计算传热学-第1_2讲
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Mathematical Description of Heat Transfer Problems
引言
数值计算的出发点：数学模型 数学模型（Mathematical model)
控制方程（Governing equations)
基于基本原理与定律 偏微分方程组
定解条件（Boundary conditions） 适当选取坐标系可以简化分析
计算传热学：总体步骤
求解离散化方程
制约因素 与分析解对比（简单问题） 实验结果 前人结果 （Benchmark problems） 成品阶段 图线 拟合 分析讨论
可靠性检验
结果表达与分析
历史与现状
基本思想源远流长
Newton & Leibniz 20世纪30年代
出现了有限差分法；图解法 实际需求，计算机的发展
影响计算传热学发展的主要因素
20世纪30年代的有限差分法 30～60年代的大空白
物理现象深入透彻的理解
70年代对流换热计算技术的快速发展 物理机理（physical mechanism）明确 数学上确定
数值方法的发展：相辅相成，互为促进
分类
边界单元法（Boundary element method)
对数学模型在边界上离散化 基于数学模型的基础解 不需要全区域求解 数学技巧要求高 通用性差 数学基础不是非常明确
分类
样条边界单元法（Sample spectrum ~)
改进的边界单元法 用样条插值解决边界元的基础解问题 应用范围大大拓宽 灵活性更强 缺点：同边界单元法
2.1.1热传导
Energy Conservation Equation
( cT ) (T ) qV div (gradT ) qV
符号意义，单位
time thermal conductivity specific heat
有限容积法(Finite volume method)
控制容积法（Control volume method） 基本上属于有限差分法的范畴
分类
有限单元法（Finite element method)
将求解区域分成若干个小的单元（element） 设定待求变量在单元上的分布函数 适应性强，适用于复杂的求解区域 一度有取代有限差分法的趋势 程序技巧要求告 数学基础不如有限差分法明确
计算传热学习题之二
利用第一题你所编制的通用程序求解下面的问题：如下图所示，一厚度为 2的复合平壁具有均匀 的初始温度 T0。在=0 时，突然将之置于温度为 Tf 的无穷大流体介质中，流体与平壁两侧面间的换热 系数为 h(=常数)，同时认定材料的物性及流体温度均为常数： 1) 给出该问题的数学模型并将之无量纲化； 2) 忽略两种材料间的接触热阻，取 Bi=h/kA=4，(c)A=(c)B，分别给出 kA/kB=1，2 和 40 时平壁内的 温度分布随时间的变化关系； 根据你所得到的数值结果，画出各种情况下典型的温度分布，并由此推断当 kA/kB时，左半平壁内 的温度分布与 kA/kB =1，(c)A=(c)B 条件下的温度分布有何联系。 （提示：当 kA/kB =1，(c)A=(c)B 时， 该问题有分析解）
解：非连续的（分析解是连续的）
数值方法的核心：
计算传热学的内涵：
计算传热学：总体步骤
出发点和 基础！
给出物理模型（Physical model / description) 借助基本原理/定律给出数学模型 （Mathematical model)
质量守恒（Mass Conservation） 能量守恒（Energy Conservation） 动量守恒（Momentum Conservation） 傅立叶定律（Fourier’s heat conduction law) 菲克定律（Fick’s mass diffusion law） 牛顿内摩擦定律（Newton’s friction law） 。。。。。。。
热辐射（Thermal radiation)
关系：
共存，相互影响 辐射的特殊性
可以忽略 以边界条件的形式给出
2.1.1热传导
Definition Fourier’s Law T q grad T n n 导热系数 gradT 温度梯度
分类
有限分析法（Finite analytical method)
将求解区域分成若干个子区域 给出在各个子区域上的分析解 利用边界条件耦合各个子区域上的分析解从而得到 离散化方程 最大限度地引入了分析解的成分 一般可以提高求解效率和精度 数学技巧非常高 与问题的性质有关 很难形成通用程序
