可计算性理论(杨东屏,李昂生著)思维导图
计算思维视角（第2版）
计算思维视角（第2版）•内容简介:从计算思维视角出发，重新组织大学计算机入门教材，主要内容包括：计算机基础知识，计算理论与计算模型，算法与程序设计基础，计算机硬件和软件基础，以及IT新技术和计算机素质教育等。
以计算思维为主线，着重培养学生的问题求解能力、系统设计能力和人类行为理解能力。
《大学计算机：计算思维视角（第2版）/教育部大学计算机课程改革项目规划教材》力求做到传承计算文化、弘扬计算科学、培养计算思维，使读者体验计算的愉悦、感悟计算之美。
•作者简介:陈国良，中国科学技术大学／深圳大学教授，中国科学院院士。
主要研究领域为并行算法和高性能计算及其应用等。
先后承担了国家863计划、国家973计划、国家攀登计划、国家自然科学基金等10多项科研项目，发表论文200多篇.出版学术著作和教材10多部。
曾获得国家科技进步二等奖、教育部科技进步一等奖、水利部大禹一等奖、中国科学院科技进步二等奖和自然科学三等奖、国家级教学成果二等奖、首届全国高等学校教学名师奖、CCF杰出教育奖、安徽省重大科技成就奖等共20多项奖项，并获安徽省劳动模范称号。
陈国良院士是我国非数值并行算法研究的学科带头人，他率先创建的第一个国家高性能计算中心是我国并行算法研究、环境科学与工程计算软件的重要基地，在学术界和教育界有一定的影响和地位。
王志强，深圳大学教授。
主要研究领域为多媒体信息处理和计算机教育等。
先后承担了省部级研究项目7项，发表论文80多篇，出版著作或教材20余部。
曾获得普通高等教育“十一五”国家级规划教材1部，广东省精品教材1部，广东省高等教育教学成果一等奖2次、二等奖3次，广东省精品课程2门。
•目录:第1章计算机基础知识1.1计算机概述1.1.1计算机的定义1.1.2计算机的分类1.1.3计算机的特点1.1.4计算机的应用领域1.2计算机运算基础1.2.1数制及其转换1.2.2存储单位及地址1.2.3数值型数据表示1.2.4字符型数据编码1.2.5多媒体信息编码1.3计算机工作原理1.3.1指令和指令系统1.3.2计算机程序设计1.3.3计算机程序执行1.4计算学科的典型问题1.4.1排序问题1.4.2汉诺塔问题1.4.3国王的婚姻1.4.4旅行商问题本章小结思考题参考文献第2章计算理论与计算模型2.1计算的几种视角2.1.1计数与计算2.1.2逻辑与计算2.1.3算法与计算2.2计算理论2.2.1计算与问题求解2.2.2可计算性理论2.2.3停机问题2.2.4计算复杂性理论2.2.5公钥密码学2.3计算模型2.3.1图灵机2.3.2冯·诺依曼机*2.3.3量子计算机*2.3.4生物计算机*2.4计箅科学的数学基础2.4.1数理逻辑2.4.2集合论2.4.3代数系统2.4.4图论本章小结思考题参考文献第3章算法基础3.1算法的概念3.1.1算法的起源3.1.2算法的定义和特征3.2算法的描述3.2.1自然语言3.2.2流程图3.2.3伪代码3.2.4程序语言3.3算法的设计3.3.1穷举法3.3.2回溯法3.3.3递归3.3.4分治法3.3.5贪心法3.3.6动态规划*3.4算法的评价和分析3.4.1算法的正确性3.4.2算法的复杂度*3.5算法中的常用数学工具3.5.1求和3.5.2递归方程求解本章小结思考题参考文献第4章程序设计基础4.1程序设计的概念4.1.1什么是程序4.1.2程序设计4.2程序设计语言4.2.1机器语言4.2.2汇编语言4.2.3高级语言4.2.4第四代语言4.3Raptor编程基础4.3.1什么是Raptor4.3.2Raptor的符号4.3.3变量和常量4.3.4输入语句4.3.5赋值语句4.3.6输出语句4.4Raptor控制结构4.4.1顺序结构4.4.2选择结构4.4.3循环结构4.5调用语句与子图本章小结思考题参考文献第5章计算机硬件基础5.1计算机硬件系统5.1.1计算机硬件的组成5.1.2中央处理器5.1.3存储器系统5.1.4输入设备5.1.5输出设备5.2计算机系统结构5.2.1并行处理的概念5.2.2流水线处理机5.2.3并行处理机5.2.4多处理机系统5.2.5机群系统5.3嵌入式系统基础5.3.1嵌入式系统的应用5.3.2嵌入式系统的定义5.3.3嵌入式系统的特点5.3.4嵌入式系统的组成5.3.5嵌入式操作系统5.4多媒体系统基础5.4.1多媒体技术的基本概念5.4.2多媒体系统的层次结构5.4.3多媒体系统的基本组成5.4.4多媒体系统的应用领域5.5计算机网络基础5.5.1网络的基本概念5.5.2网络体系结构5.5.3互联网及其应用5.5.4网络安全技术本章小结思考题参考文献第6章计算机软件基础6.1计算机软件概述6.1.1计算机软件的定义……第7章IT新技术第8章大学计算机素质教育。
思维导图在初中数学教学中的运用分析_1
思维导图在初中数学教学中的运用分析发布时间：2021-01-22T15:24:10.427Z 来源：《创新人才教育》2021年2期作者：陆厍宁[导读] 思维导图是由英国著名心理学家东尼?巴赞提出的一项思维工具，它主要通过图形、线条的形式将人类左脑中逻辑、顺序、文字、条例以及右脑中的图像、想象、空间、整体等进行直观性表达，实现人脑中思维过程的再现，以便于人们对自身思维的整理、延伸及拓展，提高学习及工作的效率。
