2022版高考数学一轮复习 第十章 概率(文)第三讲 几何概型(文)第六讲 几何概型学案(理,含解
高考数学一轮复习第10章概率10.3几何概型课件文
第十页，共51页。
(2)(2017·贵阳质检)如图所示，在边长为 1 的正方形中随 机撒 1000 粒豆子，有 180 粒落到阴影部分，据此估计阴影 部分的面积为__0_.1_8____．
第十一页，共51页。
解析 由题意知，SS阴正＝1108000＝0.18. ∵S 正＝1，∴S 阴＝0.18.
第八页，共51页。
3．小题热身 (1)(2018·承德质检)节日前夕，小李在家门前的树上挂了 两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电 后的 4 秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以 4 秒为间 隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时 刻相差不超过 2 秒的概率是( )
1137 A.4 B.2 C.4 D.8
第九页，共51页。
解析 设通电 x 秒后第一串彩灯闪亮，y 秒后第二串彩 灯闪亮．依题意得 0≤x≤4,0≤y≤4，其对应区域的面积为 S＝4×4＝16.
又两串彩灯闪亮的时刻相差不超过 2 秒，即|x－y|≤2， 如图，易知阴影区域的面积为 S′＝16－12×2×2－12×2×2 ＝12，
4n 2n 4m 2m A. m B. m C. n D. n
第二十六页，共51页。
解析 如图，数对(xi，yi)(i＝1,2，…，n)表示的点落在 边长为 1 的正方形 OABC 内(包括边界)，两数的平方和小于 1 的数对表示的点落在半径为 1 的四分之一圆(阴影部分)
1 内，则由几何概型的概率公式可得mn ＝41π2⇒π＝4nm.故选 C.
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2．与角度有关的几何概型 当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以 角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代 替，这是两种不同的度量手段．见冲关针对训练 2.
2022届高考数学(文)大一轮复习教师用书：第十章 概率 第三节 几何概型 Word版含答案
第三节几何概型1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估量概率．2．了解几何概型的意义．学问点一几何概型1．定义：假如每个大事发生的概率只与构成该大事区域的______(______或______)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为________．2．几何概型的特点(1)无限性：试验中全部可能消灭的结果(基本大事)有______个．(2)等可能性：每个基本大事消灭的可能性______．答案1．长度面积体积几何概型2．(1)无限多(2)相等1．推断正误(1)几何概型中，每一个基本大事都是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( )(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形或空间几何体．( )(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的外形有关．( )(4)几何概型与古典概型中的基本大事发生的可能性都是相等的，其基本大事个数都有限．( )解析：(1)正确．依据几何概型的概念可知正确．(2)正确．几何概型中的测度可为长度、面积、体积、角度等．(3)错误．与面积有关的几何概型的概率只与几何图形的面积有关，而与几何图形的外形无关．(4)错误．几何概型与古典概型中的基本大事发生的可能性都是相等的，但古典概型的基本大事有有限个，而几何概型的基本大事有无限个．答案：(1)√(2)√(3)×(4)×学问点二几何概型的概率公式P(A)＝______________________________________________.答案构成大事A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积2．(2022·新课标全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A.13B.12C.23D.34解析：由题意得图：由图得等车时间不超过10分钟的概率为12.答案：B3．(必修③P140练习第1题改编)有四个玩耍盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的玩耍盘是( )解析：如题干选项中图，各种状况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为P(A)＝38，P(B)＝28，P(C)＝26，P(D)＝13.答案：A4．为了测算下图中阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点，恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估量阴影部分的面积是________．解析：正方形面积为36，则阴影部分面积约为200800×36＝9.