传热学数值计算
传热学导热问题的数值解法
导热问题的数值解法1 、重点内容：① 掌握导热问题数值解法的基本思路；② 利用热平衡法和泰勒级数展开法建立节点的离散方程。
2 、掌握内容：数值解法的实质。
3 、了解内容：了解非稳态导热问题的两种差分格式及其稳定性。
由前述3 可知，求解导热问题实际上就是对导热微分方程在定解条件下的积分求解，从而获得分析解。
但是，对于工程中几何形状及定解条件比较复杂的导热问题，从数学上目前无法得出其分析解。
随着计算机技术的迅速发展，对物理问题进行离散求解的数值方法发展得十分迅速，并得到广泛应用，并形成为传热学的一个分支——计算传热学（数值传热学），这些数值解法主要有以下几种：（１）有限差分法（ 2 ）有限元方法（ 3 ）边界元方法数值解法能解决的问题原则上是一切导热问题，特别是分析解方法无法解决的问题。
如：几何形状、边界条件复杂、物性不均、多维导热问题。
分析解法与数值解法的异同点：相同点：根本目的是相同的，即确定① t=f(x ，y ，z) ；②。
不同点：数值解法求解的是区域或时间空间坐标系中离散点的温度分布代替连续的温度场；分析解法求解的是连续的温度场的分布特征，而不是分散点的数值。
§4-1 导热问题数值求解的基本思想及内节点离散方程的建立实质对物理问题进行数值解法的基本思路可以概括为：把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导热物体的温度场等，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物理量的值。
该方法称为数值解法。
这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的数值解。
2 、基本思路：数值解法的求解过程可用框图4-1 表示。
由此可见：1 ）物理模型简化成数学模型是基础；2 ）建立节点离散方程是关键；3 ）一般情况微分方程中，某一变量在某一坐标方向所需边界条件的个数等于该变量在该坐标方向最高阶导数的阶数。
一数值求解的步骤如图4-2 （a ），二维矩形域内无内热源、稳态、常物性的导热问题采用数值解法的步骤如下：1 建立控制方程及定解条件控制方程：是指描写物理问题的微分方程针对图示的导热问题，它的控制方程（即导热微分方程）为：（a ）边界条件：x=0 时，x=H 时，当y=0 时，当y=W 时，区域离散化（确立节点）用一系列与坐标轴平行的网格线把求解区域划分成若干个子区域，用网格线的交点作为需要确定温度值的空间位置，称为节点( 结点) ，节点的位置用该节点在两个方向上的标号m ，n 表示。
传热学计算公式
Nu = 2+0.6(Re^1/2)(Pr^1/3) 。
F=Q/kK*△tm F 是换热器的有效换热面积。
Q 是总的换热量。
k 是污垢系数一般取0.8-0.9K。
是传热系数。
△tm 是对数平均温差。
传热学三种传热方式可以分开学。
传热学相较于理论力学，工程热力学，流体力学而言还是比较简单的，一般大学生掌握了高等数学完全可以自学的。
学习传热学必须有耐心，了解几种换热方式和常见的几个常数公式（努谢尔特数、格拉晓夫数、伯努利常数，傅里叶常数，而且常常推导下几个常用常数公式间的关系，你会惊奇地发现他们其实不少是远亲的），其实解决传热学问题绝大多数都是在和导热系数较劲，有时候是直接涉及。
扩展资料：
在热对流方面，英国科学家牛顿于1701年在估算烧红铁棒的温度时，提出了被后人称为牛顿冷却定律的数学表达式，不过它并没有揭示出对流换热的机理。
传热学作为学科形成于19世纪。
1804年，法国物理学家毕奥在热传导方面得出的平壁导热实验结果是导热定律的最早表述。
稍后，法国的傅里叶运用数理方法，更准确地把它表述为后来称为傅里叶定律的微分形式。
1860年，基尔霍夫通过人造空腔模拟绝对黑体，论证了在相同温度下以黑体的辐射率(黑度)为最大，并指出物体的辐射率与同温度下该物体的吸收率相等，被后人称为基尔霍夫定律。
传热学数值计算
Fe aE De 2
Thermal
Fw Fe aP Dw De aW aE Fe Fw 2 2
2、对方程的几点说明 由于连续性，Fe=Fw， aP aW aE（只是在流 场满足连续性条件时才具有这一性质）； 方程 aP P aE E aW W 隐含着分段线性分布的含
讨论只有对流项和扩散项存在时的一维稳态问题，控 制方程为：
u j ( ) S x j x j x j
d d d u ( ) dx dx dx
d 连续方程： u 0 dx
u const
任务：导出相应方程的离散化形式
义，也是熟知的中心差分格式（用左右节点值表示
界面上的值以及界面上的导数值）； 方程必须遵守四项基本法则，否则会产生灾难性的 结果。
2018-11-24
太 原 理 工 大 学
