两角和与差的余弦公式ppt课件
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两角和与差的正弦、余弦、正切公式：课件十三(230张PPT)
tan tan tan( ) 1 tan tan tan tan tan( ) 1 tan tan
( C(-) ) ( C(+) ) ( S(+) ) ( S(-) ) ( T(+) )
( T(-) )
小结
三角函数求值及证明问题中, 变角是一种常用的技巧,如 ( ) ; ( ) (( ) ( ) 等, ( 4 4 2 这样可充分利用已知条件中的三角函数值,通过三角运算 来求值、化简和证明.
练习
求下列各式的值
4cos74 sin 14 sin 74 cos14 ; 3 原式＝sin 14 74 sin 60 2 5sin 34 sin 26 cos34 cos26 ; 1 原式＝ cos 34 cos 26 sin 34 sin 26 cos34 26 2 6sin 20 cos110 cos160 sin 70. 原式＝sin 20 cos110 cos 20 sin 110 sin 20 110 1
分析 : ( ) , 则 cos cos[( ) ] cos( ) cos sin( ) sin
练习
1 cos 2
小结 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
cos(-)= coscos+sinsin cos(+)= coscos-sinsin sin(+)= sincos+cossin sin(-)= sincos-cossin
( C(-) ) ( C(+) ) ( S(+) ) ( S(-) ) ( T(+) )
( T(-) )
小结
三角函数求值及证明问题中, 变角是一种常用的技巧,如 ( ) ; ( ) (( ) ( ) 等, ( 4 4 2 这样可充分利用已知条件中的三角函数值,通过三角运算 来求值、化简和证明.
练习
求下列各式的值
4cos74 sin 14 sin 74 cos14 ; 3 原式＝sin 14 74 sin 60 2 5sin 34 sin 26 cos34 cos26 ; 1 原式＝ cos 34 cos 26 sin 34 sin 26 cos34 26 2 6sin 20 cos110 cos160 sin 70. 原式＝sin 20 cos110 cos 20 sin 110 sin 20 110 1
分析 : ( ) , 则 cos cos[( ) ] cos( ) cos sin( ) sin
练习
1 cos 2
小结 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
cos(-)= coscos+sinsin cos(+)= coscos-sinsin sin(+)= sincos+cossin sin(-)= sincos-cossin
两角和与差的余弦、正弦课件
π sin x± cos x＝ 2sin(x± )； 4 π sin x± 3cos x＝2 sin(x± )； 3 π 3sin x± cos α＝2sin(x± )． 6
统名公式将形如 asin α＋bcos α(a，b 不同时为零)的三角函数 辅助角公式 式统一为一种三角函数式，这样做有利于三角函数式的化简，更 是研究三角函数性质的常用工具．其最值是± a ＋b
＝0. 提示：若为客观性试题，可特殊化令 x=0 解得。
4．化简下列各式： cos 10° (1)(tan 10° － 3) ； sin 50° (2) 2cos x＋ 6sin x.
cos 10° cos 10° 解：(1)(tan 10° － 3) ＝(tan 10° －tan 60° ) sin 50° sin 50° sin 10° sin 60°cos 10° ＝( － ) cos 10° cos 60°sin 50° sin 10° cos 60° －cos 10° sin 60°cos 10° ＝ · cos 10° cos 60° sin 50° sin（－50° ） cos 10° ＝ · cos 10° cos 60° sin 50° 1 ＝－ ＝－2. cos 60°
(2) 2cos x＋ 6sin x.
解：(2) 2cos x＋ 6sin x 1 3 ＝2 2( cos x＋ sin x) 2 2 ＝2 2(sin 30° cos x＋cos 30° sin x) ＝2 2sin(30° ＋x).
