平面内两点间的距离公式
两点间、点线间、线线间的距离公式
已知平面上两点P1(x1, y1)、P2 (x2 , y2 )，如何求P1、P2的距离P1P2 呢？
y
y
y P2 (x2, y2 ) P3 (x1, y2 )
P1(x1, y1) P2 (x2, y2 )
y2
P2 (x2, y2 )
x1 o x2 x
x1 x2, y1 y2, P1P2 x1 x2
求l的方程。 解：不妨设直线方程：y kx
化为一般式：kx y 0
5.用点到直线距离公
式时直线要先化成 d 5k 0 3 k 3
一般式。
k 2 (1)2
4
4：直线l过点(1，2),且两点(2， 3)、(4， 5)到l的距离相等， 求l的方程。
另解解：：设两直点线到方直程线：的y 距2离相k(等x ，1可)[点能斜两式点]所构
y
2(| AB |2 | BC |2 )
D(b,c) C(a+b,c)
2[
2
(a 0)2 (0 0)2
2
(a b a)2 (c 0)2 ]
2(a2 b2 c2 )
o A(0,0) B(a,0) x
两条对角线的平方和为| AC |2 | BD |2
例5：证明直角三角形斜边的中点到三顶点的距离相等。
y
证明：如图：做平面直角坐标系及三角形ABC
B(0,b)
M(
a 2
,
b 2
)
o C(0,0) A(a,x0)
各点坐标为C(0,0), A(a,0), B(0, b), M( a , b ) 22
| AM | (a a )2 (0 b )2 a2 b2
2.3.2两点间的距离公式(教学课件)-高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册
两条小路AC与DM相互垂直?若存在，求出小路DM的长.
解：以B 为坐标原点，BC,BA 所在直线分别为 x 轴 、y 轴建立如图所示的 平面直角坐标系.
因为 |AD|=5 m,|AB|=3 m,所 以C(5,0),D(5,3),A(0,3). 设点M 的坐标为(x,0),
解得
5.光线从点A(-3,4)射到x轴上，经反射后经过点B(4,10),则反 射光线所在直线的方程为 2x-y+2=0 ,光线从A到B的路线长 度为7√5 解析：由题意知，反射光线过(-3,-4)和(4,10)两点，故斜率为
所以反射光线为 y+4=2(x+3),整理得2x-y+2=0,
光线从A到 B 的路线长度，即为(-3,-4)与(4,10)间的距离，所
[例2] 已知点A(3,6), 在x轴上的点P与点A的距离等于 10,则点P的坐标为(-5,0)或(11,0) 解析：设点P 的坐标为(x,0),
由 |PA|=10得
解得x=11 或x=-5. 所以点P 的坐标为(-5,0)或(11,0).
解 ：法一 因 为
所以|AB|=|AC|,且 |AB|²+|AC|²=|BC|²,所以△ABC是等腰直角三角形.
法二 因 为 所以kAc ·kAB=-1.所以AC⊥AB.
所以|AC|=|AB|.所以△ABC是等腰直角三角形.
方法 总 结
利用两点间距离公式判断三角形形状的方法 已知三个顶点的坐标判断三角形的形状时，利用两点间的距离公式 求三边长，从边长间的关系入手，如果边长相等，则可能是等腰或等 边三角形；如果满足勾股定理，则是直角三角形.
