人教版初二数学上册三角形中线习题
人教版八年级数学上册《三角形》三角形的高、中线、角平分线专项小练习(附答案)
人教版八年级数学上册《三角形》三角形的高、中线、角平分线专项小练习（附答案）1.（生活情境题）周师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图.要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？A.0根B.1根C.2根D.3根2.如图，用三角板作△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（）A.B.C.D.3.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，把△ABC沿直线AC翻折180°，使点B落在点B'的位置，则线段AC具有的性质是( )A.边BB'上的中线B.边BB'上的高C.∠BAB'的平分线D.以上三种性质都具备4.如图，AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，已知S△ABE=7cm²，则△ABC的面积是（）A.18cm²B.28cm²C.36cm²D.45cm²5.（易错警示题）如图，以AD为高的三角形共有个.6.如图，在△ABC中，∠BCA是钝角，完成下列画图，并用适当的符号表示：（1）∠ABC的平分线；（2）AC边上的中线；（3）AC边上的高7.（素养提升题）如图，请你在△ABC上画三条线段，把这个三角形分成面积相等的四部分，看谁的方法多？解题模型发散思维模型三角形的中线分成的两个三角形的周长及面积的关系（1）周长关系：如图1所示，AD是△ABC的中线，△ABD的周长=AB+BD+AD，△ACD 的周长=AC+CD+AD，所以△ABD的周长-△ACD的周长=（AB+BD+AD）-（AC+CD+AD）=AB-AC.即△ABD和△ACD的周长之差实质上就是AB与AC的差.图1（2）面积关系：如图2所示，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高.则S△ABD=1 2BD·AE，S△ACD=12CD AE，因为BD=CD，所以12BD·AE=12CD·AE，所以S△ABD=S△ACD.即三角形的中线可将三角形分成面积相等的两部分.图2参考答案1.答案:B2.答案:B3.答案:D4.答案:B5.答案:66.答案：见解析解析：如图所示：（1）BE为∠ABC的平分线,可表示为∠ABE=∠CBE=12∠ABC，或∠ABC=2∠ABE=2∠CBE.（2）BD为AC边上的中线，可表示为AD=CD=12 AC.（3）BF为AC边上的高.可表示为BF⊥AC于F，或∠AFB=90°.7.答案：见解析解析：因为“三角形的一条中线将原三角形分成面积相等的两部分”，所以可以从三角形的中线入手，利用“三角形等底等高必等积”进行分析.如图所示：。
人教版数学八年级上册 三角形的高、中线、角平分线 专题训练
12．如图，△ABC 中，D，E 分别为 BC，AD 的中点，且 S△ABC ＝40，CM⊥AD 于 M.
(1)S△ABD＝___2_0____；
(2)若 AE＝5，求 CM 的长； 解：由题意知 S△AEC＝12S△ACD＝14S△ABC＝10. ∵S△AEC＝12AE·CM，∴12×5·CM＝10. ∴CM＝4.
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第11章 三角形及其相关概念
三角形的高、中线、角平分线 专题训练
1．以下说法错．误．的是( A ) A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点 B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点 C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点 D．三角形的三条高所在的直线可能相交于三角形外部一点
解：在△ABC 中，∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－36°－75° ＝69°. ∵AE，AD 分别是△ABC 的高和角平分线， ∴∠AED＝90°，∠BAD＝∠CAD＝12∠BAC＝34.5°.
∵∠ADE 是△ABD 的外角， ∴∠ADE＝∠B＋∠BAD＝36°＋34.5°＝70.5°. 在 Rt△ADE 中，∠DAE＝90°－∠ADE＝19.5°.
(3)若 BN⊥AD 交 AD 的延长线于 N，求证 BN＝CM.
证明：由题意知 S△ABD＝S△ACD＝12S△ABC. ∵S△ABD＝12AD·BN，S△ACD＝12AD·CM， ∴12AD·BN＝12AD·CM. ∴BN＝CM.
