六种圆周运动模型
竖直平面内的圆周运动专题
恰好通过B、C两点后的瞬间, 对轨道的压力.
A B
D C
二、复合场中竖直平面内的圆周运动
（以绳与小球的连接为例）
g l
E
F
qE
q
qE
mg mg mg
三、小结
一、几种常见物理模型 二、复合场中竖直平面内的圆周运动
汇报结束
谢谢大家! 请各位批评指正
A
O
一、几种常见物理模型
F mg R
光滑圆管内
（与轻杆相似）
ห้องสมุดไป่ตู้gR
mg R
光滑圆轨内侧
（与轻绳相似）
例3：如图所示, 光滑的水平轨道与竖直放置的光滑半圆形轨道顺 接, 圆半径为R . 一小球由D点出发向A运动, 通过B点时加速 度大小为2 g , 试求:小球通过B点时对轨道的压力.
B
O D
A
一、几种常见物理模型
R F mg
光滑下凹轨道
gR
mg R
光滑上凸轨道
例4：光滑的水平轨道和半径为R的竖直圆形轨道顺接, 弧顶 到水平面的高度为h , 且R > h , 如图所示, 一个质量为m 的小球以水平速度v0开始运动, 欲使小球能沿轨道运动 到达轨道右侧, 小球的初速度v0应满足什么条件?
v0
例4：如图所示, AB、CD为四分之一圆弧轨道, B、C切线水平,
竖直平面内的圆周运动专题
一、几种常见物理模型
V=0 F
mg
V= gl
mg
轻杆与球连结
轻绳与球连结
例1：绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的 质量m，绳长l=60cm，求： (1)最高点水不流出的最小速率？ (2)水在最高点速率v=3m/s时，水对桶底的压力？
六种圆周运动模型 ppt课件
F合
mg
tan
F心
F心
mv2 r
mw2r
解得：
v gr
tan
w g
tan r
规律：稳定状态下，小球所处的位置越高，半径r越
大，角速度越小，线速度越大，而小球受到的支持
力和向心力并不随位置六的种圆变周运化动而模型变化。
4
三、火车转弯模型：
六种圆周运动模型
5
四、汽车过桥模型：
F向
ma
ห้องสมุดไป่ตู้
mv2 R
F向
ma
mv2 R
FN
G mv2 R
六种圆周运动模型
6
五、轻绳模型
1、安全通过最高点的临界条件:
v临 = gR
2、对最高点分析：
v＞
gR
：绳子或外轨道对物体的弹力:
v2 F m G
R
方向竖直向下
v = g R :绳子或外轨道对物体的弹力:F=0
v＜ gR:物体不能过最高点！！！
v = g R 是物体所六种受圆周弹运力动模方型 向变化的临界速度。 7
六种圆周运动模型分析
六种圆周运动模型
1
一、圆盘模型：
F合f F心mr2vm2w r
当f最大值时： f mg 线速度有最大值：v gr
g
角速度有最大值：w r
六种圆周运动模型
2
二、圆锥摆模型： 由拉力F和重力G的合力提供向心力
六种圆周运动模型
3
倒置圆锥摆模型:
1.如果内壁光滑，由重力和支持力的合力提供向心力
圆周运动的三种模型
圆周运动的三种模型一、圆锥摆模型：如图所示：摆球的质量为m，摆线长度为L ，摆动后摆球做圆周运动，摆线与竖直方向成θ角，对小球受力分析，正交分法解得：竖直方向：水平方向：F X=最终得F合=。
用力的合成法得F合=。
半径r=，圆周运动F向==，由F合=F向可得V=，ω=圆锥摆是物理学中一个基本模型，许多现象都含有这个模型。
分析方法同样适用自行车，摩托车，火车转弯，飞机在水平面内做匀速圆周飞行等在水平面内的匀速圆周运动的问题。
共同点是由重力和弹力的合力提供向心力，向心力方向水平。
1、小球在半径为R 的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图中θ（小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度V ，周期T 的关系。
（小球的半径远小于R）2、如图所示，用一根长为l＝1m的细线，一端系一质量为m＝1kg的小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为T。