答案：9热点一 与长度、角度有关的几何概型问题【例1】 (1)(2022·新课标全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替消灭，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才消灭绿灯的概率为( )A.710B.58C.38D.310(2)如图，在等腰直角△ABC 中，过直角顶点C 作射线CM 交AB 于M ，则使得AM 小于AC 的概率为________． 【解析】 (1)记“至少需要等待15秒才消灭绿灯”为大事A ，则P (A )＝2540＝58.(2)当AM ＝AC 时，△ACM 为以A 为顶点的等腰三角形，∠ACM ＝180°－45°2＝67.5°.当∠ACM <67.5°时，AM <AC ，所以AM 小于AC 的概率P ＝∠ACM 的度数∠ACB 的度数＝67.5°90°＝34.【答案】 (1)B (2)34【总结反思】(1)假如试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则把题中所表示的几何模型转化为长度，然后求解．解题的关键是构建大事的区域(长度)．(2)当涉及射线的转动、扇形中有关落点区域问题时，应以角度的大小作为区域度量来计算概率，且不行用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段.(1)设A 为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A 连接，则弦长超过半径的2倍的概率是( ) A.34 B.12 C.13 D.35(2)在半径为1的圆内的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________．解析：(1)作等腰直角△AOC 和△AMC ，B 为圆上任一点，则当点B 在MmC ︵上运动时，弦长|AB |>2R ，∴P ＝MmC︵圆的周长＝12.(2)记大事A 为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，如图，不妨在过等边三角形BCD 的顶点B 的直径BE 上任取一点F 作垂直于直径的弦，当弦为CD 时，就是等边三角形的边长(此时F 为OE 中点)，弦长大于CD的充要条件是圆心O 到弦的距离小于OF ，由几何概型公式得：P (A )＝12×22＝12.1题图 2题图 答案：(1)B (2)12热点二 与面积有关的几何概型问题 考向1 与一般几何图形面积有关的问题【例2】 在面积为S 的△ABC 内部任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率为( )A.14B.34C.49D.916【解析】 记大事A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫△PBC 的面积大于S 4，基本大事是△ABC 的面积(如图)，大事A 的几何度量为图中阴影部分的面积(DE ∥BC 且AD AB ＝34)，由于阴影部分的面积是整个三角形面积的⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝916，所以P (A )＝阴影部分的面积三角形的面积＝916.【答案】 D【总结反思】求与面积有关的几何概型的概率的方法(1)确定所求大事构成的区域图形，推断是否为几何概型；(2)分别求出Ω和所求大事对应的区域面积，用几何概型的概率公式求解. 考向2 “会面型”几何概型【例3】 甲、乙两人商定在6时到7时之间在某处会面，并商定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．【解】 以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两人到达商定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x －y |≤15.在如图所示平面直角坐标系下，(x ，y )的全部可能结果是边长为60的正方形区域，而大事A “两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示．由几何概型的概率公式得P (A )＝S 阴影S ＝602－452602＝3 600－2 0253 600＝716.所以，两人能会面的概率是716. 考向3 随机模拟方法的应用【例4】 (2022·新课标全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4nmB.2n mC.4m nD.2m n【解析】 设由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x n ≤10≤y n ≤1构成的正方形的面积为S ，x 2n ＋y 2n <1构成的图形的面积为S ′，所以S ′S ＝14π1＝m n，所以π＝4mn，故选C. 【答案】 C【总结反思】求解与面积有关的几何概型的关键点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某大事对应的面积，以求面积，必要时可依据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解.