辅助角公式：a sin x b cos x a 2 b2 sin( x )， b 其中tan = . a
2
此时，cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)
16 ＝sin Asin B－cos Acos B＝ ； 65 4 当 A 为钝角时，cos A＝－ 1－sin A＝－ ， 5
统名公式将形如 asin α＋bcos α(a，b 不同时为零)的三角函数 辅助角公式 式统一为一种三角函数式，这样做有利于三角函数式的化简，更 是研究三角函数性质的常用工具．其最值是± a ＋b
＝0. 提示：若为客观性试题，可特殊化令 x=0 解得。
4．化简下列各式： cos 10° (1)(tan 10° － 3) ； sin 50° (2) 2cos x＋ 6sin x.
cos 10° cos 10° 解：(1)(tan 10° － 3) ＝(tan 10° －tan 60° ) sin 50° sin 50° sin 10° sin 60°cos 10° ＝( － ) cos 10° cos 60°sin 50° sin 10° cos 60° －cos 10° sin 60°cos 10° ＝ · cos 10° cos 60° sin 50° sin（－50° ） cos 10° ＝ · cos 10° cos 60° sin 50° 1 ＝－ ＝－2. cos 60°
(2) 2cos x＋ 6sin x.
解：(2) 2cos x＋ 6sin x 1 3 ＝2 2( cos x＋ sin x) 2 2 ＝2 2(sin 30° cos x＋cos 30° sin x) ＝2 2sin(30° ＋x).
辅助角公式：a sin x b cos x a 2 b2 sin( x )， b 其中tan = . a
2
此时，cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)
16 ＝sin Asin B－cos Acos B＝ ； 65 4 当 A 为钝角时，cos A＝－ 1－sin A＝－ ， 5
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件
即 tan(α－β)＝________，这就是两角差的正切公式．
练习 5：1t＋an4ta5n°4－5°ttaann1155°°＝________________.
tan α－tan β 1＋tan αtan β
练习：5.
3 3
思考应用
3．两角和与差的正切公式的适用范围及公式的特 征有哪些？
解析：(1) 适用范围：限制条件：α、β、α＋β 均不为 kπ＋π2(k∈Z)；可以是数、字母和代数式．从公式推导过程进 行说理：cos(α＋β)≠0，则 α＋β≠kπ＋π2；同除 cos α、cos β， 得 cos α≠0，cos β≠0，则 α≠kπ＋π2，cos β≠kπ＋π2.cos x≠0， 保证了 tan x 有意义．
∵cos(α－β)＝1134，∴sin(α－β)＝3143， 由 β＝α－(α－β)，得
cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝17×1134＋4 7 3×3143＝7×4914＝12， ∵0<β<π2，所以 β＝π3.
点评： 解答此类问题分三步：第一步，求角的某 一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三 步，根据角的范围写出所求的角．特别注意选取角的 某一个三角函数值，是取正弦？还是取余弦？应先缩 小所求角的取值范围，最好把角的范围缩小在某一三 角函数值的一个单调区间内．
sin αcos β＋cos αsin β
以－β 代替公式 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
中的 β，得到 sin[α＋(－β)]＝sin αcos(－β)＋
cos αsin(－β)＝sin αcos β－cos αsin β，
高中数学两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件
Thanks.
小结：
1.掌握C ( ) , C( ) 公式的推导,小心
它们的差别与联系;
2.注意角的拆分与组合,如:
( ) , 2 ( ) ,
2 ( ) ( ),
2 ( ) ( ),
( − ) = − .
公式五
( − ) = ，
( − ) = .
公式六
( + ) = ，
2
( + ) = − .
2
3.两点间的距离公式
平面上任取两点A(x 1 , y1 ), B(x 2 , y 2 )
2
2
sin cos cos sin
两角差的正弦公式
两角和的正弦公式：sin( ) sin cos cos sin
两角差的正弦公式：sin( ) sin cos cos sin
法一：
sin( )
sin[ ( )]
A(x 1 , y 1 )
y
| y1 y 2 |
B(x 2 , y 2 )
| x1 x 2 |
0
x
2
2
AB (x1 x2 ) (y 1 y 2 )
02
两角和与差的余弦公式
终边
两角差的余弦公式
y
P1 (cos , sin )
终边
A1 (cos , sin )源自,
2
2
2
3.注意整体代换思想的应用.
