运筹学—对策论
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运筹学-第15章--对策论
1 8 5 8 5 5*
2 2 3 2 1 1
3 4
9 0
5 2
6 3
5 5*
3
0
max 9 5* 8 5*
可知 ai* j* =5，i*=1,3，j*=2,4．故（α1，β2）（α1，β4）（α2，
β2）（α2，β4）为对策的纳管 什理均运衡，筹 V学G=5．
15
• 最优纯策略求解步骤：
• 1、行中取小，小中取大得最大化最小收益 值；
• 2、列中取大，大中取小得最小化最大支付 值；
• 3、比较两值是否相等。若相等便存在最优 纯策略。若不等，则不存在最优纯策略。
管理运筹学
16
§3 矩阵对策的混合策略
设矩阵对策 G = { S1, S2, A }。当
max
i
min
j
aij
min
j
max
i
aij
时，不存在最优纯策略。
例：设一个赢得矩阵如下:
一个局势，一个局势决定了各局中人的对策结果（量化） 称为该局势对策的益损值。
管理运筹学
3
§1 对策论的基本概念
出赛的次序是一个策略 “齐王赛马”齐王在各局势中的益损值表（单位：千金）
管理运筹学
4
§1 对策论的基本概念
其中：齐王的策略集: S1={ 1, 2, 3, 4, 5, 6 }， 田忌的策略集：S2={ 1, 2, 3, 4, 5, 6 }。
A=[aij]m×n i 行代表甲方策略 i=1, 2, …, m；j 列代表乙方策略 j=1, 2, …, n；aij 代表甲方取策略 i，乙方取策略 j，这一局势下甲方的 益损值。此时乙方的益损值为 -aij（零和性质）。
《管理运筹学-对策论》
博弈与均衡
04
对策分析方法
CHAPTER
VS
静态分析法是一种不考虑时间因素的分析方法，主要适用于解决一次性决策问题。
详细描述
静态分析法将问题视为一个静态系统，不考虑时间变化和过程发展，只关注决策变量的当前状态和最优解。这种方法适用于确定性和静态的环境，如线性规划、整数规划等。
总结词
静态分析法
总结词
《管理运筹学-对策论》
目录
对策论概述 对策模型 对策论的基本概念 对策分析方法 对策论的应用实例 对策论的未来发展
CONTENTS
01
对策论概述
CHAPTER
对策论，也称为博弈论，是研究决策主体在相互竞争、相互依存的环境中如何进行策略选择和行动的学科。
对策论强调理性、优化和均衡，通过数学模型和逻辑推理来描述和分析竞争行为，尤其关注在不确定性和信息不对称情况下的决策问题。
对策论的定义与特点
特点
定义
竞争策略分析
对策论可以用于分析企业或组织在市场竞争中的策略选择，例如定价策略、产品差异化、市场份额争夺等。
合作协议
在某些情况下，企业间可能通过对策论的方法找到合作的可能性，例如供应链协调、合作研发等。
人力资源决策
在招聘、晋升、激励设计等方面，对策论可以帮助理解个体和团队的行为反应，优化人力资源决策。
03
对策论的基本概念
CHAPTER
策略与行动
策略
在对策中，参与者为达到目标所采取的行动方案。策略是完整的、具体的行动计划，它规定了参与者在所有可能情况下应采取的行动。
行动
在对策中，参与者实际采取的行动。行动是实现策略的具体行为或决策。
在对策中，如果一个参与者的某个策略能够使其获得比其他参与者更好的结果，则称该策略为优势策略。优势策略是相对于其他参与者的策略而言的。
运筹学第9章 对策论
3. 赢得函数(支付函数)(payoff function)
一个对策中，每一个局中人所出策略形成的策略 组称为一个局势。 即设 s i 是第 i 个局中人的一个策略， 则n个局中人的策略形成的策略组 s ( s1 , s2 ,, sn )
s 就是一个局势。
在“齐王VS田忌赛马”中，
齐王有6个策略： 2 ( 上，下，中)、 1 (上，中，下)、 4 (中，下，上)、 5 ( 下，上，中)、
1 2
设局中人I采用纯策略 1和 2的概率 分别为 x1 和 x2 ，x1 x2 1, x1,2 0 设局中人II采用纯策略 1和 2的概率 分别为 y1 和 y2 ，y1 y2 1, y1,2 0
