二项分布
二项分布的分布列公式
二项分布的分布列公式二项分布是概率论和统计学中的一种离散概率分布，描述了在n次独立的伯努利试验中，成功事件发生k次的概率分布情况。
二项分布的分布列公式可以用来计算每个可能取值的概率。
在二项分布中，每次试验的结果只有两种可能，成功和失败。
成功事件的概率记为p，失败事件的概率记为q，其中q=1-p。
在n次独立的伯努利试验中，成功事件发生k次的概率可以通过二项分布的分布列公式计算得到。
二项分布的分布列公式如下：P(X=k) = C(n,k) * p^k * q^(n-k)其中，P(X=k)表示成功事件发生k次的概率，C(n,k)表示从n次试验中取k次成功事件的组合数，p^k表示成功事件发生k次的概率，q^(n-k)表示失败事件发生n-k次的概率。
通过二项分布的分布列公式，我们可以计算出在特定的n次试验中，成功事件发生k次的概率。
这对于很多实际问题的分析和预测都是非常有用的。
例如，假设有一个硬币，正面出现的概率为p，反面出现的概率为q。
现在我们进行了n次独立的抛硬币试验，每次试验的结果只有两种可能，正面或反面。
那么在n次试验中，正面出现k次的概率可以通过二项分布的分布列公式计算得到。
又如，在某个工厂的生产线上，有一种产品的合格率为p，不合格率为q。
现在我们进行了n次独立的产品检验，每次检验的结果只有两种可能，合格或不合格。
那么在n次检验中，合格产品出现k 次的概率可以通过二项分布的分布列公式计算得到。
二项分布的分布列公式的应用非常广泛。
在实际问题中，我们经常需要计算某个事件发生的概率，而二项分布的分布列公式可以帮助我们进行计算。
通过对二项分布的分布列公式的使用，我们可以更好地理解和分析实际问题，并做出合理的决策。
二项分布的分布列公式是概率论和统计学中的重要工具，可以用来计算在n次独立的伯努利试验中成功事件发生k次的概率。
通过对二项分布的分布列公式的应用，我们可以更好地理解和分析实际问题，并做出合理的决策。
二项分布公式和基本特征
二项分布公式和基本特征二项分布是离散型概率分布中常用的一种，亦称为试验次数固定的伯努利分布。
它描述了在进行了n次独立重复的伯努利实验中，成功事件发生的次数的概率分布。
设每次试验中，事件A的概率为p（0≤p≤1），则事件A的概率为q=1-p。
每次试验只有两种结果，即成功（事件A）和失败（事件A的补事件），因此是离散型概率分布。
二项分布的公式可以通过以下方式得到：P(X=k)=C(n,k)*p^k*q^(n-k)其中，P(X=k)表示在n次试验中，事件A发生k次的概率；C(n,k)表示从n次试验中选择k次成功的组合数（计算公式为C(n,k)=n!/(k!*(n-k)!)）；p^k和q^(n-k)分别表示事件A发生的概率p和事件A不发生的概率q。
二项分布的基本特征有以下几点：1.期望值：二项分布的期望值E(X)等于n乘以事件A发生的概率p，即E(X)=n*p。
期望值可以理解为对试验结果的平均预期。
2.方差：二项分布的方差Var(X)等于n乘以事件A发生的概率p乘以事件A 不发生的概率q，即 Var(X) = n * p * q。
方差可以理解为对试验结果的离散程度，其平方根称为标准差。
3.独立性：在二项分布中，每次试验是相互独立的，即每次试验的结果不会受到其他试验结果的影响。
这是二项分布能够描述多次独立重复试验的重要特征之一4.参数范围：二项分布的参数n表示独立重复试验的次数，p表示每次试验成功的概率，而q则表示每次试验失败的概率。
参数n通常是一个非负整数，而参数p的取值范围在0到1之间。
5.形状特征：根据参数n和p的取值，二项分布的概率分布可能具有不同的形状。
当n较大时，二项分布逼近于正态分布，这是由于大样本下的二项分布变得对称且连续。
6.概率计算：通过二项分布的公式，可以计算出事件A发生k次的概率P(X=k)。
通过计算不同的概率，可以进行二项分布的概率分布图像绘制、置信区间计算以及假设检验等各种统计分析。
二项分布的计算公式
1 / 1
二项分布的计算公式
二项分布（Binomial Distribution ）是离散概率分布的一种，描述了在一系列独立的二元实验中成功的次数的概率分布。
在每次实验中，只有两种可能的结果，通常被标记为成功（Success ）和失败（Failure ）。
二项分布的计算公式如下：
其中：
• P(X=k) 是成功的次数恰好为 k 的概率。
• C(n,k) 是组合数，表示从 n 次实验中取 k 次成功的组合数。
计算公式为!(,)!()!
