模糊数学试卷16年
【数学】2016年高考真题——全国Ⅲ卷(理)(word版含答案)
2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合S = ，则S T =（ ）(A) [2，3] (B)（- ，2] [3,+） (C) [3,+） (D)（0，2] [3,+） （2）若，则( ) (A)1 (B) -1(C) i (D)-i（3）已知向量 , 则ABC =( )(A)300 (B) 450(C) 600 (D)1200 （4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C ，B 点表示四月的平均最低气温约为50C.下面叙述不正确的是( ) (A) 各月的平均最低气温都在00C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200C 的月份有5个 （5）若 ，则( ) (A)(B) (C) 1 (D) （6）已知，，，则( ){}{}|(2)(3)0,|0S x x x T x x =--≥=>I ∞U ∞∞U ∞12z i =+41izz =-1(,)22BA =uu v 1(),22BC =uu u v ∠3tan 4α=2cos 2sin 2αα+=642548251625432a =254b =1325c =（A ） （B ） （C ） （D ） （7）执行下图的程序框图，如果输入的，那么输出的( )（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 （8）在中，，BC 边上的高等于,则( ) （A（B（C ）（D ）(9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为() （A ） （B ） （C ）90 （D ）81(10) 在封闭的直三棱柱内有一个体积为V 的球，若，，，，则V 的最大值是( )（A ）4π （B ）（C ）6π （D ）（11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：的左焦点，A ，B 分别为C的左，右顶点P 为C 上一点，且轴.过点A 的直线l 与线段交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )（A ）（B ）（C ）（D ） （12）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有( )（A ）18个（B ）16个（C ）14个（D ）12个b ac <<a b c <<b c a <<c a b <<46a b ==，n =ABC △π4B =13BC cos A =--18+54+111ABC A B C -AB BC ⊥6AB =8BC =13AA =92π323π22221(0)x y a b a b+=>>PF x ⊥PF 131223342k m ≤12,,,k a a a第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）若满足约束条件则的最大值为_____________.（14）函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到.（15）已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是_______________.（16）已知直线：与圆交于两点，过分别做的垂线与轴交于两点，若__________________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）已知数列的前n 项和，其中． （I ）证明是等比数列，并求其通项公式； （II ）若 ，求．,x y 1020220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩z x y =+sin y x x =sin y x x =()f x 0x <()ln()3f x x x =-+()y f x =(1,3)-l 30mx y m ++=2212x y +=,A B ,A B l x ,C D AB =||CD ={}n a 1n n S a λ=+0λ≠{}n a 53132S =λ（18）（本小题满分12分）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（I ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； （II ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 参考数据：，，7≈2.646.参考公式：相关系数回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：719.32ii y==∑7140.17i i i t y ==∑0.55=()()niit t y y r --=∑y a bt =+121()()()nii i nii tt y y b tt ==--=-∑∑，=.a y bt -（19）（本小题满分12分）如图，四棱锥中，平面，AD BC ∥，，，为线段上一点，，为的中点．（I ）证明MN ∥平面；（II ）求直线与平面所成角的正弦值.（20）（本小题满分12分）已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两 点，交的准线于两点．（I ）若在线段上，是的中点，证明AR FQ ∥；（II ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.P ABC -PA ⊥ABCD 3AB AD AC ===4PA BC ==M AD 2AM MD =NPC PAB AN PMN C 22y x =F x 12,l l C A B ，C P Q ，F AB R PQ PQF ∆ABF ∆AB（21）（本小题满分12分）设函数，其中，记的最大值为． （Ⅰ）求； （Ⅱ）求；（Ⅲ）证明．请考生在[22]、[23]、[24]题中任选一题作答.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，⊙O 中AB 的中点为，弦分别交于两点． （I ）若，求的大小；（II ）若的垂直平分线与的垂直平分线交于点，证明．()cos 2(1)(cos 1)f x a x a x =+-+0a >|()|f x A ()f x 'A |()|2f x A '≤P PC PD ，AB E F ，2PFB PCD ∠=∠PCD ∠EC FD G OG CD ⊥23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（I ）写出的普通方程和的直角坐标方程；（II ）设点P 在上，点Q 在上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数（I ）当a =2时，求不等式的解集；（II ）设函数当时，，求的取值范围.xOy 1C ()sin x y θθθ⎧⎪⎨=⎪⎩为参数x 2C sin()4ρθπ+=1C 2C 1C 2C ()|2|f x x a a =-+()6f x ≤()|21|,g x x =-x ∈R ()()3f x g x +≥a参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）【答案】D考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算． （2）【答案】C 【解析】试题分析：，故选C ． 考点：1、复数的运算；2、共轭复数． （3）【答案】A 【解析】试题分析：由题意，得，所以，故选A ．考点：向量夹角公式． （4）考点：1、平均数；2、统计图 （5）【答案】A 【解析】试题分析：由，得或，所以，故选A ． 考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式． （6）【答案】 A44(12)(12)11i ii i i zz ==+---112222cos 112||||BA BC ABC BA BC ⨯⋅∠===⨯30ABC ∠=︒3tan 4α=34sin ,cos 55αα==34sin ,cos 55αα=-=-2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=【解析】试题分析：因为，，所以，故选A ． 考点：幂函数的图象与性质． （7）【答案】B考点：程序框图． （8）【答案】C 【解析】试题分析：设边上的高线为，则，所以，．由余弦定理，知，故选C ． 考点：余弦定理． (9)【答案】B考点：空间几何体的三视图及表面积． (10)【答案】B 【解析】试题分析：要使球的体积最大，必须球的半径最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值，此时球的体积为，故选B ． 考点：1、三棱柱的内切球；2、球的体积． （11）【答案】A422335244a b ==>=1223332554c a ==>=b a c <<BC AD 3BC AD=AC ==AB=222222cos 2AB AC BC A AB AC +-===⋅V R 32334439()3322R πππ==考点：椭圆方程与几何性质．（12）【答案】C【解析】试题分析：由题意，得必有，，则具体的排法列表如下：二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）【答案】1a=81a=32考点：简单的线性规划问题． （14）【答案】 【解析】试题分析：因为，＝ ，所以函数的图像可由函数的图像至少向右平移个单位长度得到． 考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数． （15）【答案】考点：1、函数的奇偶性与解析式；2、导数的几何意义． （16）【答案】4 【解析】试题分析：因为，且圆的半径为到直线，，解得，代入直线的方程，得的倾斜角为，由平面几何知识知在梯形中，．考点：直线与圆的位置关系．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【解析】32πsin 2sin()3y x x x π=+=+sin 2sin()3y x x x π==-2sin[()]33x π2π+-sin y x x =sin y x x =32π21y x =--||AB =(0,0)30mx y m ++=3=3=m =l 3y x =+l 30︒ABDC ||||4cos30AB CD ==︒1)1(11---=n n a λλλ1λ=-考点：1、数列通项与前项和为关系；2、等比数列的定义与通项及前项和为． （18）（本小题满分12分）【答案】（Ⅰ）理由见解析；（Ⅱ）1.82亿吨．（Ⅱ）由及（Ⅰ）得， . 所以，关于的回归方程为：. 将2016年对应的代入回归方程得：. 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨. 考点：线性相关与线性回归方程的求法与应用．n a n n S n nS 331.1732.9≈=y 103.02889.2)())((ˆ71271≈=---=∑∑==i ii i ity y t tb 92.04103.0331.1ˆˆ≈⨯-≈-=t b y ay t t y10.092.0ˆ+=9=t 82.1910.092.0ˆ=⨯+=y（19）【答案】（Ⅰ）见解析；．设为平面的法向量，则，即，可取，于是.