二项分布与poisson分布
第十章 二项分布和Poisson分布及其应用
Poisson分布
• Poisson分布是描述当试验中成功的概率很小 (如0.05)，而试验的次数n很大的小概率事件
出现规律性的一种离散型随机分布。 • 用于描述在单位时间(空间)内稀有事件的发生数。
医学卫生领域中服从Poisson分布指标
恶性肿瘤的死亡率 ; 放射性物质在单位时间内的放射次数； 在单位容积充分摇匀的水中的细菌数； 野外单位空间中的某种昆虫数等。
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0 012 345
(b)
0.18 0.16 0.14
n =30 π =0.3
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
(d)
•由数理统计学的中心极限定理可知，当n较大、 不接近0也不接 近1时，二项分布B( n , )近似正态分布：
正态近似法
当n较大， p 和 1 p 均不太小，如 np 和 n(1 p) 均
大于5时，利用正态近似的原理，可作样本率p与已 知总体率的比较，检验统计量为：
Z p0 0 (1 0 ) n
例10.6 一项调查结果表明某市一般人群的艾滋病知识 知晓率为65%。现对该市吸毒人群进行调查，在150名 吸毒人员中有130人回答正确。问该市吸毒人群的艾滋 病知识知晓率是否高于一般?
X ~ N(n , n (1 ))
二项分布的应用
• 总体率的区间估计 – 查表法 – 正态近似法
• 单个样本率与总体率比较 – 直接计算概率法
– 正态近似法 • 两样本率的比较
总体率的区间估计
• 查表法：当n≤50时可查表求总体率的95%或 99%可信区间(附表7)。
二项分布及Posson分布
（2）Poisson分布的性质
① Poisson分布的总体均数等于总体方差μ=σ2=λ。
② 当n很大，而π很小，且nπ=λ为常数时，二项分
布近似Poisson分布。
③ 当λ增大时，Poisson分布渐近正态分布。一般，
当λ≥20时，Poisson分布可作为正态分布处理。
④ Poisson分布具有可加性。对于服从Poisson
该函数式是二项函数[π+（1-π）]n的通项
且有：
P( X ) 1
X 0
n
2。二项分布的适用条件
若试验符合下面3个特点，则其某一试验结果
发生的次数服从二项分布，此试验称为贝努利
（Bernoulli）试验。
n次贝努利（Bernoulli）试验中研究事件
发生的次数X服从二项分布。
贝努利（Bernoulli）试验的条件： ① 每次试验只会发生两种对立的可能结果之一 ② 在相同试验条件下，每次试验出现某种结果 （如“阳性”）的概率π固定不变
样本均数与总体均数比较的检验目的 是推断样本均数所代表的总体均数λ与已 知的总体均数λ0是否相等。 可使用的检验方法有：直接计算概率 法和正态近似法
例6-13
有研究表明，一般人群精神发育
不全的发生率为3‰，今调查了有亲缘血统婚 配关系的后代25000人，发现123人精神发育不
全，问有亲缘血统婚配关系的后代其精神发育
第二节
Poisson分布
（Poisson distribution）
一、Poisson分布的概念
Poisson分布最早是由法国数学家SiméonDenis Poisson (西莫恩· 德尼· 泊松 )研究二项
分布的渐近公式是时提出来的。
二项分布与Poisson分布
px 7 1 px 8 1 p(x 8) x 9
1 C180 0.868 0.142 0.58 0.155
因此，10例患者中至少9例有效的概率为0.581，至多7例有效的概率 为0.155。
n
P( X K ) P(K ) P(K 1) P(K 2) P(n) P( X )
K
（3）至多有k例阳性的概率：
k
P( X K ) P(0) P(1) P(2) P(k) P( X )
X= 0, 1, 2, … k…n
0式
生存数 （X）
3
死亡数 （n-X)
0
2
1
1
2
0
3
甲乙 丙
生生 生 生生 死 生死 生 死生 生 生死 死 死生 死 死死 生 死死 死
每种组 每种排列的概率 合的概
px nx1 nx, x 率
0.2×0.2×0.2=0.008 0.2×0.2×0.8=0.032 0.2×0.8×0.2=0.032 0.8×0.2×0.2=0.032 0.2×0.8×0.8=0.128 0.8×0.2×0.8=0.128 0.8×0.8×0.2=0.128 0.8×0.8×0.8=0.512
他观察单位的结果。 6
三. 概率的计算：
从一个阳性率为π的总体中，随机抽取含量为n的样本，则 样本中阳性数X或阳性率p服从二项分布B （ n、π）。
（1）恰有k例阳性的概率：
P(X k) (nk ) k 1 nk
(
n k
)
n! k!(n
k )!