SI 1 , 2 设局中人I的策略集原来为： 那么在没找到纯策略的前提下，局中人I的策略集变为： 局中人I的策略 SI X ( x1, x2 )T x1 x2 1, x12 0 有无穷多个 S II 1 , 2 设局中人I的策略集原来为： 那么在没找到纯策略的前提下，局中人II的策略集变为：
当一个局势 s 出现后，每一局中人就会面对
一个赢得值或损失值，记作 Hi (s)。
Hi (s) 是定义在局势上的函数，
所以称为局中人 i 的赢得函数。
通常的分类方式有： (1) 根据局中人的个数，分为二人对策和多人对策； (2) 根据各局中人的赢得函数的代数和是否为零，分 为零和对策与非零和对策； (3) 根据各局中人间是否允许合作，分为合作对策和 非合作对策； (4) 根据局中人的策略集中的策略个数，分为有限对 策和无限对策等等。
max VG X 1 E ( X 1 , 1 ) E ( X 1 , 2 ) X 2 E ( X 2 , 1 ) E ( X 2 , 2 ) 5 x1 8 x2 VG E s . t . X 3 E ( X 3 , 1 ) E ( X 3 , 2 ) 9 x1 6 x2 VG x x 1 , x , x 0 1 2 1 2
《运筹学教学资料》ch14对策论
寡头垄断市场上的价格竞争案例中，存在几 家大型企业，它们通过价格策略来争夺市场 份额。如果企业都选择降价，将导致价格战； 如果都选择维持高价，将获得更多利润。但 企业往往会选择降价来争夺市场，最终导致 双方受损。
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纯策略均衡
在纳什均衡中，每个参与者都采用单 一策略。如果所有参与者的纯策略组 合构成纳什均衡，则称为纯策略均衡。
混合与者以一定的概率分布随机选择不同的策略，使得对手无法通过预测获 得优势。在混合策略均衡中，每个参与者的预期收益达到相对稳定的状态。
混合策略纳什均衡
在经济学中，帕累托前沿表示在所有可能的资源配置中，能够使得所有
玩家的利益都得到最大化的配置集合。帕累托前沿用于衡量资源配置的
效率和公平性。
03
应用
纳什均衡和帕累托前沿是评价博弈结果和资源配置的重要工具，可以帮
助理解在竞争和合作中的最优选择和资源配置问题。
04
多人对策
合作博弈与非合作博弈
合作博弈
参与者通过合作达成协议，以最 大化共同利益。合作博弈强调联 盟和集体行动，通常使用夏普里 值来分配收益。
运筹学教学资料
目
CONTENCT
录
• 对策论简介 • 二人有限零和对策 • 二人有限非零和对策 • 多人对策 • 对策论案例分析
01
对策论简介
对策论的定义与特点
定义
对策论，也称为博弈论，是研究决策主体在相互竞争、对抗或合 作中的行为和决策的数学分支。
特点
对策论强调理性个体之间的策略互动，通过数学模型描述和预测 主体之间的行为和结果，为决策者提供最优策略和解决方案。
对策论的应用领域
01
02
运筹学_对策论
第17页
混合策略
• 混合扩充
矩阵对策扩充 N人有限对策
• 混合平衡解
矩阵对策 N人有限对策
• 均衡解的存在性
第18页
混 合 扩 充—矩阵对策
策略集
m
S * 1
{X
( x1 , x2 ,..., xm )
xi 1, xi 0, i 1,2,..., m}
i 1
nS* 2{Y( y1 ,y2 ,...,
yn )
y j 1, y j 0, j 1,2,..., n}
j 1
支付函数
mn
E( X ,Y )
aij xi y j
i1 j1
混合扩充： *
{
S1*
,
S
* 2
,
E
(
x
,
y),
x
S1* ,
y
S
* 2
}
第19页
混 合 扩 充—N人有限对策
N 人有限对策 I {1,2,..., N }, Si , i I , H i (s), i I
• 定理1 N人有限对策的混合扩充存在平衡局势. • 定理2 矩阵对策的混合扩充存在平衡局势.