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Thermal
例如：设 De Dw 1， Fe Fw 4 若E、W给定，即可由离散方程求得P 。
即， F 2D时，有可能使 aE 或aW 为负 产生不切实际的结果
2018-11-24
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Thermal
这就是中心差分格式求解对流换热问题时仅限于低
Fw Fe Re(低的F/D)的原因 . aP Dw De aW aE Fe Fw 2 2
原通用方程可改写为
u j ( )S x j x j x j
对于已知的ρ、uj、Γ及S（常量）的分布，任何解及
+c 将同时满足方程，故系数和的法则仍然适用。
2018-11-24
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传热学的数值解法
导热问题的数值求解方法数值解法的基本思想是用空间和时间区域内有限个离散点（称为节点）上温度的近似值，代替物体内实际的连续温度分布，然后由导热方程和边界条件推导出各节点温度间的相互关系的代数方程组（称为离散方程），求解此方程组，得到节点上的温度值，此即物体中温度场的解。
只要节点分布的足够稠密，数值解就有足够的精度。
求解导热问题的数值方法有有限差分法及有限元法，近几年又发展了边界元法和有限分析法。
数值方法适用于求解各种导热问题，不管物体的几何形状有多复杂，不管线性或非线性问题，都能使用。
由于计算机的飞速发展，计算技术软件发展也很快，数值方法的的地位越来越重要。
1 数值求解的基本思路及稳态导热内节点离散方程的建立一、 解法的基本思路1、基本思路：数值解法的求解过程可用框图4-1表示。
由此可见：1）物理模型简化成数学模型是基础；2）建立节点离散方程是关键；3）一般情况微分方程中，某一变量在某一坐标方向所需边界条件的个数等于该变量在该坐标方向最高阶导数的阶数。
二、稳态导热中位于计算区域内部的节点离散方程的建立方法1、基本方法方法：①泰勒级数展开法；②热平衡法。
1）泰勒级数展开法如图4-3所示，以节点(m,n)处的二阶偏导数为例，对节点(m+1,n)及(m-1,n)分别写出函数t 对(m,n)点的泰勒级数展开式：对(m+1,n)：+∂∂∆+∂∂∆+∂∂∆+∂∂∆+=+444333,222,,,12462x t x x t x x t x x t x t t n m n m n m n m （a ）对（m-1,n ）：+∂∂∆+∂∂∆-∂∂∆+∂∂∆-=-444333,222,,,12462x t x x t x x t x x t xt t n m n m n m n m （b ）（a ）+（b ）得： +∂∂∆+∂∂∆+=+-+444,222,,1,1122x t x x t x t t t n m n m n m n m 变形为n m x t,22∂∂的表示式得：n m x t,22∂∂)(0222,1,,1x x t t t nm n m n m ∆+∆+-=-+ 上式是用三个离散点上的值计算二阶导数n m x t ,22∂∂的严格表达式，其中：)(02x ∆―― 称截断误差，误差量级为2x ∆在数值计算时，用三个相邻节点上的值近似表示二阶导数的表达式即可，则相应的略去)(02x ∆。
传热学-学习课件-4-1 导热问题数值求解基本思想
有限差分法（FDM），主要介绍方法 有限元法（FEM） 边界元法（BEM）
传热学 Heat Transfer
三、数值解法的基本步骤
传热学 Heat Transfer
以一个二维稳态导热问题为例，介绍数值求解导热问题的具体 过程，重点是节点离散方程的建立和代数方程组的迭代求解。
（1）物理问题 二维矩形域稳态无内热源，常物性的导热问题 y
传热学 Heat Transfer
4-1 导热问题数值求解的基本思想
一、数值解法的本质
数值解法是用物理问题所 涉及的空间和时间区域内有 限个离散点（称为节点）的 物理量近似值来代替物体内 实际连续的物理量分布，将 连续物理量分布函数的求解 问题转化为各节点物理量值 的求解问题。
传热学 Heat Transfer
传热学 Heat Transfer
传热学 Heat Transfer
主讲老师：王舫 适用专业：能源与动力工程专业
传热学 Heat Transfer
第四章 热传导问题的数值解法
§4-0 引言
1 求解导热问题的三种基本方法： (1) 理论分析 (2)实验 (3)数值计算
2 三种方法的特点 3 三种方法的基本求解过程