（2）至少有k例阳性的概率：
二项分布与泊松分布的应用
在物理学中，泊松分布 也被用于描述放射性衰 变的期望值，例如式为：DX = λ
方差可以用来衡量随机事件的波 动程度
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
方差的计算需要考虑随机事件的 概率和频率
在泊松分布中，方差与期望值λ相 等
适用场景的对比
计算成功次数
定义：二项分布是描述在n次独立 重复的伯努利试验中成功次数的 概率分布。
公式：X~B(n,p)，其中X表示成 功次数，n表示试验次数，p表示 每次试验成功的概率。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
应用场景：例如，在n次抛硬币试 验中，计算正面朝上的次数。
泊松分布与二项分布的关系：当n 很大，p很小，且np=λ（λ为常 数）时，二项分布近似于泊松分 布。
泊松分布的应用范 围广泛，包括物理 学、生物学、医学 、经济学等领域。
在实际应用中，泊 松分布可以通过数 学公式和概率图来 描述随机事件的概 率分布情况。
计算随机事件的概率
泊松分布适用于 描述单位时间内 随机事件的概率 分布情况
泊松分布的参数 λ表示单位时间 内随机事件的平 均发生率
通过泊松分布， 可以计算出随机 事件发生的具体 概率
注意事项：当n很大或者p很小时，二项分布可能会呈现出泊松分布的特性
与泊松分布的关系：当n充分大且p充分小时，二项分布近似于泊松分布
描述随机事件的概率模型
泊松分布适用于在 一定时间内随机事 件的概率分布，如 单位时间内随机事 件发生的次数。
泊松分布在二项分 布的基础上，考虑 了随机事件的独立 性和成功概率，从 而更准确地描述随 机事件。
二项分布与泊松分布在参数取值范围上也有所不 同，二项分布的参数p取值范围为0<p<1，而泊 松分布的参数λ可以取任意正值。
06二项分布及泊松分布
●Bernoulli 试验（Bernoulli T est）：将感兴趣的事件A出现的试验结果称为“成功”，事件A不出现的试验结果称为“失败”，这类试验就称为Bernoulli 试验●二项分布（binomial distribution）：是指在只会产生两种可能结果如阳性或阴性之一的n次独立重复试验中，当每次试验的阳性概率π保持不变时，出现阳性次数X=0,1,2，…，n的一种概率分布。
●Poisson分布（Poisson distribution）：随机变量X服从Poisson分布式在足够多的n次独立试验中，X取值为1,2,…,的相应概率为…的分布。
★二项分布成立的条件：①每次试验只能是互斥的两个结果之一；②每次试验的条件不变；③各次试验独立。
★二项分布的图形：当∏=0.5，二项分布图形是对称的，当∏不等于0.5，图形是偏态的，随着n增大，图形趋于对称。
当n趋于无穷大时，只有∏不太靠近0或者1，二项分布近似正态分布。
★二项分布的应用总体率的区间估计，样本率与总体率比较，两样本率的比较★Poisson 分布的应用总体均数的区间估计，样本均数与总体均数的比较，两个样本均数的比较：两个样本计数均较大时，可根据Poisson 分布的正态近似性对其进行u 检验。
★Poisson 分布成立的条件：①平稳性：X 的取值与观察单位的位置无关，只与观察单位的大小有关；②独立增量性：在某个观察单位上X 的取值与前面各观察单位上X 的取值无关；③普通性：在充分小的观察单位上X 的取值最多为1。
Poisson 分布，X～P（μ），X 的均数μX =μ，X的方差σ2 =μ，X的标准差σX★Poisson分布的性质1、总体均数λ与总体方差相等是泊松分布的重要特点。
2、当n增大，而∏很小，且n∏=λ总体均数时，二项分布近似泊松分布。
3、当总体均数增大时，泊松分布渐近正态分布，一般而言，总体均数》20时，泊松分布资料做为正态分布处理。
二项分布与泊松分布
正态分布，； 当n足够大，但π很小时，如n≥100而π<0.1或π>0.9时
，二项分布近似于泊松分布。
样本率均数 样本率标准差
p
x
n
n
n
pnx
n(1)
n
(1)
n
样本率p的标准差
pnx
n(1)
n
(1)
二项分布（binomial distribution）
贝努利试验列中成功次数k的概率为： P(X=k)=Cnk πk (1-π)n-k (0<π<1) ，
