高考总复习直线与圆的方程知识点及习题答案

第九章解析几何初步★知识网络★第1讲 直线的倾斜角与斜率及直线方程★知识梳理★1、直线的倾斜角与斜率:对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在直线绕着它与直线的交点按照逆时针方向旋转到和直线重合时，所转过的最小正角叫倾斜角；倾斜角的取值范围是[00，1800)直线的倾斜角α与斜率k 的关系:当α090≠时， k 与α的关系是αtan =k ；α090=时，直线斜率不存在；经过两点P 1(x 1,y 1)P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式是1212x x y y k --=；三点C B A ,,共线的充要条件是AC AB k k = 2.直线方程的五种形式:点斜式方程是()y y k x x -=-00；不能表示的直线为垂直于x 轴的直线 斜截式方程为b kx y +=；不能表示的直线为垂直于x 轴的直线两点式方程为121121x x x x y y y y --=--；不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线截距式方程为1=+bya x ；不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线和过原点的直线. 一般式方程为0=++c by ax . 3.几种特殊直线的方程:①过点),(b a P 垂直于x 轴的直线方程为x=a;过),(b a P 垂直于y 轴的直线方程为y=b ②已知直线的纵截距为b ,可设其方程为b kx y +=; ③已知直线的横截距为a ,可设其方程为a my x +=; ④过原点的直线且斜率是k 的直线方程为y=kx★重难点突破★重点: 理解倾斜角与斜率的对应关系,熟练利用五种形式求直线方程 难点:在求直线方程时,条件的转化和设而不求的运用重难点:结合图形,把已知条件转化为确定直线位置的要素,从而顺利求出直线方程 （1）倾斜角与斜率的对应关系涉及这类问题的题型一般有：（1）已知倾斜角(或范围)求斜率(范围)（2）已知斜率(或范围)求倾斜角(或范围)，如：问题1：直线023tan=++y x π的倾斜角α是 A.3π B. 6π C. 32πD. 3π-点拨:转化为: 已知),0[,3tantan παπα∈-=,求α ,答案: C问题2: 求直线023cos =++y x θ的倾斜角的取值范围点拨: 要从αtan =k 和正切函数的单调性来理解倾斜角与斜率的对应关系， ①当)2,0[πα∈时,),0[+∞∈k ,k 随α的增大而增大;②当),2(+∞∈πα时,)0,(-∞∈k ,k 随α的增大而增大.本题可先求出斜率的取值范围,再利用倾斜角与斜率的对应关系,求出倾斜角的取值范围.3k θ=-，故：k ≤≤当03k ≤≤时，直线的倾斜角α满足：06πα≤≤当0k <时，直线的倾斜角α满足56παπ≤<所以，直线的倾斜角的范围：06πα≤≤和56παπ≤< (2）利用直线方程的几何特征确定直线的位置问题3：已知函数)10(,)(≠>=a a a x f x且，当1)(0><x f x 时，，方程 aax y 1+=表示的直线是点拨:这是直线方程中的参数的几何意义问题，可先确定直线的斜率和截距的范围,再确定直线的位置,由已知可得)1,0(∈a ,从而斜率)1,0(∈k ,截距1>b ,故选C （3）选择恰当的形式求直线方程问题4:过点)2,1(--P 的直线分别交x 轴、y 轴的负半轴于B A ,两点，当||||PB PA ⋅最小时，求直线l 的方程。

点拨:设直线方程要从条件和结论两方面考虑，为更好表示||||PB PA ⋅,本题用点斜式设出方解：设直线l 的方程为)1(2+=+x k y ,2,0-==k y x 得,12,0-==k x y 得,)2,0(),0,12(--∴k B kA , ∴4844144||||2222≥++=+⋅+=⋅k k k k PB PA ,当且仅当221k k =，即k=±1时等号成立，但k<0,故直线l 的方程为：x+y+3=0；（4）设直线方程时要考虑是否会有丢解的情况，如：问题5:求过点)4,3(P ，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程。

点拨: 设直线方程都要考虑是否丢解的问题，本题用截距式设直线方程容易漏掉过原点的直线，应警惕。