2
;
1
④ cos
课件6：3.1.1 两角和与差的余弦
cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝17×1134＋473×3143＝12，所以 β＝π3.
类题通法 已知三角函数值求角的解题步骤 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围． (2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在 上述范围内单调的三角函数． (3)结合三角函数值及角的范围求角．
∴cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝2 5
5 ×
1100＋
5 5
×3 1010＝
2 2.
又∵sin α<sin β，∴0<α<β<π2， ∴－π2<α－β<0， 故 α－β＝－π4. 【答案】－π4
2．[变条件]若本例(2)变为：已知 cos α＝17，cos(α－β)＝1134，
立． 【答案】(1)× (2)× (3)√
()
2．cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°的值为 ( )
1
1
A. 2
B. 3
3 C. 2
3 D. 3
【答案】A
3．设 α∈0，2π，若 sin α＝35，则 2cosα＋π4等于(
)
A．75
B．51
C．－75 【答案】B
D．－15
∴cos α＝cosα＋π4－π4＝cosα＋π4cosπ4＋sinα＋π4sin
π 4
＝35× 22－45× 22＝－102.
题型三 给值求角问题 典例 (1)已知 α，β 均为锐角，且 sin α＝255，sin β＝ 1100， 则 α－β＝________. (2)已知 cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，α，β∈0，2π，则 β ＝________.
高教版中职数学拓展模块一下册：6.1.1两角和与差的余弦公式课件(共17张PPT)
归纳总结
布置作业
两角和与差的余弦公式
情境导入
化简.
探索新知
情境导入
典型例题
巩固练习
归纳总结
布置作业
两角和与差的余弦公式
情境导入
探索新知
典型例题
情境导入
巩固练习
归纳总结
练习
1．求值
（1）105°
（2）15°
2− 6
（1）
4
2+ 6
（2）
4
（3）70° ∙ 10° + 70° ∙ 10°
布置作业
两角和与差的余弦公式
情境导入
情境导入
探索新知
典型例题
巩固练习
归纳总结
布置作业
探究
如图两向量与x轴正半轴夹角分别为α和β
则点A（cosα，sinα）， B（cosβ，sinβ），
=（cosα，sinα）， =（cosβ，sinβ），
|| = 1
|| = 1
（cosα，sinα）
（cosβ，sinβ）
两角和与差的余弦公式
情境导入
情境导入
探索新知
典型例题
巩固练习
归纳总结
布置作业
探究
于是 ∙ = ||||( − )
= ( − )
∙ = ∙ + ∙
所以 ( − )= ∙ + ∙
2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾;
3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.
归纳总结
情境导入
布置作业
本节课堂结束
.教师：姜老师
必要条件
(3)p:>2且y>2,q： + > 5
《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》三角函数PPT
何选择公式,选择哪一个公式会更好.需要说明的是,(4)运用到了切
化弦,将特殊值 化为tan 60°等,为此可以熟记一些常见的特殊角
的函数值,如1=sin 90°=cos 0°=tan 45°, =tan
3 60°等.
2.公式的推广:本例第(5)小题所得结论可以推广到一般情形:若
π
A+B= ,则(1+tan A)(1+tan B)=2;若(1+tan A)(1+tan B)=2,则
(4)sin 15°+cos 15°= 2 sin 60°.(
)
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√
)
课前篇
自主预习
一
二
三
四
三、两角和与差的正切公式
1.(1)求tan 15°的值.
提示:(1)∵sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin
6- 2
2sin50°cos10°+2sin10°cos50°
×
cos10°
cos10°
2cos 10°
=2 2(sin 50°cos 10°+sin 10°cos 50°)
=
=2 2sin(50°+10°)=2 2 × 3 = 6.
2
1
(2)原式=sin(α+β)cos α-2[sin(α+α+β)-sin(α+β-α)]=sin(α+β)cos
(2)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
课前篇
自主预习
一
二
三
四
3.判断正误
(1)sin(α-β)=sin αcos α-cos βsin β.(
化弦,将特殊值 化为tan 60°等,为此可以熟记一些常见的特殊角
的函数值,如1=sin 90°=cos 0°=tan 45°, =tan
3 60°等.
