第三章离散傅里叶变换DFT 总结[可修改版ppt]
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离散傅里叶变换(DFT)ppt课件
幅度为
1 N
X~ (k )，其中k
0,1, , N
N
1表示其频谱分布规律
8
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
(3)周期序列的傅里叶变换表示
因为周期序列不满足条件： x(n) 。因此它的DTFT 不存在。但是，通过引入奇异函n数 δ 其DTFT可以用公式
表示。
x(n) x(n kN ),k
周期序列也可用离散的傅氏级数来表示。
(1)DFS定义
正变换：X
(k)
DFS [ x(n )]
N
1
x(n)e
j 2 N
nk
一般记：
反变换：x(n)
n0
IDFS[X (k)] 1
N 1
j 2 nk
X (k)e N
N k0
j 2
WN e N
6
第3章 离散傅里叶变换(DFT) (2)周期序列的离散傅里叶级数推导 由
为 ~x对(n于)周的期“序主列值~x区(间n)”，，定主义值其区第间一上个的周序期列n为=0主~N值-1序，
列 x(n)。
x(n)与~x(n) 的关系可描述为： ~x (n)是x(n)的周期延拓 x(n)是~x (n)的"主值序列"
数学表示：
x(n)
x(n mN ) x((n))N
x(n)
1
N 1
j 2 kn
X (k)e N
N k0
X (e j ) 2 X (k) ( 2 k)
N k
N
其中 :
X
(k)
N 1
数字信号处理第三章4离散傅里叶变换的性质-PPT文档资料
取主值 周期 移位 xm (n ) x ( n ) x ( n ) x ( n m ) 延拓 序列 xn ( ( m ) ) N
2019/2/15
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3
2019/2/15
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4
X ( k ) D F T [ x ( n ) ] D F T [ x ( ( n m ) ) R ( n ) ] m m N N
* 1 / 2 [ x ( ( n ) ) x ( N n ) ) ] N ( N
2019/2/15
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10
定义：
圆周共轭对称序列：
x () n xn () R () n e p e N
* 1 / 2 [ x ( ( nx ) ) ( N n ) ) ] R ( n ) N( N N
四、离散傅里叶变换的性质
DFT正变换和反变换：
n k X () k D F T [() x n ] x () n W R () k N N n 0
N 1 1 n k x ( nI ) D F T [( X k ) ] X ( k ) W R ( n ) N N N k 0
2019/2/15
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8
1 * x ( n ) [ xn ( ) x ( n ) ] e 2
x((n))N
1 * x ( n ) [ xn ( ) x ( n ) ] e 2
* x ( ( N n ) ) N
2019/2/15
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9
( n ) x ( nx ) ( n ) 任意周期序列：x e o
有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移， 而对频谱幅度无影响。
2019/2/15 课件 5
离散傅里叶变换ppt
频域信号 周期的 离散的
*时域是周期为Tp函数，频域的离散间隔为0
2
Tp
;
时域的离散间隔为T ,频域的周期为s
2
T
.
