3第三章 集中趋势和离散趋势

4
n 1 不是整数，则用 插值法 计算四分位数。
4
相邻位次上的标志值的加 权算术平均数
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（2）由分组资料计算四分位数。
第 i 四分位数的计算公式为：
i
M i Li
f
4
Smi1
f mi
di
(i 1, 2, 3)
式中：
Li ——第 i 四分位数所在组的下限； fmi ——第 i 四分位数所在组的次数；
i ——众数组的组距
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计算众数的上限公式为：
M0

U

d1
d1 d2
i
式中： U ——众数组的上限
众数的计算只适用于单位数较多，且存在明显的集中趋势的 情况，否则，计算众数时没有意义的。
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离散趋势的测度
离散趋势的测度，在统计学中也称为指标变异指标，是用来描述数 列中指标值的离散趋势与离散程度的。常用的标志变异指标有极差、 平均差和标准差等。
过给定的范围，就说明有不正常情况产伤。但极差受到极端是的影响，测
定结果往往不能反映数据的实际离散程度。
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2. 四分位差
四分位差是根据四分位数计算的。首先把变量各单位标志值从 小到大排序，再将数列四等分，处于四分位点位次的标志值就 是四分位数，记作 M1，M2，M3 ，M1 为第一四分位数（也称为下 四分位数），M2 为第二四分位数，就是中位数 Me ，M3 为第三 四分位数。 四分位差的计算公式为： 四分位差 M3 M1
数主要有平均差离散系数 VA.D. 和标准差离散系数 V
其公式分别为：
V
A.D.
A.D. 100% X

V X 100%
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6. 偏度和峰度
（1）偏度
偏度是用来反映变量数列分布偏斜程度的
指标。
对称分布
右偏分布
变量数列的
（或称正偏分布）
单峰钟形分布
非对称分布
（或称偏态分布） 左偏分布
1. 极差
极差是指一个数列中两个极端值即最大值与最小值之间的差异。 根据极差的大小能说明标志值变动范围的大小。其计算公式为：
极差＝最大标志值－最小标志值
根据组距数列求极差的计算公式为：
极差＝最高组上限－最低组下限
在实际工作中，极差可以用于检查产品质量的稳定性和进行质量控制。
在正常生产的条件下，产品质量稳定，极差在一定范围内波动，若极差超
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1. 算术平均数
算术平均数是平均指标中最重要的一种，一般不特别说明时， 所称的“平均数”就是指算术平均数，其定义的公式为：
算术平均数＝总体标志总量／总体单位总量 计算算术平均数时，标志总量和单位总量必须属于同一总体， 分子分母所包含的口径必须一致。否则，计算出来的平均数 指标便失去了科学性。算术平均数，可以分为简单算术平均 数和加权算术平均数两种。
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5. 众数
众数是一种位置平均数。众数是总体单位中，标志值出现次 数最多的那个数值。 为了确定众数的具体数值，可以利用 下限公式或上限公式加以计算。
计算众数的下限公式为：
Leabharlann Baidu
M0
L d1 i d1 d2
式中： M0 ——众数
L ——众数组的下限
d1 ——众数组次数与上一组次数之差 d2 ——众数组次数与下一组次数之差
n
n 1
用于估计总体标准差 。
在小样本的情况下，
S X X 2 较 S X X 2 为总体标准差 的更优
n 1
n
良的估计量 。
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5. 离散系数
上述的各种标志变异度指标，都是对总体中各单位指标 值变异测定的绝对量指标。而离散系数是测定总体中各 单位标志值变异的相对量指标，以消除不同总体之间在 计量单位、平均水平方面的不可比因素。常用的离散系
未分组资料时，中位数位次＝ N 1
2
当总体位数 N 为奇数时，中位数就是中位数位次上的那个数据； 当 N 为偶数时，中位数是中位数位次上2项数据的算术平均数。
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分组资料时，中位数位次 f 2
可以利用中位数所在组的下限来测算中位数，即中位数的下
限公式为 ：
M c L
XX f A.D. f
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4. 方差和标准差
未分组资料时，方差的公式为：
2
2
X X
N
标准差的公式为：