广西壮族自治区来宾市忻城县民族中学陆厍宁 546200摘要：思维导图是由英国著名心理学家东尼?巴赞提出的一项思维工具，它主要通过图形、线条的形式将人类左脑中逻辑、顺序、文字、条例以及右脑中的图像、想象、空间、整体等进行直观性表达，实现人脑中思维过程的再现，以便于人们对自身思维的整理、延伸及拓展，提高学习及工作的效率。
基于此，以下对思维导图在初中数学教学中的运用进行了探讨，以供参考。
关键词：思维导图；初中数学教学；运用分析引言:思维导图指通过图文并重的形式对主题关键词、图像、颜色等进行表现，从而帮助人以更具联系性的方式进行记忆与思考，是一种将思维形象化的方法。
随着思维导图的不断发展与推广，其在现代教育中逐渐得到了广泛应用，是当前学校各科的重要教学方法。
将思维导图运用于初中数学教学，能够从多个方面促进教学优化与改善，故而在教学中探索行之有效的导图运用方法已然成为当下教师的重要任务。
一、通过思维导图的运用，强化初中数学概念教学的效果在初中数学课堂教学中，概念教学是非常关键的一个教学内容，对于学生数学知识、技能的掌握以及解题能力的培养具有重要的促进作用。
但是数学概念作为初中数学教学中最为抽象、枯燥的一项学习内容，一直以来都是学生数学学习过程中的重点和难点部分。
数学概念教学的效率直接影响着初中数学课堂教学的效率。
但是在以往的初中数学概念教学中，教师只是片面的要求学生通过死记硬背的方式进行数学概念的记忆，而不注重学生对数学概念的内涵是否进行了深刻的理解，从而导致学生对一些数学概念一直是一知半解，影响了学生数学知识体系的整体构建和后续数学学习的效率。
思维导图(中文版)第一章
第一卷天然结构不管你是谁，在什么地方，你都在使用——通过阅读这些文字——自己的大脑：它是我们这个已知的宇宙里最为美丽、错综复杂、神秘和力量巨大的物体。
作为一种进化模型，我们只有四万五千年的岁数，可人类现在却站在了一场会改变人类进程的革命关口。
在过去人类有智力以来的三百五十万年里，人类的这份智力已经意识到，它可以理解、分析和滋养它自身了。
通过把自己应用到自身，人类的智力可以开发出一些新的思维办法，它们比目下正在全世界使用着的传统思维方式更灵活，更有力量。
只是在过去的几个世纪里，人类才刚开始收集有关大脑结构和机制的信息。
我们发现的东西使我们激动不已，就这个课题所发表的论文和文章也与日俱增。
的确，有人计算过，在已经得到的人脑信息中，有90%是在最近的十年里积累起来的。
尽管离完全了解还有很长的一段路要走（我们越来越感觉到，已知的一切只不过是未知事物微小的一个部分），但是，我们现在已经知道的一切，足以使我们永久地改变对他人和自己的看法了。
那么，我们已经发现了什么，怎样回答下面这些问题？1 大脑的各个组成部分是什么？2 我们如何处理信息？3 大脑的主要功能是什么？4 技能中心是怎样在大脑中分布的？5 我们如何以最为容易的办法学习和回忆？6 人脑基本上是个制作模式的装置还是个寻找模式的装置？7 那些杰出而又普通的人，他们使用了什么样的技巧来记忆比平常人多得多的东西？8 为什么一些人对自己大脑的容量和功能陷人绝望？9 自然和合适的思维方法有哪些？10 什么是人类思维自然和合适的表达？第一卷回答所有这些问题，它介绍你进人自己的大脑这座令人惊奇的天然结构，从细胞水平到宏观结构无所不包，还向你介绍大脑功能的主要原理。
你会看到，一些杰出的头脑是如何使用一些人人都可用的技巧的，为什么90%的人都对自己的思维功能不甚满意。
在本卷最后的几章里，你会看到一种新的、以大脑为基础的高级思维方式；放射性思维及其自然表达：思维导图。
第1 章令人惊奇的大脑预览•导语•现代大脑研究•学习和记忆的心理学•形态-一整体概念•作为放射性思维联想机器的大脑•人类智力发展史•下章简述导语本章请你乘上协和机，纵览对于人脑这台令人惊讶的生物电脑进行的生物生理学和神经生理学的最新研究。
001计算思维PPT课件
计算学科/Computing Discipline:是对 描述和变换信息的算法过程进行系统的研究 ，它包括算法过程的理论、分析、设计、效 率分析、实现和应用等。(计算机视角)
以自然界为主要研究对象，运用实证、 理性和臻美等方法，揭示自然的奥秘， 获取自然的真知。
人文科学 humanities
以人类作为主要研究对象，运用实地考 察、诠释和启示等方法，认识人、人性 和人生的意义，提升人的精神素质和思 想境界。
社会科学 Social Science
以社会领域为主要研究对象，运用调查、 统计和归纳等方法，把握社会规律，解 决社会问题，促进社会进步。
如何界定自然科学？物理学，化学，…… 计算科学？数学？
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科学与计算科学
美国能源部报告认为：高端计算目前已经与理论研
究、实验手段一起，成为获得科学发现的三大支柱。因
此，理论科学、实验科学和计算科学是推动人类文明进
步和科技发展的重要途径。
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科学与计算科学
二、计算科学与计算学科 计算科学/Computational Science：一种与
第一讲
教学目标
➢ 了解科学、计算、计算科学与计算学科、思维与计 算思维的基本概念
➢ 了解计算学科与其它学科之间的关系 ➢ 了解计算思维的作用，学会计算思维的基本方法，
掌握其基本技能 ➢ 了解运用计算机求解问题的基本思路和一般过程
知识要点