§ 3-1 周期序列的DFS
一.周期序列DFS的引入 导出周期序列DFS的传统方法是从连
续的周期信号的复数傅氏级数开始的：
~x (t) X~ ( jk0 )e jk0t k
对上式进行抽样，得：
n0
x(n)
IDFT X (k)
1 N
N 1
X (k )WNn,k
k 0
0nN-1
或者： X (k) X~(k)RN (k) x(n) ~x (n)RN (n)
练习题
参考答案
TP 1/ f 0.1(s) T 1/ 2 fh 1/ 8kHz 0.125(ms) N 2 fh / f 800
证明：
DFS[WNmn~x (n)]
N
1
WNmn
~x (n)WNkn
n0
N 1 ~x (n)WN(km)n n0
X~(k m)
WNmn
j 2 mn
eN
j 2 nm
eN
(e
j
2
N
n
)
m
时域乘以虚指数(
j 2
eN
n
)的m次幂，频域搬移m,调制特性。
四.周期卷积和
1.如果 Y~(k) X~1(k)X~2(k)
所以
DFS[~x (n
m)]
N 1m~x (i)WNik
W mk N
im
W mk N
N
1
~x (i)WNik
W mk N
~x (k
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
19
线性卷积 周期卷积 循环卷积 周期卷积：
x ( n)
m
x (m) x (n m)
1 2
N＋M-1 周期为N N
x(n) x1 (m) x2 (n m)
m 0 N 1
N 1
x(n) x1 (m) x2 ((n m)) N RN (n)
设x(n)为有限长序列，长度为M，M≤N，
则x(n)的循环移位定义为
y(n)=x((n+m))NRN(n) 周期拓展 x(n) 左移m个单位 x((n))N x((n+m))N
N为周期
13
周期拓展
左移2个单位
循环移位过程示意图
14
2. 时域循环移位定理
y(n)=x((n+m))NRN(n) DFT
yl (n)
m
x (m) x (n 1
y(n) x1 (m) x2 ((n m)) L RL (n)
m0
L 1
0n L
结论：L点圆周卷积y(n)是线性卷积yl(n)以L为周期的 周期延托序列的主值序列。注意： L N N 1 1 2
26
例： x1(n)=R3(n)，求x2(n)＝{1,2,3,4,5}，求 它们的的5点、6点、7点和8点圆周卷积。 3.2.4 复共轭序列的DFT 设x*(n)是x(n)的复共轭序列， 长度为N X(k)=DFT［x(n)］ 左右两边交换再共轭 DFT［x*(n)］=X*(N-k), 0≤k≤N-1
3.2.3 循环卷积定理 1.时域循环卷积定理
有限长序列x1(n)和x2(n)， 长度分别为N1和 N2， N=max［ N1, N2 ］。 x1(n)和x2(n)的N点 DFT分别为：
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
X(k)与x(n)均为有限长序列,但由于WknN 的周期性,X(k)隐含周 期性， 且周期均为N。 对任意整数m， 总有
k ( WN WNk mN ) , k, m, N
N 1 n 0
均为整数
( 所以,X(k)满足 X (k mN ) x(n )WNk mN ) n kn x(n )WN X (k ) n 0 N 1
k 1 X 1 x n e
n 0
2 1n 4
x n e
n 0
3
x n ( j ) n 2 2 j
n 0
3
k 2
X 2 x n e
n 0 3
3
j
2 2n 4 2 3n 4
x n e j n x n (1) n 2
DFT后的X(k)具周期性，周期为N
x(n)满足
x(n+mN)=x(n)
IDFT后的x(n)具周期性,周期为N
主值区间和主值序列
任何周期为N的周期序列 ~(n) 可以看作长度为N的有限 x
x 长序列x(n)的周期延拓序列, x(n)是 ~(n) 的一个周期。 ~(n) 中n=0到N－1的第一个周期为 ~(n) 的主值区间。 x x x 主值区间上的序列为 ~(n)的主值序列；
x((n))N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列，
