(完整)第二讲四年级奥数幻方
小学四年级奥数笔记之幻方
第一讲 幻方【知识要点】在3×3（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1～9这九个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，这样的图形叫做三阶幻方。
如果在44×（四行四列）的正方形方格中进行填数，就要不重复，不遗漏地在44×方格内填上16个连续自然数，且使每行、每列、每条对角线的四个自然数之和均相等，这样的图形叫四阶幻方。
一般地，在n×n（n 行n 列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上n×n 个连续自然数，（注意这些连续自然数不一定非要从1开始），每个数占一个格，且每行、每列、每条对角线上的n 个自然数和均相等，我们把这个相等的和叫做幻和，n 叫做阶，这样排成的数的图形叫做n 阶幻方。
中心方格中这个数叫做这个幻方的中间数。
任意阶数幻方的各行或各列或两条条对角线上所有数的和成为幻和！ 幻方的幻和等于 n (n 2 +1) ÷2 。
幻和=总和÷阶数幻积=中间数的3次方。
二、幻方的特征：1、对称性2、轮换性三、幻方的种类：按照纵横各有数字的个数，可以分为：三阶幻方、四阶幻方、五阶幻方、六阶幻方… … 按照纵横数字数量奇偶的不同，可以分为： 1、奇数阶幻方 2、偶数阶幻方（1）单偶数阶幻方，阶数是2的倍数，形如：2n+2 （2）双偶数阶幻方，阶数是4的倍数，形如：2n+4四、幻方的构造方法1、杨辉口诀法（仅仅适用于三阶幻方）早在公元1275年，宋朝的杨辉就对幻方进行了系统的研究。
他称这种图为“纵横图”，他提出了一个构造三阶幻方的秘诀：九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足2、罗伯法适用于奇数阶幻方，适合于连续自然数或者等差数列的奇数阶幻方。
口诀：1居下行正中央，依次斜填切莫忘；下出框时往上写，左出框时往右放；排重便往上格填，左下排重一个样。
3、巴舍法(平移补空法)（适合奇数阶幻方）要点，构造五阶具体操作：(1)画图:构造楼梯(2)按顺序填数（数字按顺序斜排）(3)平移补空:把幻方外的数字平移进幻方——上到下，下到上，左到右，右到左，注意：几阶幻方就平移几个格。
精品四年级奥数b第十三章 奇妙的幻方(二)
【热身演练 】
(2) 十月一日是国庆节，请将1-18这十八个数填入 下图中的18个空格内(中间的竖格不要填)，使每 一横行和竖行上的数字和相等。
(4b) 第十三章 最奇妙的幻方（二 偶数阶）
小朋友们，今天学习怎样， 知识点掌握了没有?
(4b) 第十三章 最奇妙的幻方（二 偶数阶）
例2、将1-9这九个数字填在下图的圆圈内，要求每条边上 数字相加之和相等，并且和最小。
1
6 8
4 9
25
73
(4b) 第十三章 最奇妙的幻方（二 偶数阶）
【热身演练 】
(1) 将1-9这九个数字填在下图的圆圈内，要求每条边
上数字相加之和相等，并且最大。
(4b) 第十三章 最奇妙的幻方（二 偶数阶）
【技巧感悟 】
例3、将3-10这八个数字填在下图的圆圈内，使每条边 上三个圆圈内数字之和相等。
3
7
8
10
6
5
9
4
(4b) 第十三章 最奇妙的幻方（二 偶数阶）
【热身演练 】
(4) 将1-9这9个数字填入下图的圆圈内，使每条直线上
的数字和相等，并且四边形顶点上的数字和也相等。
(4b) 第十三章 最奇妙的幻方（二 偶数阶）
12 6 7 9
9 6 7 12
8 10 11 5
5 10 11 8
13 3 2 16
13 2 3 16
图3
图4
我们通过仔细观察，发现对角线上的数字其实都不动，其他数字的变
化规律是：中心对称交换,如下图。
32
8
5
12
9
15 14
按顺序排列的方阵中
变化规律
14 15
四年级奥数数阵与幻方
数阵问题知识要点：一般地来讲在解决数阵图的问题上，我们应先观察好数阵图，找出“公用数”的位置，求出“公用数”是解决数阵问题的关键。
在数阵图中横行有，竖行也有的数，我们把它叫做“公用数”。