第23页
矩阵对策的解法
• 问题的简化
优超 算例
• 线性规划方法
基本思想 算例
第24页
优超
给定矩阵对策 {S1 , S2 , A} ， A 是 m n 的矩阵，如果
akj alj , j 1,2,..., n
则称局中人 1 的策略 k 优超于策略 l。如果
aik ail , i 1,2,..., m
则称局中人 2 的策略 k 优超于策略 l。
注：局中人 1 的策略 k 优超于策略 l 则说明对局中人 1
混合策略
• 混合扩充
矩阵对策扩充 N人有限对策
• 混合平衡解
矩阵对策 N人有限对策
• 均衡解的存在性
第18页
混 合 扩 充—矩阵对策
策略集
m
S * 1
{X
( x1 , x2 ,..., xm )
xi 1, xi 0, i 1,2,..., m}
i 1
nS* 2{Y( y1 ,y2 ,...,
yn )
y j 1, y j 0, j 1,2,..., n}
j 1
支付函数
mn
E( X ,Y )
aij xi y j
i1 j1
混合扩充： *
{
S1*
,
S
* 2
,
E
(
x
,
y),
x
S1* ,
y
S
* 2
}
第19页
混 合 扩 充—N人有限对策
N 人有限对策 I {1,2,..., N }, Si , i I , H i (s), i I
• 定理1 N人有限对策的混合扩充存在平衡局势. • 定理2 矩阵对策的混合扩充存在平衡局势.
第23页
矩阵对策的解法
• 问题的简化
优超 算例
• 线性规划方法
基本思想 算例
第24页
优超
给定矩阵对策 {S1 , S2 , A} ， A 是 m n 的矩阵，如果
akj alj , j 1,2,..., n
则称局中人 1 的策略 k 优超于策略 l。如果
aik ail , i 1,2,..., m
则称局中人 2 的策略 k 优超于策略 l。
注：局中人 1 的策略 k 优超于策略 l 则说明对局中人 1
运筹学-第六讲对策论
S S1 S2 Sn
引言
对策论 game theory
对策的结构和分类
按对策方式非 合合 作作 对对 策策有 完限 全理 理性 性
对策分类按对策人数二人对策二 二人 人非 零零 和和 对对 策策
多人对策
按对策状态动 静态 态对 对策 策不 完 不 完完 全 完 全全 信 全 信信 息 信 息息 动 息 静动 态 静 态态 对 态 对对 策 对 策策 策
Nash对对策论的贡献有： (i) 合作对策中的讨价还价模型，称为Nash讨价还价解； (ii) 非合作对策的均衡分析。
(6) 目前，博弈论在定价、招投标、谈判、拍卖、委托—代理以及很多的经营 决策中得到应用，它已成为现代经济学的重要基础。现代对策论总体上是一门 新兴的发展中的学科。
对策论 game theory
数服从(0-1)分布．
【定义】 如果一个策略G={S1, …, Sn; h1, … , hn}中，参予者i 的策略集为
Si={Si1, … , Sik}，如果由各个对策方的策略组成策略集合G*={S1*, S2*, …, Sn*}，
其中
Si*
xi
E mi
| xi
0,i 1,2,, mi ,
纳什均衡
Nash Equilibrium
对于对策中的每一个局中人，真正成功的措施应该是针对于其他局中 人所采取的每次行动，相应地采取有利于自己地反应策略，于是每一 个局中人应采取的必定是他对其他局中人策略的预测的最佳反应。
纳什均衡
对策论 game theory
纳什均衡定义
用G 表示一个对策，若一个对策中有 n 个局中人，则每个局中人可选策略的 集合称为策略集，分别用 S1，S2，…，Sn 表示；Sij 表示局中人i 的第 j 个策 略，其中 j 可取有限个值(有限策略对策)，也可取无限个值(无限策略对策)； 对策方 i 的得益则用 hi 表示；hi 是各对策方策略的多元函数，n个局中人的