求（取g＝10m/s2，结果可用根式表示）：（1）若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？（2）若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω＇为多大？二．轻绳模型（一）轻绳模型的特点：1. 轻绳的质量和重力不计；2. 只能产生和承受沿绳方向的拉力；（二）轻绳模型在圆周运动中的应用小球在绳的拉力作用下在竖直平面内做圆周运动的临界问题：1. 临界条件：小球通过最高点，绳子对小球刚好没有力的作用，由重力提供向心力： = ，v 临界 =2. 小球能通过最高点的条件： v v 临界（此时，绳子对球产生 力）3. 不能通过最高点的条件： v v 临界 （实际上小球还没有到最高点时，就脱离了轨道）练习：质量为m 的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度为v ，当小球以2v 的速度经过最高点时，对轨道的压力是（ ）A . 0 B. mg C .3mg D 5mg三．轻杆模型：(一)轻杆模型的特点：1.轻杆的质量和重力不计；2.能产生和承受各方向的拉力和压力(二)轻杆模型在圆周运动中的应用轻杆的一端连着一个小球在竖直平面内做圆周运动，小球通过最高点时，轻杆对小球产生弹力的情况：1. 小球能通过最高点的最小速度v= ，此时轻杆对小球的作用力N= （ N 为 力）2. 当 =R v m 2临界（ 轻杆对小球的作用力N= 0 ），gR v 临界3 当 （即0<v< v 临界）时，有 =Rv m 2（ 轻杆对小球的作用力N 为 力） 4 当（即v>v 临界）时，有 =R v m 2（轻杆对小球的作用力N 为 力） 练习：半径为R=0.5m 的管状轨道，有一质量为m=3kg 的小球在管状轨道内部做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2m/s ，g=10m/s2 ，则（ ）A. 外轨道受到24N 的压力B. 外轨道受到6N 的压力C. 内轨道受到24N 的压力D. 内轨道受到 6N 的压力一．轻绳模型（一）轻绳模型的特点：1. 轻绳的质量和重力不计；2. 只能产生和承受沿绳方向的拉力；（二）轻绳模型在圆周运动中的应用小球在绳的拉力作用下在竖直平面内做圆周运动的临界问题：1. 临界条件：小球通过最高点，绳子对小球刚好没有力的作用，由重力提供向心力：2. 小球能通过最高点的条件：（当时，绳子对球产生拉力）3. 不能通过最高点的条件：（实际上小球还没有到最高点时，就脱离了轨道）例：质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度为v ，当小球以2v的速度经过最高点时，对轨道的压力是（）A . 0 B. mg C .3mg D 5mg分析：内侧轨道只能对小球产生向下的压力，其作用效果同轻绳一样，所以其本质是轻绳模型当小球经过最高点的临界速度为v ，则当小球以2v的速度经过最高点时，轨道对小球产生了一个向下的压力N ，则因为所以根据牛顿第三定律，小球对轨道压力的大小也是，故选c.1.轻杆的质量和重力不计；2.能产生和承受各方向的拉力和压力(二)轻杆模型在圆周运动中的应用轻杆的一端连着一个小球在竖直平面内做圆周运动，小球通过最高点时，轻杆对小球产生弹力的情况：1. 小球能通过最高点的临界条件：v=0 ，N=mg （N为支持力）2. 当时，有（N为支持力）3 当时，有（N=0 ）4 当时，有（N 为拉力）例：半径为R=0.5m 的管状轨道，有一质量为m=3kg的小球在管状轨道内部做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2m/s ，g=10m/s2 ，则（）A. 外轨道受到24N的压力B. 外轨道受到6N的压力C. 内轨道受到24N 的压力D. 内轨道受到6N的压力分析：管状轨道对小球既有支持力又有压力，所以其本质属于杆模型：当小球到最高点轨道对其作用力为零时：有则， =>2m/s所以，内轨道对小球有向上的支持力，则有代入数值得：N=6N根据牛顿第三定律，小球对内轨道有向下的压力大小也为6N ，故选D三．圆锥摆模型：圆锥摆模型在圆周运动中的应用：如图所示：摆球的质量为m，摆线长度为L ，摆动后摆线与竖直方向成θ角，则分析：摆球在水平面上做匀速圆周运动，加速度必定指向圆心，依据牛顿第二定律，对摆球受力分析，得：圆锥摆是物理学中一个基本模型，许多现象都含有这个模型。
专题09 圆周运动七大常考模型(解析版)