如果题中给你的数的个数是奇数个，而“公用数”仅一个，而这个“公用数”又是中心数，这样的数阵图称为辐射型数阵图。
在解决这类数阵图时，就是先找出公用数，每边均剩下两个数，实际上就是在奇数个数中找到和相等的几对数，找的办法有三种，即：去头、去尾、去中间，而数阵图中的“公用数”就是这列数中的头、尾、中间任意一个数。
还有一种数阵图，题中给你的已知数的个数为偶数个，“公用数”不再是一个，而是多个。
这样的数阵图称为封闭型数阵图，在解决此类数阵图时，应分三步走：l、先求出题中给出已知数的总和，2、再求出数阵图中的和，3、用图中和减去已知数的和即为“公用数”的总和。
例题分析：一．辐射型数阵：例1.将2～8这7个数分别填在下图中的圆圈内,使每条线段上三个圆圈内数的和相等.例2.把1～9这9个数字,分别填入下图的各圆圈内,使每条线上5个数的和相等.例3.将1～9这九个数字填在”七一”内,使每一横行,每一竖列的数字的和都是13.二．封闭型数阵：例4.将1~6六个数填入图中的圆圈中，要求四条直线上的数字之和都等于10，那么a是多少？例5. 如果将—11这11个自然数填入左下图的圆圈中，使每个菱形上的四个数之和都等于24，那么A等于多少？例6.把10～80八个整十数填入下图的○中，使每个圆上五个数的和为210。
例7.把10～15这6个数字分别填放图中的各个圆圈内，使每边上的三个圆圈内数之和相等。
例8. 图中五个正方形和12个圆圈，将1—12填入圆圈中，使每个正方形四角上圆圈中的数字之和都等于K，那么K等于几?例9. 图中的大三角形被分割成九个小三角形将1—9填入小三角形中，使每条边上的五个小三角形的数字之和都相等，那么这个和的最小值是多少？最大值是多少？例10.图中有10个小三角形和4个大三角形，将1~10填入每个小三角形，使每个大三角形内的数字之和都等于25。
小学四年级奥数全册精品讲义
7.把一条长 15cm 的线段截为三段，使每条线段的长度是整数，用这三条线 段可以组成多少个不同的三角形？（当且仅当两三角形的三条边可以对应相等 时，我们称这两个三角形是相同的.）
如果 M 位上放置标有数码“3”的纸片，一共有_____种不同的放置方法.
M
4.如下图,在 2×2 方格中,画一条直线最多可穿过 3 个方格,在 3×3 方格中, 画一条直线最多可穿过 5 个方格.那么 10×10 方格中,画一条直线最多可穿过 _____个方格.
5. 有一批长度分别为 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 和 11 厘米的细木条,它们的 数量都足够多,从中适当选取 3 根木条作为三条边.可围成一个三角形,如果规定 底边是 11 厘米长,你能围成多少个不同的三角形?
第一讲 加乘原理
加法原理：完成一件工作共有 N 类方法。在第一类方法中有 m1种不同的方法，在第二 类方法中有 m2种不同的方法，……，在第 N 类方法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件工 作共有 N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn 种不同方法。
运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。要求每一类中的每一种方法都可以 独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任 何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)。合理分类也是运用加法原理解决问题的难点，不 同的问题，分类的标准往往不同，需要积累一定的解题经验。
这两个基本原理是排列和组合的基础，教学时要先通过生活中浅显的实例，如购物问题、 行程问题、搭配问题等，帮助孩子理解两个原理，再让孩子学习运用原理解决问题。
小四奥数(幻方和数阵)
1、用“罗伯法”编制一个五阶幻方。
2、在下图的空格里填上合适的数，使横、竖、斜行中三个数的和都是27.
