集中趋势与离散趋势
正态分布的集中趋势和离散统计指标
正态分布的集中趋势和离散统计指标正态分布的集中趋势和离散统计指标1. 介绍正态分布是统计学中最常见的分布之一，其具有许多重要特性和应用。
在本篇文章中，我们将深入探讨正态分布的集中趋势和离散统计指标，以便更好地理解这一概念。
2. 正态分布的基本特点正态分布是一种连续型的概率分布，具有钟形曲线的特征。
它在统计学和自然科学中都有着广泛的应用，例如在财务、医学和经济学领域。
正态分布的基本特点包括均值、标准差等。
在一般情况下，我们希望通过统计样本来了解分布的集中趋势和离散程度。
3. 集中趋势指标所谓集中趋势指标，即用来衡量数据聚集程度的统计量。
常见的集中趋势指标包括均值、中位数和众数。
我们来逐一介绍它们的特点和应用。
3.1 均值均值是一组数据的平均值，它能够反映数据的集中程度。
在正态分布中，均值通常位于分布的中心位置，是一个常用的集中趋势指标。
3.2 中位数中位数是一组数据中间位置的数值，将数据按大小排序后，位于中间位置的数即为中位数。
与均值不同，中位数对特殊值的影响较小，更能反映数据的真实情况。
3.3 众数众数是一组数据中出现次数最多的数值，它能够指示数据的主要倾向。
在正态分布中，众数通常与均值和中位数重合。
通过对这些集中趋势指标的了解，我们可以更好地把握数据的分布特点和趋势走向。
4. 离散统计指标除了集中趋势指标外，我们还需要关注离散程度的统计指标，它能够反映数据的离散程度和分布的散布情况。
常见的离散统计指标包括标准差、方差和四分位数距等。
4.1 标准差和方差标准差和方差是用来衡量数据离散程度的指标，它们能够告诉我们数据的波动情况和分布的广度。
在正态分布中，标准差和方差通常较为稳定，能够很好地描述数据的分布特点。
4.2 四分位数距四分位数距是用来衡量数据分散情况的指标，它能够告诉我们数据的分布范围和离散程度。
通过四分位数距，我们可以更好地理解数据的离散特性和分布的广度。
5. 个人观点和总结通过对正态分布的集中趋势和离散统计指标的介绍和讨论，我深刻地意识到了这些指标对于数据分布的理解和分析是至关重要的。
研究生统计学 集中和离散趋势的描述
从频数分布可见 大多数观察值集 中在小值一端， 102名患者中有 79.41%的人的 发铜值在10μg/g 以下，呈正偏态 分布。
102名男性脑卒中患者发铜分布
发铜（μg/g） 2～ 4～ 6～ 8～ 10～ 12～ 14～ 16～ 18～ 20～ 22～ 24～ 26～ 合计
频数 3 9 38 31 6 5 2 1 2 1 1 2 1
所在组的频数
Px
L
i (n
x% fL) fm
(nx%fL) i; fm位数应用
• 确定医学参考值范围 (reference range)： 如95％参考值范围＝P97.5－P2.5； 表示有95％正常个体的测量值在此范围。
• 中位数M与四分位数间距一起使用，描述偏 态分布资料的特征。
Glg 1
flfg Xl
g 1
flg X n
X可为单个对数值或组中值
某医院神经科用火焰原子吸收光谱法测定了102名男性脑 卒中患者头发中微量元素铜（Cu）的含量（μg/g）,资 料如下，求平均含量。
2.3 5.7 6.7 7.2 7.7 8.4 9.1 9.6 12.6 25.2 3.3 6.1 6.7 7.2 7.8 8.5 9.1 9.8 12.8 25.6 3.4 6.2 6.8 7.3 7.8 8.6 9.2 9.8 13.4 26.4 4.0 6.3 6.8 7.4 7.8 8.6 9.3 9.9 13.8 4.1 6.3 6.9 7.5 7.8 8.7 9.4 10.1 15.3 4.2 6.4 7.0 7.5 7.9 8.7 9.4 10.2 15.6 4.4 6.5 7.1 7.5 8.0 8.8 9.4 10.6 17.4 5.1 6.5 7.1 7.6 8.1 8.8 9.5 10.9 18.5 5.4 6.5 7.1 7.6 8.2 8.9 9.6 11.0 18.7 5.5 6.5 7.1 7.6 8.3 9.0 9.6 11.6 20.3 5.7 6.7 7.1 7.6 8.3 9.0 9.6 12.5 23.2