k=0 , 1 , …，n， 而 Cnk πk (1-π)n-k 二 项 式 恰 好 是 牛 顿 展 开 式 ((π+(1-π)) n的项，故又称为二项分布。
二项分布与泊松分布
n重贝努利试验
在同一条件下独立重复n次试验，每次试验只 有两个可能的对立结果，A与非A , 如成功与 失败 , 其概率P（A）=π , (0< π<1) , 则称这 一系列独立重复试验为n重贝努利试验（贝努 利试验序列）。
n重贝努利试验的三个条件
（1）每次试验只有两个可能的对立结果， A与非A （2）每次试验的条件不变，即每次试验中， 结果A发生的概率P（A）=π （3）各次试验独立，即任一次试验结果与 其它次试验结果无关。
医学中Poisson分布
单位时间（空间、面积）内某稀有事件 发生次数的分布。
如研究细菌、某些血细胞、粉尘等在单 位面积或容积内计数结果的分布，放射 性物质在单位时间内放射出质点数的分 布，在单位空间中某些野生动物或昆虫 数的分布，在一定人群中某种低患病率 的非传染性疾病患病数或死亡数分布。
二项分布、poisson分布和正态分布的关系
二项分布、poisson分布和正态分布的关系二项分布、Poisson分布和正态分布是概率论中常见的三种分布，它们之间有着密切的关系。
首先，二项分布和Poisson分布都属于离散型分布，而正态分布则是连续型分布。
二项分布指的是在n次独立重复试验中成功的次数的概率分布，而Poisson分布则是描述在一段时间内某事件发生的次数的概率分布。
当n很大时，二项分布逐渐逼近Poisson分布。
其次，当n很大而p很小时，二项分布可以近似看作正态分布。
这是由于当n很大时，二项分布的均值和方差均趋近于无穷大，而正态分布的均值和方差也是无穷大的，因此两者可以近似看作相同的分布。
这种近似在统计学中被广泛使用，例如在假设检验和置信区间中的应用。
最后，Poisson分布和正态分布之间也有一定的关系。
当Poisson 分布的参数λ很大时，它也可以近似看作正态分布。
这是由于当λ很大时，Poisson分布的均值和方差趋近于相等，而正态分布的均值和方差也是相等的，因此两者可以近似看作相同的分布。
综上所述，二项分布、Poisson分布和正态分布之间有着密切的关系，在实际应用中它们经常会相互转化和近似。
这些分布的理解和掌握对于进行概率统计分析具有重要的意义。
- 1 -。
概率论与数理统计中的三种重要分布
概率论与数理统计中的三种重要分布摘要：在概率论与数理统计课程中，我们研究了随机变量的分布，具体地研究了离散型随机变量的分布和连续型随机变量的分布，并简单的介绍了常见的离散型分布和连续型分布，其中二项分布、Poisson 分布、正态分布是概率论中三大重要的分布。
因此，在这篇文章中重点介绍二项分布、Poisson 分布和正态分布以及它们的性质、数学期望与方差，以此来进行一次比较完整的概率论分布的学习。
关键词：二项分布；Poisson 分布；正态分布；定义；性质一、二项分布二项分布是重要的离散型分布之一，它在理论上和应用上都占有很重要的地位，产生这种分布的重要现实源泉是所谓的伯努利试验。
（一）泊努利分布[Bernoulli distribution ] (两点分布、0-1分布)1．泊努利试验在许多实际问题中，我们感兴趣的是某事件A 是否发生。
例如在产品抽样检验中，关心的是抽到正品还是废品；掷硬币时，关心的是出现正面还是反面，等。
在这一类随机试验中，只有两个基本事件A 与A ，这种只有两种可能结果的随机试验称为伯努利试验。
为方便起见，在一次试验中，把出现A 称为“成功”，出现A 称为“失败” 通常记(),p A P = ()q p A P =-=1。
2．泊努利分布定义：在一次试验中，设p A P =)(，p q A P -==1)(，若以ξ记事件A 发生的次数，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛ξp q 10~，称ξ服从参数为)10(<<p p 的Bernoulli 分布或两点分布，记为：),1(~p B ξ。
（二）二项分布[Binomial distribution]把一重Bernoulli 试验E 独立地重复地进行n 次得到n 重Bernoulli 试验。