主要参考书
陶文铨编著. 数值传热学. 西安交通大学出版社 Patankar SV. Numerical Heat Transfer and Fluid Flow. N. Y., McGraw-Hill, 1980 Shih TM. Numerical Heat Transfer, Washington, Hemisphere Publishing Co., 1984 陶文铨著. 计算传热学的近代进展. 科学出版社， 2000年 Anderson JD JR. Computational Fluid Dynamics. McGraw-Hill, 1995
分类
数值积分变换法（Numerical integration transform method)
将积分变换法引入各类问题的求解 将问题进行分解：
可以得到分析解的辅助问题 多个（无限多个）常微分方程 无需整体求解 数学要求高 前期准备工作量非常大 很难形成通用的求解程序
数值方法
出路：
数值方法是一种典型的近似方法
数学家发展起来的数值方法：不能奏效 计算传热学：独具特色的数值方法 推动了计算方法的发展
计算传热学：内涵
计算传热学是一种近似方法
其基础是数值方法
离散化的近似算法 求解区域代表点上待求变量的近似值 一系列的点代表连续的求解区域 离散的待求变量的数值逼近或近似待求变量（连续函数） 离散连续
分析解法与实验研究
分析解法
成本最低 结果最理想 影响因素表达清楚 缺点：局限与非常简单的问题 成本较低：数值实验 适用范围宽 缺点：可靠性差，表达困难 可靠 成本高
数值方法
实验研究
将三种方法有 机结合，互为 补充，必然会 取得相得益彰 的效果
第2讲
传热问题的数学描述
计算传热学习题之四
直角坐标系中的二维稳态导热问题。如图所示，一截面为 LL 的正方形长柱，它的 左边界和下边界维持均匀恒定的温度 T1，上边界和右边界维持均匀恒定的温度 T2，材料 的导热系数为 k(T)。 1、 给出该问题的数学描述并定义适当的无量纲量将之无量纲化； 2、 假定
k k 0 (T T1 ) 3
学习与授课点滴
学：
自学 动手 作业 平时作业：独立完成 期末考试 画龙点睛 经验所得
考核：
Βιβλιοθήκη Baidu
授课：
作业
平时布置的作业：按要求完成 大作业：4个题，要求结课时一并提交
计算传热学习题之一
试以下述一维非稳态导热问题为模型，编写求解一维非稳态扩散型问题的通用程序：
1 T T (kf ) s c f x x k k T x T x
x x0
h0 (T T f 0 ) W0 h L (T T fL ) W L T0 ( x )
x x0
x xL
x xL
T
0
其中，x 是空间坐标变量，是时间坐标变量，T 是温度（分布） ，k 是材料的导热系数，s 是内热源强度，是材料的密度，c 是 材料的比热，h0 和 hL 分别是 x0 和 xL 处流体与固体壁面间的换热系数，而 Tf0 和 TfL 分别是固体壁两侧流体的温度，W0 和 WL 是 x0 和 xL 处(非对流换热)热流密度，T0(x)是固体壁内初始温度分布。注意 k、、c、s、h0 、hL、W0 和 WL 均可以是温度 T 和/或空 间坐标 x 的函数。 f 是坐标系类型开关函数，它是自变量 x 的函数，其定义如下：
1) 2)
将上面的数学模型无量纲化，并给出其分析解； 取=1， 就 PeL=(uL)/=1、10、100 三种情况分别用三点中心差分格式、迎风格式、幂律格式和 QUICK 格式进行计算，并与分析解比较（计算时节点数目可取为 10 ~ 20） ； 3) 改变参数，譬如取=10，重复 2）中的计算； 分析 2）和 3）中得到的结果，对各种格式进行比较。
坐标系不同，控制方程的形式不尽相同
必要的简化与化简
2.1 控制方程
传热的三种模式（Modes of heat transfer)
热传导（Thermal conduction) 热对流（Thermal advection)
对流换热（Convection heat transfer) 辐射换热（Radiation heat transfer)
试采用不同的界面参数插值方法（调和平均、算术平均和用两节点代数平均温度计算界 面参数）计算其温度场。 3、 要求： a) 采用 1111，2121 和 101101 三套网格计算； b) 采用 ADI 线迭代； c) 提供程序清单、磁盘备份和哑元变量表； d) 计算结果分析及你对不同插值方法的评价。 T2