n C n k k n k =− • p 是每次实验成功的概率。
• n 是实验的总次数。
• (1)n k p −−表示失败的概率，即不成功的次数。
这个公式描述了在进行 n 次独立的二元实验中，成功恰好 k 次的概率。
这个概率质量函数适用于二项分布。
例如，如果你进行了10次独立的硬币投掷实验（每次成功的概率为0.5），并想要知道正好有3次正面的概率，你可以使用二项分布的计算公式。
在这种情况下， n=10， k=3， p=0.5，然后使用上述公式计算概率。
初中数学 什么是二项分布
初中数学什么是二项分布
二项分布是概率论中一个重要的离散概率分布，描述了在n次独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。
在初中数学中，学生通常会接触到二项分布的概念和应用。
首先，我们来看一下二项分布的基本概念。
在二项分布中，每次伯努利试验只有两种可能的结果，称为成功和失败。
成功的概率用p表示，失败的概率用q表示，其中q=1-p。
进行n 次独立重复的伯努利试验，我们可以得到成功的次数，记为X。
那么X的取值范围是0到n，即X=0,1,2,...,n。
二项分布的概率质量函数可以表示为：
P(X=k) = C(n,k) * p^k * q^(n-k)
其中，C(n,k)表示从n次试验中取k次成功的组合数，也可以写作C(n,k) = n! / (k! * (n-k)! )。
p^k表示成功的概率为p的k次方，q^(n-k)表示失败的概率为q的n-k次方。
在初中数学中，学生通常会通过具体的例题来理解二项分布的概念和计算方法。
通过计算二项分布的概率，可以帮助学生理解在一定条件下事件发生的可能性，并且可以应用到实际生活中的问题中。
此外，二项分布在实际应用中也有着广泛的应用。
比如在工程、医学、经济等领域中，常常会遇到需要计算多次试验中成功次数的概率分布的问题，而二项分布正是一种常用的工具。
总的来说，二项分布是初中数学中一个重要的概率分布，通过学习和掌握二项分布的概念和计算方法，可以帮助学生更好地理解概率论，并且为将来的学习和工作打下坚实的基础。
二项分布课件
概率与置信水平之间存在一定的关系 。在确定置信区间时，需要考虑到概 率的大小。
概率计算公式
根据二项分布的定义，可以使用概率 计算公式来计算某一事件发生的概率 。公式包括成功的次数和试验次数等 参数。
置信区间的确定
置信区间的概念
置信区间是指在一定置信水平下，某一参数可能取值的一个范围。 在二项分布中，置信区间通常用于估计成功概率的区间范围。
03
记录每次试验的结果， 并计算成功次数和概率 。
04
可使用图形化工具（如 matplotlib）绘制理论 概率与模拟结果的对比 图。
利用R语言进行二项分布模拟实验
安装并打开R语言环境。
使用循环结构模拟多次试 验，并记录每次试验的成 功次数。
使用“runif()”函数生成 随机数作为试验结果（成 功或失败）。
决策树分析的例子包括：项目管理、资源分配、市场营销等。在这些场景中，二 项分布可以用来计算在不同情况下发生特定事件的概率，从而帮助决策者制定更 有效的计划和策略。
二项分布的模拟实
06
验
利用Excel进行二项分布模拟实验
打开Excel软件，选择一个工作表。
在第一列输入试验次数，在第二列输 入每次试验成功的概率。
样本量计算公式
根据二项分布的性质，可以通过计算公式来确定样本数量 。公式通常基于预期的置信区间、置信水平和误差率等因 素。
样本量与置信水平的关系
样本数量与置信水平之间存在一定的关系。通常，要达到 一定的置信水平，需要足够的样本数量来支持。
概率计算
基本概念
概率与置信水平的关系
在二项分布中，概率是指某一事件发 生的可能性。在统计学中，概率通常 用小数或百分比表示。
二项分布课件(上课)
二项分布
例 设某放射性物质平均每分钟放射计数为 5。 X3。则 Xi～P(5)，i=1,2,3。据Poisson分布的可
