指派问题例题
整数规划-案例1-指派问题
3
4
4
故模型为： min z
ci Βιβλιοθήκη 1 j 144ij
xij
4 xij 1, i 1,2,3,4 j 1 4 xij 1, j 1,2,34 i 1 xij 0 or 1(i, j 1,2,3,4)
设ijx表示第i个人去完成第j项任务则????项任务时个人不去完成第当第项任务时个人去完成第当第jijixij01?项任务时个人不去完成第当第ji0每个人去完成一项任务的约束为????????????1112423222114131211xxxxxxxx每一项任务必有一人完成的约束
3.指派问题：现在不妨设有4个人，各有能力
记 系 数 矩 阵 为
2 15 11 4 10 4 14 15 cij 9 14 16 13 7 8 11 9
称其为效益（价值）矩阵.
cij 表示第 i 个人去完成 第 j 项任务时有关的效
益 （时间、 费用、 价值等） 。 则目标函数可表示为
min z cij xij
4
用lingo求解后，可知让甲去完成任 务D，乙完成任务B，丙完成任务A， 丁完成任务C，所用时间最少为28.
5
x11 x 21 x31 x 41 1 x x x x 1 12 22 32 42 x13 x 23 x33 x 43 1 x14 x 24 x34 x 44 1
2
目标函数：
min z 2 x11 15x12 13x13 4 x14 10x21 4 x22 14x23 15x24 9 x31 14x32 16x33 13x34 7 x41 8 x42 11x43 9 x44
运筹学指派问题作业
作业：作业：问题1：书本P100第6题效率矩阵效率矩阵码头1 码头2 码头3 码头4货船A货船B货船C货船D目标函数：使总运输成本最小目标函数：使总运输成本最小约束条件约束条件: :码头1 码头2 码头3 码头4货船A 1 0 0 0 1 = 1 货船B 0 0 0 1 1 = 1 货船C 0 0 1 0 1 = 1 货船D 0 1 0 0 1= 11 1 1 1 ====1 1 1 1最少成本最少成本2100问题问题 2: 2: 2: 书本书本书本P101P101P101第第7题效率矩阵效率矩阵A B C D E甲乙丙丁目标函数：使总花费时间最小目标函数：使总花费时间最小约束条件约束条件: :方案矩阵方案矩阵AB C D E甲 2.22E-16 1 0 0 0 1 <= 1 <= 2 乙 0 0 1 1 2.22E-16 1 <=2 <= 2 丙 0 1.11E-16 0 0 1 1 <=1 <=2 丁 1 0 0 4.44E-16 0 1 <=1 <=2 1 11 1 1= == ==11 1 1 1时间最少时间最少131问题3：五人翻译五种外文的速度（印刷符号：五人翻译五种外文的速度（印刷符号//小时）如下表所示：小时）如下表所示： 语种语种语种 人 英 俄俄 日日 德德 法法 甲甲乙 丙 丁 戊900 400 600 800 500 800 500 900 1000 600 900 700 300 500 800400 800 600 900 5001000 500 300 600 800若规定每人专门负责一个语种的翻译工作，那么，试解答下列问题：若规定每人专门负责一个语种的翻译工作，那么，试解答下列问题： （1）应如何指派，使总的翻译效率最高？应如何指派，使总的翻译效率最高？效率矩阵效率矩阵英俄 日 德 法 甲 乙 丙 丁目标函数：使翻译效率最高目标函数：使翻译效率最高约束条件约束条件: :方案矩阵方案矩阵英俄 日 德 法甲0 011 =1乙0 1 0 0 0 1 = 1 丙0 0 0 1 0 1 = 1丁 1 0 0 0 0 1 = 1 戊0 0 1 0 0 1 = 11 1 1 1 1= = = = =1 1 1 1 1效率最高 2200效率最高若甲不懂德文，乙不懂日文，其他数字不变，则应如何指派？（2）若甲不懂德文，乙不懂日文，其他数字不变，则应如何指派？方案矩阵方案矩阵英俄日德法甲0 1 0 0 0 1 = 1 乙0 0 0 0 1 1 = 1 丙0 0 0 1 0 1 = 1 丁 1 0 0 0 0 1 = 1 戊0 0 1 0 0 1 = 11 1 1 1 1= = = = =1 1 1 1 1。