C.直角三角形 D.以上都不是
两点之间的距离公式及中点坐标公式
两点之间的距离公式及中点坐标公式在一个平面直角坐标系中，设点A的坐标为（x1，y1），点B的坐标为（x2，y2），则点A和点B之间的距离d为：
d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)
中点坐标公式：
在一个平面直角坐标系中，设点A的坐标为（x1，y1），点B的坐标为（x2，y2），则点A和点B的中点坐标为：
中点的x坐标(x)为：x=(x1+x2)/2
中点的y坐标(y)为：y=(y1+y2)/2
两点之间的距离，可以看作是两点所在直线的长度。
根据勾股定理，直角三角形的斜边长等于两直角边平方和的平方根。
因此，可以利用勾股定理来求两点之间的距离。
假设直角边分别为(x2-x1)和(y2-y1)，则根据勾股定理有：
d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)
中点坐标公式解析：
中点是指连接线段的两个端点的中心点。
假设需要求解的两点的横坐标分别为x1和x2，纵坐标分别为y1和y2、则中点的横坐标为两点横坐标之和的一半，即(x1+x2)/2；中点的纵坐标为两点纵坐标之和的一半，即(y1+y2)/2、因此，中点的坐标为(x,y)=((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)。
总结：
两点之间的距离公式是通过勾股定理来计算两个点之间的直线距离，利用两点的横纵坐标的差值进行计算。
中点坐标公式是通过将两个点的横纵坐标相加后除以2来求两点连线的中点坐标。
这两个公式在几何学和计算机图形学中非常常用，可以用来计算任意两点之间的距离和得到两点连线的中点坐标。
平面直角坐标系两点间距离公式
平面直角坐标系两点间距离公式平面直角坐标系是一种坐标系统，它将平面上的点定位用一组坐标表示，以简化计算机图形中计算点之间距离的复杂过程。
平面直角坐标系主要由三个基本元素组成，它们分别是：横坐标、纵坐标和参考原点。
横坐标(x)是一个确定点在x轴方向上的位置；纵坐标(y)是一个确定点在y轴方向上的位置；参考原点是一个固定点，以便于确定其他点的位置和方向。
二、平面直角坐标系两点间距离的计算方法在平面直角坐标系中，两个点之间的距离可以使用以下公式来计算：距离=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);其中， (x1, y1)表示第一个点的坐标；(x2, y2)示第二个点的坐标。
比如说，有一个坐标系，其中，原点的坐标为 (0, 0)，有另一个点的坐标为 (3, 4)。
那么，这两个点之间的距离就可以使用以上距离公式来计算：距离=√((3-0)^2+(4-0)^2)=√(9+16)=√25=5三、实际应用平面直角坐标系两点间距离公式在日常生活中有着重要的应用，它可以帮助我们确定两个点在平面内的真实距离。
例如，对于某些停车场来说，它们可能会根据你贴在汽车上的贴纸来收费，而这些贴纸的位置也可以用平面直角坐标系来表示，然后使用相应的距离公式来计算出车辆停靠所处的位置与参考点之间的距离，以确定停车费用。
此外，平面直角坐标系两点间距离公式还可以用来计算航线的长度、地图上两个点的相对位置关系等等，它也用于实际的地理测量中。
四、结论平面直角坐标系两点间距离公式可以帮助人们计算两个坐标点之间的距离，它的实际应用非常广泛。
在使用平面直角坐标系两点间距离公式时，我们需要注意将正确的参考点坐标系统和对应点的坐标输入公式中，以便正确地计算出距离。
两点间的距离公式