考点：1、空间直线与平面间的平行与垂直关系；2、棱锥的体积． （20）【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．),,(z y x n =PMN ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-0225042z y x z x )1,2,0(=n 2558|||||,cos |==><AN n AN n 21y x =-考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法． （21）（本小题满分12分）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析． 【解析】试题分析：（Ⅰ）直接可求；（Ⅱ）分两种情况，结合三角函数的有界'()2sin 2(1)sin f x a x a x =---2123,05611,18532,1a a a a A a a a a ⎧-<≤⎪⎪++⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩()f x '1,01a a ≥<<性求出，但须注意当时还须进一步分为两种情况求解；（Ⅲ）首先由（Ⅰ）得到，然后分，三种情况证明试题解析：（Ⅰ）． （Ⅱ）当时，因此，． ………4分当时，将变形为．令，则是在上的最大值，，，且当时，取得极小值，极小值为． 令，解得（舍去），．考点：1、三角恒等变换；2、导数的计算；3、三角函数的有界性． 22. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析．A 01a <<110,155a a <≤<<|()|2|1|f x a a '≤+-1a ≥110,155a a <≤<<'()2sin 2(1)sin f x a x a x =---1a ≥'|()||sin 2(1)(cos 1)|f x a x a x =+-+2(1)a a ≤+-32a =-(0)f =32A a =-01a <<()f x 2()2cos (1)cos 1f x a x a x =+--2()2(1)1g t at a t =+--A |()|g t [1,1]-(1)g a -=(1)32g a =-14a t a -=()g t 221(1)61()1488a a a a g a a a--++=--=-1114a a --<<13a <-15a>60︒考点：1、圆周角定理；2、三角形内角和定理；3、垂直平分线定理；4、四点共圆．23.【答案】（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为；（Ⅱ）．考点：1、椭圆的参数方程；2、直线的极坐标方程． 24.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用等价不等式，进而通过解不等式可求得；1C 2213x y +=2C 40x y +-=31(,)22{|13}x x -≤≤[2,)+∞|()|()h x a a h x a ≤⇔-≤≤（Ⅱ）根据条件可首先将问题转化求解的最小值，此最值可利用三角形不等式求得，再根据恒成立的意义建立简单的关于的不等式求解即可． 试题解析：（Ⅰ）当时，. 解不等式，得.因此，的解集为. ………………5分 （Ⅱ）当时，，当时等号成立，考点：1、绝对值不等式的解法；2、三角形绝对值不等式的应用．()()f x g x +a 2a =()|22|2f x x =-+|22|26x -+≤13x -≤≤()6f x ≤{|13}x x -≤≤x R ∈()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+12x=。
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2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合S = ，则S T =（ ）(A) [2，3] (B)（- ，2] [3,+） (C) [3,+） (D)（0，2] [3,+） （2）若，则( ) (A)1 (B) -1 (C) i (D)-i（3）已知向量 , 则ABC =( ) (A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200 （4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C ，B 点表示四月的平均最低气温约为50C.下面叙述不正确的是( ) (A) 各月的平均最低气温都在00C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200C 的月份有5个 （5）若 ，则( ) (A)(B) (C) 1 (D) （6）已知，，，则( ){}{}|(2)(3)0,|0S x x x T x x =--≥=>I ∞U ∞∞U ∞12z i =+41izz =-13(,)2BA =uu v 31(,),2BC =uu u v ∠3tan 4α=2cos 2sin 2αα+=642548251625432a =254b =1325c =（A ） （B ） （C ） （D ） （7）执行下图的程序框图，如果输入的，那么输出的( )（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 （8）在中，，BC 边上的高等于,则( ) （A ）（B ） （C ） （D ） (9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( ) （A ） （B ） （C ）90 （D ）81(10) 在封闭的直三棱柱内有一个体积为V 的球，若，，，，则V 的最大值是( )（A ）4π （B ）（C ）6π （D ）（11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：的左焦点，A ，B 分别为C的左，右顶点P 为C 上一点，且轴.过点A 的直线l 与线段交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )（A ）（B ）（C ）（D ） （12）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有( )（A ）18个（B ）16个（C ）14个（D ）12个b ac <<a b c <<b c a <<c a b <<46a b ==，n =ABC △π4B =13BC cos A =3101010-310-18365+54185+111ABC A B C -AB BC ⊥6AB =8BC =13AA =92π323π22221(0)x y a b a b+=>>PF x ⊥PF 131223342k m ≤12,,,k a a a L第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）若满足约束条件则的最大值为_____________.（14）函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到.（15）已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是_______________.（16）已知直线：与圆交于两点，过分别做的垂线与轴交于两点，若__________________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）已知数列的前n 项和，其中． （I ）证明是等比数列，并求其通项公式； （II ）若 ，求．,x y 1020220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩z x y =+sin y x x =-sin y x x =()f x 0x <()ln()3f x x x =-+()y f x =(1,3)-l 30mx y m ++=2212x y +=,A B ,A B l x ,C D AB =||CD ={}n a 1n n S a λ=+0λ≠{}n a 53132S =λ（18）（本小题满分12分）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（I ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； （II ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 参考数据：，，7≈2.646.参考公式：相关系数回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：719.32ii y==∑7140.17i i i t y ==∑0.55=()()niit t y y r --=∑y a bt =+)))121()()()nii i nii tt y y b tt ==--=-∑∑)，=.a y bt -)))（19）（本小题满分12分）如图，四棱锥中，平面，AD BC ∥，，，为线段上一点，，为的中点．（I ）证明MN ∥平面；（II ）求直线与平面所成角的正弦值.（20）（本小题满分12分）已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两 点，交的准线于两点．（I ）若在线段上，是的中点，证明AR FQ ∥；（II ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.P ABC -PA ⊥ABCD 3AB AD AC ===4PA BC ==M AD 2AM MD =NPC PAB AN PMN C 22y x =F x 12,l l C A B ，C P Q ，F AB R PQ PQF ∆ABF ∆AB（21）（本小题满分12分）设函数，其中，记的最大值为． （Ⅰ）求； （Ⅱ）求；（Ⅲ）证明．请考生在[22]、[23]、[24]题中任选一题作答.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，⊙O 中AB 的中点为，弦分别交于两点． （I ）若，求的大小；（II ）若的垂直平分线与的垂直平分线交于点，证明．()cos 2(1)(cos 1)f x a x a x =+-+0a >|()|f x A ()f x 'A |()|2f x A '≤P PC PD ，AB E F ，2PFB PCD ∠=∠PCD ∠EC FD G OG CD ⊥23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（I ）写出的普通方程和的直角坐标方程；（II ）设点P 在上，点Q 在上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数（I ）当a =2时，求不等式的解集；（II ）设函数当时，，求的取值范围.xOy 1C 3cos ()sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数x 2C sin()224ρθπ+=1C 2C 1C 2C ()|2|f x x a a =-+()6f x ≤()|21|,g x x =-x ∈R ()()3f x g x +≥a参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）【答案】D考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算． （2）【答案】C 【解析】试题分析：，故选C ． 考点：1、复数的运算；2、共轭复数． （3）【答案】A 【解析】试题分析：由题意，得，所以，故选A ．考点：向量夹角公式． （4）考点：1、平均数；2、统计图 （5）【答案】A 【解析】试题分析：由，得或，所以，故选A ． 