计算传热学
Computational Heat Transfer
主要内容
第一讲：绪论 第二讲：传热问题的数学描述 第三讲：数学模型与求解区域的离散化 第四讲：扩散方程的数值解 第五讲：离散方程的求解、加速及注意事项 第六讲：对流扩散方程的离散化 第七讲：非边界层对流换热的数值计算 第八讲：网格生成技术简介 第九讲：紊流模型
计算传热学：总体步骤 Very
Importan 对数学模型进行简化和化简 t！
简化：物理上的 化简：数学上的
核心内容，成 求解区域的离散化(discretization) 败关键 数学模型的离散化
恰当的方法 建立结点（代表点）处待求变量近似值（未知！！） 之间的代数关系：
离散化方程
Tf h A B
Tf h
计算传热学习题之三
考虑下述一维稳态对流-扩散问题,
d d dU ( uU ) ( )s dx dx dx U x 0 U 0 U
xL
UL
U 0 U L L
2
其中 u 是流速，和均为常数，而 s 是 x 的单值函数，
s 0 .5
x (1 2 ) L
f
1 x x
半径
2
直角坐标 , 圆柱坐标 , 球面坐标
半径
具体要求： 1) 将数学模型无量纲化； 2) 考虑各种可能的边界条件和初始条件组合； 3) 考虑复合介质的情况； 4) 提供完整的程序设计说明，包括数学推导过程和程序使用说明（含哑元变量表） ； 5) 提供源程序清单及其磁盘备份； 程序考题及结果。
T1
T1
第一讲 LECTURE ONE
绪论 INTRODUCTION
阅读要求及作业
陶文铨：数值传热学，第一章 作业：陶文铨，P25 题1－7
什么是计算传热学
借助计算机用数值方法求解传热问题
传热学的基本任务：给出数学模型
数学模型的求解：数学家
问题：
实际问题及其复杂性
特殊问题：数学家也无能为力 借助实验或近似方法求解
现状与分类
现状
成熟的艺术，满足工程与科学研究的需要 向系统化、通用化和商业化发展
多种商业软件 网上资源
Black box program skill easy reading
分类
有限差分法（ Finite difference method）
用差商与代替导数 经典、成熟 数学理论基础明确 主导方法
引言
数值计算的出发点：数学模型 数学模型（Mathematical model)
控制方程（Governing equations)
基于基本原理与定律 偏微分方程组
定解条件（Boundary conditions） 适当选取坐标系可以简化分析
计算传热学：总体步骤
求解离散化方程
制约因素 与分析解对比（简单问题） 实验结果 前人结果 （Benchmark problems） 成品阶段 图线 拟合 分析讨论
可靠性检验
结果表达与分析
历史与现状
基本思想源远流长
Newton & Leibniz 20世纪30年代
出现了有限差分法；图解法 实际需求，计算机的发展
影响计算传热学发展的主要因素
20世纪30年代的有限差分法 30～60年代的大空白
物理现象深入透彻的理解
70年代对流换热计算技术的快速发展 物理机理（physical mechanism）明确 数学上确定
数值方法的发展：相辅相成，互为促进
分类
边界单元法（Boundary element method)
对数学模型在边界上离散化 基于数学模型的基础解 不需要全区域求解 数学技巧要求高 通用性差 数学基础不是非常明确
分类
样条边界单元法（Sample spectrum ~)
改进的边界单元法 用样条插值解决边界元的基础解问题 应用范围大大拓宽 灵活性更强 缺点：同边界单元法
2.1.1热传导
Energy Conservation Equation
( cT ) (T ) qV div (gradT ) qV
符号意义，单位
time thermal conductivity specific heat
有限容积法(Finite volume method)
控制容积法（Control volume method） 基本上属于有限差分法的范畴
分类
有限单元法（Finite element method)
将求解区域分成若干个小的单元（element） 设定待求变量在单元上的分布函数 适应性强，适用于复杂的求解区域 一度有取代有限差分法的趋势 程序技巧要求告 数学基础不如有限差分法明确
