广义哈密顿系统理论及其应用2版(李继彬,赵晓华,刘正荣著)思维导图
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哈密顿原理
（二）哈密顿原理
质点系的运动是一个客观存在的事 实，力学的任务是对运动作出正确的描 述。矢量力学的理论是指出一切真实运 动所应服从的规律，并以此为依据，去 论断各个具体运动的特征。可是分析力 学并不这样。分析力学研究约束所允许 的一切可能运动，设法在可能运动所构 成的集合中把真实运动挑选出来。由此 可见，分析力学与矢量力学在思想方法
4. 变分运算的几个法则 A B A B
AB A B B A
A B A A B 2 B B d dA A dx dx
Adx
x1
x2
x2
x1
A dx
A
x
B
z
设质点在某一瞬时速度为v，则滑过ds路程的时间
dt=ds/v
没有摩擦，保守力场机械能守恒
v 2gz
曲线方程
（坐标为z时的质点速度）
z=z(x),
而曲线的元弧长：
2
ds
dz 1 dx dx
ds dt v
1 z dx , 2 gz
'2
T
xB
（一）变分法简介
变分法是研究泛函极值的一 种数学理论，它是由力学中最 速落径问题的诱导而发展起来 的。由伊凡· 贝努力提出来的最 速落径问题是这样一个问题.
1. 最速落径问题
不考虑摩擦力和空气阻力，在连 接不在同一铅直线上的任意两定点A 和B（B低于A）的所有曲线中，无 初速的质 点在重力作用下沿哪一条 曲线轨道从A滑到B所需时间最短？ 显然，下滑时间与曲线形状有 关。
欧勒方程
如果 f 不显含自变量 x , 则欧勒方程有初积分 : f f - y' 常数. y '
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微分几何入门与广义相对论.下 册|2版(梁灿彬，周彬[著])
演讲人
2 0 2 X - 11 - 11
目录
1
下册前言
2
第15章广义相对论的拉氏和哈氏形
式
3
第16章孤立视界、动力学视界和黑
洞(热)力学
4
附录H时空对称性与守恒律
(Noether定理)
5
附录I纤维丛及其在规范场论的应用
6
附录J德西特时空和反德西特时空
附录I纤维丛及其在规范场论的应用
§I.2主丛上的联络
0 1 I.2.1主丛联络的三个等价定义 0 2 I.2.2水平提升矢量场和水平提升曲
线
附录I纤维丛及其在规范场论的应用
§I.4物理场的整体规范不变性
02
I.4.2非阿贝尔情况 下的整体规范不变
性
01
I.4.1阿贝尔情况下
的整体规范不变性
3
哈氏理论的几何表述
[选读]
4
§15.4经典场论的哈 氏形式
第15章广义相对论的拉氏和哈 氏形式
§15.7辛几何及其在哈氏理论的 应用[选读]
§15.8从几何动力学到联络动力 学——Ashtekar新变量理论简 介[选读].
习题
第15章广义相对论的拉氏和哈氏形式
§15.1拉氏理论
15.1.2经典 场论的拉氏 形式
第零定律
04 1 6 . 5 . 4 弱孤 立视界
05 1 6 .5 .5 弱孤 立视界
和孤立视界的对称性
第一定律
第16章孤立视 界、动力学视界 和黑洞(热)力学
§16.6弱孤立视界的进一步讨 论[选读]
0 1 16.6.1类光超曲面上的适配“面元” 0 2 16.6.2“度规”和适配“面元”的广
演讲人
2 0 2 X - 11 - 11
目录
1
下册前言
2
第15章广义相对论的拉氏和哈氏形
式
3
第16章孤立视界、动力学视界和黑
洞(热)力学
4
附录H时空对称性与守恒律
(Noether定理)
5
附录I纤维丛及其在规范场论的应用
6
附录J德西特时空和反德西特时空
附录I纤维丛及其在规范场论的应用
§I.2主丛上的联络
0 1 I.2.1主丛联络的三个等价定义 0 2 I.2.2水平提升矢量场和水平提升曲
线
附录I纤维丛及其在规范场论的应用
§I.4物理场的整体规范不变性
02
I.4.2非阿贝尔情况 下的整体规范不变
性
01
I.4.1阿贝尔情况下
的整体规范不变性
3
哈氏理论的几何表述
[选读]
4
§15.4经典场论的哈 氏形式
第15章广义相对论的拉氏和哈 氏形式
§15.7辛几何及其在哈氏理论的 应用[选读]
§15.8从几何动力学到联络动力 学——Ashtekar新变量理论简 介[选读].