2.公式的推广:本例第(5)小题所得结论可以推广到一般情形:若
π
A+B= ,则(1+tan A)(1+tan B)=2;若(1+tan A)(1+tan B)=2,则
(4)sin 15°+cos 15°= 2 sin 60°.(
)
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√
)
课前篇
自主预习
一
二
三
四
三、两角和与差的正切公式
1.(1)求tan 15°的值.
提示:(1)∵sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin
6- 2
2sin50°cos10°+2sin10°cos50°
×
cos10°
cos10°
2cos 10°
=2 2(sin 50°cos 10°+sin 10°cos 50°)
=
=2 2sin(50°+10°)=2 2 × 3 = 6.
2
1
(2)原式=sin(α+β)cos α-2[sin(α+α+β)-sin(α+β-α)]=sin(α+β)cos
(2)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
课前篇
自主预习
一
二
三
四
3.判断正误
(1)sin(α-β)=sin αcos α-cos βsin β.(
两角和与差的余弦课件
在极坐标系中，我们可以用角度和半径来描述一个点，这种描 述方式在处理一些几何问题时非常方便。
02
在极坐标系中，三角函数如正弦、余弦、正切等可以表示为角
度和半径的函数。
两角和与差的余弦公式在极坐标系下有着直观而简洁的表达形
03
式，可以方便地应用于解决实际问题。
对称性及应用
01
对称性是数学中的一个重要概念，它描述的是在某种变换下，图形或函数的不 变性。
题目6
已知两个角度分别为95度和175度，计算这两个角度的和与差的余弦值，并判断这两个角 度是否互补。
高难度题目
01
题目7
已知两个角度分别为15度和165判断这两个角度是否互补。
02
题目8
已知两个角度分别为70度和110度，计算这两个角度的和与差的余弦
值，并判断这两个角度是否互补。
两角和与差的余弦公式 在数学、物理、工程等 领域都有广泛的应用， 特别是在解决具有周期 性和对称性的问题时非 常有效。
在学习两角和与差的余 弦公式时，需要掌握三 角函数的基本知识，包 括正弦、余弦、正切等 函数的定义、性质和图 像。
另外，还需要了解三角 函数的周期性、对称性 等相关知识，以便更好 地理解和应用两角和与 差的余弦公式。
题目2
已知两个角度分别为60度和90度，计算这两个 角度的和与差的余弦值。
题目3
已知两个角度分别为120度和150度，计算这两 个角度的和与差的余弦值。
中等难度题目
题目4
已知两个角度分别为75度和105度，计算这两个角度的和与差的余弦值，并判断这两个角 度是否互补。
题目5
已知两个角度分别为80度和140度，计算这两个角度的和与差的余弦值，并判断这两个角 度是否互补。
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3
两角差的余弦公式推导过程
微课视频
cos( ) coscos sinsin
4
实际上，当 为任意角时，利用余弦函数周期性，奇偶性和诱导公式， 总可以找到一个角都可转化 [0,2 ) ，使 cos cos( )。
综上所述，cos( - ) coscos sinsin ， 对于任意的角都成立。
验证公式： cos(300 ) cos(900 - 600 ) cos(900 )cos(600 ) sin(900 )sin(600 ) sin(600 )
3 2
同理也可以验证诱导公式
cos( ) sin，cos( - ) - cos
2
5
拓展思维
已知 cos( - ) coscos sinsin
3.1.1
两角和与差的余弦公式
1
知识回顾 1.特殊角的三角函数值 2.三角函数线 3.平面向量的数量积
2
提出问题
问题1 ： 等式 cos(α一β)＝ cosα一cosβ成立吗？请举例验证 例如： cos30°= cos(90°一60°)＝ cos90°一cos60°？
问题2 ： 如果已知sinα, cosα, sinβ, cosβ, 如何计算cos(α一β)？
11
例题讲授，学以致用
12
例题讲授，学以致用
13
例题讲授，学以致用 课堂练习
14
两角和与差的余弦公式
15
例题讲授，学以致用
思考题：串联思维，开阔视野
观察下列两组题目，探索它cossin
10
思维延伸
（2）如果 将换成 ，
则可以得到正弦和余弦二倍角公式 cos( ) coscos sinsin sin( ) sincos cossin 将换成之后 cos(2 ) coscos sinsin （cos）2 （sin）2 sin(2 ) sincos sincos 2sincos
分析: cos15o cos 60o 45o 或cos(450 300 )
同理可得：
cos(750 ) ?