2020年高考物理一轮复习热点题型归纳与变式演练专题09 圆周运动七大常考模型【专题导航】目录题型一水平面内圆盘模型的临界问题 (1)热点题型二竖直面内圆周运动的临界极值问题 (3)球—绳模型或单轨道模型 (4)球—杆模型或双轨道模型 (6)热点题型三斜面上圆周运动的临界问题 (8)热点题型四圆周运动的动力学问题 (9)圆锥摆模型 (9)车辆转弯模型 (11)【题型演练】 (13)【题型归纳】题型一水平面内圆盘模型的临界问题1．与摩擦力有关的临界极值问题物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力．(1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力F m＝mv2r，静摩擦力的方向一定指向圆心．(2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心．2．与弹力有关的临界极值问题(1)压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零．(2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力．【例1】(多选)如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是()A．当ω>2Kg3L时，A、B相对于转盘会滑动B．当ω>Kg2L，绳子一定有弹力C．ω在Kg2L<ω<2Kg3L范围内增大时，B所受摩擦力变大D．ω在0<ω<2Kg3L范围内增大时，A所受摩擦力一直变大【答案】ABD【解析】当A、B所受摩擦力均达到最大值时，A、B相对转盘即将滑动，Kmg＋Kmg＝mω2L＋mω2·2L，解得：ω＝2Kg3L，A项正确；当B所受静摩擦力达到最大值后，绳子开始有弹力，即：Kmg＝m·2L·ω2，解得ω＝Kg2L，可知当ω>Kg2L时，绳子有弹力，B项正确；当ω>Kg2L时，B已达到最大静摩擦力，则ω在Kg2L<ω<2Kg3L范围内增大时，B受到的摩擦力不变，C项错误；ω在0<ω<2Kg3L范围内，A相对转盘是静止的，A所受摩擦力为静摩擦力，所以F f－F T＝mLω2，当ω增大时，静摩擦力也增大，D项正确．【变式1】(多选)(2019·重庆市江津中学月考)摩擦传动是传动装置中的一个重要模型，如图所示的两个水平放置的轮盘靠摩擦力传动，其中O、O′分别为两轮盘的轴心，已知两个轮盘的半径比r甲∶r乙＝3∶1，且在正常工作时两轮盘不打滑．今在两轮盘上分别放置两个同种材料制成的完全相同的滑块A、B，两滑块与轮盘间的动摩擦因数相同，两滑块距离轴心O、O′的间距R A＝2R B.若轮盘乙由静止开始缓慢地转动起来，且转速逐渐增加，则下列叙述正确的是()A．滑块A和B在与轮盘相对静止时，角速度之比为ω甲∶ω乙＝1∶3B．滑块A和B在与轮盘相对静止时，向心加速度的比值为a A∶a B＝2∶9C．转速增加后滑块B先发生滑动D．转速增加后两滑块一起发生滑动【答案】ABC【解析】由题意可知两轮盘边缘的线速度v大小相等，由v＝ωr，r甲∶r乙＝3∶1，可得ω甲∶ω乙＝1∶3，所以滑块相对轮盘滑动前，A、B的角速度之比为1∶3，故A正确；滑块相对盘开始滑动前，根据加速度公式：a ＝Rω2，又R A∶R B＝2∶1，ωA：ωB＝1∶3，所以A、B的向心加速度之比为a A∶a B＝2∶9，故B正确；滑块的最大静摩擦力分别为F f A＝μm A g，F f B＝μm B g，则最大静摩擦力之比为F f A∶F f B＝m A∶m B；转动中所受的静摩擦力之比为F f A′∶F f B′＝m A a A∶m B a B＝m A∶4.5m B，由上可得滑块B先达到最大静摩擦力而先开始滑动，故C正确，D错误．【变式2】(多选)(2019·广东省惠州市第二次调研)如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细绳相连的质量均为m的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为R A＝r，R B＝2r，与盘间的动摩擦因数μ相同，当圆盘转速缓慢加快到两物体刚好要发生滑动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是()A．此时绳子张力为3μmg B．此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆内C．此时圆盘的角速度为2μgr D．此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动【答案】AC【解析】两物体A和B随着圆盘转动时，合外力提供向心力，则F＝mω2r，B的半径比A的半径大，所以B所需向心力大，细绳拉力相等，所以当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，B的静摩擦力方向指向圆心，A的最大静摩擦力方向指向圆外，有相对圆盘沿半径指向圆内的运动趋势，根据牛顿第二定律得：F T－μmg＝mω2r，F T＋μmg＝mω2·2r，解得：F T＝3μmg，ω＝2μgr，故A、C正确，B错误．