计算传热学习题之二
利用第一题你所编制的通用程序求解下面的问题：如下图所示，一厚度为 2的复合平壁具有均匀 的初始温度 T0。在=0 时，突然将之置于温度为 Tf 的无穷大流体介质中，流体与平壁两侧面间的换热 系数为 h(=常数)，同时认定材料的物性及流体温度均为常数： 1) 给出该问题的数学模型并将之无量纲化； 2) 忽略两种材料间的接触热阻，取 Bi=h/kA=4，(c)A=(c)B，分别给出 kA/kB=1，2 和 40 时平壁内的 温度分布随时间的变化关系； 根据你所得到的数值结果，画出各种情况下典型的温度分布，并由此推断当 kA/kB时，左半平壁内 的温度分布与 kA/kB =1，(c)A=(c)B 条件下的温度分布有何联系。 （提示：当 kA/kB =1，(c)A=(c)B 时， 该问题有分析解）
解：非连续的（分析解是连续的）
数值方法的核心：
计算传热学的内涵：
计算传热学：总体步骤
出发点和 基础！
给出物理模型（Physical model / description) 借助基本原理/定律给出数学模型 （Mathematical model)
质量守恒（Mass Conservation） 能量守恒（Energy Conservation） 动量守恒（Momentum Conservation） 傅立叶定律（Fourier’s heat conduction law) 菲克定律（Fick’s mass diffusion law） 牛顿内摩擦定律（Newton’s friction law） 。。。。。。。
热辐射（Thermal radiation)
关系：
共存，相互影响 辐射的特殊性
可以忽略 以边界条件的形式给出
2.1.1热传导
Definition Fourier’s Law T q grad T n n 导热系数 gradT 温度梯度
分类
有限分析法（Finite analytical method)
将求解区域分成若干个子区域 给出在各个子区域上的分析解 利用边界条件耦合各个子区域上的分析解从而得到 离散化方程 最大限度地引入了分析解的成分 一般可以提高求解效率和精度 数学技巧非常高 与问题的性质有关 很难形成通用程序
主要参考书
陶文铨编著. 数值传热学. 西安交通大学出版社 Patankar SV. Numerical Heat Transfer and Fluid Flow. N. Y., McGraw-Hill, 1980 Shih TM. Numerical Heat Transfer, Washington, Hemisphere Publishing Co., 1984 陶文铨著. 计算传热学的近代进展. 科学出版社， 2000年 Anderson JD JR. Computational Fluid Dynamics. McGraw-Hill, 1995
分类
数值积分变换法（Numerical integration transform method)
将积分变换法引入各类问题的求解 将问题进行分解：
可以得到分析解的辅助问题 多个（无限多个）常微分方程 无需整体求解 数学要求高 前期准备工作量非常大 很难形成通用的求解程序
数值方法
出路：
数值方法是一种典型的近似方法
数学家发展起来的数值方法：不能奏效 计算传热学：独具特色的数值方法 推动了计算方法的发展
计算传热学：内涵
计算传热学是一种近似方法
其基础是数值方法
离散化的近似算法 求解区域代表点上待求变量的近似值 一系列的点代表连续的求解区域 离散的待求变量的数值逼近或近似待求变量（连续函数） 离散连续
分析解法与实验研究
分析解法
成本最低 结果最理想 影响因素表达清楚 缺点：局限与非常简单的问题 成本较低：数值实验 适用范围宽 缺点：可靠性差，表达困难 可靠 成本高
数值方法
实验研究
将三种方法有 机结合，互为 补充，必然会 取得相得益彰 的效果
第2讲
传热问题的数学描述
计算传热学习题之四
直角坐标系中的二维稳态导热问题。如图所示，一截面为 LL 的正方形长柱，它的 左边界和下边界维持均匀恒定的温度 T1，上边界和右边界维持均匀恒定的温度 T2，材料 的导热系数为 k(T)。 1、 给出该问题的数学描述并定义适当的无量纲量将之无量纲化； 2、 假定
k k 0 (T T1 ) 3
学习与授课点滴
学：
自学 动手 作业 平时作业：独立完成 期末考试 画龙点睛 经验所得
考核：
Βιβλιοθήκη Baidu