习题
第15章广义相对论的拉氏和哈氏形式
§15.1拉氏理论
15.1.2经典 场论的拉氏 形式
第零定律
04 1 6 . 5 . 4 弱孤 立视界
05 1 6 .5 .5 弱孤 立视界
和孤立视界的对称性
第一定律
第16章孤立视 界、动力学视界 和黑洞(热)力学
§16.6弱孤立视界的进一步讨 论[选读]
0 1 16.6.1类光超曲面上的适配“面元” 0 2 16.6.2“度规”和适配“面元”的广
图论-哈密尔顿图-课内专题报告
{n-3,n-1},{n-1,1}组成。这条哈密顿圈与第一条圈没有公共边。当n ≥7时，按照这种
k 2 方法把图？中的圈旋转角度 n 1 ，其中2 ≤k ≤(n-3)/2，就得到总数为(n-1)/2条哈密顿
圈，它们满足任意两个圈没有公共边。所以这17名学生在此科学营地中一直可以共进 (17-1)/2=8天午餐，直到某些同学不得再次坐在其它人旁边。 5 5 7 n-2 3 3 2 4 1 n 2 1 n n-1 (b)
2014-4-14 图论之哈密尔顿图 16
Xi’an Jiaotong University
定理 3 设G =(V,E)是一个无环图并且|V| 2。如果对于所有的x,y V并且x y 都有deg(x)+deg(y) n-1,则G中有哈密顿路径。 使得x是C1中的一个顶点，y是C2中的一个顶点。设Ci具有n i 个顶点，其中i=1,2。 则deg(x) n1 1， deg( y ) n2 1, 从而有 deg( x) deg( y) ( n1 n2 ) 2, 这就与定理中 给出的条件矛盾。因此,G是连通的。 现在构造G中的一条哈密顿路径。对于m 2，pm是长度为m 1的路径
2
Xi’an Jiaotong University
哈密尔顿周游世界问题
1857年，著名的爱尔兰数学家Sir William Hamilton设计了一个游 戏：它是由一个木制的正十二面体构成，在它的每个棱角处标有当 时很有名的城市。游戏目的是“环球旅行”。为了容易记住被旅游 过的城市 ，在每个棱角上放上一个钉子，再用一根线绕在那些旅游 过的城市上(钉子),由此可以获得旅程的直观表示。给定世界上20个 城市，用一个代表地球的十二面体的20个顶点分别代表这20个城市。 从某一个顶点出发，沿着十二面体的棱，经过每个顶点恰好一次， 最后回到出发点。
24-哈密尔顿图
A B F A B
F
C
C
E
D
E
D
旅行推销员(TSP)问题 问题 旅行推销员
问题：n个城市间均有道路，但距离不等，旅行推销员从某地出发， 走过其它n-1个城市，且只经过一次，如何选择最短路线？ 数学模型： 构造无向带权图G， VG中的元素对应于每个城市， EG中每个元素 对应于城市之间的道路，道路长度用相应边的权表示。 则问题的解对应于G中包含所有边的权最小的哈密尔顿回路。 G是带权完全图， 总共有n!/2条哈密尔顿回路。因此，问题是如何 从这n!/2条中找出最短的一条。 (给你一点感觉 给你一点感觉：含20个顶点的完全图中不同的哈密尔顿回路有约 给你一点感觉 6000万亿条-(1.21645×1017)/2，若机械地检查，每秒处理10万条， 需2万年。)
若v1,vk相邻，结论成立。 若v1,vk不相邻，令T={vj|vj与vk相邻} ，S={vi|v1与vi+1相邻} ； 注意：|S|+|T|= d(v1)+d(vk)≥n-1, |S|+|T|= Qvk∉S⋃T, ∴|S⋃T|≤k-1<n-1, ∴|S⋂T|=|S|+|T|-|S⋃T|>0, 即 ⋃ ⋃ ⋂ ⋃ S⋂T非空，令vi∈S⋂T, 则vi+1与v1相邻，vi与vk相邻。于是 C=v1…vivkvk-1…vi+1v1是包含Γ中所有顶点的初级回路。
闭合图与哈密尔顿图的判定
图G是哈密尔顿图当且仅当C(G)是哈密尔顿图。 只须证明在构造闭合图(加边)过程中的每一步，图的哈密 过程中的每一步，
尔顿性质均双向保持