加性可得X1+X2+X3～P(15)。
现考虑测3个1分钟的放射计数，分别记为X1, X2,
0.2
0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 2 4 6 8 10 12
0.18 0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16
即该放射性物质平均每 30 分钟脉冲计数 的95%可信区间为322.8～397.2个。
样本均数与总体均数的比较
直接计算概率法 正态近似法
u
X 0
0
直接计算概率法
例5.16
H 0： 此地区患病率与一般患病率相等，即 0
H 1： 此地区患病率高于一般患病率，即 0
从某学校随机抽取 26 名学生，发现有 4 名
感染沙眼，试求该校沙眼感染率 95%可信区间
本例 n=26， X =4，查附表 3 的可信度为 95%的 可信区间为(4%，35%)。
总体率的可信区间(正态近似法）
p u
S , p u S p p
例5.4
估计显效率的95%的可信区间
10
20
Poisson分布的正态近似
当20时已接近正态分布，当50时则非 常接近正态分布。
Poisson分布的性质
当20时已接近正态分布，当50时则 非常接近正态分布。 方差等于均数: 2= 泊松分布资料的可加性
服从Poisson分布也有三个条件
二项分布的知识点
二项分布的知识点一、二项分布的定义。
1. 基本概念。
- 在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，不发生的概率为1 - p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k 次的概率为P(X = k)=C_n^k p^k(1 - p)^n - k，k = 0,1,2,·s,n，称随机变量X服从二项分布，记作Xsim B(n,p)。
- 例如，抛一枚质地均匀的硬币n = 5次，每次正面朝上（设为事件A）的概率p=(1)/(2)，那么正面朝上的次数X就服从二项分布Xsim B(5,(1)/(2))。
2. 独立重复试验的条件。
- 每次试验只有两种结果：事件A发生或者不发生。
- 任何一次试验中事件A发生的概率都是一样的，即p不变。
- 各次试验中的事件是相互独立的，即一次试验的结果不会影响其他试验的结果。
二、二项分布的概率计算。
1. 利用公式计算。
- 已知n、p和k，直接代入公式P(X = k)=C_n^k p^k(1 - p)^n - k计算。
- 例如，n = 3，p=(1)/(3)，求k = 2时的概率。
- 首先计算组合数C_3^2=(3!)/(2!(3 - 2)!)=(3×2!)/(2!×1!)=3。
- 然后P(X = 2)=C_3^2×((1)/(3))^2×(1-(1)/(3))^3 -2=3×(1)/(9)×(2)/(3)=(2)/(9)。
2. 利用二项分布概率表（如果有）- 在一些情况下，可以查询专门的二项分布概率表来获取概率值，这样可以避免复杂的计算，尤其是当n较大时。
不过在考试等情况下，通常还是要求掌握公式计算。
三、二项分布的期望与方差。
1. 期望E(X)- 若Xsim B(n,p)，则E(X)=np。
- 例如，若Xsim B(10,(1)/(5))，则E(X)=10×(1)/(5)=2，这表示在大量重复试验下，事件A发生的平均次数为2次。
二项分布的分布律公式
二项分布的分布律公式二项分布的分布律是统计学中常用的一种离散概率分布，它描述了n 个正态独立随机试验中成功次数的概率分布。
在每次试验中，成功的概率为p，失败的概率为q=1-p，成功和失败是互斥且独立的。
一个二项分布的随机变量X可以表示为成功的个数，其取值范围为0到n。
P(X=k)=C(n,k)*p^k*q^(n-k)其中，P(X=k)表示成功次数为k的概率，C(n,k)表示组合数，即从n 个试验中选择k个成功的方式数。