考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式． （6）【答案】A44(12)(12)11i ii ii zz ==+---112222cos 11||||BA BC ABC BA BC ⋅∠===⨯u u u r u u u r u uu r u u u r 30ABC ∠=︒3tan 4α=34sin ,cos 55αα==34sin ,cos 55αα=-=-2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=【解析】试题分析：因为，，所以，故选A ． 考点：幂函数的图象与性质． （7）【答案】B考点：程序框图． （8）【答案】C 【解析】试题分析：设边上的高线为，则，所以，．由余弦定理，知，故选C ． 考点：余弦定理． (9)【答案】B考点：空间几何体的三视图及表面积． (10)【答案】B 【解析】试题分析：要使球的体积最大，必须球的半径最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值，此时球的体积为，故选B ． 考点：1、三棱柱的内切球；2、球的体积． （11）【答案】A422335244a b ==>=1223332554c a ==>=b a c <<BC AD 3BC AD=AC ==AB=222222cos 210AB AC BC A AB AC +-===⋅V R 32334439()3322R πππ==考点：椭圆方程与几何性质．（12）【答案】C【解析】试题分析：由题意，得必有，，则具体的排法列表如下：二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）【答案】1a=81a=32考点：简单的线性规划问题． （14）【答案】 【解析】试题分析：因为，＝，所以函数的图像可由函数的图像至少向右平移个单位长度得到． 考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数． （15）【答案】考点：1、函数的奇偶性与解析式；2、导数的几何意义． （16）【答案】4 【解析】试题分析：因为，且圆的半径为到直线，，解得，代入直线的方程，得的倾斜角为，由平面几何知识知在梯形中，．考点：直线与圆的位置关系．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【解析】32πsin 2sin()3y x x x π=+=+sin 2sin()3y x x x π=-=-2sin[()]33x π2π+-sin y x x =-sin y x x =32π21y x =--||AB =(0,0)30mx y m ++=3=3=3m =-l y x =+l 30︒ABDC ||||4cos30AB CD ==︒1)1(11---=n n a λλλ1λ=-考点：1、数列通项与前项和为关系；2、等比数列的定义与通项及前项和为． （18）（本小题满分12分）【答案】（Ⅰ）理由见解析；（Ⅱ）1.82亿吨．（Ⅱ）由及（Ⅰ）得， . 所以，关于的回归方程为：. 将2016年对应的代入回归方程得：. 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨. 考点：线性相关与线性回归方程的求法与应用．n a n n S n nS 331.1732.9≈=y 103.02889.2)())((ˆ71271≈=---=∑∑==i i i i it t y y t tb 92.04103.0331.1ˆˆ≈⨯-≈-=t b y ay t t y10.092.0ˆ+=9=t 82.1910.092.0ˆ=⨯+=y（19）【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．设为平面的法向量，则，即，可取，于是.考点：1、空间直线与平面间的平行与垂直关系；2、棱锥的体积． （20）【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．25),,(z y x n =PMN ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00PM ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-0225042z y x z x )1,2,0(=n 2558|||||,cos |==><AN n21y x =-考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法． （21）（本小题满分12分）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）； （Ⅲ）见解析． 【解析】试题分析：（Ⅰ）直接可求；（Ⅱ）分两种情况，结合三角函数的有界'()2sin 2(1)sin f x a x a x =---2123,05611,18532,1a a a a A a a a a ⎧-<≤⎪⎪++⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩()f x '1,01a a ≥<<性求出，但须注意当时还须进一步分为两种情况求解；（Ⅲ）首先由（Ⅰ）得到，然后分，三种情况证明试题解析：（Ⅰ）． （Ⅱ）当时，因此，． ………4分当时，将变形为．令，则是在上的最大值，，，且当时，取得极小值，极小值为．令，解得（舍去），．考点：1、三角恒等变换；2、导数的计算；3、三角函数的有界性． 22. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析．A 01a <<110,155a a <≤<<|()|2|1|f x a a '≤+-1a ≥110,155a a <≤<<'()2sin 2(1)sin f x a x a x =---1a ≥'|()||sin 2(1)(cos 1)|f x a x a x =+-+2(1)a a ≤+-32a =-(0)f =32A a =-01a <<()f x 2()2cos (1)cos 1f x a x a x =+--2()2(1)1g t at a t =+--A |()|g t [1,1]-(1)g a -=(1)32g a =-14a t a -=()g t 221(1)61()1488a a a a g a a a--++=--=-1114a a --<<13a <-15a>60︒考点：1、圆周角定理；2、三角形内角和定理；3、垂直平分线定理；4、四点共圆．23.【答案】（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为；（Ⅱ）．考点：1、椭圆的参数方程；2、直线的极坐标方程． 24.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用等价不等式，进而通过解不等式可求得；1C 2213x y +=2C 40x y +-=31(,)22{|13}x x -≤≤[2,)+∞|()|()h x a a h x a ≤⇔-≤≤（Ⅱ）根据条件可首先将问题转化求解的最小值，此最值可利用三角形不等式求得，再根据恒成立的意义建立简单的关于的不等式求解即可． 试题解析：（Ⅰ）当时，. 解不等式，得.因此，的解集为. ………………5分 （Ⅱ）当时，，当时等号成立，考点：1、绝对值不等式的解法；2、三角形绝对值不等式的应用．()()f x g x +a 2a =()|22|2f x x =-+|22|26x -+≤13x -≤≤()6f x ≤{|13}x x -≤≤x R ∈()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+12x=。
2016年高考理科数学试题全国卷1及解析word完美版
2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、设集合 A={X |X 2T X +3<0}, B={x|2x £>0},则 A A B=（）3D . （2,3） ）D . 2】】更换的易损專件對D 、E 两点.已知 |AB|=4 . 2, |DE|=2 5，则 C 的焦点到准线的距离为（） A . 2 B . 4 C. 6 D . 811、平面a 过正方体 ABCDS 1B 1C 1D 1的顶点 A , a//平面CB1D 1, a A 平面 ABCD=m, a A 平面 ABB 1A 1= n ,贝U m 、n 所 成角的正弦值为（） .3 ,2A . ~B . 2n n n n 5 n12、 已知函数f(x)=sin( 3X+$)(3>0, |创 勺,x= p 为f(x)的零点，x=4为y=f(x)图像的对称轴，且f(x)在聒品)单调， 则3的最大值为() A . 11 B. 9 C. 7D. 5二、 填空题：本大题共 4小题，每小题5分13、 _____________________________________________________________________ 设向量 a=(m,1), b=(1,2),且 |a+b|2=|a| 2+| b|2,贝V m= ______________________________________________________ .3A . （3~2） 2、 设（1+i ）x=1+yi ,33B . (£，2)C.(1,2)其中x , y 是实数，则|x+yi|=(B . ,'2C . ‘33、 已知等差数列{a n }前9项的和为27, a 10=8，贝U a 100=（） A .100 B . 994、 某公司的班车在 7:00, 8:00,是随机的，1A . 3 C . 98 D . 97 8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻10分钟的概率是（） 2 3 C. 3 D . 4 5、已知方程 则他等车时间不超过 1 B . 2 y 2—=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则n 的取值范围是（） B . （-1^3）C. （0,3） D . （0,迈）2m 2+n 3m 2-n A . (-1,3)6、 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径. 它的表面积是（） A . 17 nB . 18 nC. 20 n7、 函数y=2x 2-e |x|在［-,2］的图像大致为（28 n 口 r若该几何体的体积是"y ，则1.L■Z-n J7a)B . ab c <ba c C. alog b c<blog a cx=0, y=1, n=1,则输出 D . x , y 的值满足（）Iog a c<log b c D . 28 nA .8、 若 a>b>1, 0<c<1，则（ A . a c <b c9、 执行下左1图的程序图，如果输入的B. C.D .40 2014、(2x+&)5的展开式中，x3的系数是____________ (用数字填写答案).15、设等比数列满足｛a n｝满足a1+a3=10, a2+a4=5,贝U a1a2・・・an的最大值为_______ .16、某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元, 生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B 的利润之和的最大值为______________________________ 元.