(1)已知A ＝{(x ，y )|－1≤x ≤1,0≤y ≤2}，B ＝{(x ，y )|1－x 2≤y }．若在区域A 中随机地扔一粒豆子，则该豆子落在区域B 中的概率为( )A ．1－π8B.π4C.π4－1 D.π8(2)在区间[1,5]和[2,4]分别取一个数，记为a ，b ，则方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为( )A.12 B.1532 C.1732D.3132(3)如右图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为依据可以估量椭圆的面积为( )A ．7.68B ．8.68C ．16.32D ．17.32解析：(1)集合A ＝{(x ，y )|－1≤x ≤1,0≤y ≤2}表示的区域是一正方形，其面积为4，集合B ＝{(x ，y )|1－x 2≤y }表示的区域为图中阴影部分，其面积为4－12×12×π.所以向区域A 内随机地扔一粒豆子，则豆子落在区域B 内的概率为4－12π4＝1－π8.(2)∵x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆，∴a >b >0，a <2b .它对应的平面区域如图中阴影部分所示，则方程x2a2＋y 2b2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为P ＝S 阴影S 矩形＝1－12×1＋3×2＋12×12×12×4＝1532，故选B.(3)由随机模拟的思想方法可得，黄豆落在椭圆内的概率为300－96300＝0.68.由几何概型的概率计算公式可得，S 椭圆S 矩形＝0.68，而S 矩形＝6×4＝24，则S 椭圆＝0.68×24＝16.32. 答案：(1)A (2)B (3)C热点三 与体积有关的几何概型问题【例5】 一只蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行．若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体玻璃容器的6个表面的距离均大于10，则飞行是平安的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一个位置的可能性相同，那么蜜蜂飞行是平安的概率为( )A.18B.116C.127D.38【解析】 由题意，可知当蜜蜂在棱长为10的正方体区域内飞行时才是平安的，所以由几何概型的概率计算公式，知蜜蜂飞行是平安的概率为103303＝127.【答案】 C【总结反思】对于以体积为度量的几何概型，要依据空间几何体的体积计算方法，把概率计算转化为空间几何体的体积计算.在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．解析：记“点P 到点O 的距离大于1”为大事A ，则大事A 发生时，点P 位于以O 为球心，以1为半径的半球外．又V 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1＝23＝8，V 半球＝12·43π·13＝23π.∴所求大事概率P (A )＝8－23π8＝1－π12.答案：1－π121．对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的生疏，它只与大小有关，而与外形和位置无关，在解题时，要把握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．2．对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式． (1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可； (2)若一个随机大事需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本大事，然后利用平面直角坐标系就能顺当地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机大事需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本大事，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型．专题六 高考解答题鉴赏——概率与统计在全国卷高考中，概率与统计是每一年必考内容，分值12分，难度中等．解答题综合性较强，将概率、统计的有关学问(特殊是直方图、样本数字特征)有机地交融在一起，也有时仅考利用统计学问解决实际问题．【典例】 (2022·新课标全国卷Ⅰ，12分)某公司方案购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，假如备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n 表示购机的同时购买的易损零件数．(1)若n ＝19，求y 与x 的函数解析式；(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5，求n 的最小值；(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？