((n))N表示n对N求余，
如果 则 n=MN+n1， 0≤n1≤N-1， M为整数， ((n))N=n1
－－此运算符表示n被N除，商为M，余数为n1。
(n1) 是((n))N 的解,或称作取余数,或称作n对N取模值, 或 简称为取模值,n模N。
数字信号处理第三章离散傅里叶变换DFTppt课件
2 N
kn
n
xN (n) IDFT[ X (k)]
x(n)与xN (n)的关系？
26
离散傅里叶变换（DFT）
xN (n)
~
x(n)
~
X (k)
X (k)
~
x(n)
~
IDFS[ X (k)]
1 N
N 1 ~
X (k )WNkn
k 0
1 0
1 N
N 1
[
如果序列x(n)的长度为M ,则只有当频域采样点数 N M时，才有xN (n) IDFT[ X (k)] x(n)
28
离散傅里叶变换（DFT）
[例] 已知 x(n) R8 (n) ，X (e j ) FT[x(n)] 对 X (e j )
采样得
X (k)
X (e j )
, k
2 6
k
1 N
N 1
X1(l) X 2 ((k
k 0
l))N
RN (k)
1 N
X1(k)
NX 2 (k)
1 N
N 1
X 2 (l) X1((k
k 0
l))N RN (k)
1 N
X 2 (k )
NX 1 (k )
22
离散傅里叶变换（DFT） 4.复共轭序列的DFT
X (k) DFT[x(n)]
证明： DFT[x(n)] X (N k)且X (N ) X 0
第三章 离散傅里叶变换（DFT）
离散傅里叶变换（DFT）
离散傅里叶变换的定义
主
离散傅里叶变换的基本性质
要
内
容
频率域采样
DFT的应用举例
2
第3章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)
1 x(n) IDFT [ X (k )]N N
k 0
N 1
X (k )WN k n , n 0, 1, , N 1
也可以表示为矩阵形式: x DN1 X
DN1
称为N点IDFT矩阵，定义为：
1 1 1 1 W 1 WN 2 N 1 1 WN 2 WN 4 N ( N 1) WN 2( N 1) 1 WN 1 WN ( N 1) 2( N 1) WN WN ( N 1)( N 1)
3.1.3 DFT的矩阵表示
X (k ) DFT [ x(n)]N
n 0
N 1
k x(n)WN n , k 0, 1, , N 1
也可以表示成矩阵形式: X DN x 式中，X是N点DFT频域序列向量:
X [ X (0) X (1) X ( N 2) X ( N 1)]T
2
N 1
k
DFT与DTFT变换
DFT所表示的不是序列的频谱，而是对序列频谱的一个采样! 采样间隔为2/N;N越大，X(k)越能反映X()的形状。
(2)序列的N点DFT是序列的Z变换在单位圆上的N点等间隔采样， 频率采样间隔为2/N。
X (k ) X ( z )
z e
j 2 k N
M 1
n 0
比较前面三式，得到：X (k ) X (e j )
结论：
2 k N
, k 0, 1, 2,, N 1
(1)序列的N点DFT是序列的傅里叶变换(DTFT)在频率区间 [0,2]上的N点等间隔采样，采样间隔为2/N。
X (e j )
X (k )
第3章--离散傅里叶变换(DFT)(用此参考课件上课)
n0
x(n)
三. DFT的隐含周期性
DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列，但由于 WNkn的周期性，使x(n) 和X(k)均具有隐含周期性，且周期
均为N。 对任意整数m，总有
1 使DFT具有特殊性质(如循环移位、循环卷积等)的根 本原因，也是学习DFT需要着重理解的性质！ 2 不论原始有限长度序列的性质如何，只要对它做DFT 运算，即将它看做是周期为N的周期序列
xn
W kn 2N
n0
nN
N 1
N 1
x
n
W kn 2N
x n N W2kNnN
n0
n0
N1
k n N 1
kn kN
x n WN2 x n N WN2 WN 2
n0
n0
N 1
x
kn
n WN2
1 e jk
n0
2
X
k 2
,
0，
k 偶数 k 奇数
0 k 2N -1