传热学heattransfer?本章教学内容41导热问题数值求解基本思想42内节点离散方程的建立43边界节点离散方程的建立及代数方程的求解44非稳态导热问题的数值解法传热学heattransfer41导热问题数值求解的基本思想一数值解法的本质数值解法是用物理问题所涉及的空间和时间区域内有限个离散点称为节点的物理量近似值来代替物体内实际连续的物理量分布将连续物理量分布函数的求解问题转化为各节点物理量值的求解问题
传热学 Heat Transfer
传热大作业-数值解法-清华-传热学
一维非稳态导热的数值解法一、导热问题数值解法的认识（一）背景所谓求解导热问题，就是对导热微分方程在规定的定解条件下的积分求解。
这样获得的解称为分析解。
近100年来，对大量几何形状及边界条件比较简单的问题获得了分析解。
但是，对于工程技术中遇到的许多几何形状或边界条件复杂的导热问题，由于数学上的困难目前还无法得出其分析解。
另一方面，在近几十年中，随着计算机技术的迅速发展，对物理问题进行离散求解的数值方法发展十分迅速，并得到日益广泛的应用。
这些数值方法包括有限差分法、有限元法及边界元法等。
其中，有限差分法物理概念明确，实施方法简便，本次大作业即采用有限差分法。
（二）基本思想把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导热物体的温度场，用有限个离散点上的值的集合来代替，将连续物理量场的求解问题转化为各离散点物理量的求解问题，将微分方程的求解问题转化为离散点被求物理量的代数方程的求解问题。
（三）基本步骤（1）建立控制方程及定解条件。
根据具体的物理模型，建立符合条件的导热微分方程和边界条件。
（2）区域离散化。
用一系列与坐标轴平行的网格线把求解区域划分成许多子区域，以网格线的交点作为需要确定温度值的空间位置，称为节点。
每一个节点都可以看成是以它为中心的一个小区域的代表，将小区域称之为元体。
（3）建立节点物理量的代数方程。
建立方法主要包括泰勒级数展开法和热平衡法。
（4）设立迭代初场。
（5）求解代数方程组。
（6）解的分析。
对于数值计算所获得的温度场及所需的一些其他物理量应作仔细分析，以获得定性或定量上的一些结论。
对于不符合实际情况的应作修正。
二、问题及求解（一）题目一厚度为0.1m 的无限大平壁，两侧均为对流换热边界条件，初始时两侧流体温度与壁内温度一致，1205f f t t t ===℃；已知两侧对流换热系数分别为h 1=11 W/m 2K 、h 2=23W/m 2K ，壁的导热系数λ=0.43W/mK ，导温系数a=0.3437×10-6 m 2/s 。
传热学第五章导热问题数值解法
2 h∆y
=
h∆y 2 2 + λ t m ,n+1 + t m ,n−1 + 2(t m−1,n + Bi ⋅ t f ) 2(2 + Bi )
9
λ
tf
3）方程组的求解 ） 对应每个未知量（一个节点温度） 一条方程 一条方程（ 对应每个未知量（一个节点温度）→一条方程（一 个节点方程） 方程组有唯一解 个节点方程）→方程组有唯一解 解法：（ ：（1） 解法：（ ）矩阵法 （2）迭代法：高斯 赛德尔迭代 ）迭代法：高斯-赛德尔迭代
λ∆y
t m−1,n − t m ,n ∆x ∆x t m ,n−1 − t m ,n +λ + ∆y ⋅ h(t f − t m ,n ) = 0 2 ∆y ∆y ∆x t m ,n+1 − t m ,n +λ ∆y 2
如取正方形网络
∆x = ∆y
上式简化为： 上式简化为：
t m ,n =
2t m−1,n + t m ,n+1 + t m ,n−1 +
对于非稳态导热问题，除了空间上进行网格划分外， 对于非稳态导热问题，除了空间上进行网格划分外， 还要把时间分割成许多间隔。 还要把时间分割成许多间隔。
4
2）有限元法 ）
把整个求解域离散成为有限个子域， 把整个求解域离散成为有限个子域，每一子域内运 用变分法， 用变分法，即利用与原问题中微分方程相等价的变 分原理来进行推导，从而使原问题的微分方程组退 分原理来进行推导， 化到代数联立方程组，得到数值解。 化到代数联立方程组，得到数值解。 有限元法和差分法都是常用的数值计算方法， 有限元法和差分法都是常用的数值计算方法，差分 法计算模型对于不规则的几何形状难以应用。 法计算模型对于不规则的几何形状难以应用。有限 元法能够很好地适应复杂的几何形状、 元法能够很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料 特性和复杂的边界条件。 特性和复杂的边界条件。
传热学第十章传热过程和换热器计算
例题 2
某逆流套管式换热器，刚投入工作时的运行参数为：
t1 360C,t1 300C,t2 30C,t2 200C 已知 qm1cp1=2500 W/K, k = 800 W/(m2.K)。运行一年后发现， 在 qm1cp1，qm2cp2，及入口温度不变的情况下，由于积垢使 得冷流体只能加热到162℃. 确定此情况的