【标准解答】 (1)当x ≤19时，y ＝3 800； 当x >19时，y ＝3 800＋500(x －19)＝500x －5 700， 所以y 与x 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3 800， x ≤19，500x －5 700， x >19(x ∈N )．(4分)(2)由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n 的最小值为19.(7分)(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800元，20台的费用为4 300元，10台的费用为4 800元，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(3 800×70＋4 300×20＋4 800×10)＝4 000(元)． 若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000元，10台的费用为4 500元，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(4 000×90＋4500×10)＝4 050(元)．比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件．(12分)【阅卷点评】 本题易错点有两处：一是混淆了频率分布直方图与柱状图，导致全题皆错；二是审题不清或不懂题意，导致解题无从入手．避开此类错误，需认真审题，读懂题意，并认真观看频率分布直方图与柱状图的区分，纵轴表示的意义．(2021·昆明两区七校调研)某校高三共有900名同学，高三模拟考之后，为了了解同学学习状况，用分层抽样方法从中抽出若干同学此次数学成果，按成果分组，并制成如下的频率分布表.组号 分组 频数 频率 第一组 [70,80) 6 0.06 其次组 [80,90) 4 0.04 第三组 [90,100) 22 0.22 第四组 [100,110) 20 0.20第五组 [110,120) 18b第六组 [120,130) a0.15 第七组 [130,140) 10 0.10 第八组[140,150) 50.05 合计c1(1)确定表中a ，b ，c 的值；(2)为了了解数学成果在120分以上的同学的心理状态，现打算在第六、七、八组中用分层抽样方法抽取6名同学，在这6名同学中又再随机抽取2名与心理老师面谈，求第七组中至少有一名同学被抽到与心理老师面谈的概率；(3)估量该校本次考试的数学平均分．解：(1)由于频率和为1，所以b ＝0.18，由于频率＝频数/样本容量，所以c ＝100，a ＝15.(2)第六、七、八组共有30个样本，用分层抽样方法抽取6名同学，第六、七、八组被抽取的样本数分别为3,2,1，将第六组、第八组被抽取的样本分别用A ，B ，C ，D 表示，第七组抽出的样本用E ，F 表示．从这6名同学中随机抽取2个的方法有AB 、AC 、AD 、AE 、AF 、BC 、BD 、BE 、BF 、CD 、CE 、CF 、DE 、DF 、EF ，共15种．其中至少含E 或F 的取法有9种，则所求概率为35.(3)估量平均分为75×0.06＋85×0.04＋95×0.22＋105×0.2＋115×0.18＋125×0.15＋135×0.1＋145×0.05＝110.。
高考数学总复习第十章概率10.3几何概型课件文新人教A版
概率
第3节 几何概型
考纲考情
考向预测
从近三年高考情况来看，本节
1.了解随机数的意义，能运用 模拟方法估计概率． 2.了解几何概型的意义.
是高考中的热点．预测 2020 年 高考将考查与长度或面积有关 的几何概型的求解问题．试题 以客观题的形式呈现，难度不
大，属中低档题.
课堂探究 考点突破
(2)(2019·广东化州模拟)如图，正方形 ABCD 内的图形来自宝马汽 车车标的里面部分，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形
对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分
π 的概率是 8 .
解析：设正方形边长为 2，则正方形面积为 4，正方形内切
圆中的黑色部分的面积 S＝12×π×12＝π2，∴在正方形内随机取一 π
(1)几何概型与平面几何的交汇问题，其解题思路为：利用平 面几何的相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰 当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率；
(2)几何概型与线性规划的交汇问题，其解题思路为：先根据 约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式 求概率．
(1)在区间[0,1]随机抽取 2n 个数 x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn， 构成 n 个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 π 的近似值为
(2)(2019·西安调研)在区间[－1,1]上随机地取一个数 k，则事件“直
3 线 y＝kx 与圆(x－5)2＋y2＝9 相交”发生的概率为 4 .
解析：直线 y＝kx 与圆(x－5)2＋y2＝9 相交的充要条件是圆心 (5,0)到直线 y＝kx 的距离小于 3.