➢计算、可计算性以及计算学科的概念 ➢思维、计算思维进行问题求解的一般过程 ➢计算思维在人类社会的经济、科技等各领域
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科学与计算科学
第2章可计算性理论基础
第2章可计算性理论基础可计算性理论(computability theory) 是研究计算的一般性质的数学理论，也称算法理论或能行性理论. 可计算理论的重要课题之一就是通过建立计算的数学模型给出“计算”这一直观概念的数学描述，并明确区分哪些是可计算的，哪些是不可计算的.“计算”是人类基本的思维活动和行为方式, 也是人们认识世界与改造世界的基本方法. 随着计算机的诞生和计算机科学技术的发展, 计算技术作为现代技术的标志, 已成为世界各国许多经济增长的主要动力, 计算领域也已成为一个极其活跃的领域. “计算”作为一门学科是在上个世纪末才为人们真正认识的，这要归功于美国计算机学会（简称ACM）和美国电气和电子工程师学会计算机分会（简称IEEE-CS）组成的联合攻关组成员的艰苦卓绝的工作①. 目前，计算学科正以令人惊异的速度发展, 并大大延伸到传统的计算机科学的边界之外, 成为一门范围极为宽广的学科②. 如今, “计算”已不再是一个一般意义上的概念, 而是“各门科学研究的一种基本视角、观念和方法, 并上升为一种具有世界观和方法论特征的哲学范畴”③.可计算性理论是计算机软件与理论的重要组成部分之一，也是计算机科学的理论基础. 20世纪30年代图灵在可计算性理论方面取得的研究成果，对后来出现的存储程序计算机(即冯·诺伊曼型计算机) 的设计思想产生了重要影响. 目前，可计算性理论的基本概念、思想和方法已被广泛应用于计算机科学的各个领域，如算法设计与分析、计算机体系结构、数据结构、编译方法与技术、程序设计语言语义分析等.在本章中, 我们不仅能了解到计算概念的形成与发展, 弄清计算的本质, 而且能感受数学的魅力和数学家们在建立可计算性理论基础过程中所展现出的聪颖与智慧. 通过本章的学习, 要充分认识可计算性概念本质, 深入理解可计算性概念数学表示和定义的基本思想方法, 初步弄清各类可计算性函数之间的关系, 重点掌握递归函数的基本概念与基本性质.§1 计算概念的形成与发展计算概念的形成与发展经历了漫长的历史，它是计算科学思想史研究的主要线索之一. 尽管目前我们还无法考证人类究竟是从什么时期开始计数和进行数的运算，但从现有的考古发现和有文字记载的史料中，我们仍然可以捕捉到早期人类在计算领域取得的成就以及从中体现出的人类智慧. 在《力量—改变人类文明的50大科学定理》一书中，作者将公式“1+1=2”列为之首是有充分道理的，人类对数的可加性的发现和推广应用正是数学科学的全部根基④. 计算概念的形成与发展目前尚无系统的研究结果，我们不妨从以下几个方面加以认识.一、计算概念的初识—抽象思维的进步人类的计算是伴随着人类文明的起源和进步而产生和发展的. 最初计算的表现形式是“计数”，“数”的概念是人们通过计数认识的. 在漫长的进化和发展过程中，人类的大脑逐渐具有了①Denning P J, et al. Computing as a discipline. Communications of the ACM [J]. 1989, V ol.32(1).②董荣胜, 古天龙. 计算机科学技术与方法论[M]. 北京: 人民邮电出版社, 2002.③郝宁湘. 计算: 一个新的哲学范畴. 哲学动态[J]. 2000年第11期.④李啸虎, 田廷彦, 马丁玲. 力量—改变人类文明的50大科学定理[M]. 上海: 上海文化出版社, 2005.一种特殊的本领，这就是把直观的形象变成抽象的数字，进行抽象思维活动. 正是由于能够在“象”和“数”之间互相转换，人类才真正具备了认识世界的能力. 从“计数”到“数”的概念形成，是人类在抽象思维领域中迈出的辉煌一步.考古发现最早人类留有计数痕迹的东西是一些带有刻痕的骨头，这些骨头出土于欧洲西部，距今已有2万至3万年的历史，当时生活在这一地区的是奥里尼雅克（Aurignacian）时期（法国旧石器时代前期）的克罗麦昂（Cro-Magnon）人. 把形象事物以刻痕的形式表示并记录在骨头上，表明当时的人类已或多或少地认识了“映射”的概念，而这一概念却是数学科学中最为基本也是十分重要的一个概念. 人类最早使用计数系统的证据，是1937年在捷克斯诺伐克（Czechoslovakia）出土的2万年前的狼的颚骨，颚骨上“逢五一组”，共有55条刻痕. 这样的计数方式被人类延用至今，“正”字计数法便是例证.研究地球的构造和历史的地质学家和观察人类的体质和社会特征的人类学家向我们提供了早期人的种种遗迹，他们通过地层里各时期的堆积物的相对位置来估测远古至今各个时代的顺序，并以此来探索人类科学的起源①. 另一方面，研究科学思想史的科学家们则倾向于从自然科学最初形成的学科体系中寻觅人类科学思想史的根源，认为：“古代科学最先发展起来的是天文学与数学，其次是力学，此外还有一些生物学与医学方面的研究，因为这几个学科同古代人类的生产与生活关系最为密切.”②然而，如果没有更早期人类对数的认识、数的表示和数的计算等方面取得的成就，无论是在古埃及通过人们反复测量土地诞生的最初的几何学，还是古巴比伦人最早认识的“金星运动周期”和对日食、月食的预报，都是不可能的，这是一个可想而知的事实. 令人遗憾的是，在如今的诸多科学史和科学思想史研究的著作中，这一点往往被忽视了.