1.2021北京逆袭卷(数学试题)

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2021年北京市高考数学模拟试卷(四)(附答案解析)

2021年北京市高考数学模拟试卷（四）一、单项选择题（本大题共27小题，共81.0分）1. 设集合P ={x|x 2=1}，则集合P 的非空真子集的个数是( )A. 2B. 3C. 7D. 82. 函数f(x)=11−x +lg(1+x)的定义域是( )A. (−∞,−1)B. (1,+∞)C. (−1,1)∪(1,+∞)D. (−∞,+∞)3. 已知ln2=a ，ln3=b ，那么log 32用含a ，b 的代数式表示为( )A. a +bB. a −bC. abD. ab4. 如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别为线段BC ，AD ，BE 的中点，则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 18AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +58AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 58AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −18AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 18AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −58AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 58AB ⃗⃗⃗⃗⃗+18AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 5. 直线3x +√3y +1=0的倾斜角是( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°6. 把函数y =sin(x +π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( )A. x =−π2B. x =−π4C. x =π8D. x =π47. 已知角α的终边经过点P(−4m,3m)(m ≠0)，则2sinα+cosα的值是( )A. 1或−1B. 25或−25C. 1或−25D. −1或258. 下列关于棱柱的说法中，错误的是( )A. 三棱柱的底面为三角形B. 一个棱柱至少有五个面C. 五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形D. 若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等9.两直线3x+y−3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为()A. 4B. 213√13 C. 526√13 D. 720√1010.已知圆C1：(x−4)2+y2=25，圆C2：(x+4)2+y2=1，动圆M与C1，C2都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A. x24−y212=1(x<0) B. x24−y212=1(x>0)C. x23−y25=1(x<0) D. x23−y25=1(x>0)11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=12，则下列结论中正确的是()A. 线段B1D1上存在点E、F使得AE//BFB. EF//平面ABCDC. △AEF的面积与△BEF的面积相等D. 三棱锥A−BEF的体积不为定值12.已知平面α与β互相垂直，α与β交于l，m和n分别是平面α，β上的直线.若m，n均与l既不平行.也不垂直，则m与n的位置关系是()A. 可能垂直，但不可能平行B. 可能平行，但不可能垂直C. 可能垂直，也可能平行D. 既不可能垂直，也不可能平行13.sin300°的值为()A. −12B. 12C. −√32D. √3214.已知向量a⃗，b⃗ 满足a⃗=(1,2)，b⃗ =(2,0)，则2a⃗+b⃗ =()A. (4,4)B. (2,4)C. (2,2)D. (3,2)15.已知直线a、b与平面α、β、γ，下列条件中能推出α//β的是()A. a⊥α且a⊥βB. α⊥γ且β⊥γC. a⊂α，b⊂β，a//bD. a⊂α，b⊂α，a//β，b//β16.若0<b<a<1，c>1，则()A. a c<b cB. ab c<ba cC. log a c>log b cD. alog a c>17.定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的实数x都有f(1−x)=f(x+1)，且f(−1)=2，f(0)=−1，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2017)+f(2018)+f(2019)的值为()A. 2018B. 1011C. 1010D. 201918.设e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 是平面内一组基底，若λ1e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ sinλ2=0⃗，λ1，λ2∈R，则以下不正确的是()A. sinλ1=0B. tanλ2=0C. λ1λ2=0D. cosλ2=119.设x0是方程lnx+x=4的解，则x0属于区间()A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)20.某学院对该院200名男女学员的家庭状况进行调查，现采用按性别分层抽样的方法抽取一个容量为30的样本，已知样本中男学员比女学员少6人，则该院女学员的人数为()A. 106B. 110C. 112D. 12021.某旅行社调查了所在城市20户家庭2019年的旅行费用，汇总得到如表格：则这20户家庭该年的旅行费用的众数和中位数分别是()A. 1.4，1.4B. 1.4，1.5C. 1.4，1.6D. 1.62，1.622.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，3c2=16S+3(b2−a2)，则tanB=()A. 23B. 32C. 43D. 3423.样本中共有五个个体，其值分别是a，1，2，3，4，若样本的平均数是2，则样本的标准差是()A. 1B. 2C. 4D. √224.设m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，下列命题正确的是()A. 若m//α，n⊂α，则m//nB. 若m//β，n//β，m⊂α，n⊂α，则α//βC. 若α⊥β，m⊥β，则m//αD. 若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=m，n⊂γ，则m⊥n25.某产品40件，其中有次品数3件，现从中任取2件，则其中至少有一件次品的概率是()A. 0.1462B. 0.1538C. 0.9962D. 0.853826.有两对双胞胎组团去旅游，四人在某景点站成一排合影留念，则至少有一对双胞胎相邻的概率为()A. 13B. 12C. 23D. 3427.从装有2个红球和2个白球的袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是()A. 至少有1个红球，都是红球B. 恰有1个红球，恰有1个白球C. 至少有1个红球，都是白球D. 恰有1个白球，恰有2个白球二、解答题（本大题共4小题，共19.0分）28.已知函数f(x)=cos(2x+π3)．(1)求函数y=f(x)的对称轴方程；(2)求函数f(x)在区间[−π12,π2]上的最大值和最小值．29.如图，四棱锥P−ABCD的底面为直角梯形，∠ADC=∠DCB=90°，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC⊥底面ABCD，E为AB的中点.求证：(1)AD//平面PCB；(2)平面PDE⊥平面PAC．30.已知直线l1：mx−2(m+1)y+2=0，l2：x−2y+3=0，l3：x−y+1=0是三条不同的直线，其中m∈R．(1)求证：直线l1恒过定点，并求出该点的坐标；(2)若以L2，L3的交点为圆心，2√3为半径的圆C与直线l1相交于A，B两点，求|AB|的最小值．31.扬州某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为60°(如图)，考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9√3平方米，且高度不低于√3米．记防洪堤横断面的腰长为x(米)，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y(米)．(1)求y关于x的函数关系式，并指出其定义域；(2)要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x应在什么范围内？(3)当防洪堤的腰长x为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即断面的外周长最小)？求此时外周长的值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合P ={x|x 2=1}={−1,1}， ∴集合P 的非空真子集的个数是22−2=2．故选：A ．求出集合P ，由此能求出集合P 的非空真子集的个数．本题考查集合的非空真子集的个数的求法，涉及到方程的性质、真子集的定义等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题．2.【答案】C【解析】解：根据题意，使f(x)=11−x +lg(1+x)有意义，应满足{1+x >01−x ≠0，解可得(−1,1)∪(1,+∞)；故选：C ．根据题意，结合分式与对数函数的定义域，可得{1+x >01−x ≠0，解可得答案．本题考查函数的定义域，首先牢记常见的基本函数的定义域，如果涉及多个基本函数，取它们的交集即可．3.【答案】D【解析】解：∵In2=a ，In3=b ，又∵log 32=ln2ln3∴log 32=ab故选：D ．由已知中In2=a ，In3=b ，用换底公式可将log 32化用自然对数表示的形式，代入In2=a ，In3=b ，即可得到答案．本题考查的知识点是换底公式的应用，在对数运算中，如果两个对数的底不一样则无法使用对数的运算性质，故换底公式是对数运算中最重要的公式之一，一定要熟练掌握．4.【答案】D此题考查了向量加减法，难度不大．利用中线所在向量结合向量加减法，不难把AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 转化为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得解．【解答】解：∵AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12×12AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14×12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =58AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +18AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故选：D ．5.【答案】C【解析】解：直线3x +√3y +1=0的斜率为：−√3，直线的倾斜角为：θ，tanθ=−√3，可得θ=120°．故选：C ．求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角．本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，考查计算能力．6.【答案】A【解析】解：y =sin(x +π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数y =sin(2x +π6)；再将图象向右平移π3个单位，得函数y =sin[2(x −π3)+π6]=sin(2x −π2)，根据对称轴处一定取得最大值或最小值可知x =−π2是其图象的一条对称轴方程．故选：A ．先对函数y =sin(x +π6)进行图象变换，再根据正弦函数对称轴的求法，即令ωx +φ=π2+kπ即可得到答案．本小题综合考查三角函数的图象变换和性质．图象变换是考生很容易搞错的问题，值得重视．一般地，y =Asin(ωx +φ)的图象有无数条对称轴，它在这些对称轴上一定取得【解析】【分析】本题考查任意角的三角函数的定义，终边相同的角，考查计算能力，属于基础题．求出OP的距离r，对m>0，m<0分类讨论，分别按照角的三角函数的定义求出sinα和cosα的值，然后再求2sinα+cosα的值，可得结果．【解答】解：r=√(−4m)2+(3m)2=5|m|，当m>0时，r=5m,sinα=3m5m =35,cosα=−4m5m=−45，2sinα+cosα=65−45=25；当m<0时，r=−5m,sinα=3m−5m =−35,cosα=−4m−5m=45，2sinα+cosα=−65+45=−25．故选：B．8.【答案】D【解析】解：n棱柱的具体特征为：底面是n边形，共3n条棱，(n+2)个面，其中n 个侧面，2个底面，侧面为平行四边形，侧棱长相等．因为三棱柱的底面为三角形，故选项A正确；因为底面最少要为三角形，故有3个侧面，2个底面，所以至少要有五个面，故选项B 正确；五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形，故选项C正确；棱柱的底面边长与侧棱长度不一定相等，故各个侧面不全等，故选项D错误．故选：D．利用棱柱的结构特征对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了棱柱结构特征的理解和应用，解题的关键是掌握棱柱所具有的结构特征，考查了空间想象能力与逻辑推理能力，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：∵直线3x+y−3=0与6x+my+1=0平行，∴63=m1≠1−3，解得m=2．即6x+2y−6=0与6x+2y+1=0．∴两条直线之间的距离为d=√62+22=√40=720√10．故选：D．根据两条直线平行的条件，建立关于m的等式解出m=2.再将两条直线化成x、y的系数相同，利用两条平行直线间的距离公式加以计算，可得答案．本题已知两条直线互相平行，求参数m的值并求两条直线的距离．