集中趋势和离散趋势
集中趋势和离散趋势集中趋势和离散趋势是描述数据分布特征的两个重要概念。
集中趋势用于衡量数据的中心位置，一般用平均值、中位数和众数来表示；而离散趋势则用于量化数据的分散程度，常用的度量包括范围、方差和标准差等。
首先，集中趋势是指数据的中心位置，它反映了数据的一般水平。
平均值是一组数据中所有数值的总和除以数据的个数，它具有高可操作性和表达性，但对于含有极端值的数据可能会有较大的偏差。
中位数是将一组数据按大小顺序排列后位于数列中间的数值，它对异常值不敏感，能够更好地展示数据整体分布情况。
众数是一组数据中出现频率最高的数值，常用于描述离散型数据的集中趋势。
其次，离散趋势是指数据的分散程度或分布的离散程度，它反映了数据的差异程度。
范围是数据的最大值和最小值之间的差异，它直观地反映了数据的波动范围。
方差是数据与平均值之间差异的平均值，它衡量了数据整体的离散程度，数值越大表示数据越分散。
标准差是方差的平方根，它具有与原始数据相同的度量单位，常用于度量连续型数据的离散趋势。
集中趋势和离散趋势在统计学中有广泛的应用。
在描述数据特征时，通过集中趋势可以直观地了解数据的中心位置和一般水平，从而具有参考价值。
而离散趋势则帮助我们了解数据的变异程度，通过度量数据的分散程度可以判断数据的稳定性和可靠性。
这两个概念相辅相成，共同构成了对数据特征的全面描述。
当进行数据分析和决策时，我们需要同时考虑数据的集中趋势和离散趋势。
集中趋势能够帮助我们了解数据的普遍水平，为个体或群体的表现提供参考，而离散趋势可以帮助我们判断数据的稳定性和差异程度，进而做出更加准确的决策。
总之，集中趋势和离散趋势是描述数据特征的两个重要概念。
集中趋势用于衡量数据的中心位置，离散趋势用于度量数据的分散程度。
它们互为补充，帮助我们全面了解数据的特征，从而更好地进行数据分析和决策。
正态分布的集中趋势和离散统计指标
正态分布的集中趋势和离散统计指标在统计学中，正态分布是一种非常重要且常见的概率分布，也被称为高斯分布。
它具有许多重要特性，其中包括集中趋势和离散统计指标。
在本文中，我们将探讨正态分布的集中趋势和离散统计指标，以及它们在实际应用中的意义和重要性。
1. 集中趋势指标正态分布的集中趋势指标是描述数据集中取值位置的统计量。
常见的集中趋势指标包括均值、中位数和众数。
其中，均值是所有数据值的平均数，是最常用的集中趋势指标之一。
在正态分布中，均值通常位于分布的中心位置，并且具有对称性。
除了均值，中位数和众数也是描述集中趋势的重要指标。
中位数是将数据集等分为两部分的数值，而众数则是数据集中出现最频繁的数值。
在实际应用中，集中趋势指标可以帮助我们理解数据分布的中心位置，判断数据的平均水平，并做出相应的决策。
在财务报表分析中，我们可以利用均值来评估企业的盈利水平，进而制定财务策略和规划预算。
在医学研究中，研究人员也常用中位数来描述疾病的发病率，以便做出治疗方案和预防措施。
2. 离散统计指标除了集中趋势指标外，正态分布还具有离散统计指标，用于描述数据的分散程度和波动性。
常用的离散统计指标包括标准差、方差和极差。
标准差是数据偏离均值的平均距离，是描述数据离散程度的重要统计量。
方差则是标准差的平方，用于衡量数据的波动性和离散程度。
另外，极差是描述数据取值范围的统计量，可以帮助我们了解数据的最大和最小取值之间的差异程度。
在实际应用中，离散统计指标可以帮助我们评估数据的波动性和风险程度，从而制定相应的风险管理和控制策略。
在金融投资中，我们可以利用标准差来衡量资产价格的波动性，进而评估投资风险并调整投资组合。
在生产制造中，研究人员也常用方差来评估生产过程的稳定性和一致性，以便提高生产效率和质量。
个人观点和理解对于正态分布的集中趋势和离散统计指标，我认为它们在数据分析和决策制定中起着至关重要的作用。
集中趋势指标可以帮助我们理解数据的中心位置，从而判断平均水平和典型取值。
专题：数据的集中趋势与离散程度