p^k表示成功k次的概率，q^(n-k)表示失败n-k次（即成功n-k次）的概率。
在上述公式中，组合数C(n,k)可以使用以下的公式计算：C(n,k)=n!/(k!*(n-k)!)其中，n!表示n的阶乘，即从n到1的连乘。
阶乘表示将一个正整数和它之前的所有正整数相乘（n!=n*(n-1)*(n-2)*...*3*2*1），并且定义0!=1E(X)=n*pVar(X) = n * p * q其中，E(X)表示期望值，也就是随机变量X的平均值；Var(X)表示方差，描述了X的取值在平均值附近的分散程度。
1.成功次数的分布具有对称性，即P(X=k)=P(X=n-k)。
2.二项分布的形状随着成功概率p的变化而变化。
当p接近0或1时，分布呈现出两侧尖峰，并且主要质量集中在边缘值。
而当p接近0.5时，分布是对称的，主要质量集中在期望值附近。
3.当n足够大时，二项分布可以通过正态分布进行近似。
这是由于中心极限定理的影响，即将多个独立随机变量的和近似为正态分布的情况。
总结起来，二项分布的分布律公式是用于计算n次独立成功/失败试验中成功次数为k的概率。
其公式中包括组合数的计算，成功和失败的概率，以及阶乘的运算。
掌握了二项分布的分布律公式，可以更好地理解和应用二项分布在统计学中的意义和作用。
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标准差为
如果以率表示，将阳性结果的频率记为 ，
则P的总体均数 p
总体方差为
2 p
1
n
总体标准差为
1
p
n
式中 是频率p的标准误，反映阳性频率的
抽样误差的大小。
例4-4 如果某地钩虫感染率为6.7%,随机观察当地 150人,样本钩虫感染率为p,求p的抽样误差 。
例4-2 临床上用针灸治疗某型头疼，有效的概率为60% 现以该疗法治疗3例，其中2例有效的概率是多大？
分析：治疗结果为有效和无效两类，每个患者是 否有效不受其他病例的影响，有效概率均为0.6， 符合二项分布的条件。
2例有效的概率是0.432
一例以上有效的概率为：
P X 1 P 1 P 2 P 3
1
p
n
二、二项分布的应用
（一） 概率估计
例4-5 如果某地钩虫感染率为13%，随机观察当 地150人，其中有10人感染钩虫的概率有多大?
(二)单侧累计概率计算
二项分布出现阳性次数至少为K次的概率为
P X
K
n xk
Pห้องสมุดไป่ตู้X
n xk
n!
X !n
X
!
3!
1!3 1!
0.611
0.6 31
3!
2!3
2!
0.62
1
0.6
32
3!
3!3
3!
0.63
1
0.6
33
0.288 0.432 0.216 0.936
或
（三）二项分布的特征
1. 二项分布的图形特征
n，π是二项分布的两个参数，所以二项分布的形 状取决于n，π。
—————
1.000
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0
1
2
3
x
(0.2+0.8)3 二项分布示意图
构成成-败型实验序列的n次实验中，事件A出现 的次数X的概率分布为：
P X CnX X 1 nX
其中X=0，1，2…，n。 n，π是二项分布的两个参数 。
对于任何二项分布，总有
中国福利彩票
发行量1500万元，特等奖100个，金额5万元； 每张彩票面值2元，中奖概率1/75000。
投入金额 未中概率 中奖概率
100元 1000元 1万元 10万元 100万元 0.99933 0.99336 0.93551 0.51341 0.00127 0.00067 0.00664 0.06449 0.48659 0.99873
3) 各次实验独立。各次的实验结果互不影响。
（二）二项分布的概率函数
