定了试验需要进行的次数，成功概率p则决定了每次试验成功的概率。
负二项分布的均值和方差分别为μ = r/p和σ^2 = r(1-p)/p^2。
二、负二项分布的应用1. 生产质量控制在生产过程中，我们常常需要检验一批产品中有多少个是合格品。
负二项分布可以用于描述在连续抽样检验中，需要进行多少次抽样才能得到指定数量的合格品。
通过分析负二项分布，我们可以评估生产过程中的合格率，并制定相应的质量控制策略。
2. 故障率分析在可靠性工程中，我们经常需要分析设备的故障率。
负二项分布可以用于描述在一定时间内，设备发生多少次故障。
通过对负二项分布的分析，我们可以评估设备的可靠性，并采取相应的维护措施，提高设备的可靠性。
3. 客户满意度调查在市场调研中，我们常常需要评估客户对产品或服务的满意度。
负二项分布可以用于描述在一系列调查中，需要进行多少次调查才能得到指定数量的满意度高的客户。
通过分析负二项分布，我们可以估计客户满意度的分布情况，并制定相应的改进措施，提高客户满意度。
三、负二项分布的解释负二项分布的解释涉及到两个方面：试验次数和成功概率。
试验次数表示在一系列独立的伯努利试验中，直到出现r次成功为止所需要的试验次数。
概率论常用的离散分布
目 录
• 引言 • 二项分布 • 泊松分布 • 超几何分布 • 几何分布 • 负二项分布
01 引言
离散分布的定义
离散分布：离散随机变量所有可能取 值的概率分布。
离散分布描述了随机变量取各个可能 值时所对应的概率。
离散分布的应用场景
统计学研究
离散分布在统计学中有着广泛的应用，如人口普 效之 前所经历的试验次数。
02
在生物统计学中，负二项分布可以用于描述在一定时间内捕获
猎物的数量或者在一定时间内发生的事件次数。
在金融领域，负二项分布可以用于描述股票价格在一定时间内
03
上涨或下跌的次数。
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感谢您的观看
它以法国数学家西莫恩·德尼·泊松的名字命名，他在19世纪中叶首次研究了这种 分布。
泊松分布的性质
泊松分布具有离散性和随机性， 适用于描述在一定范围内随机 事件的次数。
泊松分布的概率函数由两个参 数决定：均值和方差。
当随机事件的概率保持不变且 相互独立时，泊松分布成立。
泊松分布在现实生活中的应用
泊松分布在统计学、物理学、 生物学、经济学等领域有广 泛应用。
在网络请求中，直到得到响应所需要的请求次数可以服从几何分布。
自然选择与遗传
在生物进化过程中，自然选择对某一性状的选择压力可以用几何分 布来描述。
06 负二项分布
负二项分布的定义
负二项分布是一种离散概率分布，描 述了在成功达到某一目标之前需要进 行的独立、同分布的伯努利试验次数。
负二项分布的概率质量函数为 P(X=k) = (n+1) choose k * p^k * (1p)^(n+1-k)，其中 X 表示试验次数， k 表示成功次数，n 表示试验次数上 限，p 表示每次试验成功的概率。
常用概率分布间简介
其中 c 为常数，解方程（1）得
f ( ) c f ( )
f
(
)
k
e
1 2
c
2
，
k
为常数.
为使 f ( ) 为概率密度函数，
f
( )d
1，
即
k
e
1 2
c
2
dy
1
故必须 c 0 ，不妨令 c 1 （ 0 ），代入（2）解得 2
k 1 ， 2 Biblioteka 于是f ( ) 1
2
e2 2 ， R ，
2
这是均值为 0，方差为 2 的正态分布的概率密度函数.
.
X
~
N(0, 2)
,
则Y
X2
~
Ga(
1 2
,
1 2
2
)
.
（1） （2）
Ga( n , 1) 2(n) . 22
m
Xi ~ N(0,1) , i 1,2,,n 且相互独立 , 则 X
X
2 i
~
2(n) .
i 1
⒊ 相当误差（比率）的概率分布
m
设
Xi
~
N(0, 2 ) ，i
1,2,, m,m 1,,m n且相互独立，则
i 1
二、随机误差的概率分布
⒈ 高斯随机误差模型 随机变量的高斯分解
可观测的指标
X
不可观测的随机干扰
指标的标准值(生产控制参数,理论均值)
原始测量误差的概率分布
由棣莫弗提出，高斯推证，拉普拉斯再证，原始测量误差的概率分布为：
~ N (0 , 2 )
高斯的推证要点如下：
设测量误差 X 的密度函数为 f ( ) ，由“最大后验概率”的原则得
几种常见的分布
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分类
连续型随机分布
◆ 正态分布、均匀分布、指数分布、对数正态分布、柯西分布、 Gamma分布、瑞利分布、韦伯分布
离散型随机分布
◆ 二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布
三大抽样分布
◆ 卡方分布、F分布、t分布
分布之间的关系 大数定理、中心极限定理
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八、韦伯分布（Weibull distribution）
定义：韦氏分布或威布尔分布，是可靠性分析和寿命检验的理论基础。
= 应用：可靠性和失效分析、极值理论。
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九、二项分布(Bernoulli distribution)
应用：n 次试验在相同条件下进行，各个观察单位的结果相互独立，且只能 具有相互对立的一种结果，二项分布常用于医学领域。当n→∞时，二项分布 近似于正态分布。（注：0-1分布是特殊的二项分布）
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十、负二项分布(Negative binomial distribution)
定义：已知一个事件在伯努利试验中每次的出现概率是p，在一连串伯努利 试验中，一件事件刚好在第r + k次试验出现第r次的概率。
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取r = 1，负二项分布等于几 何分布。其概率质量函数 为
应用：假设检验。
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各种分布之间的关系
Gamma分布与指数分布、正态分布
当gamma分布的形状系数k为正整数时，gamma分布可看作k个独立的指数分布 之和，当k趋向于较大数值时，分布近似于正态分布。
6第六章二项分布22
S p = p (1 p ) / n
率的标准误与样本率和样本大小的关系如何? 率的标准误与样本率和样本大小的关系如何? 率的标准误的用途: 率的标准误的用途: ①衡量率的抽样误差 ②衡量样本率的可靠性 ③估计数总体率的可信区间 率的假设检验. ④率的假设检验.