引言
对策论 game theory
对策的结构和分类
按对策方式非 合合 作作 对对 策策有 完限 全理 理性 性
对策分类按对策人数二人对策二 二人 人非 零零 和和 对对 策策
多人对策
按对策状态动 静态 态对 对策 策不 完 不 完完 全 完 全全 信 全 信信 息 信 息息 动 息 静动 态 静 态态 对 态 对对 策 对 策策 策
Nash对对策论的贡献有： (i) 合作对策中的讨价还价模型，称为Nash讨价还价解； (ii) 非合作对策的均衡分析。
(6) 目前，博弈论在定价、招投标、谈判、拍卖、委托—代理以及很多的经营 决策中得到应用，它已成为现代经济学的重要基础。现代对策论总体上是一门 新兴的发展中的学科。
对策论 game theory
数服从(0-1)分布．
【定义】 如果一个策略G={S1, …, Sn; h1, … , hn}中，参予者i 的策略集为
Si={Si1, … , Sik}，如果由各个对策方的策略组成策略集合G*={S1*, S2*, …, Sn*}，
其中
Si*
xi
E mi
| xi
0,i 1,2,, mi ,
纳什均衡
Nash Equilibrium
对于对策中的每一个局中人，真正成功的措施应该是针对于其他局中 人所采取的每次行动，相应地采取有利于自己地反应策略，于是每一 个局中人应采取的必定是他对其他局中人策略的预测的最佳反应。
纳什均衡
对策论 game theory
纳什均衡定义
用G 表示一个对策，若一个对策中有 n 个局中人，则每个局中人可选策略的 集合称为策略集，分别用 S1，S2，…，Sn 表示；Sij 表示局中人i 的第 j 个策 略，其中 j 可取有限个值(有限策略对策)，也可取无限个值(无限策略对策)； 对策方 i 的得益则用 hi 表示；hi 是各对策方策略的多元函数，n个局中人的
运筹学对策论
第六章 对
策
论
第一节 对策论的基本概念
第二节 矩阵对策 第三节 矩阵对策的解法
第一节 对策论的基本概念
一、简例
二、对策问题的数学模型 三、对策问题的分类 四、均衡的意义
一、简例
例1 战国时期，齐王与大夫田忌每年要赛马，双方约定：每方出上、中、 下三个等级的马各1匹，每匹马都参赛一次，共赛3次。每次赛后，负者要 付给胜者千金。当时的情况是，在各个等级的马中，齐王的马都稍强于田 忌的马。每次赛马，田忌经常要输三千金。有一次，田忌的谋士孙膑出了 个主意：让田忌用下等马对齐王的上等马，用中等马对齐王的下等马，用 上等马对齐王的中等马。这样，比赛结果田忌一负两胜，反而赢得了一千 金。由此可见，掌握准确的信息，制定正确的行动方案是制胜的关键。在 现实生活中，例如乒乓球团体赛，选手的排序不同，往往导致比赛的结果 不同。在各种冲突的现象中，参与者如何决策是关系重大的问题。
一、简例
例2 Von Neumann根据福尔摩斯探案中的情节，略加修改，把对策论的精 神融会其中，使大侦探与巨盗的斗争，更加引人入胜。大侦探福尔摩斯严 重妨碍了当时邪恶势力的头子莫里亚蒂。此人诡计多端，心黑手狠，多次 扬言要对福尔摩斯下毒手。风声传到福尔摩斯耳朵里，他感到，当时自己 势孤力单，“三十六计，走为上计”，决定暂时离开英国，福尔摩斯匆忙 上了从伦敦到多佛尔的火车。从车窗里，他突然发现莫里亚蒂也在站台上， 并且觉察到对手已发现他坐在火车里，火车正要开动，下车躲避已不可能。 福尔摩斯在火车里，紧张地盘算着对策。从伦敦到多佛尔，火车只停靠一 个中间站坎特伯雷，他是否要在那里下车，中途脱逃呢？另一方面，莫里 亚蒂分析问题的本领毫不逊色于福尔摩斯，他当然会考虑到福尔摩斯中途 是否会下车。两人各自应该采取怎样的对策才更有利于自己？这些问题都 是对策论所要研究的。
策
论
第一节 对策论的基本概念