(d)由式 kAtm 求出换热量 ;
(e)比较 与 ，如果相差较大，再重新假设流体出口温度， 重复上述计算，直到满意为止。
10.5 传热的强化与削弱（自学）
传热工程技术是根据现代工业生产和科学实践的需要而发展 起来的科学与工程技术，其主要任务是按照工业生产和科学 实践的要求来控制和优化热量传递过程。
和换热量 。
计算步骤：
(a) 先假设一个流体的出口温度，热平 衡方程式求出换热量 和 另一个流体的 出口温度；
kAtm
qm1cp1 t1 t1
qm2cp2 t2 t2
(b) 根据流体的进、出口4个温度求平均温差 tm ；
(c) 计算换热面两侧的表面传热系数 h1, h，2 进而求得总传热系数k；
tm (tm )ctf
教程中图10-23~10-26分别给出了管壳式换热器和交叉流式 换热器的 。
值取决于无量纲参数 P和 R： P tc tc , th tc
R th th tc tc
式中：下标h、c分别表示两种流体，上角标 ` 表示进口，`` 表示出口，图表中均以P为横坐标，R为参量。
1. 通过平壁的传热
K
1
1
1
h1 h2
KAt
说明： (1) h1和h2的计算；（2）如果计及辐射，换热系 数应该采用等效换热系数(总表面传热系数)
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传热学数值计算作业数值解程序：tw1=40 %三边温度tw2=100 %一边温度正弦变化幅度l1=40 %板长L1:40厘米l2=20 %板宽L2:20厘米m=41 %分划成40*20的网格n=21k=2dx=l1/(m-1)c=ones(n,m)for i=1:ma2(i)=tw1+tw2*sin(pi*dx*(i-1)/l1)c(1,i)=tw1 ,c(n,i)=a2(i)endfor j=1:nc(j,1)=tw1c(j,m)=tw1endwhile (abs(c(j,i)-k)>0.0001)k=c(j,i)for i=2:m-1for j=2:n-1c(j,i)=0.25*(c(j,i-1)+c(j,i+1)+c(j-1,i)+c(j+1,i)) endendend数值解中各网格点的温度值：数值二维温度分布图像：解析解程序： tw1=40 tw2=100 l1=40 l2=20 p=40 q=20 x(1)=0 for i=1:px(i+1)=x(i)+1 end y(1)=0 for j=1:qy(j+1)=y(j)+1 endfor i=1:p+1 for j=1:q+1n(j,i)=tw1+tw2*sinh(pi*y(j)/l1)*sin(pi*x(i)/l1)/sinh(pi*l2/l1) end end各网格点用解析式得到的温度值：50L1/cmnumerical calculation 2D temperature distributionL2/cmt e m p e r a t u r e /c e l s i u s d e g r e e解析二维温度分布图像：误差分析：取x=21，即位于板长一半处，温度随y （宽度）的变化曲线。
c1(:,1) 取自于数值解， c1(:,2) 取自于解析解 c1(:,1) c1(:,2) 40.0000 40.0000 43.3106 43.4164 46.6465 46.8538 50.0313 50.3335 53.4889 53.8771 57.0430 57.5062 60.7178 61.2434 64.5376 65.1117 68.5273 69.1350 72.7122 73.3381 77.1187 77.7470 81.7736 82.3888 86.7050 87.2922 91.9423 92.4875 97.5162 98.0068 103.4592 103.8840 109.8058 110.1555 116.5925 116.8600 123.8586 124.0388 131.6461 131.7363 140.0000 140.000050L1/cmanalytical method 2D temperature distributionL2/cmt e m p e r a t u r e /c e l s i u s d e g r e e误差曲线：由相对误差公式：d1= (c1(:,2) -c1(:,1))./ c1(:,2) 可得： d1 = 0 0.0024 0.0044 0.00600.00720.0081 0.0086 0.0088 0.0088 0.0085 0.0081 0.0075 0.0067 0.0059 0.0050 0.0041 0.0032 0.0023 0.0015 0.0007 0结论：数值解与解析解吻合很好。
