运筹学总复习

《运筹学》总复习第1章线性规划及其对偶问题●基本概念基本要素：决策变量、目标函数、约束条件线性规划定义：决策变量为可控的连续变量，目标函数和约束条件为决策变量的线性函数。

标准形式：目标函数取“max”、约束条件取“=”、约束右端项非负、决策变量非负解的概念：凡满足约束条件的决策变量的取值称为线性规划的可行解,所有可行解的集合称为线性规划的可行域,使目标函数达到最优值的可行解称为线性规划的最优解。

●数学建模与求解建模步骤：科学选择决策变量、找出所有约束条件、明确目标要求、非负变量的选择单纯形法与对偶单纯形法：单纯形法对偶单纯形法两阶段法：第一阶段：添加人工变量，构造人工变量之和为最小的目标函数辅助线性规划，由松驰变量和人工变量构成初始单纯形表，进行迭代。

在最终单纯形表中如果存在人工变量，由无可行解，否则转第二阶段。

第二阶段：在第一阶段求解的最终单纯形表中去掉人工变量，目标系数恢复为标准模型的目标系数，按单纯形法继续迭代。

● 练习题：1.某厂利用原料A 、B 生产甲、乙、丙3种产品，已知生产单位产品所需原料数、单件2.每班服务员从开始上班到下班连续工作8小时，为满足每班所需要的最少服务员数，这个旅馆至少需要多少服务员？（列出该问题线性规划模型，不求解）3.1231231231~3min 232315..25200w x x x x x x s t x x x x =++++=⎧⎪++=⎨⎪≥⎩ 4.用对偶单纯形法求解线性规划问题：1231231231~3min 524324..635120w x x x x x x s t x x x x =++++≥⎧⎪++≥⎨⎪≥⎩第2章 整数规划与分配问题● 0-1变量的用法及建模理解0-1变量的9种用途，其中(1)(2)(4)(8)重点掌握 （1）多个取1：110, 1.nj j j x x ===∑，或（2）n 中取k ：10, 1.njj j xk x ===∑，或n 中至少取k ，改为10, 1.nj j j x k x =≥=∑，或n 中最多取k ，改为10, 1.nj j j x k x =≤=∑，或（3）变量取离散数值：111,01mi i i mi i i x c y y y ==⎧=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩∑∑或（4）选甲必须选乙，选乙不一定选甲：,x x x x ≤乙乙甲甲,=0或1（5）两个约束条件只需满足一个：1211221212232101,,01x x y Mx x y M y y y y +≥-⎧⎪+≤+⎨⎪+==⎩或 或12122(1)3210,01x x y M x x yM y +≥--⎧⎨+≤+=⎩或 式中：M 为任意大正数（6）n 个约束条件中满足k 个：11(1,2,,)01mi j j i i j ni i i a x b y M i n y n k y ==⎧≤+=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩∑∑L 或（7）若42≤x ，则05≥x ；否则42>x ，35≤x⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≤->-≥+≤My x M y x M y x M y x 252215123404，⎩⎨⎧==+1012,121y y y 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+≤-->-≥+≤My x M y x yMx yM x )1(3)1(4045252⎩⎨⎧=10y（8）选了甲或乙，丙就不能入选，选了丙，甲、乙都不能入选11x x x x x x x ⎧+≤⎪+≤⎨⎪⎩甲丙乙丙乙甲丙,,=0或1 （9）对0,0(),0x f x k cx x =⎧=⎨+>⎩当当 可表述为： ()f x yk cxy Mx x My=+⎧⎪≤⎨⎪≤⎩匈牙利法步骤：1.从每行中减去最小数2.再从每列中减去最小数3.(1)先看行,从第一行开始,如该行只有一个0,给该0打Δ,划去该为所在列,如有两个以上0或无0,转下一行,到最后一行;(2)再看列,如该列只有一个0,给该0打Δ,划去该0所在行,如无0或两个以上0,转下一列;(3)重复(1)(2),可能出现三种结局:a.有m个打Δ的0,令对应Δ号的xij=1,即为最优.b.存在0的闭回路.对闭回路上的0按顺时针编号,任取单号或双号打Δ,分别对打Δ的0都划去所在行(或都划去所在列)返回3(1)C.打Δ的0的数<m转44.从未被划去的数字中找出最小数字k,对未被划去的行分别减k;对被划去的列加k,回到3 练习题：1．某公司有5000万元可用于投资，有6个投资方案，其投资额、安排员工数和年利润额如表所示：要求：（1）投资额不超过5000万元；（2）至少安排150人员就业；（3）年利润额尽可能地多。

试建立该问题0-1规划数学模型（不求解）2.某校排球队准备从以下8名预备队员中选拔4名正式队员，并使平均身高尽可能高。

这8要求：（1）8名预备队员选4名；（2）最多补充1名主攻； （3）最多补充1名副攻； （4）至少补充1名二传； （5）至少补充1名接应； （6）A 和E 只能入选1名；（7）无论B 或D 入选，A 都不能入选。