定义：在n 重Bernoulli 试验中，设(),()1P A p P A q p ===-若以ξ记事件A 发生的次数，则ξ为一随机变量，且其可能取值为n ,,2,1,0 ，其对应的概率由二项分布给出：{}k n kk n p p C k P --==)1(ξ，n k ,,3,2,1,0 =，则称ξ服从参数为)10(,<<p p n 的二项分布，记为),(~p n B ξ。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
由于附表百分率的可信区间中X值只列出了X≤n/2的部分，当X＞n/2时，应 以n-X 查表，，再从100中减去查得的数值即为所求可信区间。
例题：实验用大白鼠10只，注射某一剂量毒物后有2只死亡，求该毒物 引起大白鼠死亡率的95％的可信区间？
本例： n 和 n(1 ) 均大于5时，可用正态近似法。
6.1 二项分布(binomial distribution)
■ 二项分布的应用： • 服从二项分布资料的假设检验
（1）建立检验假设，确定检验水准 H 0 : 0 0.75 （2）选定检验方法，计算统计量 H1 : 0 0.05
（3）二项分布的正态近似条件： n 和 n(1 ) 均大于5。
6.1 二项分布(binomial distribution)
■ 二项分布的应用：
• 总体率的估计 1.查表法
当样本含量n较小，如n≤50，特别是p很接近于0或1时，按二项分布的原理
估计总体率的可信区间。因为其计算过程较复杂，统计学家已经编制了百分
2. 二项分布的累计概率（cumulative probability）
至少3人有效的概率：P(X≥3)=P(3)+P(4)+P(5)
P(3) 3！(55！ 3)！ (0.15)2 (0.85)3 0.138178125
P(4) P(3 1) 5 3 0.85 0.138178125 0.391504688 3 1 1 0.85
[(1 ) ]n (1 )n Cn1 (1 ) n1 1 Cn2 (1 )n2 2
C
X n
(1
)
n
X
X
Cnn1 (1 ) n1
n
0.8 (1 0.8) 3 C30 0.80 (1 0.8)30 C310.81(1 0.8)31 C32 0.82 (1 0.8)32 C33 0.83 (1 0.8)33
P(5) 0.855 0.443705313
最多1人有效的概率为： P(X ≤ 1)=P(0)+P(1)
P( X 1) P(0) P(1) 0.155 C51 (0.15)51 0.85 0.002227501
6.1 二项分布(binomial distribution)
■ 二项分布的性质：
■ 二项分布的应用：
• 服从二项分布资料的假设检验
6.1 二项分布(binomial distribution)
■ 二项分布的应用：
• 服从二项分布资料的假设检验 1 直接概率法 例题：某疾病预防控制中心，以往对辖区内锡克氏试验反应阳性的8-15岁 学生接种吸附精制白喉类毒素，后锡克氏试验总阴转率为49.5％。现用一 种新的吸附精制白喉类毒素制剂接种内锡克氏试验反应阳性的8-15岁学生 10人，结果有8人锡克氏试验转阴。试推断该剂型的吸附精制白喉类毒素 能否提高锡克氏试验总阴转率？
■ 二项分布的性质：
3.二项分布的图形及其正态近似条件
6.1 二项分布(binomial distribution)
■ 二项分布的性质：
3.二项分布的图形及其正态近似条件
结论：
二项分布的形状取决于π和n的大小： （1）当π=0.5时，分布对称；当π＜0.5时，分布呈正偏态，且固定n 时, π越小，分布越偏；当π＞0.5时，分布呈负偏态，且固定n时, π越大，分布越偏。 （2）对固定的π，分布随n的增大趋于对称。
■ 复习中学的有关数学概念
6.1 二项分布(binomial distribution)
■ 复习中学的有关数学概念
6.1 二项分布(binomial distribution)
■ 贝努里试验（Bernoulli trial）
6.1 二项分布(binomial distribution)
■ 贝努里试验（Bernoulli trial）
可以证明：当 n 和 n(1) 均大于5时， X ~ N (n , n (1 ))
或
p ~ N ( , (1 )
n
p X n
在 H 0 : 0 0.75 成立的前提下，得：
U
| X n 0 | ~ N (0,1) n 0 (1 0 )
或
U
| P 0 | ~ N (0,1) 0 (1 0 )
X !(n X )!