着重考查了直线的位置关系、平行线之间的距离公式等知识，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：设动圆的圆心为：M(x,y)，半径为R，因为动圆M与圆C1：(x−4)2+y2=25外切，且与圆C2：(x+4)2+y2=1外切，∴|MC1|−|MC2|=5+R−1−R=4，∵|MC1|−|MC2|<|C1C2|，因此该动圆M是以原点为中心，焦点在x轴上的双曲线的左支，2a=4，c=4，解得a=2，根据椭圆中a、b、c的关系求得b2=12，∴双曲线的方程为x24−y212=1(x>0)．即动圆圆心M的轨迹方程是x24−y212=1(x>0)．故选：B．先根据圆与圆的位置关系得到|MC1|−|MC2|<|C1C2|，再结合双曲线的定义即可求得动圆圆心M的轨迹方程．本题考查圆与圆的位置关系，考查双曲线的定义的应用，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：线段B1D1上不存在点E、F使得AE//BF，因为A在平面BDD1B1平面外，E在平面内，所以AE，BF是异面直线，所以A不正确；连接BD，几何体是正方体，所以EF//BD，可知EF//平面ABCD，所以B正确．B到B1D1的距离为BB1=1，A到B1D1的距离大于上下底面中心的连线，则A到B1D1的距离大于1，∴△AEF的面积大于△BEF的面积，故C错误；A到平面BDD1B1的距离为√2，△BEF的面积为定值，2∴三棱锥A−BEF的体积为定值，故D不正确．故选：B．利用异面直线的定义说明A错误；由线面平行，说明B正确；由A到B1D1的距离大于B 到B1D1的距离，说明C错误；由A到平面BDD1B1的距离及三角形BEF的面积均为定值说明D不正确．本题考查棱柱的结构特征，考查空间中异面直线所成角及多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】D【解析】解：①假设m⊥n，因为n与l既不垂直，也不平行，所以n∩l=O，过O在β内作直线c⊥l，如图所示，因为α⊥β，所以c⊥α，又因为m⊂α，所以c⊥m，又因为m⊥n，c∩n=O，所以m⊥β，l⊂β，所以m⊥l，这与m与l既不垂直，也不平行矛盾，故假设不成立，所以m与n不垂直，同理n与m也不垂直；②假设m//n，则m//β，m⊂α，α∩β=l，所以m//l，这与m和n与l既不垂直，也不平行矛盾，故假设不成立，所以m与n不平行．综上所述，m与n的位置关系是既不可能垂直，也不可能平行．故选：D．假设m⊥n，然后利用已知条件推理，得到m⊥l，这与m与l既不垂直，也不平行矛盾，故假设不成立；假设m//n，利用线面平行的性质定理进行推导，得到m//l，这与m和n与l既不垂直，也不平行矛盾，故假设不成立，从而得到答案．本题考查空间中线、面位置关系的判断与应用，考查了反证法的应用，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题．13.【答案】C，【解析】解：sin300°=sin(360°−60°)=−sin60°=−√32故选：C．由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果．本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．14.【答案】A【解析】解：向量a⃗，b⃗ 满足a⃗=(1,2)，b⃗ =(2,0)，则：2a⃗+b⃗ =2(1,2)+(2,0)=(4,4)．故选：A．直接利用向量的坐标的加法运算求出结果．本题考查的知识要点：向量的加法运算的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．15.【答案】A【解析】解：选项A，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可知正确；选项B，α⊥γ，β⊥γ可能推出α、β相交，所以B不正确；选项C，a⊂α，b⊂β，a//b，α与β可能相交，故不正确；选项D，a⊂α，b⊂α，a//β，b//β，如果a//b可能推出α、β相交，所以D不正确；故选A．根据垂直于同一直线的两个平面平行可知选项A是否正确；平面与平面垂直的性质，判断选项B的正误，对于选项C可知两个平面可能相交，选项D，若a与b平行时，两平面相交，对选项逐一判断即可．本题考查平面与平面垂直的性质，以及直线与平面平行与垂直的性质，同时考查了推理论证的能力，属于基础题．16.【答案】B【解析】解：∵0<b<a<1，c>1，y=xα(α>0)在(0,+∞)为增函数，可得b c<a c；A错；∴a c−1>b c−1，∴ba c>ab c，故B对，∴0>log b c>log a c，故C错误，∴−log a c>−log b c>0∵a>b>0；∴−alog a c>−blog b c即alog a c<blog b c，故D错误．故选：B．分别根据幂函数指数函数对数函数的单调性，可以排除ACD，问题得以解决．本题主要考查了不等式与不等关系以及幂函数，指数函数对数函数的单调性，属于基础题．也是易错题目．17.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查函数值的计算，考查函数的奇偶性，周期性和对称性，属于中档题．根据函数的奇偶性和对称性求出函数的周期是2，结合函数周期性的性质进行转化求解即可．【解答】解：∵偶函数f(x)满足：对任意的实数x都有f(1−x)=f(x+1)，∴f(1−x)=f(x+1)=f(x−1)，即f(x+2)=f(x)，则函数f(x)是周期为2的周期函数，∵f(−1)=2，f(0)=−1∴f(1)=f(−1)=2，f(2)=f(0)=−1，则f(1)+f(2)=2−1=1，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2017)+f(2018)+f(2019)=1009[f(1)+f(2)]+f(1)=1009+2=1011，故选：B．18.【答案】D【解析】【分析】根据基底的概念以及平面向量基本定理可得λ1=0，sinλ2=0，由此可得．本题考查了平面向量基本定理，属中档题．【解答】解：∵λ1e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ sinλ2=0⃗，且e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 是平面向量的一组基底，所以e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 不共线，所以λ1=0，sinλ2=0，=0，λ1λ2=0，cosλ2=±1．∴sinλ1=0，tanλ2=sinλ2cosλ2故选：D．19.【答案】C【解析】解：设f(x)=lnx+x−4，则f(2)=ln2+2−4=ln2−2<0，f(3)=ln3+3−4=ln3−1>0，所以x0属于区间(2,3)．故选：C．可先构造出函数f(x)=lnx+x−4，带入可得f(2)<0，f(3)>0，据此解答．本小题主要考查简单的构造函数求出函数零点的方法，注意灵活运用，属于基础题．20.【答案】D【解析】【分析】本题考查分层抽样，先计算中样本中男女学生的人数是解决本题的关键，属基础题．先计算出样本中女学生人数，再根据分层抽样的性质计算出该校女生的人数．【解答】解：根据题意，设样本中女生人数为x，则(x−6)+x=30，解得x=18，所以该校女生人数是200×1830=120．故选：D．21.【答案】B【解析】解：由题意知，该组数据的众数是1.4，出现6次；中位数是12×(1.4+1.6)=1.5．故选：B．根据表中数据，结合定义写出这组数据的众数和中位数．本题考查了众数、中位数的定义与计算问题，是基础题．22.【答案】D【解析】解：由正弦的面积公式知，S=12acsinB，∵3c2=16S+3(b2−a2)，∴3(c2+a2−b2)=16×12acsinB，由余弦定理知，c2+a2−b2=2ac⋅cosB，∴3×2ac⋅cosB=8ac⋅sinB，即tanB=sinBcosB =68=34．故选：D．由正弦的面积公式知，S=12acsinB，由余弦定理知，c2+a2−b2=2ac⋅cosB，均代入题干中的等式，化简整理后可得3×2ac⋅cosB=8ac⋅sinB，所以tanB=sinBcosB =68=34．本题考查解三角形中正弦的面积公式和余弦定理的运用，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．23.【答案】D【解析】【分析】本题考查了平均数和方差、标准差的计算问题，是基础题．根据平均数求出a的值，再计算方差和标准差．【解答】解：数据a，1，2，3，4的平均数是15×(a+1+2+3+4)=2，解得a=0；所以该组数据的方差是×[(0−2)2+(1−2)2+(2−2)2+(3−2)2+(4−2)2]=2，s2=15标准差是s=√2．故选：D．24.【答案】D【解析】解：由m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面知，对于A，若m//α，n⊂α，则m与n平行或异面，故A错误；对于B，若m//β，n//β，m⊂α，n⊂α，则α与β相交或平行，故B错误；对于C，若α⊥β，m⊥β，则m//α或m⊂α，故C错误；对于D，若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=m，n⊂γ，则由面面垂直的性质得m⊥n，故D正确．故选：D．对于A，m与n平行或异面；对于B，α与β相交或平行；对于C，m//α或m⊂α；对于D，由面面垂直的性质得m⊥n．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．25.【答案】A【解析】解：某产品40件，其中有次品数3件，现从中任取2件，基本事件总数n=C402=780，其中至少有一件次品的对立事件是两件都是正品，≈0.1462．∴其中至少有一件次品的概率p=1−C372C402故选：A．基本事件总数n=C402=780，其中至少有一件次品的对立事件是两件都是正品，由此利用对立事件概率计算公式能地求出其中至少有一件次品的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．26.【答案】C【解析】解：有两对双胞胎组团去旅游，四人在某景点站成一排合影留念，基本事件总数n=A44=24，两对双胞胎都不相邻包含的基本事件个数m=A22×2A22=8，则至少有一对双胞胎相邻的概率为P=1−mn =1−824=23．故选：C．基本事件总数n=A44=24，两对双胞胎都不相邻包含的基本事件个数m=A22×2A22= 8，由此能求出至少有一对双胞胎相邻的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．27.【答案】D【解析】解：从装有2个红球和2个白球的袋内任取2个球，在A中，至少有1个红球和都是红球，这两个事件能同时发生，故A不是互斥事件；在B中，恰有1个红球，恰有1个白球，这两个事件能同时发生，故B不是互斥事件；在C中，至少有1个红球，都是白球，这两个事件不能同时发生，也不能同时不发生，故C是对立事件；在D中，恰有1个白球，恰有2个白球，这两个事件不能同时发生，能同时不发生，故D是互斥而不对立的两个事件．故选：D．在A中，至少有1个红球和都是红球，这两个事件能同时发生；在B中，恰有1个红球，恰有1个白球，这两个事件能同时发生；在C中，至少有1个红球，都是白球，这两个事件不能同时发生，也不能同时不发生；在D中，恰有1个白球，恰有2个白球，这两个事件不能同时发生，能同时不发生．本题考查互斥而不对立事件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件、对立事件的定义的合理运用．28.【答案】解：(1)函数f(x)=cos(2x+π3)．由2x+π3=kπ得x=kπ2−π6，即函数的对称轴方程为x=kπ2−π6，k∈Z，(2)当−π12≤x≤π2时，−π6≤2x≤π，π6≤2x+π3≤4π3，所以当2x+π3=π，即x =π3时，函数f(x)取得最小值，最小值为f(x)=cosπ=−1，当2x +π3=π6，即x =−π12时，函数f(x)取得最大值，最大值为f(x)=cos π6=√32．【解析】本题考查余弦型函数的性质的应用，属于基础题型． (1)直接利用余弦型函数的性质和整体思想求出函数的对称轴方程．(2)利用整体思想，进一步利用函数的定义域求出函数的值域，再求出函数的最值． 29.【答案】证明：(1)直角梯形ABCD 中，∠ADC =∠DCB =90°，可得AD//BC ，又AD ⊄平面PCB ，BC ⊂平面PCB ，所以AD//平面PCB ； (2)延长DE ，与CB 交于Q ，由AD//BC ，E 为AB 的中点，可得△DAE≌△QBE ，则QB =AD =1，在直角三角形DCQ 中，tan∠CDE =3+12=2，在直角三角形ADC 中，tan∠DCA =12，所以∠CDE +∠DCA =90°，即DE ⊥AC ，因为PC ⊥底面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，所以PC ⊥DE ，又PC ∩AC =C ，所以DE ⊥平面PAC ，因为DE ⊂平面PDE ，所以平面PDE ⊥平面PAC ．【解析】(1)推得AD//BC ，由线面平行的判定定理，即可得证；(2)推得DE ⊥AC ，再由线面垂直的性质和判定，结合面面垂直的判定定理，即可得证．本题考查线面平行和面面垂直的判定，考查转化思想和推理能力，属于中档题． 30.【答案】解(1)证明：l 1：mx −2(m +1)y +2=0，可化为m(x −2y)−(2y −2)=0，则{x −2y =02y −2=0，∴x =2，y =1， ∴直线l 1恒过定点D(2,1)；(2)解：l 2：x −2y +3=0，l 3：x −y +1=0联立可得交点坐标C(1,2)，求|AB|最小值，即求圆心到直线l 1的距离的最大值，此时CD ⊥直线l 1，∵|CD|=√(2−1)2+(1−2)2=√2， ∴|AB|的最小值为2√12−2=2√10．【解析】(1)将l 1的方程按照m 去整理，再令m 的系数为0，常数项为0，解方程组可得； (2)联立l 2，l 3的方程可得交点C 的坐标，求|AB|最小值，即求圆心到直线l 1的距离的最大值，此时CD ⊥直线l 1．本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．31.【答案】解：(1)9√3=12(AD +BC)ℎ，其中AD =BC +2⋅x2=BC +x ，ℎ=√32x ， ∴9√3=12(2BC +x)√32x ，得BC =18x−x2，由{ℎ=√32x ≥√3BC =18x−x2>0，得2≤x <6 ∴y =BC +2x =18x+3x 2,(2≤x <6)；(2)y =18x+3x 2≤10.5，得3≤x ≤4∵[3,4]⊂[2,6)∴腰长x 的范围是[3,4]． (3)y =18x+3x 2≥2√18x ⋅3x2=6√3，当并且仅当18x =3x 2，即x =2√3∈[2,6)时等号成立．∴外周长的最小值为6√3米，此时腰长为2√3米．【解析】(1)先由横断面积用x 表示BC ，从建立y 关于x 的函数关系式，定义域由线段必须大于零和高度不低于√3米求解； (2)解y ≤10.5分式不等式；(3)求函数y 的最小值，根据函数特点及条件可选用不等式解决．本题主要考查利用平面图形建立函数模型以及解模的能力，属于中档题．。

