模糊控制的理论基础

第二章：模糊控制的理论基础第一节：引言模糊控制的发展传统控制方法：数学模型。

模糊控制逻辑：使计算机具有智能和活性的一种新颖的智能控制方法。

模糊控制以模糊集合论为数学基础。

模糊控制系统的应用对于那些测量数据不准确，要处理的数据量过大以致无法判断它们的兼容性以及一些复杂可变的被控对象等场合是有益的。

模糊控制器的设计依赖于操作者的经验。

模糊控制器参数或控制输出的调整是从过程函数的逻辑模型产生的规则来进行的。

改善模糊控制器性能的有效方法是优化模糊控制规则。

模糊控制的特点：一、无需知道被控对象的数学模型二、是一种反应人类智慧思维的智能控制三、易被人们所接受四、推理过程采用“不精确推理”五、构造容易六、存在的问题：1、要揭示模糊控制器的实质和工作原理，解决稳定性和鲁棒性理论问题，从理论分析和数学推导的角度揭示和证明模糊控制系统的鲁棒性优于传统控制策略；2、信息简单的模糊处理将导致系统的控制精度降低和动态品质变差；3、模糊控制的设计尚缺乏系统性，无法定义控制目标。

“模糊控制的定义”定义：模糊控制器的输出是通过观察过程的状态和一些如何控制过程的规则的推理得到的。

基于三个概念：测量信息的模糊化，推理机制，输出模糊集的精确化；测量信息的模糊化：实测物理量转换为在该语言变量相应论域内的不同语言值的模糊子集；推理机制：使用数据库和规则库，根据当前的系统状态信息决定模糊控制的输出子集；模糊集的精确化：将推理过程得到的模糊控制量转化为一个清晰，确定的输出控制量的过程。

“模糊控制技术的相关技术”模糊控制器的核心处理单元：1.传统单片机；2.模糊单片机处理芯片；3.可编程门阵列芯片。

模糊信息与精确转换技术：AD，DA，转换技术。

模糊控制的软技术：系统的仿真软件。

综述：模糊控制是一种更人性化的方法，用模糊逻辑处理和分析现实世界的问题，其结果往往更符合人的要求。

第二节：模糊集合论基础“模糊集合的概念”经典集合论所表达概念的内涵和外延都必须是明确的。

集合既可以是连续的也可以是离散的。

集合表示方法：1、列举法；2、定义法；3、归纳法；4、特征函数法；5、集合运算；思维中每一个概念都有一定的内涵和外延，概念的内涵是指一个概念所包含的区别于其他概念的全体本质属性，概念的外延指符合某概念的对象的全体。

从集合论的角度看，内涵就是集合的定义，外延就是集合的所有元素。

与传统的经典集合对事物只用“1”，“0”简单地表示“属于”或“不属于”分类不同，模糊集合是把它扩展成用0~1之间连续变化值来描述元素的属于程度。

这个0~1之间连续变化值称作“隶属度”。

模糊集合中的特征函数就称作隶属度函数。

模糊集合的定义实际上是将经典集合论中的特征函数表示扩展都用隶属度函数表示。

经典集合和模糊集合对温度的定义U 为连续或离散集合，用{u}表示，U 被称为论域，u 表示论域U 的元素。

论域U 是对所讨论问题的任意一个子集，若任意一元素都属于集合U ，则称为全集。

定义：模糊集合：论域中的模糊集合F 是用一个在闭区间[0,1]上取值十位隶属度μF 来表示，即： ]10[:，→U F μμF 用来说明u 隶属于F 的程度。

1表示完全属于，0表示完全不属于，0~1表示部分属于。

模糊集合可以看成是隶属度只取0和1的普通集合的推广。

论域U 中的模糊集合F 可以用元素u 和它的隶属度来表示：U}u |u))(,{(∈=F u F μ} 若U 为连续域，则可写成：uF UF /⎰=μ注意：⎰不表示“积分”，/不表示除号。