二、计算概念的定义—计算本质的揭示在数学科学领域，与“计算”密切相关的概念之一是“算法”，任何计算都是在一定算法支持下进行的. 公元前3世纪，古希腊和中国的数学家就有了算法的概念，象当时的欧几里得辗转相除法就是最好的例子. 大约在公元9世纪初期，阿拉伯著名数学家、天文学家和地理学家花剌子密就给出了现在人们所熟悉的自然数运算规则. 在一个相当长的时期里，人们把“确定关于数学对象（如整数、实数、连续函数等）的各种命题是否正确”作为数学的基本任务. 随着社会的发展以及生产实际的需要，人们逐步开始关心另一类数学任务，“其中之一是在数学发展早期就被认为有极大的重要性，而且至今还在产生着具有重大数学意义的问题，即解决各种问题的算法或能行的计算过程的存在性问题.”③然而，要想真正解决这一问题，就必须对“计算”的概念有一个清楚的认识. 到了20世纪30-40年代，一些著名的数学家几乎同时完全独立地给出了相当于能行可计算函数概念的各种确切定义，其中包括Church的 -可定义性概念④，Herbrand-Gödel-Kleene的一般递归性概念⑤，Turing的可计算性概念⑥等, 经证明，这些形式上完全不同的概念是等价的. 随着计算机的出现和计算机程序设计语言的发展，到了20世纪50-60年代，人们又从不同的角度给出了可计算性函数的一些定义，其中有基于基本字符集算法的Markov①丹皮尔著, 李珩译. 科学史及其与哲学与宗教的关系（第四版）[M]. 北京: 商务出版社, 1987.②林德宏. 科学思想史[M]. 南京: 江苏科学技术出版社, 1985.③戴维斯著, 沈泓译. 可计算性与不可解性[M]. 北京: 北京大学出版社, 1984.④Church A. The Calculi of Lambda-conversion [M]. Princeton : Princeton University Press, 1941.⑤Kleene S C. General Recursive Function’s of Natural Numbers. Mathematische Ann.[J]. 1936 (112): 727-742.⑥Turing A M. On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungs problem. Proceedings of LondonMathematical Society [J]. 1936-1937(45-46): 230-256, 544-546.可计算函数，以及基于URM理想计算机的Shepherdson-Sturgis可计算函数等. 同样，后两者所描述的可计算函数类与前面所提到的是相一致的①.三、计算概念的发展—计算方式的进化人们在计算领域的探索和追求，导致了计算工具的发展，而计算机工具的发展，特别是电子计算机的出现以及它在各个领域的广泛应用，又促进了计算方式的不断进化. 人类的计算方式已由早期的手工和机械方式，进化到了现代的电子计算方式. 计算理论如何发展，计算方式如何进一步演变，是当今人类十分关注的问题. 20世纪90年代，美国计算机科学家Adleman博士在美国《科学》杂志上发表文章，针对组合数学的有关问题，提出了分子计算模型，即DNA计算模型，并以解决7个结点的Hamilton问题为实例，成功地在DNA溶液的试管中进行了运算实验②. 与此同时，量子计算在理论上取得重大进展. 量子计算概念是由美国阿冈国家实验室的Paul Benioff 在20世纪80年初提出的③. 到了1994年，Bell实验室的应用数学家Peter Shor于当年IEEE基础计算理论年会发表突破性工作——快速整数因数分解方法④，使量子计算的潜在应用实力迅速引起广泛关注. 虽然DNA计算和量子计算目前在理论上尚在雏形，但是我们相信，随着历史的前进和人类科技的进步，人们在新型计算机理论研究与应用方面必将取得辉煌的成就, 这些成就将表明：人类在计算领域的探索是永无止境的，其前景是广阔的.在本章接下来的小节和段落中，我们将从基于URM理想计算机的Shepherdson-Sturgis可计算性函数描述和Herbrand-Gödel-Kleene一般递归函数的定义两个方面来介绍可计算性理论的基本知识.§2 算法与能行过程“计算”是解决问题的最基本手段. 随着计算机科学与技术的发展，“计算”的内涵与外延均发生了巨大的变化，其应用范围涉及到了社会发展的各个领域. “计算”离不开计算的规则与方法，正确的计算规则建立与可行的计算方法设计是正确地解决问题的关键所在. 这其中便涉及到“算法”的概念.一、算法概念的由来“算法”在中国古代文献中称为“术”，最早在《周髀算经》、《九章算术》等数学名著中均有充分体现，如《九章算术》中给出的四则运算，求最大公约数、最小公倍数、开平方根、开立方根的方法，求素数的埃拉托斯特尼筛法以及线性方程组求解方法等等，都是为现代人所熟悉的算法.现代人们普遍使用的英文算法Agorithem一词与阿拉伯数学家花剌子密以及他在代数和算术领域作出的重要贡献密切相关. 花剌子密是生活在8世纪末9世纪初波斯的一位数学家、天文学家及地理学家，也是当时巴格达智慧之家的学者. 花拉子米在数学领域最主要贡献是他在9世纪①Cutland N. Computability-An introduction to recursive function theory [M]. London: Cambridge Uni. Press, 1980.