高考复习三轮冲刺2021题数学(北京卷)(理)

高考复习三轮冲刺2021题数学（北京卷）（理）高考复习三轮冲刺2021题-数学（北京卷）（理）全国2022年度高校招生统一考试数学（理）（北京卷）解析本试卷分为第一卷和第二卷。

第一卷第1至2页，第二卷第3至5页，共150分。

考试持续120分钟。

考生必须回答答题纸上的问题，试卷上的答案无效。

考试结束后，将退还试卷和答题纸。

第ⅰ卷（选择题共40分）一、本大题共有8个子题，每个子题得5分，共计40分。

从每个子主题中列出的符合主题要求的四个选项中选择一个。

（1）集合p?{x?z0?x?3},m?{x?rx2?9}，则pim=(a){1,2}(b){0,1,2}(c){x|0≤x<3}(d){x|0≤x≤3}1，b．解析：P0,1,2?，m3,3?0,1,2?，因此p?m??（2）在比例级数中？一中等，A1？1.共同比率q？1.如果我是？A1a2a3a4a5，然后M=（a）9（b）10（c）11（d）122，c.分析：am?a1a2a3a4a5?q?q?q?q?q23410?a1q10，因有m吗？十一（3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为3，c。

解析：很容易看出这是一个面向我们的左上角缺了一小块长方体的图形，不难选出答案。

（4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为8282（a）a8a9（b）a8c9（c）a8a7（d）a8c74，a．第1页，共19页解析：基本的插空法解决的排列组合问题，将所有学生先排列，有老师插入9个空中，共有A92a88种排列，然后放两个种排法，因此一共有A8a982安排。

（5）极坐标方程（?-1）（）=0（??0）表示的图形是（a）两个圆（b）两条直线（c）一个圆和一条射线（d）一条直线和一条射线5，c．分析：原始方程相当于？？1或，前者是半径为1的圆，后者是射线。

（6）若a,b是非零向量，“a⊥b”是“函数f(x)?(xa?b)?(xb?a)为一次函数”的（a）充分和不必要条件（b）必要和不充分条件（c）充分和必要条件（d）既不充分也不必要条件6，b解析：如果同时有f（x）？（xa？b）？（xb？a）？（a？b）x？（bb？a22？a）x？A.B2，比如a？b、A？B0，则函数恒为0，不是一次函数，因此不充分，而如果f(x)为一次函数，然后是a？B0，那么a？b、因此，这个条件是必要的。

北京市2021年高考数学压轴卷含解析.doc

北京市2021年高考数学压轴卷（含解析）本试卷共5页，150分，考试时长120分钟．考试务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{(1)(2)0}M x x x =-+<|，{1}N x x =-|，则M N =（）A ．(2,1)-B ．[1,1)-C ．[1,)-+∞D ．(1,1)-2．设复数z 满足(1)1i z i -=+，则z 等于（） A ．i -B ．iC ．2i -D ．2i3．在61x ⎫⎪⎭的展开式中，常数项为（）A ．15B ．30C ．20D ．404．已知两条直线m ，n 和平面α，且//n α，则“m n ⊥”是“m α⊥”的（） A ．充分必要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为(1)3y k x =++，以点(1,1)为圆心且与直线l 相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为（） A ．2B．C ．4D ．86．在ABC 中，90,4,3C AC BC =︒==，点P 是AB 的中点，则CB CP ⋅=（） A ．94B ．4C ．92D ．67．已知函数211,0,()221,0,x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪-++>⎩则不等式()20x f x ->的解集是（）A ．(1,0)(0,1)- B ．(1,1)- C ．(0,1) D ．(1,)-+∞8．将函数()sin f x x ω=（0>ω）的图象向左平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()01g =，下列说法错误．．的是（） A ．()g x 为偶函数 B ．02g π-=⎛⎫⎪⎝⎭C ．当5ω=时，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有3个零点D ．若()g x 在0,5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的最大值为9 9．数列{}n a 是等差数列，{}n b 是各项均为正数的等比数列，公比1q >，且44a b =，则（） A ．2635a a b b +>+ B ．2635a a b b +=+C ．2635a a b b +<+D ．26a a +与35b b +大小不确定10．形状､节奏､声音或轨迹，这些现象都可以分解成自复制的结构.即相同的形式会按比例逐渐缩小，并无限重复下去，也就是说，在前一个形式中重复出现被缩小的相同形式，依此类推，如图所示，将图1的正三角形的各边都三等分，以每条边中间一段为边再向外做一个正三角形，去掉中间一段得到图2，称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，称为“二次分形”；依次进行“n 次分形”，得到一个周长不小于初始三角形周长100倍的分形图，则n 最小值是（）(取lg30.4771,lg 20.3010≈≈)A ．15B ．16C ．17D ．18第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