解：当直线过原点时,方程为x y 34=;当直线不经过原点时,设方程为12=+ay a x ,把)4,3(P 代入得5=a , 102=+∴y x 综上,所求方程为x y 34=或102=+y x ★热点考点题型探析★考点1 直线的倾斜角和斜率题型1 ：已知倾斜角(或范围)求斜率(或范围)或已知斜率(或范围)求倾斜角(或范围) [例1 ]已知经过),12,(),2,(--m m B m A 的直线的倾斜角为α，且oo13545<<α，试求实数m 的取值范围。

【解题思路】由倾斜角α的范围得出斜率k 的范围,从而求出参数m 的取值范围. 【解析】01113545=-<>∴<<m k k oo或或α ，1232>--∴m m 或01232=-<--m m m 或，解得：00430=<<<m m m 或或 m ∴的取值范围是)43,(-∞【名师指引】根据正切函数在),0[π上的单调性,要分)90,45(00∈α;090=α)135,90(00∈α三种情况讨论,特别注意090=α时容易遗漏. 题型2 ：动直线与线段(曲线段、区域)相交[例2 ]已知直线l :y=kx-2和两点P （1，2）、Q （-4，1）,若l 与线段PQ 相交，求k 的取值范围；【解题思路】用运动的观点,结合图形得出倾斜角的范围, [解析]由直线方程y=kx-2可知直线过定点（0，-2），1(2)3(4)04MQ k --==---2(2)410MP k --==-∴要使直线l 与线段PQ 有交点，则k 的取值范围 是k ≥4和k ≤-3/4【名师指引】（1）用“运动的观点”是解决这类问题的根本方法，注意“两条直线相交”和“直线与线段相交”的区别（2）在观察动直线在运动过程中,要特别注意倾斜角是否含有090角,若含有,则斜率的范围是),[],(21+∞⋃-∞k k ,若不含有,则斜率的范围是],[21k k （21,k k 分别为线段端点与直线所过定点连线的斜率）【新题导练】1. 下列多组点中，三点共线的是( )A.(1，4)，(-1，2)，(3，5)B.(-2,-5),(7,6),(-5,3)C.(1,0),(0,-31),(7，2) D.(0，0)，(2，4)，(-1，3)【解析】C. 由K AB =K BC 可得2.（广东省四校联合体2007-2008学年度联合考试）若函数f (x )=log 2（x+1）且a ＞b ＞c ＞0，则aa f )(、bb f )(、cc f )(的大小关系是A 、aa f )(＞bb f )(＞cc f )( B 、cc f )(＞bb f )(＞aa f )(C 、b b f )(＞a a f )(＞c c f )(D 、a a f )(＞c c f )(＞b b f )(【解析】B把aa f )(、bb f )(、cc f )(分别看作函数f (x )=log 2（x+1）图像上的点))(,()),(,()),(,(b f c b f b a f a 与原点连线的斜率,对照草图可得答案3. (华南师大附中2009届高三综合测试（一）)已知直线3443x ty t=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），则下列说法错误的是（ ）A ．直线的倾斜角为3arctan4B ．直线必经过点11(1,)2-C ．直线不经过第二象限D ．当t=1时，直线上对应点到点（1,2）的距离为【解析】D. 将直线方程化为02543=--y x ，直线的斜率为43，直线的倾斜角为3arctan 4，将点11(1,)2-代入，满足方程，斜率为正，截距为负，直线不经过第二象限 4. 若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x y a += 扫过A 中的那部分区域的面积为 [解析] 如图，当a 从－2连续变化到1时,动直线x y a += 扫过A 中的那部分(四边形OBCD)区域的面积与区域A(ABO ∆)的面积之比为87，而区域A 的面积为2，故所求的面积为745.在平面直角坐标系中，点AB C ，，的坐标分别为(01)(42)(26)，，，，，．如果()P x y ，是ABC △围成的区域（含边界）上的点，则1+x y的取值范围是 [解析] ：把1+x y 看作区域上的点与点（-1，0）连线的斜率,结合图形可得结果为]2,52[ 6.