X X 2
N
分组资料时，方差的公式为：
2
2
XX f
f
标准差的公式为：

X X 2 f
f
式中： X
X N
f ——总次数，即各组次数总和；
Smi1 ——小于第 i 四分位数所在组的各组次数之和；
di ——第i 四分位数所在组的组距。
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四分位差与极差相比较： 四分位差是对极差的一种改进。与极差相比，四分位差因不受 极值的影响，在反映数据的离散程度方面比极差准确，具有较 高的稳定性；同时，对于存在开口的组距数列，不能计算极差， 但可以计算四分位差。 四分位差和极差一样，不能充分利用数据的全部信息，也无法 反映标志值的一般变动。
2
四分位差的计算步骤为： 先寻找四分位数， 然后根据四分位差的计算公式计算。
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四分位数的计算 （1）由未分组资料计算四分位数。
首先确定四分位数的位次，再找出对应位次的标志值即为四分位数。
设样本容量为 n ，
M1的位次

n
1 4
M
的位次
3

3(n 1) 4
n 1 是整数，则位次对应的 标志值即为相应的四分位数。
——变量值 ——算术平均数 ——总体单位数
f ——各组次数 2 ——方差 ——标准差
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需要指出的是， X X 2 是总体标准差，而样本标 N
准差为 S X X 2 。 n 1
当样本较大时，由于
1 几乎等于
n 1
1 n
，因此常用公式
X X 2 代替公式 X X 2 来计算样本标准差S，并
•当 A= X ，即以 X 为中心，M 称为K 阶原点矩，用mK表示。
K=1，2，3时，有： 一阶中心矩 二阶中心矩 三阶中心矩
m1 ( X X )1 / n 0 m2 ( X X )2 / n
m3 ( X X )3 / n
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偏度系数 的计算公式：
N ——总体单位数
——总和
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（2）加权算术平均数
加权算术平均数的计算公式为：
n
X i fi
X
i 1 n
fi
i 1
式中： X（i 或X） fi (或f )
——标志值 ——标志值 Xi (或X ) 出现的次数或权数
n
——组数
n
Xi fi (或 Xf ) ——标志总量
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（1）简单算术平均数
将总体的各个单位标志值简单相加，然后除以单位个数，求出
的平均标志值，叫做简单算术平均数。简单算术平均数的计算
公式为：
n
X X1 X 2 X3 X n i1 Xi
N
N
式中：
X ——算术平均数
X i ——第i个单位的标志值，i＝1，2，3,…,n
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3. 平均差
平均差是各单位标志值对平均数的离差绝对值的平均数。平均 差仅反映总体各单位标志值对其平均数的平均离差量。平均差 越大，表明标志变异程度越大；反之，则表明标志变异程度越 小。平均差通常用字母 A.D. 表示。
未分组资料时，其计算公式为：
X X
A.D.
N
分组资料时，其计算公式为：
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用偏度系数准确地测定分布的偏斜程度和进行比较分析。
※ Pearson偏度系数，用SK 表示。
SK X MO
SK 为无量纲的系数，通常取值在-3~+3之间。绝对值越大，
说明分布的倾斜程度越大。
SK =0 SK > 0 SK < 0
对称分布 右偏分布 左偏分布
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4. 中位数
中位数是一种按其在数列中的特殊位置而决定的平均数。把总 体各单位标志值按大小顺序排列后，处在中点位次的标志值就 是中位数，它将全部标志值分成两个部分，一半标志值比它大， 一半标志值比它小，而且比它大的标志值个数和比它小的标志 值个数相等。
要求得中位数，首先要确定中位数的位次。
i1
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2. 调和平均数
调和平均数又称“倒数平均数”，它是根据各标志值的倒数 来计算的平均数，即各个标志值倒数的算术平均数的倒数。 调和平均数也分简单调和平均数和加权调和平均数。
简单调和平均数的计算公式为：
1