2021-2022学年北京市昌平区中考冲刺卷数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是( )A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差2．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点M ，切点为N ，则DM 的长为（）A ．133B ．92C ．4133D ．253．五名女生的体重（单位：kg ）分别为：37、40、38、42、42，这组数据的众数和中位数分别是（） A ．2、40 B ．42、38 C ．40、42 D ．42、404．下列计算错误的是( )A ．a•a=a 2B ．2a+a=3aC ．(a 3)2=a 5D ．a 3÷a ﹣1=a 45．如图，在ABCD 中，E 为边CD 上一点，将ADE 沿AE 折叠至AD'E △处，'AD 与CE 交于点F ，若52B ∠=︒，20DAE ∠=︒，则'FED ∠的大小为（）A ．20°B ．30°C ．36°D ．40°6．关于x 的一元二次方程x 2-2x -（m -1）=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（）A ．0m >且1m ≠B ．0m >C ．0m ≥且1m ≠D ．0m ≥7．下列计算正确的是（）A 9±3B ．﹣32＝9C ．（﹣3）﹣2＝19D ．﹣3+|﹣3|＝﹣68．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．9．学校小组5名同学的身高（单位：cm）分别为：147，156，151，152，159，则这组数据的中位数是（）．A．147B．151C．152D．15610．如图，以∠AOB的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D．再分别以点C、D为圆心，大于12CD的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点E，过点E作射线OE，连接CD．则下列说法错误的是A．射线OE是∠AOB的平分线B．△COD是等腰三角形C．C、D两点关于OE所在直线对称D．O、E两点关于CD所在直线对称二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．如图,AD=DF=FB,DE∥FG∥BC,则SⅠ:SⅡ:SⅢ=________.12．如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等．若等腰直角三角形ABC的直角顶点C在l1上，另两个顶点A、B分别在l3、l2上，则tanα的值是______．13．如图，某数学兴趣小组为了测量河对岸l1的两棵古树A、B之间的距离，他们在河这边沿着与AB平行的直线l2上取C、D两点，测得∠ACB=15°，∠ACD=45°，若l1、l2之间的距离为50m，则古树A、B之间的距离为_____m．14．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC，如果DE=2AD，AE=3，那么EC=_____．15．因式分解：=______．16．如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为1 cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为_________cm1．17．如图，直线a、b相交于点O，若∠1=30°，则∠2=___三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）清朝数学家梅文鼎的《方程论》中有这样一题：山田三亩，场地六亩，共折实田四亩七分；又山田五亩，场地三亩，共折实田五亩五分，问每亩山田折实田多少，每亩场地折实田多少？译文为：若有山田3亩，场地6亩，其产粮相当于实田4.7亩；若有山田5亩，场地3亩，其产粮相当于实田5.5亩，问每亩山田和每亩场地产粮各相当于实田多少亩？19．（5分）解不等式组()22113x xxx⎧-≥-⎪⎨≤+⎪⎩，并把它的解集表示在数轴上．20．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，BD为对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，连接AF、CE，求证：AF=CE.21．（10分）如图，正方形ABCD中，BD为对角线．（1）尺规作图：作CD边的垂直平分线EF，交CD于点E，交BD于点F（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，若AB=4，求△DEF的周长．22．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥DC，垂足为点E，连接BE，点F为BE上一点，连接AF，∠AFE=∠D．（1）求证：∠BAF=∠CBE；（2）若AD=5，AB=8，sinD=45．求证：AF=BF．23．（12分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，P是边AC上一动点，BP与CD相交于点E．（1）如果BC＝6，AC＝8，且P为AC的中点，求线段BE的长；（2）联结PD，如果PD⊥AB，且CE＝2，ED＝3，求cos A的值；（3）联结PD，如果BP2＝2CD2，且CE＝2，ED＝3，求线段PD的长．24．（14分）石狮泰禾某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x元时，每天可销售______ 件，每件盈利______ 元；（用x 的代数式表示）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元．要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由．参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、D【解析】解：A．原来数据的平均数是2，添加数字2后平均数仍为2，故A与要求不符；B．原来数据的中位数是2，添加数字2后中位数仍为2，故B与要求不符；C．原来数据的众数是2，添加数字2后众数仍为2，故C与要求不符；D．原来数据的方差=222 (12)2(22)(32)4-+⨯-+-=12，添加数字2后的方差=222 (12)3(22)(32)5-+⨯-+-=25，故方差发生了变化．故选D．2、A【解析】试题解析：连接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，∵∠A=∠B=90°，CD=AB=4，∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，∴四边形AFOE，FBGO是正方形，∴AF=BF=AE=BG=2，∴DE=3，∵DM是⊙O的切线，∴DN=DE=3，MN=MG，∴CM=5-2-MN=3-MN，在R t△DMC中，DM2=CD2+CM2，∴（3+NM）2=（3-NM）2+42，∴NM=43，∴DM=3+43=133，故选B．考点：1.切线的性质；3.矩形的性质．3、D【解析】【分析】根据众数和中位数的定义分别进行求解即可得.【详解】这组数据中42出现了两次，出现次数最多，所以这组数据的众数是42，将这组数据从小到大排序为：37，38，40，42，42，所以这组数据的中位数为40，故选D.【点睛】本题考查了众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据从小到大（或从大到小）排序后，位于最中间的数（或中间两数的平均数）是这组数据的中位数.4、C【解析】解：A、a•a=a2，正确，不合题意；B、2a+a=3a，正确，不合题意；C、（a3）2=a6，故此选项错误，符合题意；D、a3÷a﹣1=a4，正确，不合题意；故选C．【点睛】本题考查幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法；负整数指数幂．5、C【解析】由平行四边形的性质得出∠D=∠B=52°，由折叠的性质得：∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，由三角形的外角性质求出∠AEF=72°，由三角形内角和定理求出∠AED′=108°，即可得出∠FED′的大小．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴D B 52∠∠==︒，由折叠的性质得：D'D 52∠∠==︒，EAD'DAE 20∠∠==︒，∴AEF D DAE 522072∠∠∠=+=︒+︒=︒，AED'180EAD'D'108∠∠∠=︒--=︒，∴FED'1087236∠=︒-︒=︒；故选C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出∠AEF 和∠AED′是解决问题的关键．6、A【解析】根据一元二次方程的系数结合根的判别式△＞1，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出实数m 的取值范围．【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣（m ﹣1）=1有两个不相等的实数根，∴△=（﹣2）2﹣4×1×[﹣（m ﹣1）]=4m ＞1，∴m ＞1．故选B ．【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞1时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．7、C【解析】分别根据二次根式的定义，乘方的意义，负指数幂的意义以及绝对值的定义解答即可．【详解】，故选项A 不合题意；﹣32＝﹣9，故选项B 不合题意；（﹣3）﹣2＝19，故选项C 符合题意；﹣3+|﹣3|＝﹣3+3＝0，故选项D不合题意．故选C．【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，乘方的定义、负指数幂的意义以及绝对值的定义，熟记定义是解答本题的关键．8、B【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故错误；B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故正确；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故错误．故选B．【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．9、C【解析】根据中位数的定义进行解答【详解】将5名同学的身高按从高到矮的顺序排列：159、156、152、151、147，因此这组数据的中位数是152.故选C.