3、在下图的七个圆圈里分别填上1-7，使每条直线上的三个数的和都相等。
4、把1-9这九个数分别填入下图“七一”图案的格子里，使每一横行、每一竖行的数的和都是13.
5、将1-8八个数分别填入下图中，是每条边上三个数的和等于12.
数阵问题的题型主要有三种：（1）辐射型；（2）封闭型；（3）综合型。幻方和数阵图的填写不能只采取试的办法，而要根据题目的要求，所给的数字的特征进行合理的分析思考，并在计算的基础上，先在计算的基础上，先填写关键位置的数，再填其他位置的数。
二、典型例题
例1将1-9九个数字填在右图内九个方格里，每格填一个数字，使每一横行、每一纵行和两条对角线上三个数之和相等。
这幅图用现在的数字表示，即为1-9这九个数字，填在九个格子里，每一纵列、每一横行以及两条对角线上的三个数字之和都是15（见上图）。我国古代数学家称它为“纵横图”或“九宫图”，国外称它为“魔方”、“幻方”或“中国方阵”。
幻方曾使不少的爱好者入迷，目前世界上最大的幻方——“1256阶泛对角幻方”就是1990年11月22日无锡以为中学教师发明，这个数字方阵方阵纵、横排成1256行，任何一条线以及对角线各数和都是990693236.
将1-7七个数字分别填入图中的七个圆圈内，使每条线上三个圆圈内的数的和相等。
想一想：从（1+2+3+、、、+7-x）除以3，商是整数而没有余数时，该怎样思考？
变式3-1把3-9这七个数填入下图中的圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的数的和相等。
例4把1-10十个数填入下图中的小圆中，使每个大圆上六个数的和是30.
幻方_??????
幻方1.概念简析：幻方：是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的3×3的数阵称作三阶幻方，4×4的数阵称作四阶幻方，5×5的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样.2.构造幻方常用的方法：（1）适用于所有奇数阶幻方的填法—罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样．（2）仅适用于三阶幻方—九宫格口诀.口诀是：九宫者，二四为肩，六八为足，左七右三，戴九履一，五居中央。
（3）适用于所有偶数阶幻方的填法—对称交换的方法1.将数依次填入方格中，对角线满足要求。
2.调整行，对角线数不动，对称行的其它数对调；调整列，对角线数不动，对称列的其它数对调。
3.三阶幻方的性质：1.幻和相等，幻和等于9个数的和除以3.2.中间数必位于幻方中心，中间数等于幻和除以3.3.黄金三角: 黄金三角顶点的数为两腰之和除以2.视频描述把0、2、4、6、8、10、12、14、16这9个数填在下面图中的方格内，使每行、每列和每条对角线上的三个数的和都相等。
1.1.请用11、13、15、17、19、21、23、25、27编制一个三阶幻方。
注：此题答案默认为0，正确答案见解析！2.2.把7—15这九个数构成一个三阶幻方。
注：此题答案默认为0，正确答案见解析！3.3.请用1、4、7、10、13、16、19、22、25编制一个三阶幻方。
注：此题答案默认为0，正确答案见解析！视频描述将下面左边方格中的9个数填入右边方格中，使每一行、每一列、每条对角线中的三个数相加的和都相等。
1.1.将图中的数重新排列，使横行、竖行、对角线上的三个数的和都相等。
注：此题答案默认为0，正确答案见解析！2.2.把３、４、５、８、９、10、13、14、15编成一个三阶幻方，并求出幻和是多少？3.3.将图中的数重新排列，使横行、竖行、对角线上的三个数的和都相等。
数学 幻方知识点
数学幻方知识点一、知识概述《幻方知识点》①基本定义：幻方就是一个正方形的数阵。
在这个数阵里，横着每行数字加起来的和、竖着每列数字加起来的和以及两条对角线上数字加起来的和，都相等。
比如一个3×3的幻方，就像一个九宫格，给每个格子里填上不同的数，满足刚刚说的这些和相等的条件。