1 X1

1 X2

1 X3

1 Xn
即
XH
N
X H
1
（或称负偏分布）
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利用平均数、中位数、众数的位置关系大致判断分布是否 对称：
f
f
f
X
Mo Me X
X Me Mo
对称分布
X
X Me Mo
X Me Mo
左偏分布
X
Mo Me X
X Me Mo
右偏分布
偏态分布情况下平均数、中位数、众数有近似的关系：
M e M o 2( X M e )
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第3章
集中趋势和离散趋势
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集中趋势的测度
集中趋势是对频数分布资料的集中状况和平均水平的综 合测度。而离散趋势是对频数分布资料的差异程度和离 散程度的测度，用来衡量集中趋势所册书之的代表性， 或者反映变量值的稳定性和均匀性。
常用来表达数列集中趋势的测度有算术平均数、调和平均 数、几何平均数、中位数和众数。这些测度在统计学中也 称为平均指标或平均数，可以用来反映标志值的典型水平 和标志值分布的中心位置或集中趋势。
1
N 1

1

N 1
X1 X2 X3
Xn
X
设m为权数，则加权调和平均数的计算公式为：
1

m1 m2 m3 mn
X1 X2 X3
Xn
则
XH
m1 m2 m3 mn
n
X H
m1 m2 m3 mn m1 m2 m3 mn
f
2
Sm1 i
fm
式中： Mc
L
——中位数 ——中位数所在组的下限
fm ——中位数所在组的次数
f ——总次数即各组次数总和
Sm1 ——小于中位数组的各组次数之和
i
——中位数所在组的组距
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也可以利用中位数所在组的上限来测算中位数，即中位数的
上限公式为 ：
Mc U
※ 动差法（或称矩法）计算偏度系数，用 表示。
定义变量X关于A的K阶矩（对未分组资料）： M=∑(X-A)K/n
• 当 A=0，即以原点为中心，M 称为K 阶原点矩，用MK表示。 K=1，2，3时，有： 一阶原点矩M1=∑(X-0)1/n=∑X/n 二阶原点矩M2=∑(X-0)2/n=∑X2/n 三阶原点矩M3=∑(X-0)3/n=∑X3/n
m3 3
=0 >0 <0
对称分布； 右偏分布， 值越大，右偏程度越高； 左偏分布， 值越小，左偏程度越高。

mi
i1
n mi
X1 X 2 X 3
X n X i1 i
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3. 几何平均数
几何平均数是计算平均比率和平均速度最适用的一种方法。 几何平均数有简单几何平均数和加权几何平均数之分。 简单几何平均数是 N 个标志值连乘积的 n 次方根。
其计算公式为： X G n X1 X 2 X 3 X n N X
在用几何平均数法计算平均数时，如果 N 大于2， 可采用对数法计算。计算公式为：
ln
XG

1 N
ln
X1
ln
X2
ln
X3
ln
Xn


1 N
ln X
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需要指出的是，当把几何平均数应用于经济现象时，必须注 意经济现象本身的特点。只有当标志总量表现为各个标志值 的连乘积时，才适合采用几何平均数方法来计算平均标志值。 一般来说，计算社会经济现象在各个时期的平均发展速度时， 要采用几何平均数。例如，工农业总产值年平均发展速度、 全国人口年平均发展速度等。
f
2
Sm1 i
fm
式中： U ——中位数所在组的上限
Sm1 ——大于中位数组的各组次数之和
中位数最大的特点是：它是序列中间1项或2项的平均数，不受极 端值的影响，所以在当一个变量数列中含有特大值与特小值的情 况下，采用中位数较为适宜。正式由于中位数的这一特点，在统 计研究中，当遇到掌握统计资料不多而且各标志值之间差异程度 较大或频数分布有偏态时，为避免计算标志值所得的算术平均数 偏大或偏小，就可利用中位数来表示现象的一般水平。