证：利用周期序列的移位性质加以证明
DFS [x((n m)) N ] DFS [~x (n m)] WNmk X~(k)
可直接按IDFT{Y(k)}证明
再利用DFS和DFT关系
DFT[x((n m))N RN (n)] DFT[~x (n m)RN (n)] WNmk X~(k )RN (k ) WNmk X (k )
例题：
已知x(n)是长度为N的有限长度序列，X(k)=DFT[x(n)]，
令 y n x n N R2N n ，试求Y(k)=DFT[y(n)]与X(k)之间的关系。
解：
2 N 1
2 N 1
Y k
y
n
x(n)
三. DFT的隐含周期性
DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列，但由于 WNkn的周期性，使x(n) 和X(k)均具有隐含周期性，且周期
均为N。 对任意整数m，总有
1 使DFT具有特殊性质(如循环移位、循环卷积等)的根 本原因，也是学习DFT需要着重理解的性质！ 2 不论原始有限长度序列的性质如何，只要对它做DFT 运算，即将它看做是周期为N的周期序列
xn
W kn 2N
n0
nN
N 1
N 1
x
n
W kn 2N
x n N W2kNnN
n0
n0
N1
k n N 1
kn kN
x n WN2 x n N WN2 WN 2
n0
n0
N 1
x
kn
n WN2
1 e jk
n0
2
X
k 2
,
0，
k 偶数 k 奇数
0 k 2N -1
证：利用周期序列的移位性质加以证明
DFS [x((n m)) N ] DFS [~x (n m)] WNmk X~(k)
可直接按IDFT{Y(k)}证明
再利用DFS和DFT关系
DFT[x((n m))N RN (n)] DFT[~x (n m)RN (n)] WNmk X~(k )RN (k ) WNmk X (k )
例题：
已知x(n)是长度为N的有限长度序列，X(k)=DFT[x(n)]，
令 y n x n N R2N n ，试求Y(k)=DFT[y(n)]与X(k)之间的关系。
解：
2 N 1
2 N 1
Y k
y
n
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例2 已知周期序列 X~(k)如图3-2所示，其周期N=10, 试求
解它的傅里叶级数系数 X~(k) 。
… －10
012345 6 7 8 910
~x(n) …
n
图3-2 例3-2的周期序列~x(n（) 周期N=10）
由式（3-6）
X ~(k)1 01
~ x(n)W 1n0k4
j2n k
e 10
0
|X p ( jk )|
非周期和离散
o |X( ej)| 1/T
k
周期和连续
nT
(c)
－
离散和周期
o
|X ( e jks)| 周期和离散
离散傅里叶变换
(DFT)
o
N点
(d ) n
－
o
s
N点
各种形式的傅里叶变换
卷积特性
•时域卷积定理 •频域卷积定理
1.在一个域的相乘(卷积)等于另一个域的卷积(相乘)
1
X(jk 0)T0
T0/2 x(t)ejk 0tdt
T0/2
x(t) X(jk0)ejk0t
k
其中， 0 2F02 T 0
X(jK0)是频谱相邻两谱线间角频率的间隔，K为谐波序号。
时域周期
频域离散
三、离散时间，连续频率——序列的傅里叶变换(DTFT)
X(ej) x(n)ejn
n
x(n)1 X(ej)ejnd
2.共轭对称性 WNn (WNn)*
3.正交性
N 1N n 0 1W N k(nW N m)n *N 1N n 0 1W N (m k)n 1 0
m m
k k
例1 设 ~x(n为)周期脉冲串
~x(n)
(nrN)
r
（3-8）
因为对于0≤n≤N-1， ~ x(n), 所(n)以 利 用 式 （ 2-6 ） 求 出
时域离散、周期
频域周期、离散
变换类型
傅里叶变换 (FT)
时域函数
x a(t )
－
o
x p (t )
傅里叶级数 (FS)
序列傅里叶变换 (DTFT)
o Tp
x (n T )
To N点
xp(n )
频域函数
连续和非周期
|X a( j )|
1
非周期和连续
t
(a )
－ 0
连续和周期
(b ) t
离散和非周期