烧断细绳瞬间A物体所需的向心力为2μmg，此时烧断细绳，A的最大静摩擦力不足以提供向心力，则A做离心运动，故D错误．热点题型二竖直面内圆周运动的临界极值问题1．竖直面内圆周运动两类模型一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等)，称为“轻绳模型”，二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“轻杆模型”．2．竖直平面内圆周运动的两种模型特点及求解方法球—绳模型或单轨道模型【例2】(多选)(2019·哈尔滨三中期中)如图所示，长为L的细绳一端拴一质量为m小球，另一端固定在O 点，绳的最大承受能力为11mg，在O点正下方O′点有一小钉，先把绳拉至水平再释放小球，为使绳不被拉断且小球能以O′为轴完成竖直面完整的圆周运动，则钉的位置到O点的距离为()A．最小为25L B．最小为35L C．最大为45L D．最大为910L【答案】BC【解析】当小球恰好到达圆周运动的最高点时小球的转动半径为r，重力提供向心力，则有mg＝mv2r，根据机械能守恒定律可知，mg(L－2r)＝12mv2，联立解得：r＝25L，故钉的位置到O点的距离为L－25L＝35L；当小球转动时，恰好达到绳子的最大拉力时，即F＝11mg，此时一定处在最低点，设半径为R，则有：11mg－mg ＝m v 20R ，根据机械能守恒定律可知，mgL ＝12mv 20，联立解得：R ＝15L ，故此时离最高点距离为45L ，则可知，距离最小为35L ，距离最大为45L ，故B 、C 正确，A 、D 错误．【变式1】(2019·福州质检)如图所示，长均为L 的两根轻绳，一端共同系住质量为m 的小球，另一端分别固定在等高的A 、B 两点，A 、B 两点间的距离也为L .重力加速度大小为g .现使小球在竖直平面内以AB 为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为v 时，两根轻绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点速率为2v 时，每根轻绳的拉力大小为( )A ．3mgB ．433mg C ．3mg D ．23mg【答案】A【解析】小球在运动过程中，A 、B 两点与小球所在位置构成等边三角形，由此可知，小球圆周运动的半径R ＝L ·sin 60°＝32L ，两绳与小球运动半径方向间的夹角为30°，由题意，小球在最高点的速率为v 时，mg ＝m v 2R ，当小球在最高点的速率为2v 时，应有：F ＋mg ＝m （2v ）2R ，可解得：F ＝3mg .由2F T cos 30°＝F ，可得两绳的拉力大小均为F T ＝3mg ，A 项正确．【变式2】(2018·甘肃省兰州一中模拟)如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m 的小球，在竖直平面内做圆周运动(不计一切阻力)，小球运动到最高点时绳对小球的拉力为F T ，小球在最高点的速度大小为v ，其F T －v 2图象如图乙所示，则( )A ．轻质绳长为mb aB ．当地的重力加速度为a mC ．当v 2＝c 时，轻质绳最高点拉力大小为acb ＋a D ．若v 2＝b ，小球运动到最低点时绳的拉力为6a【答案】 ABD【解析】 在最高点，F T ＋mg ＝m v 2L ，解得：F T ＝m v 2L －mg ，可知纵截距的绝对值为a ＝mg ，g ＝am，图线的斜率k ＝a b ＝m L ，解得绳子的长度L ＝mb a ，故A 、B 正确；当v 2＝c 时，轻质绳的拉力大小为：F T ＝m cL －mg＝ac b －a ，故C 错误；当v 2＝b 时拉力为零，到最低点时根据动能定理得：2mgL ＝12mv 22－12mv 2，根据牛顿第二定律：F T ′－mg ＝m v 22L，联立以上可得拉力为：F T ′＝6mg ＝6a ，故D 正确．【变式2】如图所示，半径为R 的光滑半圆轨道竖直放置，一小球以某一速度进入半圆轨道，通过最高点P 时，对轨道的压力为其重力的一半，不计空气阻力，则小球落地点到P 点的水平距离为( )A.2RB.3RC.5RD.6R【答案】D【解析】小球从P 点飞出后，做平抛运动，设做平抛运动的时间为t ，则2R ＝12gt 2，解得t ＝2Rg，在最高点P 时，有mg ＋12mg ＝m v 2R ，解得v ＝3gR2，因此小球落地点到P 点的水平距离为x ＝vt ＝6R ，选项D 正确．