高三数学一轮复习 第10章第3节 几何概型课件 文 (广东专用)
个．
1．(教材改编题)在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 M，并以线 段 AM 为边作正方形，则正方形面积介于 36 cm2 和 81 cm2 之间的概 率为( A. 1 2 ) B. 3 4 C. 1 4 D. 2 3
【解析】 试验的全部结果构成的区域长度为 12，所求事件的 区域长度为 9－6＝3，故所求概率为 P＝ 3 1 ＝ . 12 4
1 · |AB|· |AD| S△ABE 2 1 得 P(M)＝ ＝ ＝ . |AD| 2 S矩形ABCD |AB|·
【答案】 C
3． (2012· 广州质检)一只小蜜蜂在一个棱长为 3 的正方体内自由飞 行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体 6 个面的距离均大于 1， 称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( 1 A.8 1 B.16 1 C.27 3 D.8 )
能的，因此，根据几何概型可分别求出小波周末看电影与打篮球的
概率，进而利用互斥事件概率加法公式可解．
【尝试解答】 记“小波周末去看电影”为事件 A， “小波周末 打篮球”为事件 B，依题意，事件 A，B 互斥，且 A＋B 表示“小波 周末不在家看书”． 又全部试验区域的面积为 π·12＝π，事件 A，B 发生所在区域面 1 3 1 π 积分别为 S1＝π－( )2π＝ π，S2＝( )2π＝ ， 2 4 4 16 3 π π 4 3 16 1 ∴P(A)＝ ＝ ，P(B)＝ ＝ ， π 4 π 16 3 1 13 则 P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝ ＋ ＝ ， 4 16 16 13 因此小波周末不在家看书的概率为 . 16
【解析】 由 f(x0)≥0，得 log2x0≥0，
∴x0≥1，即使 f(x0)≥0 的区域为[1,2]， 2－ 1 2 故所求概率为 P＝ ＝ . 1 3 2－ 2
高考数学一轮复习第十章概率103几何概型课件文aa高三全册数学课件
答案 B
2021/12/11
第十二页，共四十七页。
4．(2016·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在
7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，
则他等车时间不超过10分钟的概率是( )
A．31
B．21
C．23
D．34
解析 由题意得下图：
由图得等车时间不超过10分钟的概率为12。故选B。 答案 B
2021/12/11
第十六页，共四十七页。
微考点·大课堂
考点例析 对点微练
2021/12/11
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考点一 与长度、角度有关的几何概型
【例1】 (1)(2019·合肥质检)某广播电台只在每小时的整点和半点开
始播放新闻，时长均为5分钟，则一个人在不知道时间的情况下打开收音
机收听该电台，能听到新闻的概率是( )
ABCD的高，显然M在平面RS上任意位置时，四棱锥M－ABCD的体积都相
等。若此时四棱锥M－ABCD的体积等于
1 6
，只要M在截面RS以下即可小于
A．116
B．81
C．1156
D．78
解析 由图可知，事件“x＋y≤1”发生的概率 为12×2×1×2 1＝18。故选B。
答案 B
2021/12/11
第三十五页，共四十七页。
3．(方向2)某日，甲、乙两人随机选择早上6：00至7：00的某个时刻
到达七星公园进行锻炼，则甲比乙提前到达超过20分钟的概率为( )
必考部分(bù fen)
2021/12/11
第一页，共四十七页。
第十章 概率(gàilǜ)
2021/12/11
高考数学一轮总复习 10.6几何概型课件
，根据题意只要点 B 在优弧
MAN 上，劣弧 AB 的长度就小于 1，由于点 B 在圆周上的任意性，
故这个概率是优弧 MAN 的长度与圆的周长之比，即这个概率是23.
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23
(2)在点 C 处任意选择一个方向继续直线游下去，可在 360°区 域内活动，再游不超过 10 米就能够回到河岸 AB，只能在 60°区域 内活动，故所求的概率为 P＝36600°°＝16.故选 D.
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18
问题 2 几何概型与古典概型有什么异同点？ 几何概型是与古典概型最为接近的一种概率模型，两者的共 同点是基本事件是等可能的，不同点是基本事件数一个是有限的， 一个是无限的，基本事件可以抽象为点．对于几何概型，这些点 尽管是无限的，但它们所占据的区域是有限的，根据等可能性， 这个点落在区域的概率与该区域的几何度量成正比，而与该区域 的位置和形状无关．
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19
高频考点
考点一
与长度、角度有关的几何概型
【例 1】 (1)点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点，若在
该圆周上随机取一点 B，则劣弧 AB 的长度小于 1 的概率为
________．
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20
(2)如图所示，一游泳者与河岸 AB 成 60°的方向向河里直线游
了 10 米，然后任意选择一个方向继续直线游下去，则他再游不超
答案 C
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10
知识点二
几何概型的概率公式
2.已知 x 是[－4,4]上的一个随机数，则使 x 满足 x2＋x－2＜0
的概率为( )
1
3
A.2
B.8
5 C.8
D．0
解析 x2＋x－2＜0⇒－2＜x＜1，由几何概型的计算公式可知
高考数学一轮复习 必考部分 第十篇 概率 第3节 几何概
(A) 1 3
(B) 2 3
(C) 1 6
(D) 1 2
是角度相关的概型 还是长度相关的概型？
解析：(2)在圆上不同于 A 点的其他位置任取一点 P,圆半径为 1, 则 P 点位置所有情况对应的弧长为圆的周长 2π, 其中满足条件 PA<1 的对应的弧长为 1 ·2π·1,
3
2π 则弦 PA<1 的概率 P= 3 = 1 .故选 A.