§ 2.8 两点间的距离公式课前自主预习［新知梳理］1、平面上两点间距离公式：已知Rd,%) , P2(x2,y2),则PP2 =J(N-汀+(% - y?)2•在如图所示的坐标系中，|RQ|= M - yd ,p2 (x2,y2)Q(x1,y2)| F2QH |x2 -x i | ;在RtARQP2 中，I PP2 l= J(x i —X2)2+(力—y2)2•特殊地，0(0,0) , P(x, y)之间的距离 |OP|二■ Xi2y2［思考讨论］1 . (1)已知x轴上两点A(X i,0)、BgO)，贝U I AB 戶|x^x1 |(2)已知 y 轴上两点A(0,yJ、B(0, y2)，则 |AB|= | y^ yy |2.(1)已知两点A(x，y)、B(x,,y)，则 |AB 卜凫-为| .(2)已知两点A(x, %)、B(x, y2)，则 | AB 戶| y2 - % | .3.直线与坐标轴的两交点之间的距离是洁+b2.4.在坐标系中作出两点R(1,3)，P2(5,6)，构造直角三角形，求得|PP2|= 5课堂互动学习［名师点津］1.记住两点间的距离公式的结构特征，会用公式求出三角形的边长等距离问题.2.利用三角形的边长判断三角形的等腰三角形还是直角三角形.3.利用对称性可以解决两类类似问题：①在定直线上求一点到两定点的距离之和最小；②在定直线上求一点到两定点的距离之差的绝对值最大.4.利用坐标法解决平面几何问题，首先要建立恰当的直角坐标系.建立坐标系的原则是：①以题目中的已知直线为坐标轴，以已知点为原点；②让尽可能多的点处在坐标系中的特殊位置，这样方便计算；③如果条件中有互相垂直的两条直线，可以考虑把它们昨晚坐标轴，如果图形为中心对称图形，可以将中心作为原点，如果图形为轴对称图形，可以将对称轴作为对称轴.典例精析：［典型例题1］已知A(0,1)，B(2,7)，C(4,3)，求三边的长，并判断 ABC的形状.［点拨］由距离公式求出三边的长，再由边长判断形状.［解答］由两点间距离公式得| AB |「- (2一0)2(7 一1)2=2帀，| BC 匸；(2匚4)2—(7匚3)2〉2 .. 5，| AC |= .(4 -0)2 (3 -1)2 =2 ,5，因为I ACI2• |BC|2=|AB|2, |AC|=|BC|，所以厶ABC是等腰直角三角形.［变式训练1］已知A(a,2)，B(-2,-3)，C(1,1)且AB =| AC|，求a 的值.［解答］| AB =. (a 2)2 (2 3)2二.a2 4a 29，| AC H--'：(a -1)2 (2 -1)2=J；a2 -2a 2，=AC，所以J a2 +4a 十29 = J a2 -2a +2，解得［典型例题2］在x轴上取一点P，使它与两点A(1,2)，B(5,3)的距离之和最小，并求出最小距离.| PA'I+I PB闰AB|，当P是AB与x轴交点P时，取等号, 因为 | A B F •. (1 -5)2* ( -2 -3)2二 41 为定值, 所以当P是AB与x轴交点P时，|PA［+|PB|有最小值.因为直线AB的斜率为一脊违，经过点B(5,3)，因为AB［点拨］作A关于x轴的对称点A，连AB与x轴交于点P，则F0为所求.［解答］作A关于x轴的对称点A，则A坐标为(1,-2)，设P 是x轴上的任一点，连PA ；PB、AB，则有所有直线AB的方程为y 一3 (x 一5),4令y =0，得x仝，即P的坐标为(空,0).5 5［变式训练2］x轴上的一点到定点A(0,2) , B(1,1)距离之和的最小值为(D )A.2B. 、、5C. 2、2D. .10［典型例题3］已知P为等腰 ABC的底边BC上的任意一点，求证：2 2|AB| =|AP| |BP| |PC| .［点拨］以底边所在的直线为x轴，底边的垂直平分线为y轴建立坐标系，再设出有关点的坐标，表示出有关线段的长度即可得证.［解析］取BC的中点O为原点，OA所在直线为y轴，建立坐标系.