若u,v∈VG, u,v不相邻，且d(u)+d(v)≥|VG|，则G是哈密尔顿 图当且仅当G+e(u,v)是哈密尔顿图。 必要性显然。 反之，若G+{uv}是哈密尔顿图，但G不是，则G是半哈 密尔顿图，且uv-路径是哈密尔顿通路，由 d(u)+d(v)≥|VG|，可以将uv-路径改造成哈密尔顿回路， 矛盾。
F
C
C
E
D
E
D
旅行推销员(TSP)问题 问题 旅行推销员
问题：n个城市间均有道路，但距离不等，旅行推销员从某地出发， 走过其它n-1个城市，且只经过一次，如何选择最短路线？ 数学模型： 构造无向带权图G， VG中的元素对应于每个城市， EG中每个元素 对应于城市之间的道路，道路长度用相应边的权表示。 则问题的解对应于G中包含所有边的权最小的哈密尔顿回路。 G是带权完全图， 总共有n!/2条哈密尔顿回路。因此，问题是如何 从这n!/2条中找出最短的一条。 (给你一点感觉 给你一点感觉：含20个顶点的完全图中不同的哈密尔顿回路有约 给你一点感觉 6000万亿条-(1.21645×1017)/2，若机械地检查，每秒处理10万条， 需2万年。)
若v1,vk相邻，结论成立。 若v1,vk不相邻，令T={vj|vj与vk相邻} ，S={vi|v1与vi+1相邻} ； 注意：|S|+|T|= d(v1)+d(vk)≥n-1, |S|+|T|= Qvk∉S⋃T, ∴|S⋃T|≤k-1<n-1, ∴|S⋂T|=|S|+|T|-|S⋃T|>0, 即 ⋃ ⋃ ⋂ ⋃ S⋂T非空，令vi∈S⋂T, 则vi+1与v1相邻，vi与vk相邻。于是 C=v1…vivkvk-1…vi+1v1是包含Γ中所有顶点的初级回路。
闭合图与哈密尔顿图的判定
图G是哈密尔顿图当且仅当C(G)是哈密尔顿图。 只须证明在构造闭合图(加边)过程中的每一步，图的哈密 过程中的每一步，
尔顿性质均双向保持
若u,v∈VG, u,v不相邻，且d(u)+d(v)≥|VG|，则G是哈密尔顿 图当且仅当G+e(u,v)是哈密尔顿图。 必要性显然。 反之，若G+{uv}是哈密尔顿图，但G不是，则G是半哈 密尔顿图，且uv-路径是哈密尔顿通路，由 d(u)+d(v)≥|VG|，可以将uv-路径改造成哈密尔顿回路， 矛盾。
经典力学的哈密顿理论课件
牛顿理论是等价的。哈密顿理论的优点在于便于将力学推广到物理学其他领域。
7.1 哈密顿函数和正则方程
（1）哈密顿函数
拉格朗日函数是 q , q 和t的函数：
L L(q , q，, t它) 的全微分为
dL
s
1
L q
dq
s 1
L q
dq
L dt t
将广义动量和拉格朗日方程：
第2页，共30页。
p
L q
设曲线AB方程为y=y(x)，质点沿曲 线运动速度为
2gy ds
(dx)2 (dy)2
1 y'2 dx
dt
dt
dt
质点自A沿曲线y(x)自由滑至B点所需的时间
J
xBdt
xB
1 y'2 dx
xA
xA 2gy
（7.6）
第8页，共30页。
显然J的值与函数y(x)有关，最速落径问题就是求J的极值问题，即y(x)取什么 函数时，函数J[y(x)]取极小值。J[y(x)]称为函数y(x)的泛函数。J[y(x)]取极值
（3）哈密顿原理
一个具有s自由度的体系，它的运动由s个广义坐标 q (t ) 来描述。 在体系的s维位形空间中，这s个广义坐标的值确定体系的一个位形点， 随着时间的变动，位形点在位形）空，间描绘出体系的运动轨道。设在时刻
t1 和 t 2 体系位于位形空间的 P1 点和 P2 点，相应的广义坐标为
q (t1 ) 和 q (t 2 )（或缩写为 q(t1 ) 和 q(t2 ) 由 P1 点通向和 P2 点有多种可能的轨道（路径），但体系运动的真实 轨道只能是其中的一条。如何从众多的可能轨道中挑选出体系运动的 真实轨道？即在 t1 ~ t2 时间内，为何确定体系的s个广义坐标 q(t )？
7.1 哈密顿函数和正则方程
（1）哈密顿函数
拉格朗日函数是 q , q 和t的函数：
L L(q , q，, t它) 的全微分为
dL
s
1
L q
dq
s 1
L q
dq
L dt t
将广义动量和拉格朗日方程：
第2页，共30页。
p
L q
设曲线AB方程为y=y(x)，质点沿曲 线运动速度为