若U 为离散域，即论域U 为有限集合，则 扎德表示法：i i ni F u u F /)(1∑==μ序偶表示法：))}(,()),......,(,()),(,{(2211n n u u u u u u F μμμ=矢向量表示法：)(),......,(),({21n u u u F μμμ=，此时u 元素应按次序排列，隶属度为零的项不能省略。

“模糊集合的运算”对于模糊集合，元素与集合之间不存在属于或不属于的明确关系，但集合之间存在相等，包含以及经典集合论一样的一些集合运算如并，交，补等。

定义：论域U 中的模糊子集的全体，称为U 中的模糊幂集，记作)(U F ,即]}1,0[:|{)(→=U A U F A μ,对于任一U ∈u ，若0=A μ,则称A 为空集，若1=A μ，则称A 为全集。

定义：A,B 为论域U 的模糊集，即)(,U F B A ∈,若对于任一U ∈u ，都有)()(u u B A μμ≤，则称集合A 是B 的子集，记作B A ⊆。

若对于任一U ∈u ，都有)()(u u B A μμ=，则称模糊集合A 与B 相等，记作B A =。

定义：模糊集合的并集：模糊集A,B,C ，若对于任一U∈u ，都有)}(),({max )()u ()u (u u u B A B A C μμμμμ=⋃=,则称C 为A 与B 的并集，记为B A C ⋃=。

定义：模糊集合的交集：模糊集A,B,C ，若对于任一U∈u ，都有)}(),({min )()u ()u (u u u B A B A C μμμμμ=⋂=,则称C 为A 与B 的交集，记为B A C ⋂=。

定义：模糊集合的补集：模糊集A,B ，若对于任一U ∈u ，都有)u (1)u (A B μμ-=,则称B 为A 的补集，记为A B =。

代数运算法则：设论域U 上有三个模糊集合A,B,C ，对任一U ∈u ，存在：模糊集合运算的基本性质：模糊集合不满足互补律，即Θ≠⋂A A ,U A A ≠⋃。

“隶属度函数的建立”基本原则：一、表示隶属度函数的模糊集合必须是凸模糊集合。

确定模糊概念的最大隶属度函数点，然后向两边延伸。

二、变量所取隶属度函数通常是对称和平衡的。

描述变量的标称值安排得越多，即在论域中的隶属度函数的密度越大，模糊控制系统的分辨率就越高，其系统响应的结果就越平滑，但不足之处是模糊规则会明显增多，计算时间会大大增加，系统设计困难程度增加。

三、隶属度函数要符合人们的语义顺序，避免不恰当的重叠。

间隔的两个模糊集合的隶属度函数应尽量不要相交。

非凸模糊集合的隶属度函数 交叉越界的隶属度函数 四、隶属度函数的选择需要考虑重叠指数围附近模糊隶属度函数范重叠范围重叠率=(一般取0.2~0.6为宜）)(2)(21L U dx ULA A -+==⎰μμ总的重叠最大面积总的重叠面积重叠鲁棒性 （一般取0.3~0.7为宜）成熟的重叠率和重叠鲁棒性：重叠率：0.33，重叠鲁棒性：0.5。