设A(0,a)，C(b,0)，则B(-b,0)，由两点间距离公式得| AB|2二a2 b2，|AP |2二a2 x2，| BP^x b，| PC |二 b-x，所以| AP |2 | BP | | PC | 二a2 x2 (x b)(b - x)二a2 b2.所以| AB |2 =| AP |2| BP | | PC |.［变式训练3］如图，D为BC中点，求证：AB2+ AC2二 D 6 吃D A^ D C证明：以D为原点，BC所在直线为x轴建立坐标系，设 A(a,b)，C(c,0)，则 B(-c,0).于是| AB|^(a c)2 b2，|AC|2= (a-c)2 b2，| BD |^| CD |2-c2，|DAf = a2 b2.所以| AB|2| AC |2 = (a c)2 b2(a -c)2b2二2a22b22c2，2 . 2 . 2 2 , 2 , 2DB +2 DA +DC| =2a +2b +2c，所以 AB + AC = DB +2 DA + DC .课后分层练习反馈练习:1•以A(；,0) , B(3, 2) , C(_1,2)为顶点的三角形的形状是(C )A •等腰B •等边C •直角D .锐角三角形2.已知M(x,二)到N(1,2)的距离为5,则x二(D )A. -4B. -2C. -4 或2D. 4或 -23.已知A(-1,2) , B(3,6) , C(5, -5)，贝L ABC 的边 AB 上的中线长为.97 .4.点P在直线y =x上，且P到Q(4,；)的距离为5,则P点坐标为(0,0)或(1,1)5.已知正 ABC的边长为a,在平面上求一点P，使得|PA|2 | PB|2 | PC |2取得最小值，并求最小值.［点拨］建立直角坐标系，设P(x,y)，和A、B、C的坐标，用两点间距离公式得出函数关系.［解析］以AB边所在直线为x轴，边AB的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，如图所示.设点A(| ,0),则B(-, c(o, ；a).设P(x, y)，则|PA|2 | PB|2 I PCf= (x—|")2 y2 (x |)2 y2 x2 (y 一一|^)2=3x2 3(y 乎)2 a2 _a2.当且仅当x =0 , y二冬时，等号成立，此时点P坐标为6),是正 ABC 的中心，所求最小值为a26.在y轴上找一点M ,使得M到两定点A(2,1)、B(4,5)的距离之差的绝对值最大，并求出最大值.［点拨］连结AB延长交y轴于M。
平面上两点间距离、点到直线距离公式
B1 B2
y y
C1 C2
0 0
点A
A坐标(a,b)
直线L
L方程：Ax+By+C=0
点A在L上 直线L1∩L2=A
aA1 bB1 C1 0
A1 A2
x x
B1 B2
y y
C1 C2
0 0
x y
a b
直线上的点
y
l
2x y 3 0
P(x,y) x
(1)点（1，5）在直线上吗？ (2)点（2，7）在直线上吗？
A(0,0) B(a,0)
| AC |2 | BD |2 2(a2 b2 c2 )
| AB |2 | BC |2 | CD |2 | AD |2 2(a2 b2 c2 )
结 论 L：3x=2的距离。
解1 : d | 3 (1) 0 2 | 5
|PA|的值。
解: 设P( x,0),则
| PA | ( x 1)2 (0 2)2 x2 2 x 5
| PB | ( x 2)2 (0 7 )2 | PA || PB |
x2 2 x 5 x2 4 x 11 解得: x 1, P(1,0)
x2 4 x 11
| PA | (1 1)2 (0 2)2 2 2
由2x 3 y 1 0令x 0得y 1 ; y 0得x 1
3
2
直线与x轴交于A( 1 ,0),与y轴交于B(0, 1 ).
