数据的集中趋势与离散程度(非常全面)

上面的平均数0.17称为3个数0.15、0.21、018的加权平均数， 三个郊县的人数（单位是万），15、7、10分别为三个数据 的权
若n个数
x1， x2 ， ，xn
则：
的权分别是
f1， f 2， ，f n
x1f1 x2 f 2 xn f n f1 f 2 f 3 f n
1 s [( x1 x) 2 ( x2 x) 2 n
2
( xn x) 2 ]
跟踪练习
1.在下列方差的计算中
2 1 ( x 20) 2 ( x 20) 2 ... ( x 20) 2 s 10 n 2 1
数字10 表示
,数字20表示
月 工 资/元
人数 2700 2000 1500 1000 900 800 700
1
1
2
3
18
23
2
请问他们各自所说的月工资水平分别是指哪一种？（平 均数、中位数还是众数），哪个数据更具有代表性？
问题 2：某商场在一个月内销售某中品牌的冰箱 共58台，具体情况如下：
型号 销售数量 200升 6台 215升 38台 185升 14台 176升 8台
ax b a s
a2 s 2
? ?
离 4.极 差:反映数据变化范围的大小,易受 极端值影响; 散 程 5.方 差:反映数据波动的大小; 度 6.标准差:反映数据波动的大小,且与数据
单位一致.
例
题
已知数据a1,a2,…,an的平均数为x,方 差为y,标准差为z. 求下列各组数据的平均数、方差、标准差. ①a1+3,a2+3,…,an+3. ②a1-3,a2-3,…,an-3. ③3a1,3a2,3a3 ,…,3an. ④2a1-3,2a2-3,2a3-3,…,2an-3.
数据的集中趋势
1. 算术平均数: 一组数据的总和与这组数据的个数之比 叫做这组数据的算术平均数.
算术平均数是反映一组数据中数据总体的平均大小 情况的量.
计算公式:
x1+x2+ x3+ · · ·+ x= n xn 1 x = x0 + n
x1 x0 x2 x0 xn x0
3、一组数据中某些数据多次重复出现时，众 数往往是人们尤为关心的一个量，但各个数据 的重复次数大致相等时，众数往往没有特别意 义.
2、八年级某班的教室内，三位同学正在为谁的数学成绩 最好而争论，他们的5次数学成绩分别是:
小华 72 84 95 98 95
小明
62
62
97
99
100
小刚
40
72
80
100
3 0
3
3 1
4
3 2
4
3 6
1
1
1
1
问题 1 ：在调查一家工厂的月工资水平时，这家工厂的 月工资为 2700 元的厂长回答说：“我厂月工资水平是 934 元”；代表该厂工人的工会负责人说：“月工资水 平是800元”；而税务检查人员说：月工资水平是850元。 这三种不同的说法都是根据下面的数据表得出的：
• 例 在一次校园网页设计比赛中，8位评委对甲、乙两名选手的评 分情况如下：
1号 甲 乙 9.0 9.4 2号 9.0 9.6 3号 9.2 9.2 4号 9.8 8.0 5号 9.8 9.5 6号 9.2 9.0 7号 9.5 9.2 8号 9.2 9.4
分析：确定选手的最后得分有两种方案：一是将评委 评分的平均数作为最后得分；二是将评委的评分中一 个最高分与一个最低分去掉后的平均数作为最后得分.
.
.
2.已知某组数据的方差是4,则这组数据的标准差是 3.甲、乙两名战士在射击训练中,打靶的次数相同,且 射击成绩的平均数x甲 = x乙,如果甲的射击成绩比较稳 2 2 定,那么方差的大小关系是S 甲————S 乙。
课堂总结
1 s [( x1 x) 2 ( x2 x) 2 n
2
1 方案一： x甲 （8.8 9.2 2 9.3 3 9.5 9.8） 9.21（分） 8 1 x乙 （8.0 9.0 9.2 2 9.4 2 9.5 9.6） 916 . （分） 8 此方案，甲的成绩比乙高.
方案二：去掉一个最高分，去掉一个最低分， 1 y甲 （9.0 2 9.2 3 9.5） 9..18（分）， 6 1 y甲 （9.0 9.2 2 9.4 2 9.5） 9..28（分）， 6 此方案乙的成绩比甲高，与大多数评委的观点相符。 因此，按方案二评定选手的最后得分较可取.
上面例题中，为什么该公司员工收入的 平均数比中位数、众数高很多？请你分 析一下原因.
1.数据11, 8, 2, 7, 9, 2, 7, 3, 2, 0, 5的众数是
.