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(必考题)17、(本题满分为12分)△ ABC的内角A, B, C的对边分别别为a, b, c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c(1) 求c；⑵若c= 7, △ ABC的面积为求△ ABC的周长.18、(本题满分为12分)如上左2图，在已A, B, C, D, E, F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD, /AFD=90 ,°且二面角D-KF-E 与二面角C-BE-F 都是60 °(1) 证明；平面ABEF丄平面EFDC;(2) 求二面角E-BC-K的余弦值.19、(本小题满分12 分)某公司计划购买2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200 元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500 元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如上左3图柱状图．以这100 台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(1) 求X的分布列；(2) 若要求P(X < n) >,0确定n的最小值；(3) 以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？20、(本小题满分12分)设圆x2+y2+2x-5=0的圆心为A,直线I过点B(1,0)且与x轴不重合，I交圆A于C, D两点, 过B作AC的平行线交AD于点E.(1) 证明|EA|+|EB| 为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2) 设点E的轨迹为曲线C i,直线I交C i于M , N两点，过B且与I垂直的直线与圆A交于PQ两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.21、(本小题满分12分)已知函数f(x)=(x -)e x+a(x-)2有两个零点.(1)求a 的取值范围；⑵设X1, x2是的两个零点，证明：X什x2<2.22、(本小题满分10分)［选修4-:几何证明选讲］如图，△ OAB 是等腰三角形，/ AOB=120°.以0为圆心，^OA 为半径作圆.(1)证明：直线AB 与O 0相切x=acost23、(本小题满分10分)［选修4 -:坐标系与参数方程］在直线坐标系xoy 中，曲线C i 的参数方程为y=1+as i nt (t 为参数，a>0).在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 Q ： p =4cos. 0 (1)说明C 1是哪种曲线，并将 G 的方程化为极坐标方程；⑵直线Q 的极坐标方程为 0 =a ，其中a o 满足tan=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在 C 3上，求a .24、(本小题满分10分)［选修4-5：不等式选讲］已知函数f(x)=|x+1| -2x 詡. (1) 在答题卡第(24)题图中画出y= f(x)的图像； (2) 求不等式|f(x)|>1的解集.B, GD 四点共圆，证明:AB// CD.⑵点C, D 在O 0上，且A ,理科数学参考答案一、选择题：1、D2、B3、C4、B5、A6、A7、D 8、C二、填空题：13、—14、1015、6416、2160009、C 10、B 11、A 12、B三、解答题:17、解：⑴由已知及正弦定理得，2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC 即2cosCsin(A+B)=sinC 故2sinCcosC=sinC可得cosC弓，所以C=3.2 3(2)由已知,*absinC=323•又C=n,所以ab=6.由已知及余弦定理得，a2+b2 ^2abcosC=7,故a2+b2=13，从而(a+b)2=25.所以△ ABC的周长为5+ ■'7.18、解：⑴由已知可得AF丄DF, AF丄FE所以AF丄平面EFDC 又F 平面ABEF故平面ABEF丄平面EFDC⑵过D作DG丄EF,垂足为G,由⑴知DG丄平面ABEF.以G为坐标原点，向量GF的方向为x轴正方向，|GF|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系G -cy z.由(1)知/DFE为二面角D-AF-E 的平面角，故/DFE=60 ,则|DF|=2 , |DG|=3 ,可得A(1,4,0), B(43,4,0), E(43,0,0),D(0,0，V3).由已知，AB// EF,所以AB// 平面EFDC 又平面ABCDH 平面EFDC=DA 故AB// CD, CD// EF. 由BE// AF,可得BE丄平面EFDC所以/ CEF为二面角CHBE-F的平面角，/ CEF=60 .从而可得C(H2,0^3).所以向量EC=(1,0,⑶,EB=(0,4,0), AC=(43,T, ：3), AB=(T,0,0).设n=(x,y,z)是平面BCE的法向量，则n三二，即x+ - 3z=0,所以可取n EB=04y=0设m是平面ABCD的法向量，则m AB=0，同理可取m=(0,Q3,4).则故二面角E-BC-K的余弦值为-[9.9、解：(1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8, 9, 10, 11的概率分别为0.2, 0.4, 0.2, 0.2，从而：P(X=16)=0.2 X 0.2=0.04 P(X=17)=2 X 0.2 X 0.4=0.16 P(X=18)=2 X 0.2 X 0.2+0.4 X Q.4=0.24 P(X=19)=2 X 0.2 X 0.2+2 X 0.4 X；.2=X=40)=2 X 0.2 X 0.4+0.2 X；0.2=0E2X=21)=2 X 0.2 X 0.2=0.08X 16 17 18 19 20 21 22P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04⑵由(1)知P(X < 18)=0.44 P(X w 19)=0.68 故n 的最小值为19.(3) 记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元). 当n=19 时，EY=19< 200X 0.68+(19 X 200+500) X 0.2+(19 X 200+2X 500) X 0.08+(19 X 200+3X 500) X.0.04=4040当n=20 时，EY=2(X 200X 0.88+(20 X 200+500) X 0.08+(20 X 200+2X 500) X 0.04=4080 可知当n=19时所需费用的期望值小于n=20时所需费用的期望值，故应选n=19 .20、解：(1)：|AD|=|AC| , EB// AC,故/ EBD=/ ACD=Z ADC, /• |EB|=|ED|，故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD| 又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16，从而|AD|=4，所以|EA|+|EB|=4 .2 2由题设得A(-1,0), B(1,0), |AB|=2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：X4+y3=1(y工°)n=(3,0, —3).cos <n,m>=—⑵当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y=k(x - 1)(k £M(x i ,y i ), N(X 2,y 2). 出尸丁1)® c c c c 8k 2 4k 2-2 由x 2 y 2 d … —+—=i4 3四边形 MPNQ 的面积 S=2|MN||PQ|=121+4k 1+3.可得当I 与x 轴不垂直时，四边形 MPNQ 面积的取值范围为［12,8 .3).当I 与x 轴垂直时，其方程为 x=1, |MN|=3 , |PQ|=8，四边形 MPNQ 的面积为12 . 综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为［12,8 3).21、解：(1)f(x)=(x -1)e x +2a(x-1)=(x -)(e x +2a).① 设a=0,则f(x)=(x 2)e x , f(x)只有一个零点.② 设a>0,则当x € (-a )时，f(x)<0 ;当x € (1,+s )时，f(x)>0 .所以f(x)在(-^ )上单调递减，在(1,+〜上单调递 增. a a 3又 f(1)= -e , f(2)=a ，取 b 满足 b<0 且 b<lng ,则 f(b)>q(b ~2)+a(b -)2=a(b 2—b)>0,故 f(x)存在两个零点. ③ 设 a<0,由 f(x)=O 得 x=1 或 x=ln( -2a).若a >-，则ln( - 2a)§1故当x € (1,+〜时，f(x)>0，因此f(x)在(1,+〜上单调递增.又当 xwi 时，f(x)<0，所以f(x)不存在两个零点.若 a<-|，贝U ln( -2a)>1，故当 x € (1,ln( -2a))时，f(x)<0;当 x € (ln( -2a),+ 〜时，f(x)>0 .因此 f(x)在(1,ln( -2a))单调递 减，在(ln(£a),+a )单调递增.又当x wi 时，f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点. 综上，a 的取值范围为(0,+^).(2)不妨设X 1<x 2，由(1)知x € ( - a )1 x 2 € (1,+a ), 2 -x ? € (-呵)，f(x)在(- a )上单调递减，所以 x 什X 2<2等价于f(x 1)>f(2 %)，即 f(2 伙2)<0.由于 f(2 -2)=-ee 2-2+a(x 2-)2，而 f(x 2)=(x 2 72)e x2+a(x 2 -1)2=0，所以 f(2 -2)=-2e 2-2-X 2 ^e^.设 g(x)= ^xe 2- -x-2)e x ,则 g'(x)=(x -)(e 2^.所以当 x>1 时，g'(x)<0,而 g(1)=0,故当 x>1 时，g(x)<0.从而 g(X 2)=f (2 -Q )<0,故 x 1+x 2<2.22、解：(1)设E 是AB 的中点，连结 OE , 因为 OA=OB, / AOB=120，所以 OE 丄 AB , / AOE=60 .1在Rt A AOE 中，OE^AO,即O 到直线AB 的距离等于圆 O 的半径，所以直线⑵因为OA=2OD,所以O 不是A , B , C , D 四点所在圆的圆心，设 O'是A , B , C, D 四点所在圆的圆心，作直线 OO'.由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上，又 O'在线段AB 的垂直平分线上，所以 OO'丄AB .同理可证，OO'丄CD.所以AB // CD.x=acosto o o00 o23、解：⑴ y =1+asint (t 为参数)，二 x 2+(y-1)2=a 2® • C 1 为以(0,1)为圆心，a 为半径的圆，方程为 x 2+y 2 42y+1 -a 2=0. ••• x 2+y 2 + p 2, y= p sin , • p 2- 2 p sin 9a 2=10-P 为 G 的极坐标方程.⑵C 2： p =4cos,(两边同乘 p 得 p =4 p cos, 0•- p =x 2+y 2, p cos 0 亍x • x 2+y 2=4x ，即(x~2)2+y 2=4②C 3：化为普通方程为 y=2x .由题意：G 和C 2的公共方程所在直线即为Q,8k 2 4k 2 -2 __ 12(k 2+1) 得(4k 2+3)x 2 -8k 2x+4k 2 -2=0. /• x 什血*2+3，X i x 2= 4R 2+3 • |MN|= 1+k 2|x1 -<2|= 4^^+^ • 过点B(1,0)且与I 垂直的直线 m : y= -k (x -1), A 到m 的距离为，所以|PQ|=2 % j AB 与O O 相切. 2-；+1.故EBx>5或 x<3, /• x < -. 1 13-1<x<2, |3x -2|>1，解得 x>1 或 x<3.••• -1<x<3或 1<x<2.3 3当 x 亏 |4 -x|>1，解得 x>5 或 x<3, •x<3或 x>5.1 综上，x<3或 1<x<3 或 x>5.1•|f(x)|>1，解集为(-«3)0(1,3)u (5,+m ).①-② 得：4x42y+1 -a 2=0,即为 C 3. /• 1 -a 2=0, /• a=1. 24、解：⑴如图： 3⑵f(x)= 3x -2( -1<x<2)又•- |f(x)|>134 —x 多 x < -,|x —|>13。