②Adleman L. Molecular computation of solutions to combinatorial problems. Science[J]. 1994(266-11): 1021-1024.③Benioff P. The computer as a physical system: A microscopic quantum mechanical Hamiltonian model of computersas represented by Turing machines, Journal of Stat. Phys.[J]. 1980(22): 563-591.④Shor P W. Algorithms for quantum computation: discrete log and factoring. Proc. of the 35th Annual Symposium onFoundations of Computer Science ( IEEE Computer Society Press, Los Alamitos, CA), 1994: 12.30年代完成的著作《代数学》，该书首次系统地给出了解决一次方程及一元二次方程的理论与方法，大为扩阔了此前的数学概念，为数学的发展开辟了一条新路径. 正是因为在代数领域的特殊贡献，是他获得了“代数创造者”的殊荣，这一美誉与较之早500多年的古希腊数学家丢番图所获得的“代数之父”美称齐名. 花剌子密在数学领域的另一项重要贡献是关于“算术”的. 在825年他所著的《印度数字算术》一书中，采用了印度-阿拉伯数字系统，即十进制进位制的记数系统，并给出了数的运算规则. 花剌子密在印度数字方面的著作被翻译成拉丁文，并在中世纪时传入中东和西方，对西方中世纪的科学发展起了重要的作用. 《印度数字算术》的拉丁语翻译是“Algoritmi de numero Indorum”，而花剌子密的拉丁文音译则为Algorithm，其中包含了“花剌子密”运算法则之意，此便是英文中“算法”一词的由来. 如今Algorithm已由一个数学家名字的音译变成了一个十分重要的数学概念.二、算法概念的描述迄今为止，尚无算法概念的确切定义，这是因为几乎所有问题的解决方法都可由所谓的算法来描述. 面对问题的多样性和复杂性，当我们试图用语言对“变化莫测”的算法给出一个系统而又明确的定义的时候，总有“此消彼长”或“顾此失彼”的感觉. 对此，人们通常以“共性”的特征给出算法的一般性描述，而在特定的学科或应用领域将相关的算法概念具体化.算法（Algorithm）是解决一类问题方法，可以理解为由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整和有限的解题步骤. 算法的执行过程是针对一类问题中的特例而进行的，即能够对一定规范的特定输入，在有限时间内获得所要求的输出结果，从而达到解决问题的目的.算法的表示方法很多，通常有自然语言、伪代码、流程图、程序设计语言、控制表等. 用自然语言描述算法往往显得冗长且容易引起歧义，因此很少用于在技术层面上较为复杂的算法描述；伪代码、流程图和控制表等以结构化的方法来表示算法，可以避免自然语言描述中普遍存在的二义性问题，因而是算法表示的常用工具；用程序设计语言的主要目的就是通过对算法进行编程使之在计算机上得以实现.在实际应用中，算法应具有以下几个方面的特征:（1）输入项：一个算法有0个或多个输入，是算法执行的初始状态，一般由人为设定. 0输入的情形通常发生在算法的初始状态由算法本身来设定的情况下.（2）输出项：一个算法必须有一个或多个输出，以反映算法对输入数据加工后的结果. 没有输出的算法是毫无意义的.（3）明确性：算法的描述必须无歧义并且每一步骤都有确切的定义，以保证算法的实际执行结果是正确的并能符合人们的希望和要求.（4）可行性：也称有效性或能行性. 算法中描述的任何计算步骤都是通过可以实现的基本运算的有限次执行来完成的，或从直观上讲，每个计算步骤至少在原理上能由人用纸和笔在有限的时间内完成.（5）有穷性：算法有穷性是指算法的执行过程必须在有限的步骤和时间内终止.注意：满足前四个特征的一组指令序列在实际应用中不能称为算法，只能称为计算过程. 例如：计算机的操作系统就是一个典型的计算过程，操作系统用来管理计算机资源，控制作业的运行，没有作业运行时，计算过程并不停止，而是处于“等待”状态.在计算机应用技术领域，算法通常是针对实际问题而设计并且通过编程的手段实现的，其目的是运用计算机解决实际问题，在此情况下，一个无休止运行而无结果的算法是毫无意义的. 因此，在计算机应用领域，掌握算法分析与设计的理论与方法是十分重要的. 一方面，要求我们针对实际问题设计出正确的算法: 如果一个算法有缺陷，或不适合于某个问题，执行这个算法将不会解决这个问题; 另一方面，又要求我们学会选择和改进已有的算法: 同样的问题可以有不同的算法，算法的优劣可以用空间复杂度与时间复杂度来衡量，不断提高算法的效率始终是人们不懈努力的追求. 随着存储技术的发展，最能反映算法效率的时间复杂度已成为人们在算法设计与分析过程中关注的最主要方面之一.注意:算法设计与分析已形成一套较为完整的理论与方法体系, 对于从事计算机应用与开发的工作和技术人员来说, 这些理论与方法是必须掌握的. 