解析:根据几何概型的概率公式可得
A.概率 P= 3 ,B.概率 P= 2 = 1 ,
8
84
C.概率 P= 2 = 1 ,D.概率 P= 1 ,则概率最大的为 3 .
63
3
8
3.(2015 高考福建卷)如图,矩形 ABCD 中,点 A 在 x 轴上,点 B 的坐标为(1,0),
x 1, x 0,
方程 x2+2px+3p-2=0 有两个负根的概率为
.
解析:(1)设方程 x2+2px+3p-2=0 的两个根分别为 x1,x2,
4 p2 4(3p 2) 0,
由题意,得
x1
x2
2
p
0,
结合 0≤p≤5,
x1x2
3p
2
0,
解得 2 <p≤1 或 2≤p≤5, 3
2π 3
反思归纳 与长度、角度有关的几何概型求解策略 (1)与线段长度、曲线长度、时间段、不等式等有关的几何概型,利用几何概 型公式转化为其对应的长度之比即可. (2)与角度有关的几何概型,其关键是搞清题意,分清是与角度还是与长 度有关,然后利用几何概型公式,求两角之比即可.
高考数学一轮复习第十章概率第3节几何概率课件
研
高
考
考
点
第三节 几何概型
分
层
理
限
教
时
材
跟
踪
练
备高考| 2 个任务
1．了解几何概型的意义． 2．学会解决与长度、面积、体积等有关的几何概型计算．
理教材| 回扣自测 要点梳理
一、几何概型 1．定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积成) 比 例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． 2．特点 (1)无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个； (2)等可能性：每个试验结果发生的可能性是均等的．
【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√
2．某路公共汽车每 5 分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则
他候车时间不超过 2 分钟的概率是( )
A.35
B.45
C.25
D.15
【解析】 试验的全部结果构成的区域长度为 5，所求事件的区域长度为 2， 故所求概率为 P＝25.
【答案】 C
p2>12，则
1 p1<2
<p2，故选 D.
【答案】 (1)B (2)D
[规律总结] 解决与面积有关的几何概型问题，关键是要构造出随机事件的几何图形， 利用图形的几何特征求出面积．对于涉及两个变量的问题，常把变量看成点的 坐标，利用线性规划[(理)或定积分]知识来解决．
[变式训练]
1．在区间[0,1]上任取两个数 a，b，则函数 f(x)＝x2＋ax＋b2 无零点的概率
D．p1<12<p2
【解析】 (1)由正弦定理sBinCA＝sAinCB＝2R(R 为圆的半径)得，BC＝20sin 60°
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学习资料2022版高考数学一轮复习第十章概率（文）第三讲几何概型（文）第六讲几何概型学案（理，含解析）新人教版班级：科目：第三讲几何概型(文) 第六讲几何概型(理）知识梳理·双基自测错误!错误!错误!错误!知识点一几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的__长度（面积或体积）__成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型．知识点二几何概型的特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；（2）等可能性：每个结果的发生具有等可能性．知识点三几何概型的概率公式P（A）＝__错误!__．知识点四随机模拟方法（1）使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．（2）用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是：①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数,并赋予每个随机数一定的意义;②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；③计算频率f n(A）＝错误!作为所求概率的近似值．错误!错误!错误!错误!几种常见的几何概型（1）与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关．(2)与面积有关的几何概型,其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确,可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题．