专题：数据的集中趋势与离散程度※知识梳理一．数据的集中趋势1、平均数(1)定义：有n个数x1，x2，…x n，则x=叫这n个数的平均数．(2)意义：平均数是反映一组数据的．(3)结论：若x1，x2，…，x n的平均数是x，则ax1，ax2，…，ax n的平均数是；x1+b，x2+b，…，x n+b的平均数是；ax1+b，ax2+b，…，ax n+b的平均数是．2、众数(1）定义：一组数据中的数据叫这组数据众数．(2)意义：众数反映的是一组样本数据的.(3)一组数据中的众数有时不唯一.3、中位数(1)定义：将一组数据按大小依次排列，把处在或叫这组数据的中位数．(2)意义：反映一组数据的，一组数据中的中位数是唯一的．二．数据的离散程度1、极差(1)定义：一组数据中叫做这组数据的极差，即极差= .(1)意义：极差能够反映数据的变化范围。
极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值影响较大. 2、方差与标准差(1)定义：在一组数据x1，x2，…，x n中，各数据与它们的平均数x的差的平方的平均数，•叫做这组数据的方差．通常用“S2”表示，即S2= ．方差的叫做这组数据的标准差，用“S”表示，即S= ．(2)意义：方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小。
(3)解困：若x1，x2，…，x n的方差是s2，标准差是s，则ax1，ax2，…，ax n的方差是，标准差是；x1+b，x2+b，…，x n+b的方差是，标准差是；ax1+b，ax2+b，…，ax n+b的方差是，标准差是．※题型讲练【例1】为了解某地高一年级男生的身高情况，从其中的一个学校选取容量为60的样本(单位：cm)，分组情况如下：(1)将上表中的数据补充完整．(2)画出频数分布直方图．(3)估计该地区高一年级男生身高的众数，中位数和平均数.【例2】某鞋店销售了9双鞋，各种尺码的销售量如下：鞋的尺码20 21 22 23销售量（双） 1 2 4 2（1）计算这9双鞋尺码的平均数、中位数和众数.（2）哪一个指标是鞋厂最感兴趣的指标？哪一个指标是鞋厂最不感兴趣的？变式训练1：1.为了了解某班学生每周做家务劳动的时间，某综合实践活动小组对该班50名学生进行了调查，有关数据如下表：根据上表中的数据，回答下列问题：（1）该班学生每周做家务劳动的平均时间是多少小时？（2）这组数据的中位数、众数分别是多少?每周做家务的时间（小时）0 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4人数（人） 2 2 6 8 12 13 4 3 分组151.5～158.5 158.5～165.5 165.5～172.5 172.5～179.5频数 6 2l频率0.1【例3】数据0、1、2、3、x 的平均数是2，求这组数据的极差和标准差.变式训练2：1.若1，2，3，a的平均数是3，且4，5，a，b的平均数是5，则样本0，1，2，3，4，a，b的标准差是多少？【例4】从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下：（单位：cm）甲：21 42 39 14 19 22 37 41 40 25乙：27 16 40 41 16 44 40 40 27 44(1)根据以上数据分别求甲、乙两种玉米的极差、方差和标准差.(2)哪种玉米的苗长得高些;(3)哪种玉米的苗长得齐. 【例5】某区为了了解七年级学生的身高情况（单位：cm），随机抽查了部分学生的身高，将所得数据处理后分成七组（每组只含最低值，不含最高值），并制成下列两个图表（部分）：请根据以上信息，回答下列问题：(1)该区抽查了多少名学生的身高情况？答：(2)被抽查学生身高的中位数落在第组；(3)扇形图中第六组所在扇形的圆心角是度；(4)如果该区七年级学生共有5000名，则身高不低于160cm的学生约有名；(5)能否以此估计该区高一年级学生的身高情况？为什么？答：．。
集中和离散趋势指标