目前有大量关于算法设计与分析的文献、专著和教材，然而作为算法设计与分析的基础，我们必须首先要弄清楚的问题是：计算的本质是什么？“可计算”的确切定义是什么？究竟哪些问题是可计算的？这便是“可计算性理论”要回答的问题.三、能行过程与可计算性在数学与计算机科学中，算法又可以说成是一个“能行过程”(effective procedure) 或“能行方法”(effective method). 能行过程是针对“问题”的，通常的说法是“解决某某问题的能行过程”.解决问题的过程是一个问题状态变化的过程，如果我们用参数的形式来描述问题的状态，那么解决问题的过程就可以看成是一个参数变化的过程. 解决问题开始时的状态称为“初始状态”，初始状态的参数称为“输入参数”；解决问题结束时的状态称为“结果状态”，结果状态的参数称为“输出参数”或“输出结果”.对一个问题而言，其“输出结果”与“输入参数”之间的关系应该是明确的. 但允许有下述情形: 有这样的“问题”，它们对输入范围内的有些“输入参数”（有效输入）有明确的“输出结果”，而对有些“输入参数”（无效输入）则没有明确的“输出结果”，甚至“结果”根本就不存在. 对这类“问题”，我们在考虑其能行解决方法时，只要针对有效的输入便可.如果存在解决某问题的能行过程，那么该问题称为是“可解的”或“可计算的”.注意：如果要说明一类问题是“不可解”或“不可计算的”，那么就必须给出该类问题不存在能行过程的证明.我们将通过实例进一步认识“能行过程”的概念.. 求m和n的最大公因子的欧几里得算法可以通过例2-1. 设m和n是两个正整数，且m n下列过程表示:步骤1. 以n除m得余数r. //求余数步骤2. 若0r =, 则输出答案n ，过程终止; 否则转到步骤3. //判断余数是否为0步骤3. 把m 的值变为n , n 的值变为r ，重复上述步骤. //变换参数值分析：上述过程由3个步骤组成，输入参数为正整数m 和n ；每个步骤的描述是明确的并且可以证明过程终止时输出数据为m 和n 的最大公因子；过程的每一步骤都是可以通过一些可实现的基本运算（判断）完成；整个过程经过有穷步后终止. 因此，求m 和n 的最大公因子的欧几里得算法是一个能行过程. 因此，求m 和n 的最大公因子问题是可计算的.例2-2. 考虑函数1()0n g n π⎧=⎨⎩如果小数部分有个连续的数字7； 否则. (2.1)绝大多数数学家会接受g 是合法定义的函数，同时也存在能行的过程逐位生成π小数点后面的数子①. 用k π（）表示π小数点后面第k 位数字，C 作为计数器，则可以采用下面的过程来计算()g n ： 给定n ，首先令()0g n =，计数器0C =，参数1k =.步骤1. 计算()k π. //求π小数点后第k 位数字步骤2. 如果()7k π=，则1C C ←+；否则0C ←. //计数器逢“7”加1，否则清0步骤3. 如果C n =，则输出()1g n =，过程终止；如果C n <，则1k k ←+重复上述步骤. 分析：上述过程同样由3个步骤组成，对给定的输入n ，如果π小数点后面有n 个连续的7，那么过程一定会在有限步终止并输出()1g n =. 问题是：如果π小数点后面没有n 个连续的7，那么上述过程将无休止地运行下去, 而且在任何时候都无法得到我们想要的()0g n =的结论. 因此，上述过程不是能行过程.注意：在例2-2中，虽然我们给出的函数g 的计算过程不是能行过程，但却不能以此断言没有计算函数g 的能行过程. 也许有计算函数g 的能行过程，然而至今尚无人知晓. 有趣的是：如果把例2-2中定义的函数改成如下函数*1()n g n π⎧=⎨↑⎩如果小数部分有个连续的数字7； 否则. (2.2)其中，*()g n =↑表示函数*g 在输入n 时无定义. 那么计算函数g 的过程对于*g 来说就是一个能行的过程. 这是因为对给定的输入n ，如果π小数点后面有n 个连续的7，那么过程一定会在有限步终止并输出()1g n =；如果π小数点后面没有n 个连续的7，那么*()g n 是没有定义的，无需考虑什么“输出结果”的问题.四、停机问题算法也好，能行过程也罢，它们的基本表达形式都可以用一组合适指令（well-defined①Cutland N. Computability-An introduction to recursive function theory [M]. London: Cambridge Uni. Press, 1980: 69.instructions ）的有穷序列来描述. 即在计算机科学领域，他们都可以表示为计算机“程序”. 在第一章中（命题1.17）我们证明了所有的计算机程序之多是可数的，因此可以把所有的程序枚举如下:012,,,,,e P P P P (2.3)其中e P 中的下标e 可视为该程序的编号或编码. 通过上面的分析我们知道，对任意的程序e P 而言，它对某些输入是有明确输出的，运行有穷步后“停机”并给出结果；而对另一些输入可能是没有结果的，并因此进入“死循环”而“不停机”. 因此，我们自然会关心这样的问题:停机问题: 是否存在一个能行过程H ，对任意的程序e P 和输入x ，H 能判断e P 对输入x 是否停机？为了回答这一问题，我们首先要对程序输入与输出的概念做些处理. 程序通常有输入和输出，如果一个程序e P 的输入是x ，那么经运行后e P 的输出可表示为()x e P .