2gy ds
(dx)2 (dy)2
1 y'2 dx
dt
dt
dt
质点自A沿曲线y(x)自由滑至B点所需的时间
J
xBdt
xB
1 y'2 dx
xA
xA 2gy
（7.6）
第8页，共30页。
显然J的值与函数y(x)有关，最速落径问题就是求J的极值问题，即y(x)取什么 函数时，函数J[y(x)]取极小值。J[y(x)]称为函数y(x)的泛函数。J[y(x)]取极值
（3）哈密顿原理
一个具有s自由度的体系，它的运动由s个广义坐标 q (t ) 来描述。 在体系的s维位形空间中，这s个广义坐标的值确定体系的一个位形点， 随着时间的变动，位形点在位形）空，间描绘出体系的运动轨道。设在时刻
t1 和 t 2 体系位于位形空间的 P1 点和 P2 点，相应的广义坐标为
q (t1 ) 和 q (t 2 )（或缩写为 q(t1 ) 和 q(t2 ) 由 P1 点通向和 P2 点有多种可能的轨道（路径），但体系运动的真实 轨道只能是其中的一条。如何从众多的可能轨道中挑选出体系运动的 真实轨道？即在 t1 ~ t2 时间内，为何确定体系的s个广义坐标 q(t )？
7第5章哈密顿原理
拉格朗日函数为
根据哈密顿原理，
整理后，
又，
代入前式中，得到
在瞬时t0，t1，有r== 0，于是上式中的后四项为零，由于t0，t1是任意的，所以被积函数应为零，且和是彼此独立的，于是我们得到
哈密顿原理可用来推导各种形式的弹性结构（杆及杆系、板、壳）的运动微分方程及求动力响应的近似解。
例5-6试建立二端固定而绷紧的均质弦的微幅振动动力学方程。
(1)
固定时间t，式(1)表示以a为变量（0al）的曲线参数方程，如图18-5中的曲线c，根据不可伸长的约束条件，得到
由此推出
(1)
用 分别表示横向位移及其对a和对t的偏导数，并且限于讨论偏离铅垂位置的微振动。若将横向运动量 看作一阶小量，则由公式(1)看出， 是二阶小量，在略去四阶小量 后，式(1)简化为
(2)
系统动能精确到二阶小量为
(3)
式中，是悬链线密度。若以O为零势能位置重力势能为
(4)
式中，xC是链子的质心坐标；xN是集中质量的坐标。根据质心公式，有
而
若以悬链静平衡为零势能状态，则系统的重力势能为
(5)
令
其中，是集中质量与链的质量比，则系统的拉格朗日函数由式(3)和(5)得
哈密顿作用量为
(6)
t
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
0.00
0.29313
0.56900
0.81038
1.00
0.00
0.29401
0.56975
0.81006
1.00
0.00
-0.299
-0.132
+0.0395
0.00
习
5-1如题5-1图所示，半径为r的均质圆球自半径为R的固定球顶端无初速、无滑动地滚下，试求动球的正则方程及球心下降的加速度。
根据哈密顿原理，
整理后，
又，
代入前式中，得到
在瞬时t0，t1，有r== 0，于是上式中的后四项为零，由于t0，t1是任意的，所以被积函数应为零，且和是彼此独立的，于是我们得到
哈密顿原理可用来推导各种形式的弹性结构（杆及杆系、板、壳）的运动微分方程及求动力响应的近似解。
例5-6试建立二端固定而绷紧的均质弦的微幅振动动力学方程。
(1)
固定时间t，式(1)表示以a为变量（0al）的曲线参数方程，如图18-5中的曲线c，根据不可伸长的约束条件，得到
由此推出
(1)
用 分别表示横向位移及其对a和对t的偏导数，并且限于讨论偏离铅垂位置的微振动。若将横向运动量 看作一阶小量，则由公式(1)看出， 是二阶小量，在略去四阶小量 后，式(1)简化为
(2)
系统动能精确到二阶小量为
(3)
式中，是悬链线密度。若以O为零势能位置重力势能为
(4)
式中，xC是链子的质心坐标；xN是集中质量的坐标。根据质心公式，有
而
若以悬链静平衡为零势能状态，则系统的重力势能为
(5)
令
其中，是集中质量与链的质量比，则系统的拉格朗日函数由式(3)和(5)得
哈密顿作用量为
(6)
t