已知点A （-2，3），B （3，2），P （0，-2），过P 点的直线 与线段AB 有公共点，求直线 的斜率k 的变化范围; [解析] 25-=PA k ,34=PB k ,画出图形，数形结合可得结果∈k 54(,][,)23-∞-⋃+∞ 考点2 求直线方程题型：根据题目条件，选择方程的形式求直线方程[例3 ] 等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 和顶点B 都在直线2x +y –6=0上，顶点A 的坐标是(1, –1)，求边AB , AC 所在的直线方程.【解题思路】从确定直线AB , AC 的条件入手，直线AC 满足:经过点A 且垂直于直线2x +y –6=0, 直线AB 满足:经过点A 且与直线2x +y –6=0成4π角，（或|AB|等于点A 到直线2x +y –6=0的距离的2倍）解法1:由条件知直线AC 垂直于直线2x +y –6=0，设直线AC 的方程为x-2y+c=0, 把A (1, –1)代入得c=-3, 故直线AC 的方程为x-2y-3=0,10||555||=∴==AB AC ，设B(x,y),则⎩⎨⎧=-+=++-∴06210)1()1(22y x y x ，解得)2,2(B 或)2,4(-B ，所以直线AB 的方程为043=--y x 或023=++y x解法2: 直线AC 的斜率为21，由点斜式并化简得，直线AC 的方程为x-2y-3=0 考虑直线AB , AC 的夹角为4π，设直线AB , AC 的方向向量分别为),1(),1,2(k n m ==则22)1(5|2||,cos |2=++=><k k n m ，解得3=k 或31-=k ，所以直线AB 的方程为043=--y x 或023=++y x【名师指引】求直线方程的一般步骤:(1)寻找所求直线的满足的两个条件(2)将条件转化,使转化后的条件更利于列出方程组(3)列方程组求解[例4] 过点P （0，1）作直线l ，使它被两直线l 1:2x+y-8=0和l 2：x-3y+10=0所截得的线段被点P 平分的直线的方程. 【解题思路1】：设出直线l 的点斜式方程，分别与直线l 1，l 2建立方程组，求出交点坐标，再用中点坐标公式求出k,即可求出l 的方程；解析1：由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y=kx+1联立1280{,y kx x y =++-=解得交点坐标是782(,)22K A K K +++ 联立13100{,y kx x y =+-+=解得交点坐标是7101(,)3131K B K K ---而点P （0，1）是AB 的中点，∴7723102k k ++-=，解得k=-14，故所求的直线方程为： x+4y-4=0；【解题思路2】：设出l,l 1的交点A 坐标（x 1,y 1），通过中点坐标公式求出l 与l 2的交点B 的坐标，然后分别将A,B 两点的坐标带入直线l 1， l 2的方程,联立方程组进行求解; 解析2：设直线l 与已知l 1， l 2的交点A （x 1,y 1）,B （x 2,y 2） ∵P 是AB 的中点∴12120212{,x x y y +=+=即21212{,x x y y =-=-带入l 2的方程的，得（-x 1）-3(2-y 1)+10=0,即x 1-3y 1-4=0联立1111340280{x y x y --=+-=解得A(4,0)故所求的直线方程为：041004y x --=--，即x+4y-4=0.【名师指引】（1）解法1思路明显,但运算量较大,解法2使用“设而不求” 减少了运算量 （2）中点弦问题和两条曲线关于某点对称的问题，都可以考虑运用解法2中的“设而不求” 【新题导练】7.已知点A （3，4）（1）经过点A 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为： ； （2）经过点A 且与两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程为 ： （3）经过点A 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程为： ； （4）经过点A 且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍的直线方程为： ； [解析]（1）4x －3y ＝0或x ＋y －7＝0[当直线经过原点时，方程为4x －3y ＝0，当直线不经过原点时，设方程为1=+aya x ，代入点A 的坐标得直线方程x ＋y －7＝0]（2）2x －y －2＝0或8x －9y ＋12＝0；[设直线方程为1=+b y a x ，由143=+ba 和2||=ab 求得b a ,的值]（3）x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0；[斜率为1或-1，由点斜式易得]（4）x ＋2y －11＝0或4x －3y ＝0；[当直线经过原点时，方程为4x －3y ＝0，当直线不经过原点时，设直线方程为1=+b y a x ，由143=+ba 和b a 2=求得b a ,的值] 8.