第二节 矩阵对策 第三节 矩阵对策的解法
第一节 对策论的基本概念
一、简例
二、对策问题的数学模型 三、对策问题的分类 四、均衡的意义
一、简例
例1 战国时期，齐王与大夫田忌每年要赛马，双方约定：每方出上、中、 下三个等级的马各1匹，每匹马都参赛一次，共赛3次。每次赛后，负者要 付给胜者千金。当时的情况是，在各个等级的马中，齐王的马都稍强于田 忌的马。每次赛马，田忌经常要输三千金。有一次，田忌的谋士孙膑出了 个主意：让田忌用下等马对齐王的上等马，用中等马对齐王的下等马，用 上等马对齐王的中等马。这样，比赛结果田忌一负两胜，反而赢得了一千 金。由此可见，掌握准确的信息，制定正确的行动方案是制胜的关键。在 现实生活中，例如乒乓球团体赛，选手的排序不同，往往导致比赛的结果 不同。在各种冲突的现象中，参与者如何决策是关系重大的问题。
一、简例
例2 Von Neumann根据福尔摩斯探案中的情节，略加修改，把对策论的精 神融会其中，使大侦探与巨盗的斗争，更加引人入胜。大侦探福尔摩斯严 重妨碍了当时邪恶势力的头子莫里亚蒂。此人诡计多端，心黑手狠，多次 扬言要对福尔摩斯下毒手。风声传到福尔摩斯耳朵里，他感到，当时自己 势孤力单，“三十六计，走为上计”，决定暂时离开英国，福尔摩斯匆忙 上了从伦敦到多佛尔的火车。从车窗里，他突然发现莫里亚蒂也在站台上， 并且觉察到对手已发现他坐在火车里，火车正要开动，下车躲避已不可能。 福尔摩斯在火车里，紧张地盘算着对策。从伦敦到多佛尔，火车只停靠一 个中间站坎特伯雷，他是否要在那里下车，中途脱逃呢？另一方面，莫里 亚蒂分析问题的本领毫不逊色于福尔摩斯，他当然会考虑到福尔摩斯中途 是否会下车。两人各自应该采取怎样的对策才更有利于自己？这些问题都 是对策论所要研究的。
运筹学-对策论
3.矩阵对策的混合策略
例：设一个赢得矩阵如下:
5 A = 8 max 8 6 9 6 min
j
9
min 5 max
i
6 策略α2
8 策略β1
• 思路：对甲（乙）给出一个选取不同策 略的概率分布，以使甲（乙）在各种情 况下的平均赢得（损失）最多（最少）。 -----即混合策略
重要定理
定理 任一矩阵对策G {S1,S2;A}， 任一矩阵对策G＝{S1,S2;A}，一定存在混 合策略意义下的解。 合策略意义下的解。 • 定理 设有两个矩阵对策 • G1＝ G2＝ G1＝{S1,S2;A1} G2＝{S1,S2;A2} • 其中A1＝(aij)，A2＝(aij+L)，L为任一常数。 A1＝ 其中A1 (aij)，A2＝(aij+L)， 为任一常数。 则 • (1)G1 G2同解 G1与 同解； (1)G1与G2同解； • (2)VG2 VG2＝ (2)VG2＝VG1+L
7.4 矩阵对策的解法
• (1) 2×2矩阵对策的线性方程组法 2× • 所谓2 所谓2×2矩阵对策是指局中人Ⅰ的赢得矩阵为2×2阶的，即 矩阵对策是指局中人Ⅰ的赢得矩阵为2 是指局中人 阶的， A = a11 a12 • a21 a22 • 如果此对策有纯策略意义下的解，则很容易求解； 如果此对策有纯策略意义下的解，则很容易求解；如果没有 纯策略意义下的解， 纯策略意义下的解，则为求出各局中人的最优混合策略可求解下 列方程组： 列方程组： • a11x1＋a21x2＝ a11y1＋a12y2＝ a11x1＋a21x2＝v a11y1＋a12y2＝v • a12x1＋a22x2＝ a21y1＋a22y2＝ a12x1＋a22x2＝v a21y1＋a22y2＝v • y1＋y2＝ x1＋x2＝ y1＋y2＝1 x1＋x2＝1 • 当没有纯策略意义下的解时，方程组一定有严格非负解 x*= 当没有纯策略意义下的解时， x1* x2* y*=（y1*，y2*）， （x1*，x2*）和y*=（y1*，y2*）， 即为各局中人的最优混合策 略。