授课：
作业
平时布置的作业：按要求完成 大作业：4个题，要求结课时一并提交
计算传热学习题之一
试以下述一维非稳态导热问题为模型，编写求解一维非稳态扩散型问题的通用程序：
1 T T (kf ) s c f x x k k T x T x
x x0
h0 (T T f 0 ) W0 h L (T T fL ) W L T0 ( x )
x x0
x xL
x xL
T
0
其中，x 是空间坐标变量，是时间坐标变量，T 是温度（分布） ，k 是材料的导热系数，s 是内热源强度，是材料的密度，c 是 材料的比热，h0 和 hL 分别是 x0 和 xL 处流体与固体壁面间的换热系数，而 Tf0 和 TfL 分别是固体壁两侧流体的温度，W0 和 WL 是 x0 和 xL 处(非对流换热)热流密度，T0(x)是固体壁内初始温度分布。注意 k、、c、s、h0 、hL、W0 和 WL 均可以是温度 T 和/或空 间坐标 x 的函数。 f 是坐标系类型开关函数，它是自变量 x 的函数，其定义如下：
1) 2)
将上面的数学模型无量纲化，并给出其分析解； 取=1， 就 PeL=(uL)/=1、10、100 三种情况分别用三点中心差分格式、迎风格式、幂律格式和 QUICK 格式进行计算，并与分析解比较（计算时节点数目可取为 10 ~ 20） ； 3) 改变参数，譬如取=10，重复 2）中的计算； 分析 2）和 3）中得到的结果，对各种格式进行比较。
坐标系不同，控制方程的形式不尽相同
必要的简化与化简
2.1 控制方程
传热的三种模式（Modes of heat transfer)
热传导（Thermal conduction) 热对流（Thermal advection)
对流换热（Convection heat transfer) 辐射换热（Radiation heat transfer)
试采用不同的界面参数插值方法（调和平均、算术平均和用两节点代数平均温度计算界 面参数）计算其温度场。 3、 要求： a) 采用 1111，2121 和 101101 三套网格计算； b) 采用 ADI 线迭代； c) 提供程序清单、磁盘备份和哑元变量表； d) 计算结果分析及你对不同插值方法的评价。 T2
计算传热学
Computational Heat Transfer
主要内容
第一讲：绪论 第二讲：传热问题的数学描述 第三讲：数学模型与求解区域的离散化 第四讲：扩散方程的数值解 第五讲：离散方程的求解、加速及注意事项 第六讲：对流扩散方程的离散化 第七讲：非边界层对流换热的数值计算 第八讲：网格生成技术简介 第九讲：紊流模型
计算传热学：总体步骤 Very
Importan 对数学模型进行简化和化简 t！
简化：物理上的 化简：数学上的
核心内容，成 求解区域的离散化(discretization) 败关键 数学模型的离散化
恰当的方法 建立结点（代表点）处待求变量近似值（未知！！） 之间的代数关系：
离散化方程
Tf h A B
Tf h
计算传热学习题之三
考虑下述一维稳态对流-扩散问题,
d d dU ( uU ) ( )s dx dx dx U x 0 U 0 U
xL
UL
U 0 U L L
2
其中 u 是流速，和均为常数，而 s 是 x 的单值函数，
s 0 .5
x (1 2 ) L
f
1 x x
半径
2
直角坐标 , 圆柱坐标 , 球面坐标
半径
具体要求： 1) 将数学模型无量纲化； 2) 考虑各种可能的边界条件和初始条件组合； 3) 考虑复合介质的情况； 4) 提供完整的程序设计说明，包括数学推导过程和程序使用说明（含哑元变量表） ； 5) 提供源程序清单及其磁盘备份； 程序考题及结果。
T1
T1
第一讲 LECTURE ONE
绪论 INTRODUCTION
阅读要求及作业
陶文铨：数值传热学，第一章 作业：陶文铨，P25 题1－7
什么是计算传热学
借助计算机用数值方法求解传热问题
传热学的基本任务：给出数学模型
数学模型的求解：数学家
问题：
实际问题及其复杂性
特殊问题：数学家也无能为力 借助实验或近似方法求解
现状与分类
现状
成熟的艺术，满足工程与科学研究的需要 向系统化、通用化和商业化发展
多种商业软件 网上资源
Black box program skill easy reading
分类
有限差分法（ Finite difference method）
用差商与代替导数 经典、成熟 数学理论基础明确 主导方法