运用编码技术，我们可以将程序的输入和输出用自然数表示，因此任何程序都可以视为自然数上的“函数”.命题2.1. 停机问题是不可解的.即不存在能行过程H ，对任意的程序e P 和输入x ，H 能判断e P 对输入x 是否停机.证明: 运用反证法：如果停机问题是可解的，那么就存在能行过程H ，对任意程序e P 和输入x , 当e P 对输入x 停机时有(,)1x e H P =；当e P 对输入x 不停机时有(,)0x e H P =，其中“1”和“0”分别表示“停机”和“不停机”之意.利用H ，我们定义计算过程F 满足: 对任意自然数n ，如果(,)1n H P n =则()()1n F n P n =+；如果(,)0n H P n =则()0F n =.因为过程H 是能行的，所以过程F 也是能行可计算的, 因此计算F 的程序一定会在所有程序的枚举中出现. 设计算F 的程序编号（或编码）为0e ，则F 可表示为0e P ，即对任意的n 均有0()()e F n P n =. 接下来我们考察程序0e P 关于输入0e 的停机情况: 如果程序0e P 关于输入0e 停机，则有00(,)1e H P e =，此时有00000()()1()e e F e P e P e =+≠；如果程序0e P 关于输入0e 不停机，则00()e P e 无定义，由00(,)0e H P e =却可以得到000()0()e F e P e =≠，这和0e P 是计算F 的能行过程矛盾. 此矛盾表明判定停机问题的能行过程是不存在的. ■注意: 需要指出的是：计算过程是可以用“程序”来表述的，一个计算过程是否是能行在于相应 “程序”的运行是否能得到人们所需要的计算结果，所以“能行过程”的概念是针对“程序”的，即能行过程的考察对象是“程序”. 但是，“停机问题”是针对所有“程序”的，它的考察对象因该是所有“程序”的汇集. 据此我们认为，在一般意义下考虑的“能行过程”不能与所谓“停机问题”同“域”而论，否则引起矛盾就难以避免.§3 可计算性概念的数学描述在20世纪以前，人们普遍认为，所有的问题类都是有算法的，人们关于计算问题的研究就是找出解决各类问题的算法来. 随着时间的迁移，人们发现有许多问题虽然经过长期的研究仍然找不到算法，于是人们开始怀疑，是否对有些问题来说根本就不存在算法，即它们是不可计算的.那么什么是可计算，什么又是不可计算的呢？要回答这一问题，最关键的就是要给出“可计算性”概念的精确的定义.到了20世纪30年代，一些著名的数学家和逻辑学家从不同的角度分别给出了“可计算性”概念的确切定义，为计算科学的研究与发展奠定了重要基础. 随着计算机的出现和计算科学的发展，科学家们将“可计算性”概念与“程序设计”思想有机结合，从而使“可计算性”的能行过程更加明显，进一步促进了人们对“可计算性”概念理解和认识. 本节将选择其中的一些描述方法做简单的介绍.因为计算问题均可通过自然数编码的方法用所谓“函数”的形式加以表示，所以我们可以通过对定义在自然数集上的“可计算性函数”的认识来理解“可计算性”的概念.一、递归函数递归函数是递归论这门学科中最基本的概念，其产生可以追溯到原始递归式的使用，如我们现在所熟知的数的加法与乘法. 现代计算机应用技术中，大量的计算过程都是运用递归的形式来描述的，可以说递归技术已经成为计算机科学与技术领域重要的方法工具之一. 递归函数最早的形式是“原始递归函数”（primitive recursive function ）, 因此, 我们首先介绍原始递归函数的概念.1. 原始递归函数原始递归函数是定义在自然数集上的函数，其值域是自然数集的子集. 一般我们用1(,,)n f x x 表示函数f 在变量1,,n x x 处的取值，并称f 为n -元函数. 有时为书写之方便，我们可令1(,,)x n x x =，则函数值1(,,)n f x x 可表示为()x f . 下面是原始递归函数的定义. 按下述规则产生的函数称为原始递归函（I ） 基本函数：下列基本函数是原始递归函数（a ）零函数O ，即对任意的,O()0N x x ∈=；（b ）后继函数S ，即对任意的,S()1N x x x ∈=+；（c ）投影函数P n i ，即对任意的11,,,,0,1,P (,,)N n n i n i n x x n i n x x x ∈≥≤≤=. （II ）合成模式：设1(,,)k f y y 和1(),,()x x k g g 是原始递归函数，其中1(,,)x n x x =. 则运用合成模式产生的函数1()((),,())x x x k h f g g =是原始递归函数.（III ）递归模式：设()x f 和(,,)x g y z 是原始递归函数，其中1(,,)x n x x =. 则运用递归模式产生的函数(,0)(),(,1)(,,(,))x x x x x h f h y g y h y =+=是原始递归函数.1931年，哥德尔在证明其著名的不完全性定理时，给出了原始递归函数的描述，并以原始递归式为主要工具，运用编码技术把所有元数学的概念进行了算术化表示. 原始递归函数的重要性一直受到数学家和逻辑学家的关注和重视. 通常，人们把能够用“纸”和“笔”在有限步里可以计算的函数称为“直观可计算函数”或“可计算函数”. 显然，原始递归函数都是可计算的.例3-1. 证明自然数加法(,)f x y x y =+是原始递归函数.证明: 首先我们注意到自然数集上的恒等函数I()x x =是原始递归函数，因为11I()P ()x x =.。