球—杆模型或双轨道模型【例3】(2019·烟台模拟)一轻杆一端固定质量为m 的小球，以另一端O 为圆心，使小球在竖直面内做半径 为R 的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是( )A ．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零B ．小球过最高点的最小速度是gRC ．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大D ．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小 【答案】A【解析】轻杆可对小球产生向上的支持力，小球经过最高点的速度可以为零，当小球过最高点的速度v ＝gR 时，杆所受的弹力等于零，A 正确，B 错误；若v ＜gR ，则杆在最高点对小球的弹力竖直向上，mg －F ＝m v 2R ，随v 增大，F 减小，若v ＞gR ，则杆在最高点对小球的弹力竖直向下，mg ＋F ＝m v 2R ，随v 增大，F 增大，故C 、D 均错误．【变式1】(2019·山东省济南一中期中)一轻杆一端固定质量为m 的小球，以另一端O 为圆心，使小球在竖直面内做半径为R 的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是( )A ．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零B ．小球过最高点的最小速度是gRC ．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大D ．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小 【答案】 A【解析】 当小球到达最高点弹力为零时，有mg ＝m v 2R ，解得v ＝gR ，即当速度v ＝gR 时，轻杆所受的弹力为零，所以A 正确．小球通过最高点的最小速度为零，所以B 错误．小球在最高点，若v <gR ，则有：mg －F ＝m v 2R ，轻杆的作用力随着速度的增大先减小后反向增大，若v >gR ，则有：mg ＋F ＝m v 2R ，轻杆的作用力随着速度增大而增大，所以C 、D 错误．【变式2】如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从B 点脱离后做平抛运动，经过0.3 s 后又恰好与倾角为45°的斜面垂直相碰．已知半圆形管道的半径为R ＝1 m ，小球可看做质点且其质量为m ＝1 kg ，g 取10 m/s 2.则( )A ．小球在斜面上的相碰点C 与B 点的水平距离是0.9 m B ．小球在斜面上的相碰点C 与B 点的水平距离是1.9 m C ．小球经过管道的B 点时，受到管道的作用力F N B 的大小是1 ND ．小球经过管道的B 点时，受到管道的作用力F N B 的大小是2 N 【答案】AC.【解析】根据平抛运动的规律，小球在C 点的竖直分速度v y ＝gt ＝3 m/s ，水平分速度v x ＝v y tan 45°＝3 m/s ，则B 点与C 点的水平距离为x ＝v x t ＝0.9 m ，选项A 正确，B 错误；在B 点设管道对小球的作用力方向向下，根据牛顿第二定律，有F N B ＋mg ＝m v 2BR ，v B ＝v x ＝3 m/s ，解得F N B ＝－1 N ，负号表示管道对小球的作用力方向向上，选项C 正确，D 错误．热点题型三 斜面上圆周运动的临界问题在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制、轻绳控制、轻杆控制，物体的受力情况和所遵循的规律也不相同．【例4】(2019·江西吉安一中段考)如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m 处有一小物体与圆盘始终保持相对静止，物体与盘面间的动摩擦因数为32(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g 取10 m/s 2，则ω的最大值是( )A. 5 rad/sB. 3 rad/s C ．1.0 rad/s D ．0.5 rad/s 【答案】C【解析】 当物体转到圆盘的最低点，所受的静摩擦力沿斜面向上达到最大时，角速度最大，由牛顿第二定律得：μmg cos 30°－mg sin 30°＝mω2rω＝g （μcos 30°－sin 30°）r＝10×（32×32－12）2.5rad/s ＝1.0 rad/s ，故选项C 正确．【变式】．