②重要程度：幻方在数学里算是比较有趣又有挑战性的一部分。
它能锻炼咱们对数字的感觉和计算能力，还能加深对数字规律的理解。
而且它和一些更高级的数学知识也有点联系，算入门数学里比较独特的一块。
③前置知识：首先要对基本的加法运算特别熟练，得能快速准确地算出一些数字的和。
另外，对数字顺序得很熟悉，比如说1到9这些自然数的顺序。
还有就是对数阵这个概念得有点概念，知道行列是怎么回事。
④应用价值：幻方可不光是在纸上玩玩数字游戏。
在编程里，特别是设计算法的时候能涉及到幻方的原理，像是怎么让程序快速找到满足幻方规则的数字组合。
而且从研究数字规律的角度看，幻方里藏着不少数学奥秘，可能对密码学之类的可以提供一些思路。
二、知识体系①知识图谱：幻方在数学里属于数字规律探索这个分支里的。
算是一种特殊的数字组合现象，不是像四则运算那样基础，但在探索数字多种组合奥秘这一块是很有代表性的。
②关联知识：和加法运算有着直接联系，因为都是靠加法来确定幻方的和是否相等的。
和数列也有点关系，幻方里每行每列的数字可以看成是一个特殊的数列。
③重难点分析：难点就是找到那一套满足幻方条件的数字组合，特别是幻方规格大一些的时候，像5×5，7×7的幻方就更难了。
重点是要清楚幻方的定义和确定幻方和的计算方法。
④考点分析：在考试里，如果是数学竞赛可能会碰到幻方的题目。
一般会考查你能不能找到幻方的缺失数字，或者判断一组数字能否组成幻方，考查方式就是给你个残缺的幻方或者一组数字，让你按幻方的规则去处理。
三、详细讲解【理论概念类】①概念辨析：幻方核心就是它的数字组合满足特定的和相等的条件。
小学奥数专题-幻方(二)
1. 会用罗伯法填奇数阶幻方2. 了解偶数阶幻方相关知识点3. 深入学习三阶幻方一、幻方起源也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．二、幻方定义幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216三、解决这幻方常用的方法⑴适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样．⑵适用于三阶幻方的三大法则有： ①求幻和： 所有数的和÷行数（或列数）②求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3． ③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2．四、数独数独简介：（日语：数独 すうどく）是一种源自18世纪末的瑞士，后在美国发展、并在日本得以发扬光大的数学智力拼图游戏.如今数独的雏型首先于1970年代由美国的一家数学逻辑游戏杂志发表，当时名为Number Place.现今流行的数独于1984年由日本游戏杂志《パズル通信ニコリ》发表并得了现时的名称.数独本是“独立的数字”的省略，因为每一个方格都填上一个个位数. 数独可以简单的数为：让行与列及单元格的数字成规律性变换的一类数字谜问题知识点拨教学目标5-1-4-2.幻方（二）解题技巧：数独游戏中最常规的办法就是利用每一个空格所在的三个单元中已经出现的数字（大小数独一个空格只位于两个单元之内，但是同时多了一个大小关系作为限制条件）来缩小可选数字的范围. 总结4个小技巧：1、 巧选突破口：数独中未知的空格数目很多，如何寻找突破口呢？首先我们要通过规则的限制来分析每一个空格的可选数字的个数，然后选择可选数字最少的方格开始，一般来说，我们会选择所在行、所在列和所在九宫格中已知数字比较多的方格开始，尽可能确定方格中的数字；而大小数独中已知的数字往往非常少，这个时候大小关系更加重要，我们除了利用已知数字之外更加需要考虑大小关系的限制.2、 相对不确定法：有的时候我们不能确定2个方格中的数字，却可以确定同一单元其他方格中肯定不会出现什么数字，这个就是我们说的相对不确定法.举例说明，A1可以填入1或者2，A2也可以填入1或者2，那么我们可以确定，1和2必定出现在A1和A2两者之中，A 行其他位置不可能出现1或者2.3、 相对排除法：某一单元中出现好几个空格无法确定，但是我们可以通过比较这几个空格的可选数字进行对比分析来确定它们中的某一个或者几个空格.