已知直线l 经过点(1,4)P ,分别交x 轴，y 轴正半轴于点A ，B ，其中O 为原点，求 △AOB 的面积最小时，直线l 的方程； [解析] 设直线l 的方程为)1(4-=-x k y ,令k y x -==4,0得,令k x y 41,0-==得,)4,0(),0,41(k B kA --∴,∴8|)16()(8|21|)4)(41(|21||||21≥-+-+=--=⋅=∆k k k k OB OA S AOB ,当且仅当kk 16=，即k=±4时等号成立，但k<0,故直线l 的方程为：084=-+y x考点3 对称问题题型1：求点关于某直线的对称点或求两点的对称直线方程 [例5 ] [例5 ]已知直线l :2x-3y+1=0,点A （-1，-2），求： （1）点A 关于直线l 的对称点'A 的坐标；（2）直线m:3x-2y-6=0关于直线l 的对称直线'm 方程； （3）直线l 关于点A(-1，-2)对称的直线'l 的方程； 【解题思路】：求对称直线的方程，方法1是转化为点对称问题，二是用相关点转移法解决； [解析]（1）设点A 关于l 的对称点是),('y x A ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+---⋅-=⋅++∴0122321213212y x x y解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=1341333y x )134,1333('-∴A（2）设点)','('y x P 是直线m 上任意一点，)','('y x P 关于直线l 的对称点为),(y x P ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-+⋅-=⋅--∴012'32'2132''y y x x x x y y 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-+=136512'134125'y x y y x x)','('y x P 在直线l 上， 0613651221341253=-+---+∴y x y x 化简得：0102469=+-y x（3）设点),('b a Q 是直线l 上任意一点，点),('b a Q 关于点A(-1，-2)的对称点为),(y x Q ， 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+2212y b xa ，解得⎩⎨⎧--=--=yb x a 42因点),('b a Q 在直线l 上，01)4(3)2(2=+-----y x ， 化简得：0932=--y x【名师指引】（1）要抓住两点关于直线对称的特征来列式；（2）点对称是其它对称问题（曲线的对称等）的基础，务必重点掌握； 题型2：利用对称知识解决有关问题[例6 ] [2008·深一模] 如图，已知(4,0)A 、(0,4)B ，从点(2,0)P 射出的光线经直线AB 反向后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是A ．210B ．6C ．33D ．25【解题思路】：利用对称知识，将折线PMN 的长度转化为折线CNMD 的长度[解析] 设点P 关于直线AB 的对称点为)2,4(D ，关于y 轴的对称点为)0,2(-C ，则光线所经过的路程PMN 的长=≥++=++=CD NC MN DM NP MN PM 210【名师指引】本例是运用数形结合解题的典范，关键是灵活利用平面几何知识与对称的性质实现转化，一般地，在已知直线上求一点到两个定点的距离之和的最小值，需利用对称将两条折线由同侧化为异侧，在已知直线上求一点到两个定点的距离之差的最大值，需利用对称，将两条折线由异侧化为同侧，从而实现转化。