(2019·沈阳东北育才中学模拟)如图所示，在倾角θ＝30°的光滑斜面上，长为L 的细线一端固定， 另一端连接质量为m 的小球，小球在斜面上做圆周运动，A 、B 分别是圆弧的最高点和最低点，若小球在A 、 B 点做圆周运动的最小速度分别为v A 、v B ，重力加速度为g ，则 ( )A ．v A ＝0B ．v A ＝gLC ．v B ＝1210gL D ．v B ＝3gL【答案】C【解析】在A 点，对小球，临界情况是绳子的拉力为零，小球靠重力沿斜面方向的分力提供向心力，根据牛顿第二定律得：mg sin θ＝m v 2AL，解得A 点的最小速度为：v A ＝12gL ，对AB 段过程研究，根据机械能守恒得：12mv 2A ＋mg ·2L sin 30°＝12mv 2B ，解得B 点的最小速度为：v B ＝5gL 2＝1210gL ，故C 正确，A 、B 、D 错误．热点题型四 圆周运动的动力学问题 1．向心力的来源向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力． 2．运动模型 圆锥摆模型1．结构特点：一根质量和伸长可以不计的轻细线，上端固定，下端系一个可以视为质点的摆球在水平面内做匀速圆周运动，细绳所掠过的路径为圆锥表面。
第1讲圆周运动中常见的模型及应用(hua)
竖直平面内的变速圆周运动1．无支撑模型——绳球或内轨道模型如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做变速圆周运动过最高点的情况．（1）分析小球在最低点和最高点的受力情况最低点： 最高点：表达式 表达式（2）当小球在最高点的速度为多少时，细绳的拉力为零？解：最高点小球受重力mg 和细绳拉力T 的作用，它们的提供向心力，有2v mg T mR+=细绳拉力为零时，有2v mg m R =解得v gR =【小结归纳】(1)通过最高点临界条件：绳子的拉力(或轨道的压力)刚好为零，小球的重力提供其圆周运动的向心力，即mg ＝m v 2临界r.上式中的v 临界是小球通过最高点的最小速度，通常叫临界速度，v 临界＝gr . (2)通过最高点的条件：v ≥v 临界，当v >v 临界时，绳、轨道对球分别产生拉力F 、压力N . (3)不能通过最高点的条件：v <v 临界(实际上球还没有到最高点就脱离了轨道)．典型例题：1．如图4所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O 的水平轴自由转动。
现给小球一初速度，使它做圆周运动。
图中a 、b 分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球作用力可能是 （ ） A ．a 处为拉力，b 处为拉力 B ．a 处为拉力，b 处为推力 C ．a 处为推力，b 处为拉力 D ．a 处为推力，b 处为推力R 绳 R 绳T mgT mg2．汽车以恒定的速率v 通过半径为r 的凹型桥面，如图6-8-4 所示，求汽车在最低点时对桥面的压力是多大？3．如图，质量为0.5kg 的小杯里盛有1kg 的水，用绳子系住小杯在竖直平面内做“水流星”表演，转动半径为1m ，小杯通过最高点的速度为4m/s ，g 取10m/s 2,求： (1) 在最高点时，绳的拉力？ (2) 在最高点时水对小杯底的压力？(3) 为使小杯经过最高点时水不流出, 在最高点 时最小速率是多少?4．如图5-4-6所示，细绳一端系着质量为M=0.6kg 的物体，静止在水平面上. 另一端通过光滑的小孔吊着质量为m=0.3kg 的物体，M 的中点与圆孔距离为0.2m ，并知M 和水平面的最大静摩擦力为2N.现使此平面绕中心轴转动.问角速度ω在什么范围内M 处于静止状态？（g 取10m/s 2）OMmr 图（5-4-6）针对性练习：1．长度为L ＝0.5m 的轻质细杆OA ，A 端有一质量为m ＝3.0kg 的小球，如图5所示，小球以O 点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0m ／s ，g 取10m ／s 2，则此时细杆OA 受到 （ ） A ．6.0N 的拉力 B ．6.0N 的压力 C ．24N 的拉力D ．24N 的压力2．一质量为m 的物体，沿半径为R 的向下凹的圆形轨行，如图6-8-7所示，经过最低点的速度为v ，物体与轨道之间的动摩檫因数为μ，则它在最低点时受到的摩檫力为：（ ） A ．μmg B ．μmv 2/R C ．μm(g+v 2/R) D ．μm(g -v 2/R)3．一辆质量m=2.0t 的小轿车，驶过半径R=90m 的一段圆弧形桥面，重力加速度g=10m ／s 2．