举例说明，A 行中已经确定5个数字，还有4个数字（我们假设是1、2、3、4）没有填入，通过这4个空格所在的其他单元我们知道A1可以填入1、2、3、4，A2可以填入1、3，A3可以填入1、2、3，A4可以填入1、3，这个时候我们可以分析，数字4只能填入A1中，所以A1可以确定填入4，我们就可以不用考虑A1，这样就可以发现2只能填入A3中，所以A3也能确定，A2和A4可以通过其他办法进行确定.4、 假设法：如果找不到能够确定的空格，我们不妨进行假设，当然，假设也是原则的，我们不能进行无意义的假设，假设的原则是：如果通过假设一个空格的数字，可以确定和这个空格处在同一个单元内的其它某一个或者某几个空格的数字，那么我们就以选择这样的空格来假设为佳.举例说明，B3可以填入1或者2，A3可以填入2或者3，B4可以填入1或者2，这个时候我们就应该假设B3填入2，这样就可以确定A3填入3，B4填入1，然后以这个为基础进行推理，如果推出违反规则的情况出现，那么这个假设就是错误的，我们回到假设点重新开始.数独【例 1】 在下图的每个方格中填入一个数字，使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个数字都是1，2，3，4．1234212342abd e c3412134123412342【例 2】 在图的5×5的方格表中填入A B C D 、、、四个字母，要求：每行每列中四个字母都恰出现一次：如果菜行的左边标有字母，则它表示这行中第一个出现的字母；如果某行的右边标有字母，则它表示这行中最后一个出现的字母；类似地，如果某列的上边(或者下边)标有字母，则它表示该列的第一个(或者最后一个)出现的字母．那么,,,A B C D 在第二行从左到右出现的次序是 ．DAAAD CBA【巩固】 在左下图的5×5方格表的空白处填入1～5中的数，使得每行、每列、每条对角线上的数各不相同.例题精讲5432151244【例 3】 请你在六阶拉丁幻方中的空白方格内填入相应数字，使得每一行、每一列及两条对角线上恰好出现1、2、3、4、5、6．【巩固】 如下图，6个3×2的小方格表拼成了6×6的大方格表.请在空白处填入1～6中的数，使得每行、每列中的数各不相同，并且原来6个3×2的小方格表中的数也各不相同.615122464165【例 4】 请在如右图的每个空格内填入1至8中的一个数字，使每行、每列、每条对角线上8个数字都互不相同．3285631548621346415【例 5】 如图，请将1个1，2个2，3个3，…，7个7，8个8填入6×6的表格中，使得相同的数所在的方格都连在一起（相连的两个方格必须有公共边）；现在已经给出了其中8个方格中的数，并且知道A ，B ，C ，D ，E ，F 各不相同；那么，六位数ABCDEF 是 ．【例 6】 将1到9填入下图的空白方块中，每个方块只能填一个数字，任何一行，一列或一个区块都是一个单元.每个单元都必须包含全部但不重复的数字.795485365324176264118639386492559794IH G F E D C B A 795485365324176264118639386492559794863215794999999998888888877777777666666666555555554444444433333333222222221111111198754321【巩固】 如右下图，9个33⨯的小方格表合并成一个99⨯的大方格表，每个格子中填入1-9中的一个数，每个数在每一行、每一列中都只出现一次，并且在原来的每个3⨯3的小方格表中也只出现一次，10个“☆”处所填数的总和是 .17★★★★★★★★★★47955946839381146267142356358457【巩固】 “九宫图”是一个9×9的方阵，它是由九个3×3的“九宫格”（图中黑实线围住的方阵）组成.7154296832159845983171527116842请你在上图中将数字1、2、3、4、5、6、7、8、9分别填入空格内，使得每行、每列及9个“九宫图”中数字1~9均恰好出现一次.