指派问题
数学模型为：
max Z 85x11 92x12 73x13 90x14 95x21 87x22
78x23 95x24 82x31 83x32 79x33 90x34
86x41 90x42 80x43 88x44 甲
A
x11 x12 x13 x14 1
xx3211
6 4
9 8 0 0
4
0 6 3 6 5
经行运算即可得每行每列都有 0 元素的系数矩阵，
再按上述步骤运算，得到：
5 0 2 0 2
2 3 0 0
0
0 10 5 7 2
9 8 0 0
4
0 6 3 6 5
所画 0元素少于n，未得到最优解。
5 0 2 0 2 2 3 0 0 0 0 10 5 7 2 9 8 0 0 4 0 6 3 6 5
将前面的例题连续作进行下
任务 人
A
B
C
D
E
甲
12 7
9
7
9
乙
8
9
6
6
6
丙
7 17 12 14 9
丁
15 14 6
6 10
戊
4 10 7 10 9
12 7 9 7
8
9 66
9
6
7 6
5 0 2 0 2
2 3 0 0
【精品】指派问题——匈牙利法
最优解：x13=1,x21=1,x32=1,x44=1
若◎元素的数目m=n，则该指派问题的最优 解已经得到，否则转入Step 3；
13
指派问题的匈牙利解法——步骤（续）
Step 3. 设有 m<n 个◎, 找最少覆盖所有0的直线
1) 对没有◎的行打√
2) 对已打√行中含所在列打√ 3) 对已打√列中含◎所在行打√ 4) 重复2)~3), 直至没有要打√的行和列为止 5) 对没有打√的行划横线, 对打√的列划竖线 得到最少覆盖所有0的直线数l。
i 1 j1 ik n n j1 n j1
n
n
n
cijx ij c kjx kj (s)
i 1 j1 ik j1
z (s)
指派问题的匈牙利解法
• 根据此定理，可以对 做如下改变，目的是 找出C 中的 n个不同行不同列的0元素： • 将 C的每一行减去该行中的最小元素，得 到C’矩阵 ，则C’ 的每行中均至少出现一个 0元素，且所有cij0 。同样，对C 的列亦进 行如此计算，由此，我们完全可以从原效 率矩阵 出发，得到一个新的效率矩阵 ，使 C的每行每列中均至少存在一个0元素，而 不改变问题的最优解。
Z=15
独立练习 • P161第6.4题
6.5.4 非标准形式的指派问题 • 非标准型指派问题求解的总原则是化非标准 形式为标准形式，然后用匈牙利解法求解。 (1) 最大化指派问题 设效率矩阵为 C (cij )nn ，其中最大元素
5.5 指派问题
cij 为第 i 个人为完成第 j 项任务时的工时消
3. 指派问题数学模型—标准形式 如果一个指派模型满足以下三个条件：
1)目标要求为min
2)效率矩阵(cij)为m阶方阵
3)效率矩阵中所有元素cij≥0,且为常数
则称上面的数学模型为指派问题的标准形.
4. 指派模型的标准形的特点: 含有m×m个决策变量,均为0-1变量 m+m＝2m个约束方程 给定一个指派问题时，必须给出效率矩阵（系数矩阵） C=(cij)mxm,且cij0，因此必有最优解 。
0 1 0 0
0 0 0 1
指派问题的解矩阵应具有如下特点： （1）解矩阵(xij)中各行各列的元素之和都是1； （2）可行解（最优解）中恰含有４个非零元，即4个1； （3）可行解（最优解）矩阵中的1恰取于不同行不同列。
人 工作 译成英文 译成日文 译成德文 译成俄文 任务
甲 2 15 13 4 1
定理1 如果从指派问题效率矩阵[cij]的每一行元素中分别 减去(或加上)一个常数ui(被称为该行的位势)， 从每一列分别减去(或加上)一个常数vj(称为该列的位势) 得到一个新的效率矩阵[bij]， 若其中bij=cij-ui-vj， 则[bij]的最优解的结构等价于[cij]的最优解的结构.