集中和离散趋势指标1.引言1.1 概述概述部分将介绍集中和离散趋势指标的基本概念和背景。
集中趋势指标和离散趋势指标是统计学中常用的分析工具，用于描述和度量数据集中和离散程度的重要指标。
在实际问题中，我们经常遇到需要描述和分析数据集中和离散程度的情况。
集中趋势指标主要关注数据的中心值，用于度量数据集中在何处，以及数据的均匀分布程度。
而离散趋势指标则用于度量数据的分散程度，即数据的离散程度有多大。
集中趋势指标和离散趋势指标在统计学、经济学、金融学等领域被广泛应用。
例如，在统计学中，我们常常使用平均值、中位数、众数等指标来描述数据的集中趋势；而方差、标准差、极差等指标则用于度量数据的离散趋势。
本文将分别介绍集中趋势指标和离散趋势指标的定义和解释，并列举一些常见的集中趋势指标和离散趋势指标的示例。
通过对这些指标的应用和分析，我们能够更加客观地了解数据的分布特征，为后续的数据分析和决策提供依据。
在下一章节的正文部分，我们将详细介绍集中趋势指标和离散趋势指标的定义、计算方法和使用场景。
希望通过本文的介绍，读者能够对集中和离散趋势指标有一个全面的认识，并能够在实际应用中灵活运用这些指标，提高数据分析的精确性和准确性。
接下来，我们将开始介绍集中趋势指标的相关内容，包括定义和解释等方面的内容。
敬请关注！1.2 文章结构文章结构部分的内容：本文将围绕集中和离散趋势指标展开讨论。
首先，在引言部分进行概述，介绍集中和离散趋势指标的基本概念和作用。
然后，通过分析文章目录可以看出，正文部分将重点介绍集中趋势指标和离散趋势指标，包括它们的定义和解释以及常见的指标类型。
最后，在结论部分对集中趋势指标和离散趋势指标的应用进行总结。
具体而言，在正文部分，我们会首先介绍集中趋势指标，包括其定义和解释。
随后，会详细介绍一些常见的集中趋势指标，例如均值、中位数和众数等。
这些指标能够反映数据集中在某个位置或数值上的趋势，有助于我们对数据的整体特征进行理解和分析。
3第三章 集中趋势和离散趋势
f
2
Sm1 i
fm
式中： U ——中位数所在组的上限
Sm1 ——大于中位数组的各组次数之和
中位数最大的特点是：它是序列中间1项或2项的平均数，不受极 端值的影响，所以在当一个变量数列中含有特大值与特小值的情 况下，采用中位数较为适宜。正式由于中位数的这一特点，在统 计研究中，当遇到掌握统计资料不多而且各标志值之间差异程度 较大或频数分布有偏态时，为避免计算标志值所得的算术平均数 偏大或偏小，就可利用中位数来表示现象的一般水平。
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4. 中位数
中位数是一种按其在数列中的特殊位置而决定的平均数。把总 体各单位标志值按大小顺序排列后，处在中点位次的标志值就 是中位数，它将全部标志值分成两个部分，一半标志值比它大， 一半标志值比它小，而且比它大的标志值个数和比它小的标志 值个数相等。
要求得中位数，首先要确定中位数的位次。
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用偏度系数准确地测定分布的偏斜程度和进行比较分析。
※ Pearson偏度系数，用SK 表示。
SK X MO
SK 为无量纲的系数，通常取值在-3~+3之间。绝对值越大，
说明分布的倾斜程度越大。
SK =0 SK > 0 SK < 0
对称分布 右偏分布 左偏分布
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过给定的范围，就说明有不正常情况产伤。但极差受到极端是的影响，测
定结果往往不能反映数据的实际离散程度。
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2. 四分位差
四分位差是根据四分位数计算的。首先把变量各单位标志值从 小到大排序，再将数列四等分，处于四分位点位次的标志值就 是四分位数，记作 M1，M2，M3 ，M1 为第一四分位数（也称为下 四分位数），M2 为第二四分位数，就是中位数 Me ，M3 为第三 四分位数。 四分位差的计算公式为： 四分位差 M3 M1