“隶属度函数的确定方法”隶属度函数是模糊控制的应用基础，正确构造隶属度函数是能否用好模糊控制的关键之一。

隶属度函数的确立目前还无一套成熟有效的方法，大多数系统的确立方法还停留在实验和经验的基础上。

1、模糊统计法：对论域U 上的一个确定元素0v 是否属于论语上一个可变动的清晰集合*A 作出清晰的判断。

nA v A v 试验总次数的次数的隶属频率对*00∈=，随着n 的增大，隶属频率会趋于稳定值，就是0v 对A 的隶属度值。

2、例证法：从已知有限个A μ值来估计论语U 上模糊子集A 的隶属度函数。

3、专家经验法：根据专家的实际经验给出模糊信息的处理算式或者相应权系数值来确定隶属度函数。

4、二元对比排序法：通过对多个事物之间的两两对比来确定某种特征下的顺序，并由此来决定这些事物对该特征的隶属度函数的大体形状。

设论域中一对元素)v ,(v 21，其具有某特征等级分别为)(12v g v ，)(21v g v ，并满足≤0)(12v g v 1≤，≤0)(21v g v 1≤，令：))(),(max()()/(21121221v g v g v g v v g v v v =若以)/(g j i v v 为元素，且定义)/(g j i v v 1=，当j =i 时，则构造矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1)/()/(11221v v g v v g G ，同理推广到n元的情况，可得矩阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1...)/()/(............)/(...1)/(g )/(...)/(121212121v v g v v g v v g v v v v g v v g G n n n n ，若对矩阵的每一行取最小值，并按其值大小排序，即可得到元素）（n v v v ,...,,21对某特种的隶属度函数。

Z 函数：适用于输入值比较小时的隶属度函数确定，主要有：降半矩形分布，降半梯形分布，降半Γ形分布，降半正态分布。

S 函数：适用于输入值比较大的隶属度函数。

主要有：升半矩形分布，升半梯形分布，升半Γ形分布，升半正态分布。

∏函数：适用于输入值位于中间时的隶属度函数。

主要有：矩形分布，三角形分布，梯形分布，正态分布，柯西分布。

模糊关系 模糊关系的定义两个客体之间的关系成为二元关系，表示是三个客体以上的关系成为多元关系。

模糊关系是普通关系的拓广与发展。

模糊关系实质上是通过两个论域上的笛卡尔积把一个叫A 的论域中的元素映射到另一个叫B 的论域上去。

A,B 论域上的序偶间的关系“强度”不是用特征函数来测量，而是用隶属度函数在单位区间[0,1]的不同值来表示。

因此，模糊关系R 是笛卡尔空间B A ⨯到区间[0,1]的映射，其映射强度可以从两个论域或),(b a R μ序偶关系的隶属度函数来表示。

定义：A,B 两集合的直积 },|),{(B b A a b a B A ∈∈=⨯中的一个模糊关系R ，是指以B A ⨯为论域的一个模糊子集，序偶（a,b ）的隶属度为),(b a R μ。

同理，n 个集合的直积n A A A ⨯⨯⨯...21，所对应的是n 元模糊关系R,其隶属度为n 个变量的函数),...,,(21n R a a a μ模糊关系可用模糊集合，模糊矩阵，模糊图来表示。

模糊集合：⎰⨯⨯⨯=nA A A n n Ra a a a a a R ...212121),...,,/(),...,,(μi i A ∈a模糊矩阵法：，元素),(,b a r R j i μ=，R 称为模糊矩阵。

定义：迪科尔积（⊗算子）若n A A A ,...,,21分别是论域n U U U ,...,,21中的模糊集，则n A A A ,...,,21的笛卡尔积是在积空间n U U U ,...,,21的一个模糊集，其隶属度如下：1、直积（极小算子）min μ)}(),...,(),(min{),...,,(n21212121...n A A A n n A A A u u u u u u μμμμ=⨯⨯⨯2、代数积AP μ)()...()(),...,,(n21212121...n A A A n n A A A u u u u u u μμμμ=⨯⨯⨯模糊关系的合成：如果R 和S 分别为笛卡尔空间V U ⨯和W V ⨯上的模糊关系，则R 和S 的合成是定义在笛卡尔空间W V U ⨯⨯上的模糊关系，记作：S R ,其隶属度函数计算如下： 上确界算子：sup},,))],,(),v ,u ((min [max {W w V v U u w v S R S R V∈∈∈=μμ下确界算子：inf},,))],,(),v ,u ((max [i {W w V v U u w v n m S R S R V∈∈∈=∙μμ模糊关系合成算子sup-min 存在如下特性：第三节：模糊逻辑，模糊逻辑推理和合成模糊控制的核心是模糊控制规则库，规则库是不确定性推理规则的集合。