证明：将从[bij]中得到的解 代入分配问题模型的目标函数式，有
从只有一个0元素的行（或列）开始，
给这个0元素加圈，记， 这表示对这行所 代表的人，只有一种任务可指派。 然后划去所在的列（或行）的其他0元素，记作Ø。 这表示这列所代表的任务已指派完，不必再考虑别人
0
6
13
7 6 3 0
0 9 2 0
5 1
0
给只有一个0元素的列（或行）中的0元素加圈， 记， 然后划去所在的行（或列）的其他0元素，记作Ø。 这表示这行所代表的人已指派完， 不必再考虑他做别的任务了。 反复进行上述两步，直到所有的0元素都被圈出和 划掉为止。
运输问题和指派问题
4、运输问题和指派问题案例1：P&T公司的配送问题家族经营的小公司，加工蔬菜罐头并分销到各地：–三个食品厂，四个分销仓库面临的问题：运输成本不断攀升目前的运输策略：–首先考虑最偏远的厂，先将其产品充分满足距它最近的仓库，再运至次之的仓库；–再考虑最偏远的仓库，优先从距其最近的工厂进货；–距离居中的工厂用于补充不足的部分。
问题：如何改进运输策略以降低成本？CANNERY 1BellinghamCANNERY 2EugeneWAREHOUSE 1 Sacramento WAREHOUSE 2Salt Lake CityWAREHOUSE 3Rapid CityWAREHOUSE 4AlbuquerqueCANNERY 3Albert Lea最偏远的厂最偏远的仓库300合计100Albert Lea 125Eugene 75Bellingham 产量（车）工厂Albert Lea5Eugene 75Bellingham 工厂SacramentoFrom\To运费995Albert Lea352Eugene $464Bellingham 工厂Sacramento From\To 总运费：Total shipping cost = 75($464) + 5($352) + 65($416) + 55($690)运输问题的基本术语P&T 公司问题罐头罐头厂仓库罐头厂的产量各仓库的需求量每车运费Ì运输问题是物流中的一个重要问题，即如何以尽可能小的成本把货物从一系列出发地（如工厂、仓库）运输到一系列目的地（如仓库、顾客）。
需求假设：–每个出发地都有一个固定的供应量，且所有供应量均须配送到目的地；–每个目的地都有一个固定的需求量，且所有需求量均须被满足可行解特征：–运输问题有可行解，当且仅当供应量总和等于需求量总和（供求平衡） 成本假设：–从任一出发地到任一目的地的配送成本与所配送的货物量成正比，即配送成本等于单位配送成本乘以配送量供应量、需求量和单位成本提供了运输问题所需的一切数据整数解：–运输问题通常以运送的车数作为计量单位，因此其解一般为整数整数解性质：只要运输问题的供应量和需求量都是整数，任何有可行解的运输问题必然有使所有决策变量都是整数的最优解。
指派问题考前复习
指派问题
例3、某工厂有4个工人甲、乙、丙、丁，他们都可以从事4种不同的工作A,B,C,D,但每个人在不同的岗位创造的产出是不同的，见下表。
现给每个工人分配一个岗位，求如何安排才能使产出最
大？
解：
这是一个求最大值的问题，因此首先对系数矩阵
进行变换，表中的系数矩阵最大值是10，因此
bij=M-cij=10-cij，然后就可以按照匈牙利法德步
骤进行求解，具体过程如下：
注意：设分配问题中人数为m，任务数为n，当m>n时虚拟m-n项任务，对应的效率为零；当m<n 时，虚拟n-m个人，对应的效率为零，转化为人数与任务数相等的平衡问题后再求解。
如有5个人分配做3项工作，效率矩阵变化如下，。
指派问题例题
• 第四步 划线——无行、打列划线
• 第五步 造0——直线未覆盖旳元素，减
去其最小值，交叉点上加最小元素，产
生新旳0元素，Go to 2
0 6 2 1 -1 5 1 0 0 4 0
Cij= 0 5 3 1 -1 0 4 2 0 3 1 0
0001
1 0 1
2 0 2
1320
2 3 2 2 2 1
数模： minZ=ΣΣcijxij Σxij=1 i=1,…,n Σxij=1 j=1,…,n Xij=0或1
任务 人 时间
甲 乙 丙 丁
ABC D 4 10 7 5 2763 3344 4663
指派问题解法—匈牙利法
• 解：类似运送问题旳最小元素法
• 第一步 造0——各行各列减其最小元素
4 10 7 5 -4 0 6 3 1 6 2 1
+1
• 最优2 7 6 3 -2 0 5 4 1 0 5 3 1
3 3 4 4 -3 0 0 1 1 0 0 1
4 6 6 3 -3 1 3 3 0 1 3 2
-1
• 第二步 圈0——寻找不同行不同列旳0元素，
圈之。 所在行和列其他0元素划掉
• 第三步 打——无旳行打，打行上0列打
，打列上行打，打行上0列打 …
指派问题
任务 人 时间
甲 乙 丙 丁
ABC D 4 10 7 5 2763 3344 4663
最大流问题
v1
5,2
5,5 5,5
vs 6,4 v2
4,2
v4 6,6
v3
2,2
4,2 vt
5,3
指派问题——匈牙利法
• 练习例题：甲乙丙丁四个人，A、B、C、D 四项任务，不同旳人做不同旳工作效率不同， 表中数据为时耗，怎样指派不同旳人去做不 同旳工作使效率最高？
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