【点睛】本题主要考查中位数，解题的关键是熟练掌握中位数的定义：一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序依次排列，处在中间位置的一个数（或最中间两个数据的平均数）称为中位数.10、D【解析】试题分析：A、连接CE、DE，根据作图得到OC=OD，CE=DE．∵在△EOC与△EOD中，OC=OD，CE=DE，OE=OE，∴△EOC≌△EOD（SSS）．∴∠AOE=∠BOE，即射线OE是∠AOB的平分线，正确，不符合题意．B、根据作图得到OC=OD，∴△COD是等腰三角形，正确，不符合题意．C、根据作图得到OC=OD，又∵射线OE平分∠AOB，∴OE是CD的垂直平分线．∴C、D两点关于OE所在直线对称，正确，不符合题意．D、根据作图不能得出CD平分OE，∴CD不是OE的平分线，∴O、E两点关于CD所在直线不对称，错误，符合题意．故选D．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、1:3:5【解析】∵DE∥FG∥BC，∴△ADE∽△AFG∽△ABC，∵AD=DF=FB，∴AD:AF:AB=1:2:3，∴::ADE AFG ABCS S S=1:4:9，∴SⅠ:SⅡ:SⅢ=1:3:5.故答案为1:3:5.点睛: 本题考查了平行线的性质及相似三角形的性质．相似三角形的面积比等于相似比的平方．12、1 3【解析】如图，分别过点A，B作AE⊥1l，BF⊥1l，BD⊥3l,垂足分别为E，F，D.∵△ABC 为等腰直角三角形，∴AC=BC ，∠ACB=90°，∴∠ACE+∠BCF=90°.∵AE ⊥1l ，BF ⊥1l ∴∠CAE+∠ACE=90°，∠CBF+∠BCF=90°，∴∠CAE=∠BCF ，∠ACE=∠CBF.∵∠CAE=∠BCF ，AC=BC ，∠ACE=∠CBF ，∴△ACE ≌△CBF ，∴CE=BF ，AE=CF.设平行线间距离为d=l ，则CE=BF=BD=1，AE=CF=2，AD=EF=CE+CF=3，∴tanα=tan ∠BAD=BD AD =13. 点睛：分别过点A ，B 作AE ⊥1l ，BF ⊥1l ，BD ⊥3l ，垂足分别为E ，F ，D ，可根据ASA 证明△ACE ≌△CBF ，设平行线间距离为d=1，进而求出AD 、BD 的值；本题考查了全等三角形的判定和锐角三角函数，解题的关键是合理添加辅助线构造全等三角形；13、（50﹣5033）．【解析】过点A 作AM ⊥DC 于点M ，过点B 作BN ⊥DC 于点N ．则AM ＝BN ．通过解直角△ACM 和△BCN 分别求得CM 、CN 的长度，则易得MN ＝AB ．【详解】解：如图，过点A 作AM ⊥DC 于点M ，过点B 作BN ⊥DC 于点N ，则AB ＝MN ，AM ＝BN ．在直角△ACM ，∵∠ACM ＝45°，AM ＝50m ，∴CM ＝AM ＝50m ．∵在直角△BCN 中，∠BCN ＝∠ACB ＋∠ACD ＝60°，BN ＝50m ，∴CN ＝60BN tan 3503（m ），∴MN＝CM−CN＝50−5033（m）．则AB＝MN＝（50−5033）m．故答案是：（50−5033）．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．14、1．【解析】由BE平分∠ABC，DE∥BC，易得△BDE是等腰三角形，即可得BD=2AD，又由平行线分线段成比例定理，即可求得答案．【详解】解：∵DE∥BC，∴∠DEB=∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠ABE=∠DEB，∴BD=DE，∵DE=2AD，∴BD=2AD，∵DE∥BC，∴AD：DB=AE：EC，∴EC=2AE=2×3=1．故答案为：1．【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理以及等腰三角形的判定与性质．注意掌握线段的对应关系是解此题的关键．15、2（x+3）（x﹣3）．【解析】试题分析：先提公因式2后，再利用平方差公式分解即可，即=2（x2-9）=2（x+3）（x-3）.考点：因式分解.16、4π 【解析】根据直角三角形的性质求出OC 、BC ，根据扇形面积公式计算即可．【详解】解：∵∠BOC=60°，∠BCO=90°，∴∠OBC=30°，∴OC=12OB=1 则边BC 扫过区域的面积为：22112012012=3603604πππ⎛⎫⨯ ⎪⨯⎝⎭- 故答案为4π．【点睛】考核知识点：扇形面积计算.熟记公式是关键.17、30°【解析】因∠1和∠2是邻补角，且∠1=30°，由邻补角的定义可得∠2=180°﹣∠1=180°﹣30°=150°．解：∵∠1+∠2=180°，又∠1=30°，∴∠2=150°．三、解答题（共7小题，满分69分）18、每亩山田产粮相当于实田0.9亩，每亩场地产粮相当于实田13亩．【解析】设每亩山田产粮相当于实田x 亩，每亩场地产粮相当于实田y 亩，根据山田3亩，场地6亩，其产粮相当于实田4.7亩;又山田5亩，场地3亩，其产粮相当于实田5.5亩，列二元一次方程组求解．【详解】解：设每亩山田产粮相当于实田x 亩，每亩场地产粮相当于实田y 亩．可列方程组为36 4.7 53 5.5 x yx y+=⎧⎨+=⎩解得0.913 xy=⎧⎪⎨=⎪⎩答：每亩山田相当于实田0.9亩，每亩场地相当于实田13亩．19、不等式组的解是x≥3;图见解析【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【详解】解：()22113x xxx⎧-≥-⎪⎨≤+⎪⎩①②∵解不等式①，得x≥3，解不等式②，得x≥－1.5，∴不等式组的解是x≥3，在数轴上表示为：．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．20、见解析【解析】易证△ABE≌△CDF，得AE=CF，即可证得△AEF≌△CFE，即可得证.【详解】在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD∴∠ABE=∠CDF,又AE⊥BD，CF⊥BD∴△ABE≌△CDF(AAS)，∴AE=CF又∠AEF=∠CFE，EF=FE,∴△AEF≌△CFE（SAS）∴AF=CE.【点睛】此题主要考查平行四边形的性质与全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知平行四边形的性质定理.21、（1）见解析；（2）22+1．【解析】分析：(1)、根据中垂线的做法作出图形，得出答案；(2)、根据中垂线和正方形的性质得出DF、DE和EF的长度，从而得出答案．详解：（1）如图，EF为所作；（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BDC=15°，CD=BC=1，又∵EF垂直平分CD，∴∠DEF=90°，∠EDF=∠EFD=15°，DE=EF=12CD=2，∴22∴△DEF的周长2．点睛：本题主要考查的是中垂线的性质，属于基础题型．理解中垂线的性质是解题的关键．22、（1）见解析；（2）5【解析】（1）根据相似三角形的判定，易证△ABF∽△BEC，从而可以证明∠BAF=∠CBE成立；（2）根据锐角三角函数和三角形的相似可以求得AF的长【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，∴∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC，∵∠AFB+∠AFE=180°，∠AFE=∠D，∴∠C=∠AFB，∴△ABF∽△BEC，∴∠BAF=∠CBE；（2）∵AE ⊥DC ，AD=5，AB=8，sin ∠D=45， ∴AE=4，DE=3∴EC=5∵AE ⊥DC ，AB ∥DC ，∴∠AED=∠BAE=90°，在Rt △ABE 中，根据勾股定理得：=∵BC=AD=5，由（1）得：△ABF ∽△BEC ，∴ AF BC =AB AE =BF EC即5AF 5BF解得：【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答23、（12）3(3) 【解析】（1）由勾股定理求出BP 的长， D 是边AB 的中点，P 为AC 的中点，所以点E 是△ABC 的重心,然后求得BE 的长. （2）过点B 作BF ∥CA 交CD 的延长线于点F ,所以BD FD BF DA DC CA ==，然后可求得EF =8，所以14CP CE BF EF ==，所以13CP PA =，因为PD ⊥AB ，D 是边AB 的中点，在△ABC 中可求得cosA 的值. （3）由22BP CD CD BD AB =⋅=⋅，∠PBD=∠ABP ，证得△PBD ∽△ABP ，再证明△DPE ∽△DCP 得到2PD DE DC =⋅，PD 可求.【详解】解：（1）∵P 为AC 的中点，AC =8，∴CP =4,∵∠ACB =90°，BC =6，∴BP =∵D 是边AB 的中点，P 为AC 的中点，∴点E 是△ABC 的重心, ∴241333BE BP ==, （2）过点B 作BF ∥CA 交CD 的延长线于点F ,∴BD FD BF DA DC CA==, ∵BD=DA ， ∴FD=DC ，BF=AC ,∵CE=2，ED=3，则CD =5，∴EF =8,∴2184CP CE BF EF ===, ∴14CP CA =， ∴13CP PA =，设CP=k ，则PA=3k ， ∵PD ⊥AB ，D 是边AB 的中点，∴PA=PB=3k,∴22BC k =， ∴26AB k =，∵4AC k =， ∴6cos A =, （3）∵∠ACB =90°，D 是边AB 的中点，∴12CD BD AB ==, ∵222BP CD =，∴22BP CD CD BD AB =⋅=⋅,∵∠PBD=∠ABP ，∴△PBD ∽△ABP ,∴∠BPD=∠A ,∵∠A=∠DCA ，∴∠DPE=∠DCP ，∵∠PDE=∠CDP ，△DPE ∽△DCP ，∴2PD DE DC =⋅,∵DE=3,DC=5， ∴.【点睛】本题是一道三角形的综合性题目，熟练掌握三角形的重心，三角形相似的判定和性质以及三角函数是解题的关键.24、（1）（20+2x ），（40﹣x ）；（2）每件童装降价20元或10元，平均每天赢利1200元；（3）不可能做到平均每天盈利2000元．【解析】(1)、根据销售量=原销售量+因价格下降而增加的数量；每件利润=原售价－进价－降价，列式即可；(2)、根据总利润=单件利润×数量，列出方程即可；(3)、根据(2)中的相关关系方程，判断方程是否有实数根即可．【详解】(1)、设每件童装降价x 元时，每天可销售20+2x 件，每件盈利40-x 元，故答案为（20+2x ），（40-x ）；(2)、根据题意可得：(20+2x)(40－x)=1200，解得：121020x x ==，，即每件童装降价10元或20元时，平均每天盈利1200元；(3)、(20+2x)(40－x)=2000，230x6000x-+=，∵此方程无解，∴不可能盈利2000元．【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的实际应用问题，属于中等难度题型．解决这个问题的关键就是要根据题意列出方程．。