求： (1)若桥面为凹形，汽车以20m ／s 的速度通过桥面最低点时，对桥面压力是多大? (2)若桥面为凸形，汽车以l0m ／s 的速度通过桥面最高点时，对桥面压力是多大? (3)汽车以多大速度通过凸形桥面顶点时，对桥面刚好没有压力4．一辆载重汽车的质量为4m,通过半径为R 的拱形桥，若桥顶能承受的最大压力为F=3mg ，为了安全行驶，汽车应以多大的速度通过桥顶？AL Om图 55．如图所示，小球沿光滑的水平面冲上一人光滑的半圆形轨道，轨道半公式为R，小球在轨道的最高点对轨道压力等于小球的重力，问（1）小球到达轨道最高点时的速度为多大？6．A、B两球质量分别为m1与m2，用一劲度系数为K的弹簧相连，一长为l1的细线与m1相连，置于水平光滑桌面上，细线的另一端拴在竖直轴OO`上，如图所示，当m1与m2均以角速度w绕OO`做匀速圆周运动时，弹簧长度为l2。
圆周运动中的几种模型
圆周运动中的几种模型在圆周运动中，存在着多种模型，其中包括轻绳模型、轻杆模型和圆锥摆模型。
首先是轻绳模型，其特点是轻绳的质量和重力不计，只能产生和承受沿绳方向的拉力。
在圆周运动中，轻绳模型可以用来解决小球在竖直平面内做圆周运动的临界问题。
当小球通过最高点时，绳子对小球刚好没有力的作用，由重力提供向心力。
小球能通过最高点的条件是绳子对球产生拉力，不能通过最高点的条件是小球还没有到最高点时，就脱离了轨道。
举个例子，当质量为m的小球以2v的速度经过竖直平面内的圆形轨道的最高点时，对轨道的压力是3mg。
其次是轻杆模型，其特点是轻杆的质量和重力不计，能产生和承受各方向的拉力和压力。
在圆周运动中，轻杆模型可以用来解决轻杆的一端连着一个小球在竖直平面内做圆周运动，小球通过最高点时，轻杆对小球产生弹力的情况。
小球能通过最高点的临界条件是速度为0，支持力为mg。
当轻杆对小球产生支持力时，支持力为mg，当轻杆对小球产生拉力时，拉力为mg。
最后是圆锥摆模型，其应用于圆周运动中的摆动。
摆球的质量为m，摆线长度为L，摆动后摆线与竖直方向成θ角。
摆球在水平面上做匀速圆周运动，加速度必定指向圆心，依据牛顿第二定律，对摆球受力分析，得到公式：mg*sinθ=ma。
圆锥摆是物理学中的基本模型，许多现象都可以用这个模型来解释。
例如，当小球在半径为R的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动时，我们可以分析小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角θ与线速度V以及周期T之间的关系。
需要注意的是，小球的半径应远小于R。
在分析小球的运动时，我们可以将其视为一个圆锥摆模型。
具体来说，小球做匀速圆周运动的圆心在和小球等高的水平面上，向心力是重力和支持力的合力，因此可以看作是一个圆锥摆模型。
根据这个模型，我们可以得出如下结论：本题所涉及的圆锥摆模型同样适用于其他问题，例如自行车、摩托车、火车转弯以及飞机在水平面内做匀速圆周飞行等问题。
这些问题的共同点是由重力和弹力的合力提供向心力，向心力的方向是水平的。
专题09 圆周运动七大常考模型(解析版)
专题09 圆周运动七大常考模型(解析版)2020年高考物理一轮复热点题型归纳与变式演练专题09 圆周运动七大常考模型专题导航】目录题型一水平面内圆盘模型的临界问题在水平面内，圆盘绕自身的对称轴做匀速圆周运动时，当圆盘上一点的速度等于圆盘上任意一点的速度时，该点所在的半径为临界半径。
此时，圆盘上该点所受的向心力最大，达到极限值。
热点题型二竖直面内圆周运动的临界极值问题在竖直面内，圆周运动的临界问题与水平面内的类似，但由于竖直面内的向心力方向不再垂直于重力方向，因此需要通过分解向心力和重力的合力来求解临界速度和临界半径。
球-绳模型或单轨道模型球-绳模型指的是一个质量为m的小球通过一根质量忽略不计的细绳悬挂在竖直方向上，并绕着一个半径为R的竖直圆周做匀速圆周运动的模型。
单轨道模型则是一个质量为m 的小球沿着一个半径为R的水平圆周滑行的模型。
这两个模型的分析方法类似，都需要通过分解合力来求解运动的参数。
球-杆模型或双轨道模型球-杆模型指的是一个质量为m的小球沿着一个质量忽略不计的细杆滚动的模型。
双轨道模型则是一个质量为m的小球沿着两个半径分别为R1和R2的圆轨道滚动的模型。
这两个模型的分析方法也类似，都需要通过分解合力来求解运动的参数。
热点题型三斜面上圆周运动的临界问题在斜面上，圆周运动的临界问题与水平面内的类似，但由于斜面的存在，需要通过分解合力来求解临界速度和临界半径。