2016年高考全国3卷数学试题及答案
2016高考全国III 卷数学（1）设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}A B ==，则A B ð=（A）{48}，（B）{026}，，（C）{02610}，，，（D）{0246810}，，，，，（2）若43i z =+，则||z z =（A）1（B）1-（C）43+i 55（D）43i 55-（3）已知向量BA →=（12，2），BC →=（2，12），则∠ABC =（A）30°（B）45°（C）60°（D）120°（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是（A）各月的平均最低气温都在0℃以上（B）七月的平均温差比一月的平均温差大（C）三月和十一月的平均最高气温基本相同（D）平均最高气温高于20℃的月份有5个（5）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I,N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（A）815（B）18（C）115（D）130（6）若tanθ=13，则cos2θ=（A）45-（B）15-（C）15（D）45（7）已知4213332,3,25a b c===，则(A)b<a<c(B)a<b<c(C)b<c<a(D)c<a<b （8）执行右面的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（A）3（B）4（C）5（D）6（9）在ABC中，B=1,,sin43BC BC Aπ=边上的高等于则(A)310(B)1010(C)55(D)31010（10）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A）18+（B）54+（C）90（D）81（11）在封闭的直三棱柱ABC－A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球.若AB ⊥BC ，AB =6，BC =8，AA 1=3，则V 的最大值是（A）4π（B）9π2（C）6π（D）32π3（12）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（A）13（B）12（C）23（D）34（13）设x ，y 满足约束条件210,210,1,x y x y x -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩则z =2x +3y –5的最小值为______.（14）函数y =sin x –cos x 的图像可由函数y =2sin x 的图像至少向右平移______个单位长度得到.（15）已知直线l：60x +=与圆x2+y2=12交于A、B 两点，过A、B 分别作l 的垂线与x 轴交于C、D 两点，则|CD|=.（16）已知f (x )为偶函数，当0x ≤时，1()x f x e x --=-，则曲线y =f (x )在点(1,2)处的切线方程式_____________________________.（17）（本小题满分12分）已知各项都为正数的数列{}n a 满足11a =，211(21)20n n n n a a a a ++---=.（I）求23,a a ；（II）求{}n a 的通项公式.（18）（本小题满分12分）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.注：年份代码1–7分别对应年份2008–2014.（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明；（Ⅱ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.附注：参考数据：719.32i i y==∑，7140.17i i i t y ==∑0.55=，≈2.646.参考公式：()()n i i t t y y r --=∑回归方程y a bt =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()((n i i i n i i t t y y b tt ==--=-∑∑ ，=.a y bt - （19）（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，PA⊥地面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段AD 上一点，AM=2MD，N 为PC 的中点.（I）证明MN∥平面PAB;（II）求四面体N-BCM的体积.（20）（本小题满分12分）已知抛物线C ：y 2=2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点.（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；（Ⅱ）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.（21）（本小题满分12分）设函数()ln 1f x x x =-+.（I）讨论()f x 的单调性；（II）证明当(1,)x ∈+∞时，11ln x x x-<<；（III）设1c >，证明当(0,1)x ∈时，1(1)x c x c +->.（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，⊙O 中的中点为P ，弦PC ，PD 分别交AB 于E ，F 两点。
2016年新课标全国卷Ⅲ文科数学3卷高考试题Word文档版(含答案)
2016年新课标全国卷Ⅲ文科数学3卷高考试题Word文档版(含答案)A）a+b>c （B）a+c>b （C）b+c>a （D）a+b+c>08）已知函数f（x）=x3-3x2+2x+1，g（x）=ax2+bx+c，满足g（1）=f（1），g（2）=f（2），g（3）=f（3）。
则a+b+c的值为A）0 （B）1 （C）2 （D）39）已知函数f（x）=x2-2x+1，g（x）=f（x-1），则g（-1）的值为A）-2 （B）-1 （C）0 （D）110）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，d=3，则S10的值为A）155 （B）165 （C）175 （D）18511）已知函数f（x）=x3-3x2+2x+1，g（x）=f（x-1），则g（2）的值为A）-5 （B）-1 （C）1 （D）512）已知点A（1，2），B（3，4），C（5，6），则三角形ABC的周长为A）2 （B）4 （C）6 （D）81.设集合 $A=\{0,2,4,6,8,10\},B=\{4,8\}$。
则 $A\capB=\{4,8\}$。
2.若 $z=4+3i$。
则$\frac{z}{|z|}=\frac{4}{5}+\frac{3}{5}i$。
3.已知向量 $\overrightarrow{BA}=(1,3,3,1)$。
$\overrightarrow{BC}=(3,3,2,2)$。
则$\angle ABC=60^{\circ}$。
4.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。
图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃。
下面叙述不正确的是：（A）各月的平均最低气温都在5℃以上；（B）七月的平均温差比一月的平均温差大；（C）三月和十一月的平均最高气温基本相同；（D）平均最高气温高于20℃的月份有5个。
5.XXX打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则XXX输入一次密码能够成功开机的概率是$\frac{2}{15}$。
2016年高考新课标3理科数学真题及答案详解
2016年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷Ⅲ）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x ＞0}，则S∩T ＝A.[2，3]B.(－∞，2]∪[3，＋∞)C.[3，＋∞)D.(0，2]∪[3，＋∞)（2）若z ＝1＋2i ，则4i z ¯z －1＝ A.1 B.－1 C.i D.－i（3）已知向量−→BA ＝(12，22)，−→BC ＝(32，12)，则∠ABC ＝ A.30° B.45° C.60° D.120°（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平 均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A 点表示十月的平均最高气温约为15°C ，B 点表示四月的平均最低气温约为5°C ．下面叙述不正确的是A.各月的平均最低气温都在0°C 以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均气温高于20°C 的月份有5个（5）若tanα＝34，则cos 2 α＋2sin2α＝A.6425B.4825C.1D.1625（6）已知a ＝243，b ＝323，c ＝2513，则A.b ＜a ＜cB.a ＜b ＜cC.b ＜c ＜aD.c ＜a ＜b(7)执行右面的程序框图，如果输入的a ＝4，b ＝6，那么输出的n ＝A.3B.4C.5D.6（8）在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A = A.31010 B.1010 C.－1010 D.－31010（9）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为A.18＋36 5B.54＋18 5C.90D.81（10）在封闭的直三棱柱ABC-A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是A.4πB.9π2C.6πD.32π3（11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C : x 2 a 2＋ y 2 b2＝1(a ＞b ＞0)左焦点，A 、B 分别为C 的左、右顶点，P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于E ，若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为A.13B.12C.23D.34（12）定义“规范01数列”{a n }如下，{a n }共有2m 项，其中m 为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…a k 中0的个数不少于1的个数，若m ＝4，则不同的“规范01数列”共有A.18个B.16个C.14个D.12个第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0x －2y≤0x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为____________. （14）函数y ＝sin x －3cos x 的图像可由函数y ＝sinx ＋3cosx 图像至少向右平移_______个单位长度得到。