2.二项分布的图形 2.二项分布的图形 (1)π=0.5,对称分布; 0.5,对称分布;
一,二项分布的适用条件和性质 (一)二项分布的适用条件 1.两种结果相互对立; 1.两种结果相互对立 两种结果相互对立; 2.已知固定的π和 n; 2.已知固定的 已知固定的π 3.各次试验相互独立. 3.各次试验相互独立 各次试验相互独立.
(二)二项分布的性质 1.二项分布的均数和标准差 二项分布的均数和标准差 1.绝对数形式: 均数 绝对数形式: 绝对数形式
所有可能结果 生 生 生 生 生 死 生 死 生 死 生 生 生 死 死 死 生 死 死 死 生 死 死 死 合计 每组小白鼠的死亡和生存只数及其概率 每种结果的概率 死亡数 不同死亡数的概率 0.008 0 0.008 0.032 0.032 1 0.096 0.032 0.128 0.128 2 0.384 0.128 0.512 3 0.512 1.000 1.000 -
例6-1 某种药物治疗某种非传染性疾病的 有效率为0.70,无效率为 有效率为 ,无效率为0.30.今用该药治疗该疾 . 病患者10人 试分别计算这10人中有 人中有6人 病患者 人,试分别计算这 人中有 人,7人,8 人 人有效的概率. 人有效的概率.
10! 6 10 6 P (6) = 0.70 (1 0.70) = 0.20012 6!(10 6)! 10! 7 10 7 P (7) = 0.70 (1 0.70) = 0.26683 7!(10 7)! 10! 8 10 8 P (8) = 0.70 (1 0.70) = 0.23347 8!(10 8)!
二项分布 通俗解释
二项分布通俗解释一个事件必然出现，就说它100%要出现。
100%=1，所以100%出现的含义就是出现的概率P=1。
即必然事件的出现概率为1。
如果掷一枚硬币，正面向上的结局的概率为0.5 。
反面向上的结局的概率也是0.5 。
那么出现正面向上事件或者反面向上事件的概率就是0.5+0.5=1 ，即二者必居其一。
如果掷两次硬币，根据独立事件的概率乘法定理那么两次都是正面（反面）向上的概率是0.5×0.5=0.25。
另外第一个是正第二个是反的出现概率也是 0.5×0.5=0.25。
同理第一个反第二个正的出现概率也是0.5×0.5=0.25。
于是一正一反的概率是前面两个情况的和，即 0.25+0.25=2×0.25=0.5 。
它们的合计值仍然是1。
列成表就是：注意到代数学中 (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, 而在a=0.5，b=0.5时，有 1^2=(0.5+0.5)^2=0.25+2×0.5×0.5+0.25=1。
这说明掷两次硬币的各个结局的出现概率可以通过对二项式的平方展开而得到。
顺此，对于掷n次硬币的各种结局的出现概率也可以通过对二项式的n次方的展开而得到。
例如n=3时,有（注意0.5×0.5×0.5=0.125）1^3=(0.5+0.5)^3=0.125+3×0.125+3×0.125+0.125 =0.125+0.375+0.375+0.125 = 1。
二项式展开的牛顿公式表示为：(a+b)^n=a^n + … + [n!/m!(n-m)!][a^(n-m)b^m]+ … + b^n (其中m=1,2,……n-1)。
即这种类型的问题（如掷多次硬币）的概率分布恰好可以用二项式展开的牛顿公式表示。
而这也就是为什么把这种概率分布类型称为二项分布的原因。
如果a，b并不等于0.5，那么只要把A事件出现的概率以p代入，把B事件的出现概率以(1-p)代入，以上公式仍然正确，（a+b仍然=1）。
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负二项分布
满足以下条件的称为负二项分布
1. 实验包含一系列独立的实验;
2. 每个实验都有成功、失败两种结果
3. 成功的概率是恒定的
4. 实验持续到r次成功，r为正整数。
当r是整数时，负二项分布又称帕斯卡分布，它表示，已知一个事件在伯努利试验中每次的出现概率是p，在一连串伯努利试验中，一件事件刚好在第r + k次试验出现第r次的概率。
二项分布
如果：
1．在每次试验中只有两种可能的结果，而且是互相对立的；
2．每次实验是独立的，与其它各次试验结果无关；
3．结果事件发生的概率在整个系列试验中保持不变，则这一系列试验称为伯努力试验。
在这试验中，事件发生的次数为一随机事件，它服从二次分布。