第一讲有理数

知 识 点 睛
特 别 提 醒
【例2】(2011·淄博中考)计算：(-2)3+2×(-3). 【思路点拨】乘方运算→乘法运算→加法运算→结果 【自主解答】(-2)3+2〓(-3)=-8+(-6)=-14.
【对点训练】
4.(2012·黔东南中考)计算-1-2等于( (A)1 (B)3 (C)-1 (D)-3 )
【例3】(2011·毕节中考)毕节地区水能资源丰富，理论蕴藏量 达221.21万千瓦，已开发156万千瓦，把已开发水能资源用四舍 五入法保留两个有效数字并且用科学记数法表示应记为( (A)16×105千瓦 (C)160×106千瓦 (B)1.6×106千瓦 (D)0.16×107千瓦 )
【思路点拨】先将156万化为1 560 000，再将其按有效数字及科 学记数法的要求写出. 【自主解答】选B.156万=1 560 000，1 560 000=1.56〓106，保
第一讲 有 理 数
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1.理解：有理数、数轴、相反数、绝对值、倒数、乘方的意义 以及有理数的运算律. 2.掌握：(1)比较有理数的大小； (2)求有理数的相反数、绝对值、倒数；
(3)有理数的加、减、乘、除、乘方运算以及简单的混合运算，
并运用运算律简化运算.
3.会：确定一个数的有效数字，按要求取近似值，并用科学记
解 题 启 示
1.解答新定义运算题目时，应通过观察、类比，把新的运 算符号转化为已有的运算符号，再按照已有的运算法则， 计算出结果. 2.新定义运算问题，一般都会给出示例，在解题时，可参 考示例进行解题. 3.对于新定义运算，一定要注意其运算顺序，含有括号的 要先算括号里的，最终转化为我们所熟悉的常规运算.
特 别 提 醒
【例1】(2012·重庆中考)在-3，-1,0,2这四个数中，最小的 数是( (A)-3 ) (B)-1 (C)0 (D)2
【思路点拨】根据有理数的性质比较. 【自主解答】选A.有理数中，正数大于一切负数，负数小于0，
两个负数比较大小，绝对值大的反而小，所以可得-3最小.
【对点训练】 1.(2012·张家界中考)-2 012的相反数是( )
1.(2011·安徽中考)定义运算a b=a(1－b)，下面给出了关于 这种运算的几个结论： ①2 (－2)=6；②a b=b a；③若a+b=0，则(a a)+ (b b)=2ab；④若a b=0，则a=0,
其中正确结论的序号是_______(在横线上填上你认为所有正确
结论的序号).
(D)0.000 05毫米源自10【解析】选C.5〓10-4=5〓 14 =5〓0.000 1=0.000 5.
9.(2012·嘉兴中考)南海资源丰富，其面积约为350万平方千
米，相当于我国的渤海、黄海和东海总面积的3倍.其中350万
用科学记数法表示为( )
(A)0.35×108
(C)3.5×106
(B)3.5×107
留两个有效数字为1.6〓106.
【对点训练】 7.(2012·黄冈中考)2012年5月25日有700多位来自全国各地的 知名企业家聚首湖北共签约项目投资总额为909 260 000 000元， 将909 260 000 000用科学记数法表示(保留3个有效数字)，正 确的是( ) (B)9.09×1011 (D)9.092 6×1011
数法表示数.
一、有理数的有关概念和性质 整数 分数 1.有理数:_____与_____统称为有理数. 正方向 单位长度 2.数轴:数轴的三要素是原点、_______和_________. 3.相反数： -a (1)a的相反数是___. 0 (2)若a，b互为相反数，则a+b=___. 0 a，b互为相反数⇔a+b=___.
右边 0 的______，原点表示的数是__. ±6 3.数轴上到原点距离为6的数是____.
二、有理数的运算律(用字母表示) b+a 1.加法交换律：a+b=_____；
a+(b+c) 2.加法结合律：(a+b)+c=_________； 3.乘法交换律：ab=___； ba
a(bc) 4.乘法结合律：(ab)c=______； ab+ac 5.乘法分配律：a(b+c)=______.
a *b ab 3 2 a b＞0 ，如3* 2 5， ab 3 2
那么6*(5*4)＝_______.
【解析】5*4=
6*3= 6 3 =1.
63
5 4 =3， 54
答案：1
(D)35×105
【解析】选C.350万=3 500 000=3.5〓106.