2016年全国卷Ⅰ数学(理)文档版(有答案)
绝密★启用前试题类型：A2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试题卷共5页，24题（含选考题），全卷满分150分，考试用时120分钟注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2.选择题的作答：每小时选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上帝非答题区域均无效。
.4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5. 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷一.选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合2{|430}A x x x=-+<，{|230}B x x=->，则A B =（）（A）3(3,)2--（B）3(3,)2-（C）3(1,)2（D）3(,3)2（2）设(1i)1ix y+=+，其中x，y是实数，则i=x y+（）（A）1（B ）2（C ）3（D）2（3）已知等差数列{}na前9项的和为27，10=8a，则100=a（）（A）100（B）99（C）98（D）97（4）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，学.科网小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）（A）13（B）12（C）23（D）34（5）已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（ ）（A ）(–1,3) （B ）(–1,3) （C ）(0,3) （D ）(0,3)（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π，则它的表面积是（ ）（A ）17π（B ）18π（C ）20π（D ）28π（7）函数y =2x 2–e x在[–2,2]的图像大致为（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）（8）若101a b c >><<，，则 （A ）c c a b <（B ）c c ab ba <（C ）log log b a a c b c <（D ）log log a b c c <（9）执行右面的程序图，如果输入的011x y n ===，，，则输出x ，y 的值满足n=n +1结束输出x,yx 2+y 2≥36？x =x+n-12，y=ny 输入x,y,n开始（A ）2y x =（B ）3y x =（C ）4y x =（D ）5y x =(10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的标准线于D ，E 两点.已知|AB |=42，|DE|=25，则C 的焦点到准线的距离为（ ）(A)2 (B)4 (C)6 (D)8(11)平面a 过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，a //平面CB 1D 1，a ⋂平面ABCD =m ，a ⋂平面ABA 1B 1=n ，则m ，n 所成角的正弦值为（ ）(A)32(B )22 (C)33(D)13 12.已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在51836ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调，则ω的最大值为（ ） （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题 (24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本题共4小题，每小题5分(13)设向量a =(m ，1)，b =(1，2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m = . (14)5(2)x x +的展开式中，x 3的系数是 .（用数字填写答案）（15）设等比数列满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为 。
2016年高考数学全国卷WORD及答案详析(江苏卷)
2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差()2211n i i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑．棱柱的体积V Sh =，其中S 是棱柱的底面积，h 是高． 棱锥的体积13V Sh =，其中S 是棱锥的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1. 已知集合{}1,2,3,6A =-，{}|23B x x =-<<，则A B = ． 【答案】{}1,2-；● 由交集的定义可得{}1,2A B =- ．2. 复数()()12i 3i z =+-，其中i 为虚数单位，则z 的实部是 ． 【答案】5；● 由复数乘法可得55i z =+，则则z 的实部是5．3. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是 ．【答案】●c2c =．4. 已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是 ． 【答案】0.1； ● 5.1x =，()22222210.40.300.30.40.15s =++++=． 5.函数y 的定义域是 ． 【答案】[]3,1-；● 2320x x --≥，解得31x -≤≤，因此定义域为[]3,1-．6. 如图是一个算法的流程图，则输出a 的值是 ．【答案】9；● ,a b 的变化如下表：则输出时9a =．7. 将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ． 【答案】56； ● 将先后两次点数记为(),x y ，则共有6636⨯=个等可能基本事件，其中点数之和大于等于10有()()()()()()4,6,5,5,5,6,6,4,6,5,6,6六种，则点数之和小于10共有30种，概率为305366=． 8. 已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和．若2123a a +=-，510S =，则9a 的值是 ． 【答案】20；● 设公差为d ，则由题意可得()2113a a d ++=-，151010a d +=，解得14a =-，3d =，则948320a =-+⨯=．9. 定义在区间[]0,3π上的函数s i n 2y x =的图象与c o s y x =的图象的交点个数是 ． 【答案】7；● 画出函数图象草图，共7个交点．10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点，直线2b y =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率是 ．●由题意得(),0F c ，直线2by =与椭圆方程联立可得2b B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2b C ⎫⎪⎪⎝⎭， 由90BFC ∠=︒可得0BF CF ⋅= ，2b BF c⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭ ，2b CF c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ， 则22231044c a b -+=，由222b a c =-可得223142c a =，则c e a ==．11. 设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[)1,1-上(),10,2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中a ∈R ，若5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()5f a 的值是 ．【答案】25-；● 由题意得511222f f a ⎛⎫⎛⎫-=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，91211225210f f ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得11210a -+=，则35a =，则()()()325311155f a f f a ==-=-+=-+=-．12.已知实数,x y满足240,220,330,x yx yx y-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则22x y+的取值范围是．【答案】4,135⎡⎤⎢⎥⎣⎦；●在平面直角坐标系中画出可行域如下22x y+为可行域内的点到原点距离的平方．可以看出图中A点距离原点最近，此时距离为原点A到直线220x y+-=的距离，d==()22min45x y+=，图中B点距离原点最远，B点为240x y-+=与330x y--=交点，则()2,3B，则()22max13x y+=．13.如图，在ABC△中，D是BC的中点，,E F是AD上两个三等分点，4BA CA⋅=，1BF CF⋅=-，则BE CE⋅的值是．【答案】78；●令DF a=，DB b=，则DC b=-，2DE a=，3DA a=，则3BA a b=-，3CA a b=+，2BE a b=-，2CE a b=+，BF a b=-，CF a b=+，则229BA CA a b⋅=-，22BF CF a b⋅=-，224BE CE a b⋅=-，B由4BA CA ⋅= ，1BF CF ⋅=- 可得2294a b -= ，221a b -=- ，因此22513,88a b == ，因此22451374888BE CE a b ⨯⋅=-=-= ．14. 在锐角三角形ABC 中，sin 2sin sin A B C =，则t a n t a n t a n AB C 的最小值是 ．【答案】8；由()()sin sin πsin sin cos cos sin A A B C B C B C =-=+=+，sin 2sin sin A B C =，可得sin cos cos sin 2sin sin B C B C B C +=（*）， 由三角形ABC 为锐角三角形，则cos 0,cos 0B C >>，在（*）式两侧同时除以cos cos B C 可得tan tan 2tan tan B C B C +=， 又()()tan tan tan tan πtan 1tan tan B CA ABC B C+=--=-+=--(#)，则tan tan tan tan tan tan tan 1tan tan B CA B C B C B C+=-⨯-，由tan tan 2tan tan B C B C +=可得()22tan tan tan tan tan 1tan tan B C A B C B C=--，令tan tan B C t =，由,,A B C 为锐角可得tan 0,tan 0,tan 0A B C >>>， 由(#)得1tan tan 0B C -<，解得1t > 2222tan tan tan 111t A B C t t t=-=---，221111124t t t ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，由1t >则211104t t >-≥-，因此tan tan tan A B C 最小值为8， 当且仅当2t =时取到等号，此时tan tan 4B C +=，tan tan 2B C =，解得tan 224B C A ===（或tan ,tan B C 互换），此时,,A B C 均为锐角．