X 0,1, 2,, n
P( X
)
C
X n
X
(1
)nX
6.1 二项分布(binomial distribution)
■ 二项分布（binomial distribution）概念： • 例3.4 设小白鼠接受一定剂量的某种毒物时的死亡率为80%。若每组各用甲乙丙
3只小白鼠逐个做实验，观察每组小白鼠的存亡情况。如果考虑生、死的顺序时， 则有8种排列方式；如果不考虑生、死的顺序只考虑生死的数目时，则有4种组合方 式，如表3-4第（3）、（4）栏所示。
6.1 二项分布(binomial distribution)
■ 二项分布（binomial distribution）概念： • 该实验是逐只进行的，其实验结果相互独立，根据概率的乘法法则（几 个独立事件同时发生的概率，等于各独立事件的概率之积），可算出每种 排列方式的概率以及每种组合方式的概率，见第（3）、（4）栏。每种组 合的概率分布服从二项展开式：
1 0.008 3 0.032 3 0.1281 0.512 1.0000
P( X ) C3X 0.8X (1 0.8)3X
P(1)
C
1 n
(1
) n1
1
3! (1 1!(3 1)!
0.8) 31 0.81
0.096
6.1 二项分布(binomial distribution)
■ 二项分布（binomial distribution）概念：
■ 二项分布的应用： • 服从二项分布资料的假设检验
样本率与总体率的比较
P(
X
)
C
X n
X
(1
)nX
6.1 二项分布(binomial distribution)
■ 二项分布的应用：
• 服从二项分布资料的假设检验 2 正态近似法
当二项分布的 n 和 n(1 ) 均大于5时，可用正态近似法。
例：已知接种乙型肝炎血源疫苗的抗－HBs的阳转率为75％，今用乙型肝炎 基因工程疫苗接种100人，其中抗－HBs的阳转者90例。试推断乙型肝炎基因 工程疫苗接种是否能提高抗－HBs的阳转率？
6.1 二项分布(binomial distribution)
■ 二项分布的应用： • 服从二项分布资料的假设检验 样本率与总体率的比较
1 直接概率法
6.1 二项分布(binomial distribution)
■ 二项分布的应用： • 服从二项分布资料的假设检验
样本率与总体率的比较
6.1 二项分布(binomial distribution)
6.1 二项分布(binomial distribution)
■ 贝努里试验（Bernoulli trial）
6.1 二项分布(binomial distribution)
■ 二项分布（binomial distribution）概念： • 二项分布（binomial distribution）是指在只会产生两种可能结果如“
Chap7. 二项分布(binomial distribution)与 poisson 分布（poisson distribution）
xjli@ School of public health Shandong University
6.1 二项分布(binomial distribution)
n
本例：U | 82 100 0.75 | 3.461 100 0.75(1 0.75)
（3）确定P值，做出结论
6.1 二项分布(binomial distribution)
则p的总体均数、方差和标准差：
2 p
(1
n
)
p
(1 )
n
p 是率（ p）的标准差， 又称率的标准误，它反映 率的抽样误差的大小。
当仅知道样本率时，则率 的标准差（或标准误）的 估计公式为：
Sp
p(1 p) n
6.1 二项分布(binomial distribution)
■ 二项分布的性质：
6.1 二项分布(binomial distribution)
■ 二项分布的应用条件：
6.1 二项分布(binomial distribution)
■ 二项分布的性质：
1. 二项分布的均数和标准差
总体均数： n
总体方差： 2 n (1 )
总体标准差： n (1 )
如果将出现阳性结果的频率记为：p X n
1. 二项分布的累计概率（cumulative probability）
常用的有左侧累计和右侧累计两种方法。
从阳性率为π的总体中随机抽取n个个体，则 （1）最多有k例阳性的概率 P（X≤k）= P（0）+ P（1）+…+ P（k） (2）最少有k例阳性的概率 P（X≥k）= P（k）+ P（k ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1）+…P（n）
6.1 二项分布(binomial distribution)
■ 二项分布（binomial distribution）概念：
0.8 (1 0.8) 3 C30 0.80 (1 0.8)30 C310.81(1 0.8)31 C32 0.82 (1 0.8)32 C33 0.83 (1 0.8)33
=1- P（X≤k-1） 其中，X=0,1,2,…,k,…,n。
例题：据以往经验，用某药治疗小儿上呼吸道感染、支气管炎，有效率 为85％，今有5个患者用该药治疗，问：① 至少3人有效的概率为多 少？② 最多1人有效的概率为多少？