当填写完后，位于第4行第4列的数字式______. （A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8【巩固】 如图是一个未完成的“数独”，给出数字A 、B 、C 、D 所在方格内应填的数字.A =、B = 、 C = 、D = .注：所谓“数独”即在99⨯ 的方格中填入1~9中的数字，使得每个粗线33⨯的方格中数字及99⨯的方格中每行每列数字均不重复.【巩固】 下图是一个9×9的方格图，由粗线隔为9个横竖各有3个格子的“小九宫”格，其中，有一些小方格填有1至9的数字.小青在第4列的空格中各填入了一个1至9中的自然数，使每行、每列和每个“小九宫”格内的数字都不重复，然后小青将第4列的数字从上向下写成一个9位数，请写出这个9位数，并且简单说明理由.【例 7】 将1到4填入右图的空白方块中，每个方块只能填一个数字，任何一行，一列都必须包含全部但不重复的数字，并且，在有“>”或者“<”的对应两个空格必须满足对应的大小关系.<∧∨∨∨∨1D432C B A【巩固】 请在右图4×4表格的每格中填入l ，2，3，4中的一个，使得每行，每列，每条对角线的四个数各不相同，且满足图中三个不等的关系．【巩固】 将1到4填入右图的空白方块中，每个方块只能填一个数字，任何一行，一列都必须包含全部但不重复的数字，并且，在有“>”或者“<”的对应两个空格必须满足对应的大小关系.【巩固】 将1、2、3、4分别填入4×4的方格网（如下图所示）的16个小方格中，使得每一行每一列中的4个数1、2、3、4恰好各出现一次，并且满足与不等号相邻的两个数中小数是大数的约数，那么，从左上到右下的对角线上4个数的和是____________.（左下图是一个3×3的例子）321212331A. 10B. 11C. 12D. 16【例 8】 将1到5填入右图的空白方块中，每个方块只能填一个数字，任何一行，一列都必须包含全部但不重复的数字，并且，在有“>”或者“<”的对应两个空格必须满足对应的大小关系.225><>∨∧∧∨∧54321ED CBA【巩固】 将1到5填入右图的空白方块中，每个方块只能填一个数字，任何一行，一列都必须包含全部但不重复的数字，并且，在有“>”或者“<”的对应两个空格必须满足对应的大小关系.33>∧∧<A B C D E12345∧∨><>【巩固】 请你在下面55 表格的每格中填入1，2，3，4，5中的一个，使得每行、每列、每条对角线所填的5个数各不相同，且A 格中的数比B 格中的数大，B 格中的数比C 格中的数大，C 格中的数比D 格中的数大，E 格中的数比F 格中的数大，G 格中的数比H 格中的数大.那么，第二行的5个数从左到右依次是 .HG F E DCB A【例 9】 将1、2、3、4、5、6都分别填入6×6的方格网（如下图所示）的36个小方格中，使得每一行每一列中的6个数1、2、3、4、5、6各出现依次，并且满足与不等式相邻的两个数中小数是大数的约数，那么，第二行从左到右的第6个数是___________.（左下图是一个3×3的例子.）321212331（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2【例 10】 如图．4 4方格被分成了五块；请你在每格中填入l 、2、3、4中的一个，使得每行、每列的四个数各不相同，且每块上所填数的和都相等.则A 、B 、C 、D 四处所填数字之和是 .DCBA【例 11】 如图，5×5方格被分成了五块；请你在每格中填入1、2、3、4、5中的一个，使得每行、每列、每条对角线的五个数各不相同，.现有两个格子已分别填入1和2，请在其它格子中填上适当的数.那么，ABCDE 是 .ED C B A 21【例 12】 请将1个1，2个2，3个3，…，8个8，9个9填入右图的表格中，使得相同的数所在的方格都连在一起（相连的两个方格必须有公共边）．