2.数据15, 20, 20, 22,30,30的众数是
.
3.在数据-1, 0, 4, 5, 8中插入一个数据x ,使得这组数据 的中位数是3,则x= . 4.数据8, 8, x, 6的众数与平均数相同,那么它们的中位数是 5.5个正整数从小到大排列,若这组数据的中位数是3,众数是 7且唯一,则这5个正整数的和是( ). A.20 B.21 C.22 D.23
课堂总结
数据 平均数 方差 标准差 极差
x1 , x2 , x3 ,
xn .
x xb ax
s
2 2
s
2 2
M
x1 b, x2 b, x3 b, xn b.
s
s
?
ax1 , ax2 , ax3 ,
axn .
as
2 2 2 2
a2 s 2
ax1 b, ax2 b, ax3 b, axn b.
有人对展览馆七天中每天进馆参观的人 数做了记录，情况如下： 180，176，176，173，176，181，182 求这组数据的中位数和众数.
8、如下表是统计某一城市7月份的每天的气温情况统 计表，求7月份的气温的众数.
气 温 ℃ 天 数
2 1 2 3 2 4
2 6 2
2 7 3
2 8
2
2 9
4
你认为小明的做法有道理吗？为什么？
小明求得这个市郊县的人均耕地面积为:
x
0.15 0.21 0.18 0.18(公顷 ) 3
你认为小明的做法有道理吗？为什么？
而应该这样算是：
0.15 15 0.21 7 0.18 10 0.17 (公顷) 15 7 10
0.15 15 0.21 7 0.18 10 0.17 (公顷) 15 7 10
权重的意义: 加权平均数的意义:
权重
各个数据在该组数据中所占有的不同重要性的反映.
按各个数据的权重来反映该组数据的总体平均大小情况.
练习3
小明同学在初二年级第一学期的数学成绩如下表格, 按图示的平时、期中、期末的权重 , 计算小明同学的学期总 请 评成绩. 平时
10%
考试 平时1 平时2 平时3 期中 期末 成绩 89 78 85 90 87
叫做这n个数的加权平均数。 数据的权能够反映的数据的相对“重要程度”。
算术平均数和加权平均数有 什么联系和区别？ 算术平均数是加权平均数的 一种特殊情况,即各项的权相等时, 加权平均数就是算术平均数。
公司的经理说：“我公司员工收入很高，月平 均工资为2000元”； 公司的一位职员 D 说：“我们好几个人的工资 都是1100元”； 公司的另一位职员 C 说：“我的工资是 1200 元 ，在公司算中等收入”. 那么请问这三人分别从哪个角度说的呢？你是 怎样看待该公司员工的收入呢？请小组交流、 讨论.
100
他们都认为自己的成绩比另外两位同学好,请问他们分别 从哪一方面来说的?从三人的测验对照图来看,你认为哪一 个同学的成绩最好呢?
1 s [( x1 x) 2 ( x2 x) 2 n
2
( xn x) 2 ]
1 2 2 s [( x1 x) ( x2 x) n
期末 60%
期中 30%
解: 先计算小明的平时成绩: (89+78+85)÷ = 84 3 再计算小明的总评成绩 : 84×10%+ 90×30%+ 87×60% = 87.6 (分)
问题探索
某公司对应聘者A、B、C、D进行面试时, 按三个方 给予打分如右表 . 面 B C D 项 目 占分 A 你就公司主事 14 18 17 16 身份探索下列问题: 专业知识 20 ⑴总分计算发 工作经验 20 18 16 14 16 现D最高, 故录用D. 仪表形象 20 12 11 14 14 这样的录用中, 三个方面的权重各是多少? 合理吗? ⑵若设置上述三个方面的重要性之比为6:3:1, 那么这 个方面的权重分别是 _________________, 该录用谁? 三 60% , 30%, 10% ⑶若设置上述三个方面的重要性之比为10:7:3, 那么这 三个方面的权重分别是_________________, 又该录用 50% , 35%, 15% 谁?
( xn x) 2 ]
1 2 2 s [( x1 x) ( x2 x) n
( xn x) ]
2
方差(标准差)越小,波动越小,越稳定. 方差(标准差)越大,波动越大,越不稳定 .
数据的分析指标
集 1.平均数:反映数据的平均水平; 中 2.中位数:数据从小到大排列后,处于中间 趋 位置的数或中间两数的平均数; 势 3.众 数:出现次数最多的数;
考考你：有一篇报道说，有一个身高 1.7米的人在平均水深只有0.5米的一条 河流中淹死了，你感觉奇怪吗？