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分14分）在ABC △中，6AC =，4cos 5B =，π4C =．⑴ 求AB 的长； ⑵ 求πcos 6A ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【答案】⑴． ● 4cos 5B =，B 为三角形的内角 3sin 5B ∴= sinC sin AB ACB =635=，即：AB = ● ()cos cos sin sin cos cos A C B B C B C =-+=-cos A ∴= 又A 为三角形的内角sin A ∴=π1cos sin 62A A A ⎛⎫∴-=+= ⎪⎝⎭16. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别为,AB BC 的中点，点F 在侧棱1B B 上， 且11B D A F ⊥，1111AC A B ⊥． 求证：⑴ 直线//DE 平面11AC F ；⑵ 平面1B DE ⊥平面11AC F ．【答案】见解析；● ,D E 为中点，DE ∴为ABC ∆的中位线//DE AC ∴又111ABC A B C - 为棱柱，11//AC AC ∴11//DE AC ∴，又11AC ⊂ 平面11AC F ，且11DE AC F ⊄ //DE ∴平面11AC F ；● 111ABC A B C - 为直棱柱，1AA ∴⊥平面111A B C111AA AC ∴⊥，又1111AC A B ⊥FEDC BAC 1B 1A 1且1111AA A B A = ，111,AA A B ⊂平面11AA B B 11AC ∴⊥平面11AA B B ，又11//DE AC ，DE ∴⊥平面11AA B B 又1A F ⊂ 平面11AA B B ，1DE A F ∴⊥又11A F B D ⊥ ，1DE B D D = ，且1,DE B D ⊂平面1B DE 1A F ∴⊥平面1B DE ，又111A F AC F ⊂∴平面1B DE ⊥平面11AC F ．17. （本小题满分14分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -（如图所示），并要求正四棱柱的高1O O 是正四棱锥的高1PO 的4倍．⑴ 若6m AB =，12m PO =，则仓库的容积是多少；⑵ 若正四棱锥的侧棱长为6m ，当1PO 为多少时，仓库的容积最大？【答案】⑴3312m；⑵； ● 12m PO =，则18m OO =，1111231116224m 33P A B C D ABCD V S PO -⋅=⨯⨯==，111123168288m ABCD A B C D ABCD V S OO -⋅=⨯==， 111111113312m =P A B C D ABCD A B C D V V V --+=， 故仓库的容积为3312m ；● 设1m PO x =，仓库的容积为()V x则14m OO x =，11AO，11m A B =，()111123331111272224m 3333P A B C D ABCD V S PO x x x x x -⋅=⨯⨯=-=-=，1111233142888m ABCD A B C D ABCD V S OO x x x-⋅=⨯=-=，1A()()111111113332262428883120633=P A B C D ABCD A B C D V x V V x x x x x x x --+=-+-=-+<<，()()22'263122612V x x x =-+=--()06x <<，当(0,x ∈时，()'0V x >，()V x 单调递增，当()x ∈时，()'0V x <，()V x 单调递减，因此，当x =时，()V x 取到最大值，即1PO =时，仓库的容积最大．[来源:学|科|网] 18. （本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：221214600x y x y +--+= 及其上一点()2,4A ．⑴ 设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程； ⑵ 设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =，求直线l 的方程；⑶ 设点(),0T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA TP TQ +=，求实数t 的取值范围．【答案】⑴()()22611x y -+-=⑵25y x =+或215y x =-⑶2⎡-+⎣● 因为N 在直线6x =上，设()6,N n ，因为与x 轴相切，则圆N 为()()2226x y n n -+-=，0n >又圆N 与圆M 外切，圆M ：()()226725x x -+-=，则75n n -=+，解得1n =，即圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=； ● 由题意得OA =2OA k = 设:2l y x b =+，则圆心M 到直线l 的距离d ==则BC =BC =，即=解得5b =或15b =-，即l ：25y x =+或215y x =-；● TA TP TQ += ，即TA TQ TP PQ =-=，即TA PQ = ，TA又10PQ≤,10，解得2t ⎡∈-+⎣，对于任意2t ⎡∈-+⎣，欲使TA PQ =，此时10TA ≤，只需要作直线TA必然与圆交于P Q 、两点，此时TA PQ = ，即TA PQ =，因此对于任意2t ⎡∈-+⎣，均满足题意，综上2t ⎡∈-+⎣．19. （本小题满分14分）已知函数()()0,0,1,1x x f x a b a b a b =+>>≠≠． ⑴ 设2a =，12b =． ① 求方程()2f x =的根；② 若对于任意x ∈R ，不等式()()26f x mf x -≥恒成立，求实数m 的最大值； ⑵ 若01a <<，1b >，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值． 【答案】⑴ ①0x =；②4；⑵1；① ()122xxf x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()2f x =可得1222x x +=，则()222210x x -⨯+=，即()2210x -=，则21x =，0x =；② 由题意得221122622x x x x m ⎛⎫++- ⎪⎝⎭≥恒成立，令122x xt =+，则由20x >可得2t =≥， 此时226t mt --≥恒成立，即244t m t t t +=+≤恒成立∵2t ≥时44t t +≥，当且仅当2t =时等号成立，因此实数m 的最大值为4．()()22xxg x f x a b =-=+-，()ln 'ln ln ln ln x x x xa b g x a a b b a b b a ⎡⎤⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，由01a <<，1b >可得1b a >，令()ln ln xb ah x a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()h x 递增，而ln 0,ln 0a b <>，因此0ln log ln b a a x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭时()00h x =，因此()0,x x ∈-∞时，()0h x <，ln 0x a b >，则()'0g x <；()0,x x ∈+∞时，()0h x >，ln 0x a b >，则()'0g x >；则()g x 在()0,x -∞递减，()0,x +∞递增，因此()g x 最小值为()0g x ， ① 若()00g x <，log 2a x <时，log 22a x a a >=，0x b >，则()0g x >； x >log b 2时，0x a >，log 22b x b b >=，则()0g x >；因此1log 2a x <且10x x <时，()10g x >，因此()g x 在()10,x x 有零点， 2log 2b x >且20x x >时，()20g x >，因此()g x 在()02,x x 有零点， 则()g x 至少有两个零点，与条件矛盾；② 若()00g x ≥，由函数()g x 有且只有1个零点，()g x 最小值为()0g x ， 可得()00g x =， 由()00020g a b =+-=， 因此00x =，因此ln log 0ln b a a b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即ln 1ln a b -=，即ln ln 0a b +=， 因此()ln 0ab =，则1ab =．20. （本小题满分14分）记{}1,2,,100U = ．对数列{}n a （*n ∈N ）和U 的子集T ，若T =∅，定义0T S =；若{}12,,,k T t t t = ，定义12k T t t t S a a a =+++ ．例如：{}1,3,66T =时，1366T S a a a =++． 现设{}n a （*n ∈N ）是公比为3的等比数列，且当{}2,4T =时，30T S =． ⑴ 求数列{}n a 的通项公式；⑵ 对任意正整数k （1100k ≤≤），若{}1,2,,T k ⊆ ，求证：1T k S a +<； ⑶ 设C U ⊆，D U ⊆，C D S S ≥，求证：2C C D D S S S + ≥． 【答案】⑴13n n a -=；⑵⑶详见解析；● 当{}2,4T =时，2422930T S a a a a =+=+=，因此23a =，从而2113a a ==，13n n a -=； ● 2112131133332k k k T k k S a a a a -+-++=++++=<= ≤；● 设()C A C D = ð，()D B C D = ð，则A B =∅ ，C A C D S S S =+ ，D B C D S S S =+ ，22C C D D A B S S S S S +-=- ，因此原题就等价于证明2A B S S ≥．由条件C D S S ≥可知A B S S ≥．① 若B =∅，则0B S =，所以2A B S S ≥．② 若B ≠∅，由A B S S ≥可知A ≠∅，设A 中最大元素为l ，B 中最大元素为m ， 若1m l +≥，则由第⑵小题，1A l m B S a a S +<≤≤，矛盾． 因为A B =∅ ，所以l m ≠，所以1l m +≥， 211123113332222m m m lA B m a a S S a a a -+-+++=++++=< ≤≤≤，即2A B S S >．综上所述，2A B S S ≥，因此2C C D D S S S + ≥．数学Ⅱ（附加题）21. [选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，在ABC △中，90ABC ∠=︒，BD AC ⊥，D 为垂足，E 是BC 中点． 求证：EDC ABD ∠=∠． 