卷01(北京卷)-2021届高考数学冲刺模拟测试卷(解析版)

卷01（北京卷数学）-2021届高考数学冲刺模拟测试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合{}2|log 1A x x =>，{1}B x x =≥∣，则A B =（）A ．(]1,2B ．(1,)+∞C ．()1,2D ．[)1,+∞【答案】D 【分析】由对数函数性质确定集合A ，然后由并集定义计算．【详解】由题意{}2|log 1{|2}A x x x x =>=>，∴{|1}A B x x =≥．故选：D ．【点睛】本题考查集合的并集运算，考查对数函数的性质，属于基础题． 2．在复平面内，复数(1)z i i =+对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【分析】根据复数的乘法运算化简复数，得出其对应的点，进而可求出结果. 【详解】因为(1)1z i i i =+=-+，所以其在复平面内对应的点为()1,1-位于第二象限.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2【点睛】本题主要考查求复数对应的点所在的象限，考查复数的乘法运算，属于基础题型. 3．在极坐标系中，直线:cos sin 2l ρθρθ 与圆2:cos C ρθ=的位置关系为（）A ．相交且过圆心B ．相交但不过圆心C ．相切D ．相离【答案】B 【分析】首先把直线和圆的极坐标方程转化为直角坐标方程，进一步可利用点到直线的距离公式求出结果．【详解】解：直线l ：cos sin 2ρθρθ+=，转换为直角坐标方程为：20x y +-=．圆C ：ρ＝2cosθ，转换为直角坐标方程为：x 2+y 2＝2x ，整理得：（x ﹣1）2+y 2＝1，所以圆心（1，0）到直线20x y +-=的距离d12<＝r ，所以直线与圆相交．又由于直线不经过点（1,0）故：直线与圆相交但不过圆心．故选B ．【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化．点到直线的距离公式的应用，以及直线与圆的位置关系．4．已知2513a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1325b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，32log 5c =，则（） A ．a b c << B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<【分析】分别根据指数函数、对数函数的单调性分析函数值的范围即可. 【详解】函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是单调递减函数，所以25110133a ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数52xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是单调递增函数，所以110332551522b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=>⎭⎝，函数3log y x =是单调递增函数，所以332log log 105c =<=，即c a b <<. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了根据指数函数、对数函数的单调性比较大小的问题，属于基础题. 5．设向量(1,1)a =，(1,3)=-b ，(2,1)c =，且()a b c λ-⊥，则λ=（） A ．3 B ．2C ．2-D ．3-【答案】A 【分析】根据向量的坐标运算法则先计算得出a b λ-，然后根据()a b c λ-⊥，利用向量垂直的坐标运算法则求解λ的值. 【详解】因为(1,1)a =，(1,3)=-b ，所以()1,13a b λλλ-=+-，当()a b c λ-⊥时，则有()()21130λλ++-=，解得3λ=.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4【点睛】本题主要考查向量垂直的坐标运算公式，设向量11,ax y ，22,b x y ，则当a b ⊥时，12120x x y y +=.6．为了解某年级400名女生五十米短跑情况，从该年级中随机抽取8名女生进行五十跑测试，她们的测试成绩（单位：秒）的茎叶图（以整数部分为茎，小数部分为叶）如图所示.由此可估计该年级女生五十米跑成绩及格（及格成绩为9.4秒）的人数为（）A ．150B ．250C ．200D ．50【答案】B 【分析】结合古典概型公式求出成绩合格的概率，再由频数=总数⨯频率即可求解【详解】由茎叶图可知，成绩在9.4秒以内的都为合格，即合格率为58P =，故估计该年级女生五十米跑成绩及格的人数为54002508⨯=，故选：B 【点睛】本题考查概率及频数的求解，属于基础题7．下列函数中，在其定义域上是减函数的是（）A ．1y x=-B ．tan()y x =-C ．xy e -=-D ．2,02,0x x y x x -+≤⎧=⎨-->⎩【答案】D对选项逐一分析函数的定义域和单调性，由此判断出正确选项. 【详解】对于A 选项，1y x=-的定义域为{}|0x x ≠，在定义域上没有单调性，不符合题意. 对于B 选项，()tan tan y x x =-=-，定义域为|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，在定义域上没有单调性，不符合题意. 对于C 选项，1xxy ee -=-=-的定义域为R ，在R 上递增，不符合题意. 对于D 选项，2,02,0x x y x x -+≤⎧=⎨-->⎩的定义域为R ，在R 上递减，符合题意.故选：D 【点睛】本小题主要考查函数的定义域和单调性，属于基础题.8．101x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数是（）A ．210-B ．120-C ．120D ．210【答案】B 【分析】根据题意，结合二项展开式的通项公式，可得2104r -=，则r ＝7，将r ＝7代入通项公式计算可得答案．【详解】由二项展开式，知其通项为10210110101()(1)rr r r r r r T C x C xx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令2104r -=，解得7r =.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6所以4x 的系数为7710(1)120C -=-.故选B. 【点睛】本题考查指定项的系数，应该牢记二项展开式的通项公式，属于基础题．9．已知函数f （x ）＝sinωx （ω＞0），则“函数f （x ）在263，ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增”是“0＜ω≤2”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【分析】由263x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得出x ω的取值范围，由正弦型函数的单调性列出不等式组可得ω范围，即可判断出关系. 【详解】∴263x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，∴263x ππωωω≤≤，由于函数f （x ）在263，ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， ∴26222320k k ππωπππωπω⎧≥-+⎪⎪⎪≤+⎨⎪>⎪⎪⎩（k Z ∈）解得3123340k k ωππωπω≥-+⎧⎪⎪≤+⎨⎪>⎪⎩，（k Z ∈）故k 只能取0，即304ω<≤， ∴“函数f （x ）在263，ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增”是“0＜ω≤2”的充分不必要条件.故选：A. 【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法、三角函数的图象与性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.10．某企业生产,A B 两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和20万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的,A B 两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A 产品的年产量会超过B 产品的年产量（取lg 20.3010=）（）A ．2年B ．3年C ．4年D ．5年【答案】C 【分析】直接计算出若干年后,A B 产品的产量，由此确定正确选项.【详解】1年后，A 产品产量为()10150%15⨯+=万支；B 产品产量为()20120%24⨯+=万支.2年后，A 产品产量为()15150%22.5⨯+=万支；B 产品产量为()24120%28.8⨯+=万支. 3年后，A 产品产量为()22.5150%33.75⨯+=万支；B 产品产量为()28.8120%34.56⨯+=万支.4年后，A 产品产量为()33.75150%50.625⨯+=万支；B 产品产量为()34.56120%41.472⨯+=万支.所以经过4年后A 产品的年产量会超过B 产品的年产量. 故选：C 【点睛】原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8本小题主要考查指数增长模型，属于基础题.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

2021年北京市中考数学黄金冲刺试卷(含答案) (3)