就x=21这一列，相对误差较小且在1%以内，但数值解较解析解偏小，且在平板中心附近的网格点的数值解较平板边缘数值解的相对误差大。
510152025L2/cmt e m p e r a t u r e /c e l s i u s d e g r e enumerical calculation and analytical method temperature distribution differentials at x=21 cross section数值解程序：tw1=50 %三边温度tw2=100 %一边温度l1=20 %板长20厘米l2=10 %板宽10厘米m=41 %划分成40*20的网格n=21k=1c=zeros(n,m)c(n,1)=(tw1+tw2)/2c(n,m)=(tw1+tw2)/2c(1,1)=tw1c(1,m)=tw1for i=2:(m-1)c(1,i)=tw1c(n,i)=tw2endfor j=2:(n-1)c(j,1)=tw1c(j,m)=tw1endwhile(abs(k-c(j,i))>0.0001)k=c(j,i)for i=2:m-1for j=2:n-1c(j,i)=0.25*(c(j,i-1)+c(j,i+1)+c(j-1,i)+c(j+1,i)) endendend数值解中各网格点的温度值：数值二维温度分布图像：解析解程序： tw1=50 tw2=100 m=40 n=20 l1=20 l2=10tx=ones(20,40) for i=1:m+1 for j=1:n+1 x=(i-1)*0.5 y=(j-1)*0.5 k=sym('k')d=(((-1)^(k+1)+1)/k)*sin(k*pi*x/l1)*sinh(k*pi*y/l1)/sinh(k*pi*l2/l1) h=symsum(d,k,1,200) tx(j,i)=2*h*(tw2-tw1)/pi+tw1 end end各网格点用解析式得到的温度值：50L1/cmnumerical calculation 2D tenmperature distributionL2/cmt e m p e r a t u r e /c e l s i u s d e g r e e解析二维温度分布图像：误差分析：取x=21，即位于板长一半处，温度随y （宽度）的变化曲线。
c1(:,1) 取自于数值解 c1(:,2) 取自于解析解 c1(:,1)= c1(:,2)=50.0000 50.0000 51.9799 52.0881 53.9731 54.1851 55.9906 56.2998 58.0435 58.4409 60.1418 60.6165 62.2951 62.8344 64.5116 65.1016 66.7987 67.4243 69.1622 69.8077 71.6064 72.2558 74.1337 74.7710 76.7447 77.3546 79.4377 80.0056 82.2090 82.7214 85.0526 85.4977 87.9602 88.3278 90.9214 91.2035 93.9244 94.1151 96.9554 97.0513 100.0000 99.840850L1/cmanalytical method 2D temperature distributionL2/cmt e m p e r a t u r e /c e l s i u s d e g r e e误差分析曲线：由相对误差公式：d2= abs(c1(:,2) -c1(:,1))./ c1(:,2) 可得： d2= 0 0.0021 0.0039 0.0055 0.00680.00780.0086 0.0091 0.0093 0.0092 0.0090 0.0085 0.0079 0.0071 0.0062 0.0052 0.0042 0.0031 0.0020 0.00100.0016误差结论：数值解与解析解吻合很好。
就x=21这一列，相对误差较小且在1%以内，但数值解较解析解普遍偏小（最后一个数除外），且在平板中心附近的网格点的数值解较平板边缘数值解的相对误差大。