(3）与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题．错误!错误!错误!错误!题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×"）（1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．（√）(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．(√）(3）在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．(√)(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．（√）（5）与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．（×)（6）从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P＝错误!．（×）题组二走进教材2．(P140T1）有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分,则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是(A)［解析]∵P(A)＝错误!，P(B)＝错误!，P(C)＝错误!，P（D）＝错误!,∴P(A)＞P(C)＝P（D）＞P（B)．故选A．3．（P146B组T4)设不等式组错误!表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（D）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!［解析]如图所示,正方形OABC及其内部为不等式组表示的平面区域D，且区域D的面积为4,而阴影部分(不包括错误!)表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π．因此满足条件的概率是错误!，故选D．题组三走向高考4．(2017·全国Ⅰ)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（B)A ．错误!B ．错误!C ．错误!D ．错误!［解析] 不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S 正方形＝4．由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝错误!S 圆＝错误!，所以由几何概型知,所求概率P ＝错误!＝错误!＝错误!．故选B ．5．（2019·全国）在Rt △ABC 中,AB ＝BC ，在BC 边上随机取点P ,则∠BAP ＜30°的概率为（ B ）A ．12B ．错误!C ．错误!D ．错误![解析] 在Rt △ABC 中,AB ＝BC ，Rt △ABC 为等腰直角三角形,令AB ＝BC ＝1，则AC ＝错误!;在BC 边上随机取点P ，当∠BAP ＝30°时，BP ＝tan 30°＝错误!,在BC 边上随机取点P ,则∠BAP ＜30°的概率为：P ＝错误!＝错误!，故选B ．考点突破·互动探究考点一 与长度有关的几何概型——自主练透例1 （1）（2021·山西运城模拟）某单位试行上班刷卡制度，规定每天8：30上班，有15分钟的有效刷卡时间(即8:15－8：30)，一名职工在7：50到8：30之间到单位且到达单位的时刻是随机的，则他能正常刷卡上班的概率是（ D ）A ．错误!B ．错误!C ．13D ．错误!(2)(2021·福建龙岩质检）在区间错误!上随机取一个实数x,使cos x≥错误!的概率为（B）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!(3）（2020·山东省青岛市模拟)已知圆C:x2＋y2＝1和直线l：y＝k（x＋2）,在（－错误!，错误!）上随机选取一个数k,则事件“直线l与圆C相交"发生的概率为（C）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!［解析](1)一名职工在7：50到8：30之间到单位,刷卡时间长度为40分钟，但有效刷卡时间是8:15－8：30共15分钟，由测度比为长度比可得,该职工能正常刷卡上班的概率P＝错误!＝错误!．故选D．(2)由y＝cos x在区间错误!上单调递增，在错误!上单调递减，则不等式cos x≥错误!在区间错误!上的解为－错误!≤x≤错误!,故cos x≥错误!的概率为错误!＝错误!．(3）直线l与C相交⇒错误!＜1⇒－错误!＜k＜错误!．∴所求概率P＝错误!＝错误!．故选C．