北京市中考数学黄金冲刺试卷考生须知1．本试卷共6页，共五道大题，29道小题，满分120分．考试时间120分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1．3的相反数是A．31B．31-C．3 D．-32．202X年11月北京主办了第二十二届APEC（亚太经合组织）领导人会议，“亚太经合组织”联通太平洋两岸，从地理概念上逐渐变成了一个拥有28000000人口的经济合作体，把“28000000”用科学记数法表示正确的是A．82810.⨯B．92810.⨯C．82810⨯D．72810⨯3．如右图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为A B C D4．一名射击爱好者5次射击的中靶环数依次为：6，7，9，8，9，这5个数据的中位数是A．6 B．7 C．8 D．95．下列图形中，是中心对称图形的是A．B．C．D．6．在函数3y x=-中，自变量x的取值范围是A．3x>B．3x≥C．3x<D．3x≤7．一个不透明的口袋中，装有4个红球，3个黄球，1个白球，这些球除颜色外其余都相同，从口袋中随机摸一个球，则摸到红球的概率为 A ．18B ．38C ．21D ．348．如图，⊙O 的半径为5，AB 为⊙O 的弦，OC ⊥AB 于点C ．若3OC =，则弦AB 的长为 A ．4B ．6C ．8D ．109．若正多边形的一个外角为60º，则这个正多边形的中心角的度数是A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 10．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AC =6，BD =8，动点P 从点B 出发，沿着B -A -D 在菱形ABCD 的边上运动，运动到点D 停止，点'P 是点P 关于BD 的对称点，'PP 交BD 于点M ，若BM =x ，'OPP △的面积为y ，则y 与x 之间的函数图象大致为二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．分解因式：222a -= _____．12．质量检测部门对甲、乙两工厂生产的同样产品抽样调查，计算出甲厂的样本方差为0.99，乙厂的样本方差为1.22．由此可以推断出生产此类产品，质量比较稳定的是厂． 13．在综合实践课上，小明同学设计了如图测河塘宽AB 的方案：在河塘外选一点O ，连结AO ，BO ，测得18AO =m ，21BO =m ，延长AO ，BO 分别到D ，C 两点，使6OC =m ，7OD =m ，又测得5CD =m ，则河塘宽AB = m ．14．写出一个当自变量0x >时，y 随x 的增大而增大的反比例函数表达式 _____． 15．居民用电计费实行“一户一表”政策，以年为周期执行阶梯电价，即：一户居民全年不超过2880度的电量，执行第一档电价标准为0.48元/度；全年用电量在2880度到4800度之间（含4800），超过2880度的部分，执行第二档电价标准为0.53元/度；全年用电量超过4800度，超过4800度的部分，执行第三档电价标准为0.78元/度．小敏家202X 年用电量为3000度，则202X 年小敏家电费为元．BC OMOP'P DBACxyxyxyxyOOOODAB C 483333848448DCBAO16．规定：在平面直角坐标系xOy 中，“把某一图形先沿x 轴翻折，再沿y 轴翻折”为一次变化．如图，已知正方形ABCD ，顶点A (1，3)，C (3，1)．若正方形ABCD 经过一次上述变化，则点A 变化后的坐标为，如此这样，对正方形ABCD 连续做202X 次这样的变化，则点D 变化后的坐标为．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．计算：10120158+2cos 452-⎛⎫+-︒ ⎪⎝⎭．18．解不等式组：()4156,30.x x x ⎧->-⎨+>⎩19．如图，C ，D 为线段AB 上两点，且AC =BD ，AE ∥BF ．AE =BF ．求证：∠E =∠F ．20．已知3b a =-，求代数式22112aba b a ab b ⎛⎫⋅- ⎪-+⎝⎭的值． 21．已知关于x 的一元二次方程2320kx x --=有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若k 为小于2的整数，且方程的根都是整数，求k 的值． 22．列方程或方程组解应用题：在练习100米跑步时，小丽为了帮助好朋友小云提高成绩，让小云先跑7.5秒后自己再跑，结果两人同时到达终点，这次练习中小丽的平均速度是小云的1.6倍，求小云这次练习中跑100米所用的时间．四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．如图，平行四边形ABCD 中，点E 是AD 边上一点，且 CE ⊥BD 于点F ，将△DEC 沿从D 到A的方向平移，使点D 与点A 重合，点E 平移后的点记为G ．（1）画出△DEC 平移后的三角形；（2）若BC =25BD =6，CE =3，求AG 的长．FABCDEyxA BCD O1133DCE BAF24．为了提倡“绿色”出行，顺义区启动了公租自行车项目，为了解我区居民公租自行车的使用情况，某校的社团把使用情况分为A （经常租用）、B （偶尔租用）、C （不使用）三种情况．先后在202X 年1月底和3月底做了两次调查，并根据调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图：年1月底综合两次调查公租自行车使用情况扇形统计图两次调查公租自行车使用情况折线统计图年3月底CB A 56%24%根据以上信息解答下列问题：（1）在扇形统计图中，A （经常租用）所占的百分比是；（2）求两次共抽样调查了多少人；并补全折线统计图；（3）根据调查的结果，请你谈谈从202X 年1月底到202X 年3月底，我区居民使用公租自行车的变化情况．25．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 是BC 的中点，过点D 作⊙O 的切线，与AB ，AC 的延长线分别交于点E ，F ，连结AD ．（1）求证：AF ⊥EF ；（2）若1tan 2CAD ∠=，AB =5，求线段BE 的长．26．阅读、操作与探究：EA小亮发现一种方法，可以借助某些直角三角形画矩形，使矩形邻边比的最简形式（如4：6的最简形式为2：3）为两个连续自然数的比，具体操作如下：如图1，Rt △ABC 中，BC ，AC ，AB 的长分别为3，4，5，先以点B 为圆心，线段BA 的长为半径画弧，交CB 的延长线于点D ，再过D ，A 两点分别作AC ，CD 的平行线，交于点E ．得到矩形ACDE ，则矩形ACDE 的邻边比为．请仿照小亮的方法解决下列问题：（1）如图2，已知Rt △FGH 中，GH ：GF ：FH = 5：12：13，请你在图2中画一个矩形，使所画矩形邻边比的最简形式为两个连续自然数的比，并写出这个比值；（2）若已知直角三角形的三边比为()()()2221:2+2:2+21n n n n n ++（n 为正整数），则所画矩形（邻边比的最简形式为两个连续自然数的比）的邻边比为．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21212y ax x a =+-+与y 轴交于C 点，与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），且点A 的横坐标为-1．（1）求a 的值；（2）设抛物线的顶点P 关于原点的对称点为'P ，求点'P 的坐标；（3）将抛物线在A ，B 两点之间的部分（包括A ， B 两点），先向下平移3个单位，再向左平移m （0m >）个单位，平移后的图象记为图象G ，若图象G 与直线'PP 无交点，求m 的取值范围．28．如图，△ABC 中，AB =AC ，点P 是三角形右外一点，且∠APB =∠ABC ．xyO22-2-2图2图1HGFEDAB C（1）如图1，若∠BAC =60°，点P 恰巧在∠ABC 的平分线上，PA =2，求PB 的长；（2）如图2，若∠BAC =60°，探究PA ，PB ，PC 的数量关系，并证明；（3）如图3，若∠BAC =120°，请直接写出PA ，PB ，PC 的数量关系．图3图1图2ABCPABCPABC P29．已知：如图1，抛物线的顶点为M ，平行于x 轴的直线与该抛物线交于点A ，B （点A 在点B 左侧），根据对称性△AMB 恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB 为直角三角形时，就称△AMB 为该抛物线的“完美三角形”．（1）①如图2，求出抛物线2y x =的“完美三角形”斜边AB 的长；②抛物线21y x +=与2y x =的“完美三角形”的斜边长的数量关系是；（2）若抛物线24y ax +=的“完美三角形”的斜边长为4，求a 的值；（3）若抛物线225y mx x+n =+-的“完美三角形”斜边长为n ，且225y mx x+n =+-的最大值为-1，求m ，n 的值．xyxyxyy =2备用图1O图2(M )ABO 图1MBAO数学答案二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．()()211a a -+； 12．甲； 13．15； 14．2y x=-（答案不唯一）； 15．1446； 16．（-1，-3）；（-3，-3）．（第一空2分，第二空1分）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17．解：=21+-.…… 4分=3-..……………………………………… 5分18．解：解不等式①得2x <，………………………………………………………….…… 2分解不等式②得3x >-， ……………………………………………………….……..… 4分 ∴原不等式的解集为32x -<<．………………………………………………….…… 5分 19．证明：∵AC =BD ，∴AD =BC ．………………………………..…………………………………………… 1分 ∵AE ∥BF ，∴∠A =∠B ．………………………………..………………………………………… 2分又∵AE =BF ，………………………………..……………………………….……………3分 ∴△EAD ≌△FBC ，…………………………..…………………………….…….……4分 ∴∠E =∠F ．………….………………………..……………………………………… 5分 20．解：22112aba b a ab b ⎛⎫⋅- ⎪-+⎝⎭()2abb aaba b -=⋅-….………………………..……………………… 2分（两个化简各1分） 1b a=-….………………………..…………………………………………………..… 3分 ∵3b a =-，∴3b a -=-，..……………………………………………...……..… 4分∴原式1b a =-13=-．….…………………..………………………….………..…… 5分 21．解：（1）△=9+8k ………………………………………………………….…….… 1分∵方程2320kx x --=有两个不相等的实数根， ∴9+80,0.k k >⎧⎨≠⎩……………………………………………..……………..……..... 2分∴98k >-且0k ≠．………………………………………………………..………..... 3分（2）∵k 为不大于2的整数，∴1k =-，1k =，……………………………………………………..……..…….… 4分 ∴当1k =-时，方程2320x x ---=的根-1，-2都是整数；当1k =时，方程2320x x --=的根317±不是整数不符合题意；综上所述，1k =-．……………………………………………………………..…….. 5分 22．解：设小云这次练习跑100米的时间为x 秒，则小丽的时间为（x -7.5）秒．….. 1分依题意，得1001001.67.5x x ⨯=-．………………………………………………………… 2分解得20x =．……………………………………………………………………. 3分经检验：20x =是所列方程的根，且符合实际意义．………………………. 4分答：小云这次练习跑100米的时间为20秒．…………………………………….……… 5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23．解：（1）……………………………………… 2分（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD =BC ，由平移可知点C 平移到点B ，且△DEC ≌△AGB ，………………………….….… 3分 ∴BG =CE ，BG ∥CE ． ∵CE ⊥BD ，CE =3， ∴BG =3，∠GBD =90°．在Rt △GBD 中，BD =6，∴DG =35，………………………………….…………………….……….…..…… 4分又∵BC =25 ∴AD =5∴AG 5………………………………………………………….…………….…. 5分GF AB E CD24．解：（1）20%； ………..……… 1分（2）()24+3256%=100÷（人）………..……… 4分（计算2分，补图1分）（3）经常使用公租自行车的人数明显增多，二从不使用的人数明显减少，说明大家越来越认识公租自行车的好处．………..…………………………………………………………… 5分 25．（1）证明：连结OD ．∵直线EF 与⊙O 相切于点D ， ∴OD ⊥EF ．∵OA = OD ，∴∠1=∠3．………………………….. 1分 ∵点D 为BC 的中点， ∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴OD ∥AF ，∴AF ⊥EF ． ………………..………… 2分（2）解：连结BD ． ∵1tan 2CAD ∠=， ∴1tan 12∠=，……………….………………..…… 3分在Rt △ADB 中，AB =5， ∴BD 5AD =25在Rt △AFD 中，可得DF =2，AF =4，∵OD ∥AF ，∴△EDO ∽△EFA ，….……………… 4分 ∴OD OEAF AE=，又∵OD =2.5，设BE=x ，∴2.5 2.545xx +=+， ∴53x =，即BE =53．…………………….….……. 5分321OCBADFEEF DABCO123两次调查公租自行车使用情况折线统计图2015年3月底2015年1月底26．解：1：2；…………………………………………………………………...……… 1分（1）………….……… 2分2：3；…………………………………………………………………...……… 3分（2）()1n n +：…………….……………………………………………………… 5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 27．解：（1）∵A （-1，0）在抛物线21212y ax x a =+-+上， ∴12102a x a --+=，…….…………………………………………………...… 1分 ∴解得2a =-，…………….……………………………………………………… 2分（2）∴抛物线表达式为223y x x =-++．∴抛物线223y x x =-++的顶点P 的坐标为（1，4）．…………….….……… 3分（会配方，套公式给1分）∵点P 关于原点的对称点为'P ，∴'P 的坐标为（-1，-4）．………………………………………………….……… 4分（3）直线'PP 的表达式为4y x =，…………….……………….… 5分图象向下平移3个单位后，'A 的坐标为（-1，-3），'B 的坐标为（3，-3），若图象G 与直线'PP 无交点，则'B 要左移到M 及左边，令3y =-代入'PP ，则34x =-，M 的坐标为3,34⎛⎫-- ⎪⎝⎭，……… 6分 ∴315344B'M=⎛⎫--= ⎪⎝⎭，∴154m >． ……………………………………………..…………… 7分NMFGH 图2xy MA'B'OP C B A P'28．解：（1）∵AB =AC ，∠BAC =60°，∴△ABC 是等边三角形，∠APB =∠ABC ，∴∠APB =60°，………………..…………………………………………..…...……… 1分又∵点P 恰巧在∠ABC 的平分线上， ∴∠ABP =30° ∴∠PAB =90°． ∴BP =2AP ， ∵AP =2，∴BP =4．………………..………………………………..…………………….….… 2分（2）结论：PA +PC =PB ．证明：在BP 上截取PD ，使PD =PA ，连结AD ．…………………….…….…… 3分 ∵∠APB =60°，∴△ADP 是等边三角形， ∴∠DAP =60°， ∴∠1=∠2，PA =PD ，又∵AB =AC ，∴△ABD ≌△ACP ，…………………………………………….………….………4分 ∴PC =BD ，∴PA +PC =PB ．………………..……………………..…………………….……… 5分（33+PC =PB ．………………..…..…….…………………...……… 7分12DABPC12FD ABCP29．解：（1）①过点B 作BN ⊥x 轴于N ，由题意可知△AMB 为等腰直角三角形，AB ∥x 轴，易证MN =BN ，设B 点坐标为（n ，-n ），代入抛物线2y x =，得2n n =，∴1n =，0n =（舍去），∴抛物线2y x =的“完美三角形”的斜边2AB =．…..②相等；…..…………….……………………………………………..…… 2分（2）∵抛物线2y ax =与抛物线24y ax =+的形状相同， ∴抛物线2y ax =与抛物线24y ax =+的“完美三角形”全等，∵抛物线24y ax +=的“完美三角形”斜边的长为4，………………………..….… 3分 ∴抛物线2y ax =的“完美三角形”斜边的长为4， ∴B 点坐标为（2，2）或（2，-2）， ∴12a=±．…..………………………………………………….… 4分（一个答案1分）（3）∵225y mx x+n =+-的最大值为-1，∴()45414m n m--=-，…………………………………………………………………………….… 5分∴410mn m --=，∵抛物线225y mx x+n =+-的“完美三角形”斜边长为n ， ∴抛物线2y mx =的“完美三角形”斜边长为n ， ∴B 点坐标为,22n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴代入抛物线2y mx =，得222n n m ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭， ∴2mn =-（不合题意舍去），………………………………………….………………………. 6分 ∴34m =-，∴83n =．…..……………………………………………………………..….….…… 8分xyy =2图2(M )ABO。