现在已经给出了其中8个方格中的数，并且知道A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 各不相同；那么，五位数CDEFG 是 ．【例 13】 请将1个1，2个2，3个3，…，8个8，9个9填入右图的表格中，使得相同的数所在的方格都连在一起（相连的两个方格必须有公共边）；现在已经给出了其中8个方格中的数，并且知道A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 各不相同；那么，七位数ABCDEFG 是 ．【例 14】 将数字1～6中填入右面的6×6方格，使每个数字在每一行、每一列和每一个标有粗线的23⨯的“宫”中只能出现一次. 如果虚线框出的区域左上角标注的数值为该区域内所有数字之和，并且该区域内所有数字互不相同，那么，六位数ABCDEF 是_____________.【例 15】 如图1的每个方格中分别填入1、2、3、4、5、6、7中的一个数，使得每行、每列的七个数各不相等；并且圆圈中的数等于与它相邻的四个数的乘积．那么，★处所填的数是 ．图18420361201056019212016824525【例 16】 如图，请沿虚线将77⨯的方格表分割成若干个长方形，使得每个长方形中恰好包含一个数字，并且这个数字就是此长方形的面积．那么第四列的7个小方格分别属于________个不同的长方形．。
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幻方是一种广为流传的数学游戏，据说早在大禹治水时就发现过。
幻方的特点是：由自然数构成n×n正方形阵列，称为n阶幻方，每一行、每一列、两对角线上的数之和相等。
法国人罗伯总结出了构造奇数阶连续自然数幻方的简单易行的方法“罗伯法” (也叫“萝卜”法)。
三阶幻方解法
“萝卜”法
一居上行正中央
依次填在右上角
上出框时下边填
右出框时左边放
斜出框时下边放(出角重复一个样)
排重便在下格填
9阶(了解)
47 58 69 80 1 12 23 34 45
57 68 79 9 11 22 33 44 46
67 78 8 10 21 32 43 54 56
77 7 18 20 31 42 53 55 66
6 1
7 19 30 41 52 63 65 76
16 27 29 40 51 62 64 75 5
26 28 39 50 61 72 74 4 15
36 38 49 60 71 73 3 14 25
37 48 59 70 81 2 13 24 35
幻方的其它概念: 中心数和黄金三角的规律只适用于3阶幻方
1.中心数: 中心数为对称两边数的和除以2 （比如（8+2）/2=5）
8 1 6
3 5 7
4 9 2
2.黄金三角: 黄金三角顶点的数为两腰之和除以2（比如（7+9）/2=8）
练习
1.在如图所示的方格内填上合适的数，使每行、每列及对角线上的三数之和等于33.
14 9 10
7 11 15
12 13 8
2.中间值是“12”，请在其他8格填上适当的数据，使9个方格内的数据是9个连续的自然
数的幻方
15 8 13
10 12 14
11 16 9
标准的幻方是每行每列以及对角线上的和为15, 现在
要求为33, 如果在标准幻方的基础上每个数都扩大
6,就可以满足要求: 15+6x3=33
简单：只要在标准的幻方的基础上+7 就OK
3.每一行、列、对角线上的数的和要为30，请补充填写空白处的数
15
13
5
4.求？，要求3列3行还有斜线和一致！
？
89
21
在图（1），（2）的空格中填入不大于15且互不相同的数（其中已填好一个数），使每一横行、每一竖列和对角线上的3个数之和都等于30．
解析30被分为3行，那么10为中间的数，所以两个方格的正中间均为10，那么第一个正方形一条对角线上的数为8，10，12，接着一行可填15，10，5；需注意15和8相邻，那么剩下的只要相加为30即可．
同理，第二个正方形一条对角线上的数为14，10，6，接着一行可填15，10，5；需注意15和6相邻，那么剩下的只要相加为30即可．
解答解：如图：。