o
－N
0
N－ 1
n
主 值区 间
DFT的定义 上一节我们讨论的周期序列实际上只有有限个序列值有意义，
因而它和有限长序列有着本质的联系。本节将根据周期序列和有 限长序列之间的关系，由周期序列的离散傅里叶级数表示式推导 得到有限长序列的离散频域表示即离散傅里叶变换（DFT）。
设x(n)为有限长序列，长度为N，即x(n)只在n=0到N-1点上有 值，其他n时，x(n)=0。即
~x(n) 的DFS系数为
X ~(k)N 1~ x(n)W N nk N 1 (n)W N nk 1 （3-9）
n0
n0
在这种情况下，对于所有的k值 X~(k) 均相同。于是，将式
（3-9）代入式（3-7）可以得出表示式
~ x(n ) r (n r)N N 1N k 0 1W N n kN 1N k 0 1 ej2 N n （k 3-10）
一、连续时间，连续频率——傅里叶变换(FT)
这是连续时间，非周期信号x(t)的傅里叶变换。它得到连续 的、非周期的频谱密度函数X(j)。
X(j )x(t)ej tdt
x(t)21 X(j)ejtd
时域连续 时域非周期
频域非周期 频域连续
二、连续时间，离散频率——傅里叶级数(FS)
这是连续时间，周期信号x(t)的傅立叶变换。它得到离散的、 非周期的频谱密度函数X(j)。例如信号x(t)=sin100t只有 一个频率分量。
n0
n0
这一有限求和有闭合形式
X ~(k)1 01
~ x(n)W 1n0k4
j2n
e 10
k
n0
n0
|~ x(k)|
5
（3-11） （3-12）
…
…
－101 2 3 4 5 67 8 910
15
20
k
图 3-3 图3-2所示序列的傅里叶级数系数 X~(k)的幅值
有限长序列离散傅里叶变换（DFT）
2
时域离散，将导致频域周期化， 且这个周期是s。
时域离散
频域周期
四、离散时间，离散频率——离散傅里叶变换(DFT)
上面所讲的三种傅里叶变换至少在一个域内是连续的，不 适于计算机运算。最好是时域和频域均为离散的，才方便用计 算机运算。
思路：从序列的傅里叶变换出发，若时域为离散的序列，则频 域是连续周期的；若此时我们对频域的连续信号抽样， 人为的使其离散化，这样，频域的离散又导致时域的周 期化。于是有：
2.与脉冲函数的卷积，在每个脉冲的位置上将产生 一个波形的镜像。
FS
连续和非周期
非周期和连续
问题：计算机只能进行数字信号处理，所以需要将原模拟信号在时域离散化，即
办法：时域采样
DFT
离散和周期
周期和离散
问题：怎样时域采样呢？
办法：时域相乘，频域卷积
问题：依然不能被 计算机处理
时
频
域
办法：频率采样
到n=N-1 定义为“主值区间”， 故x(n)是~x(n)的“主值序列”，即
主值区间上的序列。而称~x(n)为x(n)的周期延拓。对不同r值x(n+rN)
之间彼此并不重叠，故上式可写成 ~ x ( n ) xn )
0
N－ 1
n
~x ( n )
域
相
卷
乘
DTFT
积
离散和非周期
周期和连续
IDFT
离散和周期
周期和离散
问题：怎样频域采样呢？
办法：频域相乘，时域卷积
计算机能够处理
时
问题解决！
频
域
域
卷
相
积
IDFT
乘
离散和周期
DFT
周期和离散
问题：(9)和(5)不同呢？ Answer：周期延拓
旋转因子WN的性质
WN ej2N
1.周期性
WNn WN(nrN)
x(n)x(n) 0nN1 0 其他 n
为了引用周期序列的概念，我们把它看成周期为N的周期序
列 ~x(n)的一个周期，而把~x(n)看成x(n)的以N为周期的周期延拓，
即表示成:
x(n)~x(n) 0nN1 0 其他 n
~x(n)
x(nrN)
r
这个关系可以用图2-8来表明。通常把 ~x(n)的第一个周期n=0
第三章离散傅里叶 变换DFT 总结
二.DFT是现代信号处理桥梁
DFT要解决两个问题： 一是离散与量化， 二是快速运算。
傅氏变换
离散量化
信号处理
DFT(FFT)
傅里叶变换的几种可能形式
傅里叶变换
时域
频域
连续时间、连续频率—傅里叶变换 连续时间、离散频率—傅里叶级数 离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换 离散时间、离散频率—离散傅里叶变换