卷05(北京卷)-2021届高考数学冲刺模拟测试卷(原卷版)

卷05（北京卷数学）-2021届高考数学冲刺模拟测试卷第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．若集合{}{}201,20A x x B x x x =<<=-<，则下列结论中正确的是（） A ．A B ⋂=∅ B ．A B R ⋃= C ．A B ⊆ D ．B A ⊆ 2．若复数cos isin z θθ=+,当4π3θ=时,则复数z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱为（）A ．4B ．22C 7D ．24．已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差0d ≠，则“139,,a a a 成等比数列” 是“1a d =”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知函数2,(),x x a f x x x a ⎧≥=⎨-<⎩若函数()f x 存在零点，则实数a 的取值范围是（） A ．(),0-∞ B ．()0,∞+ C ．(),1-∞ D ．()1,+∞6．已知函数f （x ）=21111log x x x x ≥⎧⎪⎨⎪-⎩，，＜，则不等式f （x ）≤1的解集为（） A ．(],2-∞ B ．(],0(1-∞⋃，2] C ．[]0,2 D ．][(,01,2⎤-∞⋃⎦ 7．若椭圆2212516x y +=和双曲线22-145x y =的共同焦点为1F ，2F ，P 是两曲线的一个交点，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 则12PF PF ⋅的值为 ( )A ．212B ．84C ．3D ．218．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为ABCD9．在高山滑雪运动的曲道赛项目中，运动员从高处（起点）向下滑，在滑行中运动员要穿过多个高约0.75米，宽4至6米的旗门，规定：运动员不经过任何一个旗门，都会被判一次“失格”，滑行时间会被增加，而所用时间越少，则排名越高.已知在参加比赛的运动员中，有五位运动员在滑行过程中都有三次“失格”，其中（1）甲在滑行过程中依次没有经过A ，B ，C 三个旗门；（2）乙在滑行过程中依次没有经过D ，E ，F 三个旗门；（3）丙在滑行过程中依次没有经过G ，A ，C 三个旗门；（4）丁在滑行过程中依次没有经过B ，D ，H 三个旗门；（5）戊在滑行过程中依次没有经过B ，C ，E 三个旗门.根据以上信息，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 这8个旗门从上至下的排列顺序共有（）种可能.A ．6B ．7C ．8D ．1210．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求职”中提出了已知三角形三边,,a b c 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完成等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即222222142c a b S c a ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，现在有周长为1027+的ABC 满足sin :sin :sin 2:3:7A B C =，则用以上给出的公式求得ABC 的面积为（） A ．63 B ．47 C ．87 D ．12第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

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试上涂三题卷准或道确书、作、答大填写图题题写在题卡，２８姓答用和道小题。

满分１００名、准考证号、考场题卡上，在试卷上作２Ｂ铅笔作答，其他草稿纸一并交回。

分号答试。

和无题考座效用试位。

黑时号色间。

字１２０迹签分字钟笔。

作答。

（点Ｐ）从Ａ点出发沿ＡＢ边运动，当运动到点Ｂ时停止运动，观察员选择了一个固定的位置记录遥控车的运动情况．设ＡＰ＝ｘ，观察员与遥控车之间的距离为ｙ，若表示ｙ与ｘ的函数关系的图象大致如图 ② 所示，则观察员所处的位置可能是图 ①的
（）
Ａ．Ｂ点Ｂ．Ｃ点Ｃ．Ｄ点Ｄ．Ｅ点８．如图是故宫博物院周围的部分博物馆分布示意图，分别以正东、正北方向为ｘ轴、ｙ轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：
第１－８题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．１．如图，以矩形ＡＢＣＤ的边ＡＢ所在直线为轴将其旋转一周，所形成的几何体是（）
①当表示中国国家博物馆的点的坐标为（－３，－２），表示中国妇女儿童博物馆的点的坐标为（３，－０．５）时，表示故宫博物院的点的坐标为（－４，２）； ②当表示史家胡同博物馆的点的坐标为（５，４），表示故宫博物院的点的坐标为（－８，４）时，表示中国国家博物馆的点的坐标为（－５，－３）； ③当表示北京警察博物馆的点的坐标为（－１．５，－２），表示中国妇女儿童博物馆的点的坐标为（３．５，０．５）时，表示中国海关博物馆的
点的坐标为（５．５，－０．５）； ④当表示中国国家博物馆的点的坐标为（－５，－２），表示中国钱币博物馆的点
２．２０１８年９月２８日起港珠澳桥进行三地联合试运，桥隧全长５５０００米，则５５０００用科学记数法表示应为
（
）Ａ．５５ × １０３Ｂ．５．５ × １０４Ｃ．０．５５ × １０５Ｄ．５．５ × １０３３．实数ａ，ｂ，ｃ在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是
（）
第３题图Ａ．｜ａ｜＞ｃ
Ｂ．ａ＋ｃ＞０Ｃ．ａｂ＜０Ｄ．ａ＞－２４．若正多边形的一个内角是它相邻外角的５倍，则该正多边形的边数为（）Ａ．１２Ｂ．１０Ｃ．８Ｄ．６
５．下面四个高校校徽主题图案中，既不是中心对称图形，也不是轴对称图形的是（）第７题图第８题图。