8
课堂练习
cos( ) coscos sinsin
思考：（1）1 cos 3 sin（2） 2 cos 2 sin
2
2
2
2
解题思路： 拆角，并角，公式逆用和变形，配方法
9
思维延伸
已知 cos( ) coscos sinsin
（1）
如果
将换成
2
，
则可以得到两角和的正弦公式
cos[( ） ] cos( )cos - sin( )sin
2
2
2
cos( （ ）) sincos - cossin
2
sin( ) sincos - cossin
如果 将换成 ， 则可以得到两角和的余弦公式
cos[ （ - - ）] coscos（- ） sinsin（- ） cos( ) coscos sinsin
6
归纳总结
两角和与差的余弦公式
7
cos( ) cos cos sin sin
例1.利用差角余弦公式求cos15o的值
两角差的余弦公式推导过程
微课视频
cos( ) coscos sinsin
4
实际上，当 为任意角时，利用余弦函数周期性，奇偶性和诱导公式， 总可以找到一个角都可转化 [0,2 ) ，使 cos cos( )。
综上所述，cos( - ) coscos sinsin ， 对于任意的角都成立。
验证公式： cos(300 ) cos(900 - 600 ) cos(900 )cos(600 ) sin(900 )sin(600 ) sin(600 )
3 2
同理也可以验证诱导公式
cos( ) sin，cos( - ) - cos
2
5
拓展思维
已知 cos( - ) coscos sinsin
3.1.1
两角和与差的余弦公式
1
知识回顾 1.特殊角的三角函数值 2.三角函数线 3.平面向量的数量积
2
提出问题
问题1 ： 等式 cos(α一β)＝ cosα一cosβ成立吗？请举例验证 例如： cos30°= cos(90°一60°)＝ cos90°一cos60°？
问题2 ： 如果已知sinα, cosα, sinβ, cosβ, 如何计算cos(α一β)？
11
例题讲授，学以致用
12
例题讲授，学以致用
13
例题讲授，学以致用 课堂练习
14
两角和与差的余弦公式
15
例题讲授，学以致用
思考题：串联思维，开阔视野
观察下列两组题目，探索它cossin
10
思维延伸
（2）如果 将换成 ，
则可以得到正弦和余弦二倍角公式 cos( ) coscos sinsin sin( ) sincos cossin 将换成之后 cos(2 ) coscos sinsin （cos）2 （sin）2 sin(2 ) sincos sincos 2sincos
分析: cos15o cos 60o 45o 或cos(450 300 )
同理可得：
cos(750 ) ?
8
课堂练习
cos( ) coscos sinsin
思考：（1）1 cos 3 sin（2） 2 cos 2 sin
2
2
2
2
解题思路： 拆角，并角，公式逆用和变形，配方法
9
思维延伸
已知 cos( ) coscos sinsin
（1）
如果
将换成
2
，
则可以得到两角和的正弦公式
cos[( ） ] cos( )cos - sin( )sin
2
2
2
cos( （ ）) sincos - cossin
2
sin( ) sincos - cossin
如果 将换成 ， 则可以得到两角和的余弦公式
cos[ （ - - ）] coscos（- ） sinsin（- ） cos( ) coscos sinsin
6
归纳总结
两角和与差的余弦公式
7
cos( ) cos cos sin sin
例1.利用差角余弦公式求cos15o的值