2
3
L过A关于y轴对称点( 1 ,0)和B点, L方程为
2
x 1
y 1
1即: 2x 3 y 1
0
23
2、已知L的方程：2x+3y+1=；则
（1）将L向上平移2个单位得：_________
平面内两点间的距离公式
两点间的距离公式【教学目标】1、掌握平面内两点的距离公式和中点公式 2、 能熟练应用平面内两点间距离公式和中点公式进行运算【教学重点】平面内两点的距离公式和中点公式的应用【教学难点】平面内两点的距离公式和中点公式的应用【教学过程】引入：(如图)在数轴上有两点7,521=-=x x 则x x 21=-5 0 7 X在直角三角形中，怎样求出斜边的长度在直角坐标系中，已知点P （x,y ）,那么|OP|=xy平面直角坐已知两点1P P P 21=说明(1) 如果P 12是x x 12-(2) 如果P 1和P 2两点在y 轴上或在平行于y 轴的直线上,两点距离是y y 12-试一试1：求平面上两点)7,1(),2,6(-B A 间的距离AB .试一试2：求下列两点间的距离：（1）)0,2(),0,2(B A - （2）)7,0(),3,0(-B A（3）)4,2(),3,2(B A - (4))6,8(),9,5(B A -试一试3：已知A （a,3），点B 在y 轴上，点B 的纵坐标为10，AB =12，求a 。
线段的中点公式点),(111y x P ，),(222y x P 之间所连线段的中点P 坐标为221x x x +=，221y y y +=。
说明公式对于P 1和P 2两点在平面内任意位置都是成立的试一试3：求下列两点的中点坐标（1）)13,2(),3,2(B A -（2）)6,18(),9,15(B A -（二）典型例题：已知三角形的顶点是)2,7(),0,0(B A ，),4,1(-C ，求此三角形两条中线CE 和AD 的长度（解题过程在书240页）【自我检测】1、平面直角坐标系中，已知两点),(111y x P ，),(222y x P ，两点距离公式为2、点),(111y x P ，),(222y x P 之间所连线段的中点P 坐标为3、 已知下列两点，求AB 及两点的中点坐标（1） A （8，6），B （2，1） （2）A （-2，4）B （-2，-2）4、已知A(-4,4),B(8,10)两点，求两点间的距离AB5、 已知下列两点，求中点坐标： a) A （5，10），B （-3，0）（2）A （-3，-1），B （5，7）6、已知点A （-1，-1），B （b,5）,且AB =10，求b.7、已知A在y轴上，B（4，-6），且两点间的距离AB=5，求点A的坐标8、已知A（a,-5），点B在y轴上，点B的纵坐标为10，AB=17，求a。
平面上两点间距离、点到直线距离公式
D(b,c) C(a+b,c)
| AC | (a b ) c
2 2
| BD |2 (b a ) 2 c 2
2 2
A(0,0) B(a,0)
2
| AC | | BD | 2(a b c ) | AB |2 | BC |2 | CD |2 | AD |2 2(a 2 b 2 c 2 ) 结论成立 .
(3)点（3， 8）在直线上吗？
直线的方程就是直线上每一 点坐标满足的一个关系式.
例1、求下列直线的交点坐标：
l1 : 3 x 4 y 2 0 l2 : 2 x y 2 0
3 x 4 y 2 0 x 2 解 : 解方程组 2 x y 2 0 y 2 所以 l1与l 2交点为 ( 2,2)
2 2
x 2x 5
2
| PB | ( x 2) 2 (0 7 ) 2 | PA || PB | 2 2 x 2 x 5 x 4 x 11 解得 : x 1, P (1,0) | PA | (1 1) (0 2) 2 22ຫໍສະໝຸດ 2一、两直线的交点(坐标):
已知直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0, 则l1与l2的交点P坐标(x,y)就是方程组的解:
A1 x B1 y C1 0 A x B y C 0 2 2 2
点A 直线L 点A在L上 直线L1∩L2=A A坐标(a,b) L方程：Ax+By+C=0
aA1 bB1 C1 0 A1 x B1 y C1 0 x a A x B y C 0 y b 2 2 2
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相交
K1≠K2
A1 B1 A2 B2
垂直
K1k2=-1
A1A2 B1B2 0
两点间的距离
已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)，
如何求P1 P2的距离| P1 P2 |呢?
1）、y1=y2
y
2）、x1=x2
y
P1•x1，y1 P2 •x2，y2
两点间的距离
➢复习回顾： 判断两条直线的位置关系有以下结论：
L1:y=k1x+b1
L1:A1X+B1Y+C1=0
L2:y=K2x+b2 （K1,k2均存在）
L2:A2X+B2Y+C2=0 （A1B1C1 ≠0 ,A2B2C2≠0）
平行 重合
K1=K2且b1≠b2 K1=K2且b1=b2
A1 B1 C1 A2 B2 C2
举例
例2 已知点A(1, 2), B(2, 7),在x轴上求一点P, 使得 | PA || PB |,并求 | PA |的值.