［引申］本例(3)中“圆上到直线l的距离为错误!的点有4个”发生的概率为__错误! __．[解析］圆上到直线l的距离为错误!的点有4个⇔圆心到直线l的距离小于错误!⇔错误!＜错误!⇔－错误!＜k＜错误!,∴所求概率P＝错误!＝错误!．名师点拨与长度有关的几何概型如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为P（A)＝错误!．〔变式训练1〕（1）（2017·江苏卷）记函数f（x)＝6＋x－x2的定义域为D．在区间［－4，5］上随机取一个数x，则x∈D的概率是__错误!__．（2)（2021·河南豫北名校联盟精英对抗赛)已知函数f（x）＝sin x＋错误!cos x，当x∈[0，π］时,f（x）≥1的概率为（D)A．错误!B．错误!C．错误!D．错误![解析]（1)D＝｛x|6＋x－x2≥0｝＝［－2，3]，∴所求概率P＝错误!＝错误!．(2)由f(x）＝2sin错误!≥1，x∈［0，π]得x∈错误!,∴所求概率P＝错误!＝错误!，故选D．考点二与面积有关的几何概型——师生共研角度1与平面图形有关的问题例 2 （1）(2021·河南商丘、周口、驻马店联考）如图，AC,BD上分别是大圆O 的两条相互垂直的直径，4个小圆的直径分别为OA，OB，OC，OD，若向大圆内部随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为(D）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!(2）设复数z＝(x－1）＋y i（x，y∈R），若|z｜≤1，则y≥x的概率为（C）A．错误!＋错误!B．错误!＋错误!C．错误!－错误!D．错误!－错误!［解析](1)不妨设大圆的半径为2,则大圆的面积为4π，小圆的半径为1，如图，设图中阴影部分面积为S，由图形的对称性知，S阴影＝8S．又S＝错误!π×12－错误!×2＝1,则所求概率为错误!＝错误!，故选D．(2)∵|z｜＝错误!≤1，∴(x－1）2＋y2≤1，其几何意义表示为以(1,0）为圆心，1为半径的圆面,如图所示，而y≥x所表示的区域如图中阴影部分,故P＝错误!＝错误!－错误!．［引申]本例（1)中图形改成下图，则此点取自图中阴影部分的概率为__错误!__．[解析]不妨设大圆的半径为2，则小圆的半径为1，∴所求概率P＝错误!＝错误!．角度2与线性规划交汇的问题例3 在满足不等式组错误!的平面点集中随机取一点M（x0，y0）,设事件A为“y0＜2x0”,那么事件A发生的概率是（B)C．错误!D．错误作出S 在底面△ABC 的射影为O ，若V P －ABC ＝错误!V S －ABC ， 则三棱锥P －ABC 的高等于错误!SO ，P 点落在平面EFD 上，且错误!＝错误!＝错误!＝错误!, 所以错误!＝错误!， 故V S －EFD ＝错误!V S －ABC ，∴V P －ABC ≤13V S －ABC 的概率P ＝1－错误!＝错误!．故选D ．名师点拨求解与体积有关问题的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积（总空间）以及事件的体积(事件空间）,对于某些较复杂的问题常转化为其对立事件的概率问题求解．〔变式训练3〕一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为( C ）A ．4π81B ．错误!C．错误!D．错误![解析］由已知条件可知,蜜蜂只能在以正方体的中心为中心棱长为1的小正方体内飞行,结合几何概型可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P＝错误!＝错误!．[引申]若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体8个顶点的距离均大于1，称其为“安全飞行"，则蜜蜂“安全飞行"的概率为__1－错误!__．[解析］所求概率P＝错误!＝1－错误!．考点四，与角度有关的几何概型-—师生共研例5 （1)(2021·南岗区校级模拟）已知正方形ABCD的边长为错误!，以A为顶点在∠BAD内部作射线AP,射线AP与正方形ABCD的边交于点M,则AM＜2的概率为（D）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!（2）在等腰Rt△ABC中,过直角顶点C在∠ACB内作一条射线CD与线段AB交于点D，则AD＜AC的概率为__错误!__．[解析］(1)正方形ABCD的边长为错误!,以A为顶点在∠BAD内部作射线AP，射线AP 与正方形ABCD的边交于点M，如图所示：己知AD＝AB＝BC＝CD＝错误!，DM＝1，所以AM＝错误!＝2．所以∠DAM ＝错误!． 根据阴影的对称性，故P (AM ＜2)＝错误!＝错误!，故选D ． (2）在AB 上取AC ′＝AC ， 则∠ACC ′＝180°－45°2＝67。