集中趋势与离散趋势
允许用户自定义查询条件、筛选数据和调整图表 参数，以便更深入地探索数据的内在规律和关联 关系。
数据动画
将数据变化过程以动画形式展现出来，帮助用户 更直观地理解数据的变化趋势和动态特征。
06 总结与展望
CHAPTER
主要发现与结论
集中趋势描述
通过平均数、中位数和众数等指标，可以有 效地描述数据的集中趋势，反映数据分布的 中心位置。
众数
一组数据中出现次数最多的数。众数可能不唯一，也可能不存在。众数适用于分类数据和顺序数据，对于数值型 数据，如果数据分布的波动性较大，众数可能不能很好地代表数据的集中趋势。
03 离散趋势
CHAPTER
定义与概念
离散趋势
指一组数据中各数值之间的差异程度 或离散程度，是数据分布的另一个重 要特征。
直方图（Histogram）
将数据按照一定范围进行分组并用矩形条表示，通过矩形条的高度和宽度反映数据的分布 规律。
散点图（Scatter Plot）
用点的位置表示两个变量之间的关系，可通过观察点的分布情况和趋势线分析数据的集中 和离散趋势。
动态数据可视化在趋势分析中的应用
1 2 3
时间序列分析
通过动态展示数据随时间变化的情况，揭示数据 的长期趋势、季节波动和周期性规律。
• 关注数据质量和异常值处理：在实际数据分析中，异常值和数据质量问题是不 可忽视的。未来的研究可以关注如何有效地处理异常值和数据质量问题，以提 高集中趋势和离散趋势分析的准确性和可靠性。例如，可以采用稳健的统计方 法或者数据清洗技术对异常值进行处理，以保证分析结果的稳定性和可靠性。
谢谢
THANKS
Tableau
功能强大的数据可视化工具，支持交互式数据分析和动态图表展示， 适用于大数据处理。
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当 n 为奇数时，中位数 Md 就直接等于 n 1 位置上对应的变量值；当 n 为偶数时，中 2
位数 Md 等于位于最中央的两个变量值的均值（如果是定序变量，中位数取值就是将两个变 量取值结合起来表示）。
第一节 集中趋势分析
• 二、定序变量：中位数
• 由分组资料求中位数时，与前面的情况有所不同。在确定了中位值所在组的组别后，还要对“组
距”进行分解，以确定中位值的位置。具体方法是先列出累积频次，然后按上例同样的方法确定中位
数所在的组，最后利用下述公式计算出中位数：
•
Md
其中，L＝中位数所在组的真正下限值；
L
n 2
cf (m1)
fm
(U L)
• U＝中位数所在组的真正上限值； • n＝全部个案数；
• cf（m-1）＝低于中位值所在组真实下限的累积频次； • fm＝中位数所在组的次数；
第一节 集中趋势分析
• 二、定序变量：中位数
例 6：下面以表 5-4 中的数据为例，说明如何从分组资料中求中位数。 表 5-4 某公司员工的收入分布
收入
频数（f）
非常不满意
24
24
不太满意
108
132
一般
95
227
比较满意
43
270
非常满意
30
300
合计
300
解：由表数据可知，
Md 位置＝ n 1 300 1 150.5
2
2
从表中累积频次中可看出，这个位置在“一般”这个等级内，因此 Md=“一般”。
第一节 集中趋势分析
• 二、定序变量：中位数
• 2．用分组资料求中位数
累积频次（cf↑）1000-1499 Nhomakorabea10
10
1500-1999
10
20
2000-2499
40
60
2500-3000
20
80
合计
80
【解】：Md 的位置＝ n 1 80 1 40.5 ，Md 位于“2000—2499”组，
2
2
L=1999.5；U＝2499.5；cf(m-1)=20；fm=40；n＝80；代入公式得
Md 的位置＝ n 1 =5，数列中从左到右第 5 个是 1080，即 Md＝1080 元。 2
我们再来看看数据个数为偶数时怎样计算中位数。 假设我们在例 4 中多抽取 1 个家庭，10 个家庭，每个家庭的人均月收入数据排序后为：