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
0.00
0.29313
0.56900
0.81038
1.00
0.00
0.29401
0.56975
0.81006
1.00
0.00
-0.299
-0.132
+0.0395
0.00
习
5-1如题5-1图所示，半径为r的均质圆球自半径为R的固定球顶端无初速、无滑动地滚下，试求动球的正则方程及球心下降的加速度。
广义哈密顿原理书籍-概述说明以及解释
广义哈密顿原理书籍-概述说明以及解释1.引言概述部分介绍了文章的整体内容和目的。
可以根据广义哈密顿原理的概念和研究领域，给出以下内容：概述部分（1.1 概述）：广义哈密顿原理作为经典力学的重要原理之一，是描述物理系统运动的一种数学工具。
该原理由数学家和物理学家威廉·哈密顿于1834年首次提出，并在之后的几个世纪里得到了广泛的应用和发展。
本文旨在探讨广义哈密顿原理的基本概念、历史发展以及应用领域，并深入阐述其在物理学研究中的重要性。
通过对广义哈密顿原理的深入理解和探索，有助于我们更好地理解物理系统的运动规律和宏观现象的涌现。
在本文的正文部分，我们将首先介绍广义哈密顿原理的定义，包括其数学形式和基本假设。
接着，我们将回顾广义哈密顿原理的历史发展，了解其在物理学研究中的重要里程碑和贡献。
然后，我们将探讨广义哈密顿原理的应用领域，包括经典力学、量子力学、相对论以及其他学科领域中的应用案例。
最后，我们将总结广义哈密顿原理的关键要点，并展望其未来的发展方向。
通过本文的研究，我们将深入了解广义哈密顿原理的数学和物理背景，掌握其在物理学中的重要性和应用方法。
同时，我们也将思考广义哈密顿原理对于理解和解释自然界中各种现象的意义和启示。
总之，本文将为读者提供一份关于广义哈密顿原理的综合介绍和分析，希望能对物理学和科学研究的发展做出一定的贡献。
文章结构是撰写一篇长文的基本框架，它有助于读者更好地理解文章的内容和思路。
本文按照以下结构来组织：一、引言部分1.1 概述：对广义哈密顿原理进行简要介绍，包括其定义、起源和重要性。
1.2 文章结构：本节内容1.3 目的：说明本文撰写的目的，即通过介绍广义哈密顿原理的书籍，向读者推荐一些值得阅读的文献，帮助读者更好地理解和应用广义哈密顿原理。
二、正文部分2.1 广义哈密顿原理的定义：详细介绍广义哈密顿原理的概念和基本原理，包括其在物理学领域的应用以及数学表达方式等方面。
第5章 分析力学
等时变分
分 微 fi (rrj ,t) = 0 等时变分
∑N j
∂∂rfrij
⋅ drrj
+
∂fi ∂t
dt
=
0
∑N j
∂∂rfrij ⋅δ rrj = 0
等时变分运算与微分运算类似，但δt = 0。
将向径进行等时变分就是虚位移，将几何约束方 程进行等时变分就可以得到虚位移之间的关系。
例：
x θ l 刚性杆
给定了某一时刻质点的坐标和速度, 由动力学方程原 则上单值地确定该时刻的加速度, 因而能够唯一地确定下 一个时刻(或前一个时刻)的坐标和速度。
以此类推, 当知道某一时刻的状态，就知道了体系在 任一时刻的状态。
2. 约束
约束是对物体运动位置或速度的限制。
几乎所有的力学系统都存在着约束。
例如，刚体内任意两质点间距离不变； 两个刚体用铰链连接；轮 子无滑动地滚动；两个质点用不可伸长的绳连接等。
牛顿定律
变分原理
牛顿力学
分析力学
以力、加速度等向 量为基本物理量— 向量力学
以功、能量等 标量为基本物 理量。
本课程将牛顿定律和达朗贝尔－拉格朗日原理作为 两个并列的理论基础。
拉格朗日方程 用s 个独立变量来描述力学体系的 运动, 是二阶常微分方程组，与牛顿第二定律一样.
哈密顿正则方程 用坐标和动量作为独立变量,独立 变量2 s 个,方程降阶为一阶常微分方程.
如前例: 圆环在地面上作纯滚动，如果θ = θ (t ) ，则4个
坐标相互独立，但xc、yc的微分
dxc = R cosθ dϕ , dyc = R sinθ dϕ ,
并不独立。因此， 广义坐标数为4， 自由度为2。