解 ： 设P点 的 坐 标 为(a,0) | PA| (1 a)2 (2 0)2 4 (a 1)2
| PB | (2 a)2 ( 7 0)2 7 (2 a)2 | PA|| PB | 4 (a 1)2 7 (2 a)2 解 得 ：a 1 | PA| 4 (a 1)2 2 2
举例
例1、求下列两点间的距离：
(1)、A(6，0),B(-2，0) (2)、C(0，-4),D(0，-1) (3)、P(6，0),Q(0，-2) (4)、M(2，1),N(5，-1)
解： (1) | AB | (2 6)2 (0 0)2 8
(2) | CD | (0 0)2 (1 4)2 3 (3) | PQ | (6 0)2 (0 2)2 2 10 (4) | MN | (2 5)2 (1 1)2 13
y
D(b,c) C(a+b,c)
o A(0,0) B(a,0) x
解题参考
DIY
2、证明直角三角形斜边的中点到三个 顶点的距离相等.
y
B (0,b)
M(
a 2
,b 2
)
o C(0,0)
A(a,0)x
解题参考
小结
平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式是
| P1 P2 | ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2
法二 ∵kAC＝2－6－－12＝54， kAB＝3－－3－ －12＝－45， ∴kAC·kAB＝－1，即 AB⊥AC. ∵|AB|＝ 3＋22＋－3－12＝ 41， |AC|＝ 2＋22＋6－12＝ 41， ∴|AB|＝|AC|， 因此△ABC 是等腰直角三角形．
规律方法 这类判断三角形、四边形形状的问题，证明方法通 常有以下两种： (1)利用两点间距离公式，考查边的长度特征(等腰、等边、满足 勾股定理的逆定理等)； (2)利用直线平行、垂直的判定方法，考查边的位置关系．
特别地, 原点O与任一点P( x, y)的距离 : | OP | x2 y2
练习
2、已知点A(7,-4) ，B(-5,6), 求线段AB的垂 直平分线的方程
解：设P点的坐标为(x, y) 由题意可得：| AP || BP | 得：(x-7)2 ( y 4)2 (x 5)2 ( y 6)2
化简得：6x-5y-1=0
DIY
1、证明平行四边形四条边的平方和等于 两条对角线的平方和.
[思路探索] 利用两点间的距离公式，求出三边长进行判断或利 用平行垂直关系加以判断．
解 法一 |AB|＝ 3＋22＋－3－12＝ 41， |AC|＝ 2＋22＋6－12＝ 41， 又|BC|＝ 3－22＋－3－62＝ 82， ∴( 41)2＋( 41)2＝( 82)2， 即|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|， 因此△ABC 是等腰直角三角形．
练习1、已知点P的横坐标是7，点P与点 N(-1,5)间的距离等于10，求点P的纵坐标.
解：设P点的坐标为(7, b)
由题意可得： 10 (7 1)2 (b 5)2 解得：b 1或11 P点的纵坐标为 1或11
P(7,-1)或P(7,11)
【例 2】 已知△ABC 中，A(－2,1)，B(3，－3)，C(2,6)，试判 断△ABC 的形状．
y1
•P1 x1，y1
x1 o
x2 x
P1P2 =|x2 - x1 |
o
x
y2
•P2 x2，y2
P1P2 =|y2 - y1|
(3) x1 ≠ x2, y1 ≠ 点P1(x1,y1), P2(x2,y2), 如何求P1 P2的距离 | P1 P2 |呢?
y P1(x1,y1) Q(x2,y1)
P2 (x2,y2)
o
x
(3) x1 ≠ x2, y1 ≠ y2
| P1P2 | ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2
平面上两点间的距离
平面上两点
间的距离公式：
P1P2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2
特别地, 原点O与任一点P( x, y)的距离 : | OP | x2 y2