二项分布是指在只能产生两种可能结果 （如“阳性”或“阴性”）之一的n次独立重复 实验中，当每次试验的“阳性”概率保持不变时， 出现“阳性”的次数X=0,1,2,…,n的一种概率分 布。
若从阳性率为π的总体中随机抽取大小为n的 样本，则出现“阳性”数为X的概率分布即呈现二 项分布，记作
则死亡鼠数为X的概率分布即表现为二项分布。
所有可能结果 甲、乙、丙
(1) 生生生
表 2.8 三只小白鼠存亡的排列和组合方式及其概率的计算
每种结果的概率
死亡数
生存数
X
nX
(2)
(3)
(4)
0.20.20.2=0.008
0
3
不同死亡数的概率
C
X n
(1
)nX
X
(5)
0.008
生生死
0.20.20.8=0.032
生死生
0.20.80.2=0.032
1
死生生
0.80.20.2=0.032
2
0.096
生死死
0.20.80.8=0.128
死生死
0.80.20.8=0.128
2
死死生
0.80.80.2=0.128
1
0.384
死死死
0.80.80.8=0.512
3
—————
1.000
0
0.512
卫生统计学（第六版）
卫生统计学与数学教研室
第二节 二项分布
一、二项分布的概念与特征
（一）成败型实验（Bernoulli实验）
在医学卫生领域的许多实验或观察中，人们感兴 趣的是某事件是否发生。如用白鼠做某药物的毒性实 验，关心的是白鼠是否死亡；某种新疗法临床实验观 察患者是否治愈；观察某指标的化验结果是否呈阳性 等。将我们关心的事件A出现称为成功，不出现称为失 败，这类试验就称为成-败型实验。指定性资料中的二 项分类实验。观察对象的结局只有相互对立的两种结 果。
成-败型（Bernoulli）实验序列：
满足以下三个条件的n次实验构成的序列称为成 -败型实验序列。
1）每次实验结果，只能是两个互斥的结果之一 （A或非A）。
2) 相同的实验条件下，每次实验中事件A的发生 具有相同的概率π。（非A的概率为1-π）。 实际工作中要求π是从大量观察中获得的较稳定的 数值。
B(X;n,π)或B(n,π)。
二项分布的概率函数
• 任意一次试验中，只有事件A发生和不发生
两种结果，发生的概率分别是: 和1－
• 若在相同的条件下，进行n次独立重复试验，
用X表示这n次试验中事件A发生的次数，那 么X服从二项分布，记做 XB(n,) 或 B(X;n,π) 。
举例 设实验白鼠共3只，要求它们同种属、同 性别、体重相近，且他们有相同的死亡概率， 即事件“白鼠用药后死亡”为A，相应死亡概率 为π。记事件“白鼠用药后不死亡”为 ，相 应不死亡概率为1-π。设实验后3只白鼠中死亡 的白鼠数为X，则X的可能取值为0，1，2和3，
X
1
nX
阳性次数至多为K次的概率为
P
X
K
k x0
P
X
k x0
X
n!
!n
X
!
X
1
nX
例4-6 如果某地钩虫感染率为13%，随机观察当 地150人，其中至多有2人感染钩虫的概率有多大?至少 有2人感染钩虫的概率有多大?至少有20人感染钩虫的 概率有多大?
对于任何一个二项分布B(X;n,π)，如果每次 试验出现“阳性”结果的概率均为π ，则在n次 独立重复实验中，出现阳性次数
X的总体均数为 n
方差为
2 n 1
标准差为 n 1
例 实验白鼠3只，白鼠用药后死亡的死亡概率 π=0.6，则3只白鼠中死亡鼠数X的总体均数为
当π =0.5时分布对称，近似对称分布; 当π ≠0.5时，分布呈偏态，特别是n较小时， π 偏离0.5越远，分布的对称性越差，但只要不接近1和 0时，随着n 的增大，分布逐渐逼近正态。
因此，π或1- π不太小，而n足够大，我们常用 正态近似的原理来处理二项分布的问题。
2. 二项分布的均数和标准差
至多有2名感染的概率为:
至少有2名感染的概率为: 至少有20名感染的概率为:
常用概率分布
小结：
概率分布 1. 二项分布 二项分布的概念 ，二项分布的概率
函数，二项分布的特征，二项分布的均 数和标准差
2.二项分布的应用 概率估计，单侧累计概率计算