（建立数学模型，不求解）3.企业如何组织生产才能使总成本最小？试列出该问题的整数规划数学模型（不求解）。

4.试利用0-1变量对下列各题分别表示成一般线性约束条件。

（1）x 1+x 2≤2或2x 1+3x 2≥8（2）变量x 3只能取0、5、9、12 （3）若x 2≤4，则x 5≥0，否则x 5≤3（4）以下四个约束条件中至少满足两个：1212122153x x x x x x +≤⎧⎪≤⎪⎨≤⎪⎪+≥⎩ 5.用匈牙利法求解分配问题：（1）85907390828778918382798886908085C ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2）8969665878389746C ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦第3章 运输问题数学模型1.产销平衡运输问题数学模型1111min (1,2,...,)..(1,2,...,),0m nij iji j nij i j mij j ij i z c x x a i m s t x b j n x =====⎧==⎪⎪⎨⎪==≥⎪⎩∑∑∑∑2.产销不平衡的运输问题转化为产销平衡的运输问题 产>销：添加一个假想销地，使其销量=∑产量-∑销量 产<销：添加一个假想产地，使其产量=∑销量-∑产量3.会将一般的非地理问题转化为运输问题数学模型● 表上作业法（1）用最小元素法给出初始方案 （2）用位势法求检验数（3）用闭回路法进行方案调整 重复（2）（3）步，直到得最优解。

● 练习题：1.某建筑公司6个工地（A 、B 、C 、D 、E 、F ）的物资需要运输，各工地起点、终点及所需车次如表（a ）所示，相关工地间路程如表（b ）所示。

（a ） （b ）试求最优调运方案（列出产销平衡表，并用表上作业法求解）。

第4章 目标规划● 基本概念偏差变量：用以表示实际值与超出或未达到目标值的差距的变量称为偏差变量； 正偏差变量：超出目标的差距称为正偏差变量；负偏差变量：未达到目标值的差距称为负偏差变量；优先级：对两个不同目标，如果其重要程度相差悬殊，为达到一个目标甚至可以牺牲另一目标，可将它们划分属不同优先级。

优先级是一个定性概念，规定：P k >>P k+1权系数：在同一优先级内，根据重要程度不同，用权系数确定其优先顺序。

权系数是一个具体的数字。

● 数学建模 建模步骤：（1）确定优先因子（2）列出目标要求（不等式）（3）约束转换（加减负正偏差变量变为等式）（4）由目标要求确定目标值偏差（允许超过目标：负偏差最小；允许不完成：正偏差最小；要求准确完成：正、负偏差之和最小）（5）将目标值偏差组合起来，加上系统约束和目标约束及变量非负约束构成目标规划数学模型●练习题：1．某广播电台每天开播12小时，其中广告节目用以赢利，每分钟可收入500元，新闻节目每分钟需支出50元，而音乐节目每分钟支出20元，依据规定：正常情况下广告节目不超过广播时间的15%，每小时至少安排5分钟的新闻节目，试问该电台每天应如何安排广播节目？其优先级如下：P1——满足规定要求，P2——每天的纯收入达到1千元并力争超过。

试建立此问题的目标规划模型（不求解）。

2．某公司计划生产甲、乙两种产品，它们分别要经过设备A和设备B两道工序的加工，其所需工时定额如下表：系统约束：两种设备已满负荷，不能加班。

目标要求：P1：盈利达到150元，并尽可能地超过；P2：两种产品的产量之和尽可能超过10千克；P3：产品乙不少于6千克。

试建立此问题的数学模型（不求解）第6章图与网络模型●基本概念图：点和连线的集合.不带箭头的连线称为边(edge).带箭头的连线称为弧(Arc).无向图：连线不带箭头的图,用为:G={V,E}式中：V={v1,v2,…}，E={e1,e2,…} 表示.（如图a）.有向图：连线带箭头的图,用D={V,A}表示,（如图b）边相邻：两条边有公共的端点点相邻：两点有公共的关联边环：两端点相重的边.多重边：两条以上边所连的端点相重简单图：无环、无多重边的图次(度)：某一点具有的关联边的数目孤立点：次为“0”的点, 悬挂点：次为“1”的点悬挂边：与悬挂点相连的边 奇点：次为奇数的点 偶点：次为偶数的点; 链：点、边的交错序列. 圈(或称路) ：封闭的链连通图：任两点至少存在一条链.基础图：有向图去掉箭头就变成了无向图,此无向图称为该有向图的基础图. 树：一个无圈的连通图称为树.● 基本方法最小支撑树的避圈法与破圈法。

最短路的dijkstra 标号算法。

最大流的Ford-Fulkerson 标号算法。

中国邮路问题：结论1:若无奇点,则邮递员可以走遍所有街道,做到每条街道只走一次而不重复. 结论2:(1)有奇点的连线的边最多重复一次;(2)在该网络图的每个回路上,有重复的边的长度不超过回路总长的一半.● 练习题1.用避圈法或破圈法求下图所示最小支撑树。

2.用dijkstra 标号算法求上图所示从v1到v8的最短路。

3.如图，圆圈代表网络节点，节点间的连线表示它们间有网线相连，连线上的数表示该网线传送10兆字节的信息所用时间(单位：秒)。

现需从点s 向点t 传送10兆字节的信息，问至少需多少时间？4v 454 33v 7v 8v 3v 5v 2 v 1v 62422222834.用Ford-Fulkerson标号算法求上图所示从s到t的网络最大流。

第8章对策论●对策模型三要素局中人、策略集、赢得矩阵●二人零和对策的条件：（1）有两个局中人；（2）每个局中人的策略都是有限的；（3）每一策略组合下，各局中人赢得之和始终为零。

●对策模型的假设前提：（1）对策双方的行为是理智的；（2）局中人选取策略的目标是收益最大或损失最小；（3）局中人同时选取各自的行动策略，且不知道对方选取哪一个策略；（4）对策中的有关规定和要求，局中人是知道的。