660，750，780，850，960，1080，1250，1500，1630 ，2000； 计算 10 个家庭人均月收入的中位数。
例 3：下面是男女两组成绩的定序数据，求男女生各自成绩的中位数。 男：优、良、差、良、优、中、中、中、良； 女：优、优、良、中、良、良、优、优； 【解】：先将成绩排序： 男：优、优、良、良、良、中、中、中、差； 女：优、优、优、优、良、良、良、中；
男生 Md 的位置＝ n 1 =5，位于序列的第 5 位，对应成绩是良，因此，Md＝良； 2
【解】：Md 的位置＝ n 1 =5.5，数列中第 5 个是 960，第 6 个是 1080，中位数 Md＝ 2
960 1080 1020 元。 2
第一节 集中趋势分析
• 二、定序变量：中位数
例 5：一项关于城市住房满意度调查结果如下表， 表 5-3 城市家庭对住房状况的评价
满意度
频数（f） 累积频数（ cf ）
变量量 的值 集， 中一 趋般 势用。MO表示，又称众值。它主要用来测量定类层次变
第一节 集中趋势分析
• 一、定类变量：众数
例 1：表 5-1 的数据是甲校学生上网类型的统计数据，请根据表中的数据，计算众数。
表 5-1 上网类型的频数分布表
上网类型
频数
百分比
浏览信息
300
33.3
收发邮件
200
22.2
女生 Md 的位置＝ n 1 =4.5，位于序列第四和第五位之间，对应的成绩是优和良，因 2
此，女生的 Md＝“良和优之间”。
第一节 集中趋势分析
• 二、定序变量：中位数
例 4：在某个城市随机抽取 9 个家庭，调查得到每个家庭的人均月收入数据如下（单 位：元），计算人均月收入的中位数。
1500，750，780，1080，850，960，2000，1250，1630； 【解】：先将上面的数据排序：750，780，850，960，1080，1250，1500，1630 ，2000；
该组的组中值 2249.5[ (2000 2499) 2 ]即为众数。即 MO=2249.5。
第一节 集中趋势分析
• 二、定序变量：中位数 • 中位数（Median）是指一组数据按值的大小顺序排列后，处于中央位置的变量值，用
Md表示，又称中位值。
1．根据原始资料求中位数 根据原始资料计算中位数时，要先对数据进行排序，然后确定中位数的位置，其公式 为：
Md
L
n 2
cf(m1) fm
(U
L) ＝1999.5
80 20 2 (2499.5 1999.5) 2250
40
即职工收入的中位数为 2250 元。
第一节 集中趋势分析
• 三、定距变量：均值
•
均值（Mean）又称算术平均数，它在统计学中有重要的地位，是社会调查
第一节 集中趋势分析
一、定类变量：众数
例 2：根据表 5-2 的数据求该公司员工收入的众值。
表 5-2 某公司员工的收入分布
收入
员工数
组中值
1000-1499
10
1250
1500-1999
10
1750
2000-2499
40
2250
2500-3000
20
2750
合计
80
【解】：从表中数据显示可知，频数最多的收入组别为“2000-2499”，对应的频数为 40 人，
第五章 集中趋势与离散趋势
• 第一节 集中趋势分析 • 第二节 离散趋势分析 • 第三节 单变量描述分析的SPSS应用
第一节 集中趋势分析
• 集中趋势（central tendency）是指一组数据向某一中心值靠 拢的倾向，集中趋势分析就是寻找一个代表数据一般水平的代表 值或中心值。
• 一、定类变量：众数 • 众数（Mode）是一组数据中出现次数最多（即频数最高）的
聊天
150
16.7
玩游戏
100
11.1
查找资料
50
5.6
其它
100
11.1
合计
900
100.0
【解】：这里的变量是“上网类型”，属于定类层次的变量。
表 5-1 中数据显示，在所调查的 900 人中，选择“浏览信息”的最多，有 300 人，占 总数的 33.3％，因此众数为“浏览信息”这一类别，即 MO=浏览信息。