计算理论基础课件III
计算理论在其他领域的应用
人工智能与机器学习
计算理论在人工智能和机器学习领域中发挥着重要作用，例如算 法设计、模型优化、数据挖掘等方面。
密码学与网络安全
计算理论在密码学和网络安全领域中用于研究加密算法和破解方法， 保障信息安全。
物理科学计算
计算理论在物理科学计算中用于模拟和预测自然现象，例如气候变 化、材料科学等领域。
04 计算理论中的基本问题
可计算性问题与不可计算性问题
可计算性问题
指那些可以通过有限步骤和算法得到 精确解的问题，如整数分解、旅行商 问题等。
不可计算性问题
指那些无法通过有限步骤和算法得到 精确解的问题，如连续统假设、停机 问题等。
P与NP问题
P问题
指那些可以在多项式时间内求解的问 题，如排序、图着色等。
详细描述
自动机是一个抽象的计算模型，用于模拟计算过程。它具有有限数量的状态，通过一组 转移规则从一个状态转移到另一个状态。根据接受输入的方式，自动机可以分为有限自 动机和无限自动机。有限自动机只能接受有限长度的输入，而无限自动机可以接受无限
长度的输入。
形式语言的定义与分类
总结词
形式语言是由字母表中的字符构成的字符串集合，它 可以描述自然语言中的词汇、句子等结构。根据语法 规则的不同，形式语言可以分为上下文无关语言、上 下文有关语言和图灵可识别语言等。
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05 计算理论的前沿研究
量子计算理论
量子计算理论概述
量子计算理论是研究量子力学和 计算科学交叉领域的理论框架， 旨在利用量子力学的特性实现更
高效的计算。
量子算法
量子算法是利用量子力学原理设计 的算法，具有在某些特定问题上超 越经典计算机的能力，例如Shor 算法用于大数因数分解。
第一讲 计算思维概述PPT演示课件
44
计算思维的特性
1 概念化，不是程序化。
抽象
多层次思维
计算机科学不是计算机编程。像计算机科学家 那样去思维意味着远远不止能为计算机编程。它要 求能够在抽象的多个层次上思维。
45
计算思维的特性
2 基础的，不是机械的技能。
B说：c是小偷 3
C说：小偷肯定是d 4
D说：c在冤枉人 5
三真一假
计算
1
X≠1
1or0
2
X=3
1or0
3
X=4
1or0
4
X≠4
1or0
5
3
26
编程实现
For x=1 to 4 If (x<>1+(x=3)+(x=4)+(x<>=3) then Print x
Next x
27
百元买白鸡
• 公鸡每只5元，母鸡每只3元，小鸡一元3只， 一百元买一百只鸡，问有几种买法？
问题分析： X+Y+Z=100 5X+3Y+Z/3=100
28
编程
For x=1 to 100 For y=1 to 100 Z=100-x-y If 5*x+3*y+z/3=100 then Print x,y,z End if Next for
Next for
• 计算思维能够反映人类思维活动，高效执行。
• A=R，B=R时，A=3，B=3； • A=T，B=S时，A=5，B=0； • A=S，B=T时，A=0，B=5； • A=P，B=P时，A=1，B=1。
课件-可计算理论
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人物小记
阿兰•麦阿兰•麦席森•图灵，1912年生于英国伦敦，1954年 死于英国的曼彻斯特，他是计算机逻辑的奠基者，许多人 工智能的重要方法也源自于这位伟大的科学家。 他对计算机的重要贡献在于他提出的有限状态自动机也就 是图灵机的概念 对于人工智能，它提出了重要的衡量标准“图灵测试”， 如果有机器能够通过图灵测试，那他就是一个完全意义上 的智能机，和人没有区别了。 他杰出的贡献使他成为计算机界的第一人，现在人们为了 纪念这位伟大的科学家将计算机界的最高奖定名为“图灵 奖”。
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图灵生平——故事以谜结束
1952年3月，图灵更因为和曼彻斯特当地一位青年有染，被 警方逮捕。在入狱和治疗两者中间，图灵选择了注射激素 此后图灵开始研究生物学、化学
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图灵生平——故事以谜结束
1954年6月8日，图灵42岁。一天早晨，女管家走进他的卧 室，发现台灯还亮着，床头上还有个苹果，只咬了一小半， 图灵沉睡在床上，一切都和往常一样。 经过解剖，法医断定是剧毒氰化物致死，那个苹果是在氰 化物溶液中浸泡过的。 图灵的母亲则说他是在做化学实验时，不小心沾上的 但外界的说法是服毒自杀，一代天才就这样走完了人生。
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图灵奖
图灵去世后12年开始设立的图灵奖是美国计算机协会ACM （Association for Computing Machinery） 设立的第一个 奖项。 ACM成立于1947年，也就是世界上第一台电子计算机 ENIAC诞生以后的第二年，美国一些有远见的科学家意识 到它对于社会进步和人类文明的巨大意义，因此发起成立 了这个协会，以推动计算机科学技术的发展和学术交流。