热点题型四圆周运动的动力学问题圆周运动的动力学问题主要涉及到角加速度、角速度和角位移等参数的计算。
在这类问题中，需要利用牛顿第二定律和角动量守恒定律等物理定律来分析运动状态。
圆锥摆模型圆锥摆模型指的是一个质量为m的小球通过一根质量忽略不计的细绳悬挂在竖直方向上，并绕着一个半径为R的圆锥面做匀速圆周运动的模型。
在分析这种模型时，需要考虑到向心力和重力的合力方向与竖直方向的夹角，以及圆锥面的倾角等因素。
车辆转弯模型车辆转弯模型主要涉及到车辆在转弯时所受的向心力和摩擦力等因素。
圆周运动的几个模型
圆周运动的几个模型一、水平方向的圆盘模型1． 如图1.01所示，水平转盘上放有质量为m 的物块，当物块到转轴的距离为r 时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）。
物体和转盘间最大静摩擦力是其正压力的μ倍，求：（1）当转盘的角速度时，细绳的拉力。
（2）当转盘的角速度时，细绳的拉力。
图2.01解析：设转动过程中物体与盘间恰好达到最大静摩擦力时转动的角速度为，则，解得。
（1）因为，所以物体所需向心力小于物体与盘间的最大摩擦力，则物与盘间还未到最大静摩擦力，细绳的拉力仍为0，即。
（2）因为，所以物体所需向心力大于物与盘间的最大静摩擦力，则细绳将对物体施加拉力，由牛顿的第二定律得：，解得。
2． 如图2.02所示，在匀速转动的圆盘上，沿直径方向上放置以细线相连的A 、B 两个小物块。
A 的质量为，离轴心，B 的质量为，离轴心，A、B与盘面间相互作用的摩擦力最大值为其重力的0.5倍，试求：（1）当圆盘转动的角速度为多少时，细线上开始出现张力？角速度为多大？（）图2.02 （1）当圆盘转动的角速度为多少时，细线上开始出现张力？（2）欲使A、B与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度为多大？（）解析：（1）较小时，A、B均由静摩擦力充当向心力，增大，可知，它们受到的静摩擦力也增大，而，所以A受到的静摩擦力先达到最大值。
再增大，AB间绳子开始受到拉力。
由，得：（2）达到后，再增加，B增大的向心力靠增加拉力及摩擦力共同来提供，A增大的向心力靠增加拉力来提供，由于A增大的向心力超过B增加的向心力，再增加，B所受摩擦力逐渐减小，直到为零，如再增加，B所受的摩擦力就反向，直到达最大静摩擦力。
如再增加，就不能维持匀速圆周运动了，A、B就在圆盘上滑动起来。
设此时角速度为，绳中张力为，对A、B受力分析：对A有对B有联立解得：3．如图2.03所示，两个相同材料制成的靠摩擦传动的轮A和轮B水平放置，两轮半径，当主动轮A匀速转动时，在A轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在A轮边缘上。
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v = g R 是物体所受弹力方向变化的临界速度。
2020/3/9
六、轻杆模型
1、安全通过最高点的临界条件:
v临 = gR
2、对最高点分析：
v＞
gR
：绳子或轨道对物体的弹力:
F
m v2 G R
方向竖直向下
v = g R :轻杆或管道对物体的弹力:F=0
v＜ gR:轻杆或管道对物体的弹力:
FN
F合
mg
tan
F心
F心
mv2 r
mw2r
解得：
v gr
tan
w g
tan r
规律：稳定状态下，小球所处的位置越高，半径r越 大，角速度越小，线速度越大，而小球受到的支持 力和向心力并不随位置的变化而变化。
2020/3/9
三、火车转弯模型：
2020/3/9
四、汽车过桥模型：
F向
ma
mv2 R
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ห้องสมุดไป่ตู้
FN
G mv2 R
F向
ma
mv2 R
五、轻绳模型
1、安全通过最高点的临界条件:
v临 = gR
2、对最高点分析：
v＞
gR
：绳子或外轨道对物体的弹力:
v2 F m G
R
方向竖直向下
v = g R :绳子或外轨道对物体的弹力:F=0
v＜ gR:物体不能过最高点！！！
六种圆周运动模型分析
2020/3/9
一、圆盘模型：
F合f F心mr2vm2w r
当f最大值时： f mg 线速度有最大值：v gr
g
角速度有最大值：w r
2020/3/9
二、圆锥摆模型： 由拉力F和重力G的合力提供向心力
2020/3/9
倒置圆锥摆模型:
1.如果内壁光滑，由重力和支持力的合力提供向心力
G m v2 R
方向竖直向上
v = g R 2020/3/9 是物体所受弹力方向变化的临界速度。