510152025L2/cmt e m p e r a t u r e /c e l s i u s d e g r e enumerical calculation and analytical method temperature distribution differentials at x=21 cross section数值解程序：t0=200; %肋基温度为200度tf=0; %环境温度为0度L1=20; %肋片长20厘米L2=2; %肋片高2厘米h=0.01; %对流换热系数单位：w/(cm2*K) a=11;b=101; %11*101的网格dx=L1/(b-1);k=2; %导热系数单位：w/（cm*K）Bi=h*dx/k;ti=ones(a,b)*10;m1=ones(a,b)*3;m1(2:a-1,1)=zeros(a-2,1);m1(a,2:b-1)=ones(1,b-2);m1(1,2:b-1)=ones(1,b-2)*6;m1(2:a-1,b)=ones(a-2,1)*2;m1(1,b)=ones(1,1)*4;m1(a,b)=ones(1,1)*5;m1(1,1)=7;m1(a,1)=8;tn=ti;max1=1.0;w=0;while ( max1>1e-6)w=w+1;max1=0;for i=1:afor j=1:bm=m1(i,j);n=tn(i,j);switch mcase 0tn(i,j)=t0;case 1tn(i,j)=(2*tn(i-1,j)+tn(i,j-1)+tn(i,j+1)-4*tf)/(4+2*Bi)+tf;case 2tn(i,j)=(2*tn(i,j-1)+tn(i-1,j)+tn(i+1,j)-4*tf)/(4+2*Bi)+tf;case 3tn(i,j)=0.25*(tn(i,j-1)+tn(i,j+1)+tn(i-1,j)+tn(i+1,j));case 4tn(i,j)=(tn(i,j-1)+tn(i+1,j)-2*tf)/(2*Bi+2)+tf;case 5tn(i,j)=(tn(i,j-1)+tn(i-1,j)-2*tf)/(2*Bi+2)+tf;case 6tn(i,j)=(2*tn(i+1,j)+tn(i,j-1)+tn(i,j+1)-4*tf)/(4+2*Bi)+tf;case 7tn(i,j)=t0;case 8tn(i,j)=t0;ender=abs(tn(i,j)-n);if er>max1max1=er;endendendti=tn;endti%假设垂直于纸面方向肋宽为1cmq1=0;for i=1:aqi=(tn(i,b)-tf)*h*0.2;q1=q1+qi;endq1 % x=20cm 处肋片的散热量q2=0;for j=1:b-1q2j =(tn(a,j)-tf)*h*0.2;q2=q2+q2j;endq2=q2*2;q2 % y=1cm与y=-1cm处肋片的散热量q=q1+q2;q数值解中各网格点的温度值：数值二维温度分布图像：数值解肋片换热量：q1 =1.9022w/cm 肋端沿y 方向 q2 =49.4938w/cm 肋端沿x 方向 q = 51.3960w/cmq=q1+q2150L1/cmnumerical calculation 2D temperature distributionL2/cmt e m p e r a t u r e /c e l s i u s d e g r e e解析解程序：t0=200; %肋基温度为200度tf=0; %环境温度为0度L1=20; %肋片长20厘米L2=2; %肋片高2厘米h=0.01; %对流换热系数单位：w/(cm2*K)a=11;b=101; %11*101的网格dx=L1/(b-1);k=2; %导热系数单位：w/（cm*K）Bi=h*1/k;ta=ones(a,b);for i=1:1:afor j=1:1:bif i>(a+1)/2y=-(i-(a+1)/2)*dx;else y=((a+1)/2-i)*dx;endx=dx*(j-1);ta(i,j)=(cosh(Bi^0.5*(L1-x)/1)+Bi^0.5*sinh(Bi^0.5*(L1-x)/1))*(t0-tf)/(cosh(Bi^0.5*L1/1)+ Bi^0.5*sinh(Bi^0.5*L1/1))+tf;endendta%假设垂直于纸面方向肋宽为1cmq1=0;for i=1:1:aqi=(ta(i,b)-tf)*h*0.2;q1=q1+qi;endq1 % x=20cm 处肋片的散热量q2=0;for j=1:1:b-1q2j =(ta(a,j)-tf)*h*0.2;q2=q2+q2j;endq2=q2*2;q2 % y=1cm与y=-1cm处肋片的散热量q=q1+q2;q各网格点用解析式得到的温度值：解析解二维温度图像：解析解肋片换热量：q1 =1.9006w/cm 肋端沿y 方向 q2 =49.5481w/cm 肋端沿x 方向 q = 51.4488w/cmq=q1+q2150L1/cmanalytical method 2D temperature distributionL2/cmt e m p e r a t u r e /c l e s i u s d e g r e e误差分析：取y=0，即位于板宽一半处，温度随x（长度）的变化曲线。