【答案】详见解析；● 由BD AC ⊥可得90BDC ∠=︒，由E 是BC 中点可得12DE CE BC ==， 则EDC C ∠=∠，由90BDC ∠=︒可得90C DBC ∠+∠=︒， 由90ABC ∠=︒可得90ABD DBC ∠+∠=︒，ECBA因此ABD C ∠=∠，又EDC C ∠=∠可得EDC ABD ∠=∠．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵1202⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，矩阵B 的逆矩阵111202-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎣⎦B ，求矩阵AB ． 【答案】51401⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；● ()11112124221010222--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦B B ，因此151121*********⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦AB ．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为()11,2,x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪⎪⎩为参数，椭圆C 的参数方程为()cos ,2sin ,x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数，设直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，求线段AB 的长．【答案】167； ● 直线l0y -，椭圆C 方程化为普通方程为2214y x +=，联立得22014y y x --=⎨+=⎪⎩，解得10x y =⎧⎨=⎩或17x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此167AB =．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 设0a >，13a x -<，23ay -<，求证：24x y a +-<．【答案】详见解析； ● 由13a x -<可得2223a x -<， 22422233a ax y x y a +--+-<+=≤．[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22. （本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y --=，抛物线()2:20C y px p =>． ⑴ 若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； ⑵ 已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q ． ①求证：线段PQ 上的中点坐标为()2,p p --； ②求p 的取值范围．【答案】⑴28y x =；⑵①见解析；②40,3⎛⎫⎪⎝⎭● :20l x y --= ，∴l 与x 轴的交点坐标为()2,0即抛物线的焦点为()2,0，22p∴= 28y x ∴=；● ① 设点()11,P x y ，()22,Q x y则：21122222y px y px ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即21122222y x p y x p⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，12221212222PQ y y p k y y y y p p -==+-又,P Q 关于直线l 对称，1PQ k ∴=- 即122y y p +=-，122y y p +∴=- 又PQ 中点一定在直线l 上12122222x x y y p ++∴=+=- ∴线段PQ 上的中点坐标为()2,p p --；② 中点坐标为()2,p p --122212122422y y p y y x x p p +=-⎧⎪∴+⎨+==-⎪⎩即1222212284y y p y y p p +=-⎧⎨+=-⎩ 12212244y y py y p p+=-⎧∴⎨=-⎩，即关于222440y py p p ++-=有两个不等根 0∴∆>，()()2224440p p p -->，40,3p ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭．23. （本小题满分10分）⑴ 求34677C 4C -的值；⑵ 设*,m n ∈N ，n m ≥，求证：()()()()()212121C 2C 3C C 1C 1C m m m m m m m m m n n n m m m n n m +++-++++++++++=+ ．【答案】⑴0；⑵详见解析；● 34677C 4C 7204350-=⨯-⨯=；● 对任意的*m ∈N ，① 当n m =时，左边()1C 1m m m m =+=+，右边()221C 1m m m m ++=+=+，等式成立，② 假设()n k k m =≥时命题成立，即()()()()()212121C 2C 3C C 1C 1C m m m m m m m m m k k k m m m k k m +++-++++++++++=+ ，当1n k =+时， 左边=()()()()()12111C 2C 3C C 1C 2C m m m m m m m m m k k k m m m k k k ++-++++++++++++ ()()2211C 2C m m k k m k +++=+++，右边()231C m k m ++=+， 而()()22321C 1C m m k k m m +++++-+，()()()()()()()()()()()()()()()()13!2!12!1!2!!2!1312!1!1!2!1!2C m k k k m m k m m k m k m k k m m k m k k m k m k +⎡⎤++=+-⎢⎥+-++-⎢⎥⎣⎦+=+⨯+--+⎡⎤⎣⎦+-++=+-+=+ 因此()()()222131C 2C 1C m m m k k k m k m ++++++++=+，因此左边=右边，因此1n k =+时命题也成立，综合①②可得命题对任意n m ≥均成立．另解：因为()()111C 1C m m k k k m +++=+，所以左边()()()1111211C 1C 1C m m m m m n m m m ++++++=++++++ ()()1111211C C C m m m m m n m ++++++=++++ 又由111C C C k k k n n n ---=+，知2212112111112111221121C C C C C C C C C C C C m m m m m m m m m m m m n n n n n n m m n m m n ++++++++++++++++++++++=+=++==+++=+++ ，所以，左边=右边．。
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河南理工大学 2015-2016 学年第 一 学期
《模糊数学》试卷（A 卷）
1、模糊数学和模糊控制的概念是由美国加利福尼亚大学著名控制论专家 首先提出，并被誉为 。
2、设X 为无限论域，()⎰X ∈=
x x x A A , ()⎰∈=X x x x B B , 则=B A ,
=B A , =A ~ 。
3、设10.500.60.20.30.710.4A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦0.30.20.0.20.80.6,0.40.30.1
B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦ 则
=B A , =B A , =A ~ ，T A )(5.0 。
4、设0.50.6010.70.4A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 10.60.50.800.3B ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
, 则=B A 。
1. 环境单元分类。
每个环境单元可以包括空气、水分、土壤、作物4个要素，环境单元的污染
状况由污染物在4个要素中含量的超限度来描述，设论域U ={}12345,,,,x x x x x 为五个单元，它们的污染数据经过计算后可得模糊相似矩阵为：
R =10.10.80.50.30.110.10.20.40.8
0.110.30.10.50.20.310.60.30.40.10.61⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
试对U 进行F 分类并画出聚类图。
2. 2.设{}{}12312345,,,,,,,U u u u V v v v v v ==，且 :()f U F V →
{}1123224
313513123
0.10.51()0.90.4()0.60.10.8
()0.60.71
,,f u v v v f u v v f u v v v A u u B u u u =++=
+=++
==
++
求(),()f f T A T B
3．设10.10.20.30.110.10.20.20.110.10.30.20.11R ⎡⎤
⎢⎥
⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，求传递闭包().R t
一、填空题（本题20分，每小题5分）
4．设论域X =123456{,,,,,}x x x x x x ，123{,,},Y y y y = :f X Y →.
11242356,,,,
(),,,.
y x x x x f x y x x x x =⎧=⎨
=⎩ 再设两个模糊集
S =
153456
123
0.80.20.90.20.70.4,0.60.90.8A x x x x x x B y y y =
+++++=++
试用扩张原理求出111(),(),(()),(()).f A f B f f A f f B ---
5.设{,,,,,,,},U a b c d e f g h =有
{},0.91{,,},0.50.9{,,,},0.30.5{,,,,,},0.10.3{,,,,,,,},00.1
f c f
g A b c f g b c d f g
h a b c d e f g h λλλλλλ<≤⎧
⎪<≤⎪⎪
=<≤⎨⎪<≤⎪<≤⎪⎩
试用分解定理求出模糊集A.
三、评价题（本题20分）
对某产品质量作综合评价，考虑由四种因素{}1234,,,U u u u u =来评价产品，将质量分为四等
{},,,V A B C D = 设单因素评判是F 映射：
1234:()
()(0.3,0.6,0.1,0),()(0,0.2,0.5,0.3)()(0.5,0.3,0.1,0.1),()(0.1,0.3,0.2,0.4)
f U F V f u f u f u f u →====
及因素权重分配为：
(0.5,0.2,0.2,0.1)A =
请按权重评价产品相对地属于那一级。
若产品综合评价为B =（0.1,0.2,0.4,0.3），试从下面四种
权重分配中选出最符合做该评价的一种（按格贴近度计算）：
1234(0.3,0.5,0.1,0.1),(0.3,0.4,0.2,0.1)(0.2,0.3,0.2,0.3),(0.2,0.4,0.1,0.3)
A A A A ====
四、设随机变量X 的密度函数为 2,01;
()0,.
x x p x <<⎧=⎨⎩
其他。