【创新命题】新定义运算
【例】(2011·广州中考)定义新运算“ ”，规定：a b＝
1 a-4b，则12 (－1)=______. 3
【解题导引】理解所给新定义运算的运算法则，确定出运算顺
序，计算并得出结果. 【规范解答】根据定义，12 (-1)= 答案：8
【解析】根据规则计算，2 (－2)=2〓［1-(-2)］=6，故①正 确；a b= a(1－b)，b a=b(1－a)，因而a b≠b a，故② 错；(a a)+(b b)= a(1－a)+b(1－b)=a-a2+b-b2，因为a+b=0， 所以a2=b2，故(a 若a a)+(b b)=-2a2，而2ab=-2a2，故③正确；
3.(2011·成都中考)已知实数m, n在数轴上的对应点的位置如 图所示，则下列判断正确的是( )
(A)m>0
(B)n<0
(C)mn<0
(D)m-n>0
【解析】选C.因为实数m的对应点在原点左方，所以m<0；实数
n的对应点在原点右方，所以n>0.从而mn<0，故选C.
有理数的运算 ◆中考指数：★★★☆☆
【即时应用】
［－4 －25 ］ 1.1.25×(－4)×(－25)×8=(1.25×8)×____________.
1 6 ( ) 2 1 ］=(-6)× 2 +____________. 2.(-6)×［ ( ) 4 3 4 3
三、有效数字及科学记数法
左边 1.有效数字：一个近似数，从______第一个不为零的数字起，
1 〓12-4〓(-1)=8. 3
【名师点评】通过对新定义运算的分析和总结，我们可以得到 以下该类型题目的创新点拨和解题启示： 创 新 点 拨 1.新定义运算题目中的运算法则都是以我们学过的加、减、 乘、除、乘方、开方等运算为基础，给出一个新定义运算 法则. 2.新定义运算是阅读理解问题的一种形式，主要考查阅读 理解能力和新知识的学习能力.
【核心点拨】 1.0不仅仅表示“没有”，它还是一个特定的数，它是正数与 负数的分界线，它既不是正数，也不是负数，但它是整数. 2.任何有理数都可以用数轴上的点表示，但并不是数轴上的每 一个点都表示有理数. 3.求一个非零数的相反数，只改变数的符号，不改变数的绝对
值，特别注意0的相反数是0.
4.求一个非零数的倒数只改变数的绝对值，而不改变数的符号，
a,a 0， 4.绝对值： 0,a 0， a a,a 0.
1 5.倒数：a(a≠0)的倒数是___.a，b互为倒数⇔ab=1. a
【即时应用】
1 8 8 1.－8的相反数是__，绝对值是__，倒数是___. 8
左边 2.数轴上表示负数的点在原点的_____，表示正数的点在原点
(A)909×1010 (C)9.09×1010
【解析】选B.909 260 000 000共有12位整数，用科学记数法表
示(保留3个有效数字)为9.09〓1011.
8.(2010·孝感中考)某种细胞的直径是5×10-4毫米，这个数
是(
)
(B)0.005毫米
(A)0.05毫米
(C)0.000 5毫米
【解析】选D.-1-2=-1+(-2)=-3.
5.(2011·德州中考)下列计算正确的是(
)
(A)(-8)-8=0
(C)-(-1)0=1
(B) ( 1 )×(-2)=1
2
(D)|-2|=-2
【解析】选B.A选项错误，正确结果为(-8)-8=-16;B选项正确；
C选项错误，正确结果为-(-1)0=-1；D选项错误，正确结果为 |-2|=2.
到末位数字止，所有的数字都叫做这个数的有效数字. a×10n 2.科学记数法：一般形式为________(1≤|a|<10，n为整数).
【即时应用】 百万分 1.0.001 040的有效数字有___个，精确到_______位. 4 2.5 600用科学记数法表示为__________. 5.6×103 3.0.000 023用科学记数法表示为_________. 2.3×10-5
b=a(1－b)=0，则a=0或b=1，故④错.
答案：①③
2.(2011·怀化中考)定义新运算：对任意实数a，b，都有a b
＝a2－b.例如，3 2＝32－2＝7，那么2 1=_____.
【解析】根据新定义运算法则，易知2 1＝22－1＝3.
答案：3
3.(2011·毕节中考)对于两个不相等的实数a,b，定义一种新 的运算如下，
1 4.2-2=___. 4
【记忆助手】 有理数运算的快速记忆方法 1.加法运算：同号两数来相加，绝对值加不变号.异号相加大 减小，大数决定和符号.互为相反数求和，结果是零需记 好.(注：“大”减“小”是指绝对值的大小)
2.减法运算：减正等于加负，减负等于加正.
3.乘法运算：同号得正异号负，一项为零积是零.
(A)- 2 012
(C) 1
2 012