13．如图，已知 AD，AE 分别是△ABC 的高和中线，AB＝6 cm， AC＝8 cm，BC＝10 cm，∠CAB＝90°.试求：
2．如图，△ABC 中，D，E 分别是 BC，AD 的中点，
若 S△ABC＝4，则△ACE 的面积为( B )
人教版_部编版八年级数学上册第十一章第一节三角形的高、中线与角平分线试题(含答案) (81)
人教版_部编版八年级数学上册第十一章第一节三角形的高、中线与角平分线试题（含答案)一、单选题1．如图，在△ABC中，D为AB的中点，CE=3BE，CF=2AF，四边形CEDF的面积为17，则△ABC的面积为（）A．22 B．23 C．24 D．25【答案】C【解析】【分析】本题需先分别求出S△BED=13S△CED，S△AFD=12S△CDF，S△ACD=S△BCD，再根据S△CDE+S△CDF=17，列出方程组，解方程组即可求出结果．【详解】连接CD，∵四边形CEDF的面积为17，设S△CED=x，S△CFD=y，∴x+y=17，∴CE=3BE，CF=2AF，∴S△BED=13S△CED=13x，S△AFD=12S△CDF=12y，∵D为AB的中点，∴S△ACD=S△BCD，∴x+13x=y+12y，∴17 4332x yx y＝＝+⎧⎪⎨⎪⎩，解得98xy＝＝⎧⎨⎩，∴S△ABC=S△ACD+S△BCD=43×9+32×8=24．故选C．【点睛】本题考查三角形的面积，关键知道当高相等时，面积等于底边的比，根据此可求出三角形的面积，然后求出三角形面积的和．2．如图，已知O是直线AB上一点，∠1=40°，OD平分∠BOC，∠2的度数是（）A．20 B．25 C．40 D．70【答案】D【解析】【分析】先根据邻补角定义求出∠COB, 再根据角平分线定义求出∠2=12∠COB,代入求出即可.【详解】解：∵∠1=40°,∴∠COB=180°-40°=140°,∵OD 平分∠COB,∴∠2=12∠COB =12×140° =70°,故选: D.【点睛】本题主要考查角平分线的性质及邻补角的性质.3．下列说法中，正确的个数是（）①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】【分析】根据三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上．【详解】①三角形的中线、角平分线、高都是线段，故正确；②钝角三角形的高有两条在三角形外部，故错误；③直角三角形有两条直角边和直角到对边的垂线段共三条高，故错误；④三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的，三条高线所在的直线一定交于一点，高线指的是线段，故错误．所以正确的有1 个．故选：A．【点睛】本题考查了对三角形的中线、角平分线、高的正确理解，解题的关键是熟练掌握这些性质.4．如图，∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，BE=BC，PB与CE交于点H，PG∠AD，交BC于F，交AB于G，下列结论：①GA=GP；②当∠CAB=40°，BC∠AD时，∠APB=35°；③BP垂直平分CE；④FP=FC，其中正确的判断有（）A．只有①② B．只有③④C．只有①③④D．①②③④【答案】C【解析】【分析】根据题意利用角平分线的性质以及已知条件对①②③④逐一判断即可．【详解】①∵AP平分∠BAC∴∠CAP=∠BAP∵PG∥AD∴∠APG=∠CAP∴∠APG=∠BAP∴GA=GP，故①正确．②∵PA平分∠CAB，PB平分∠CBE，∴∠APB=12∠ACB=45°，故②错误．③∵BE=BC，BP平分∠CBE∴BP垂直平分CE（三线合一），故③正确④∵∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，可得点P也位于∠BCD的平分线上∴∠DCP=∠BCP又PG∥AD∴∠FPC=∠DCP∴FP=FC，故④正确．故①③④都正确．故选C．【点睛】本题综合性较强，考查了角平分线的性质和定义，平行线的性质，线段的垂直平分线的判定，等腰三角形的性质等，解题的关键是熟练掌握这些性质.5．如图，在Rt∠ABC中，∠ACB=90°，CD与CE分别是斜边AB上的高与中线，以下判断中正确的个数有（）①∠DCB=∠A；②∠DCB=∠ACE；③∠ACD=∠BCE；④∠BCE=∠BEC．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】【分析】根据垂直的定义得到∠CDB=90°，根据余角的性质得到∠DCB=∠A，故∠正确；根据直角三角形的性质得到AE=CE=BE，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ACE，于是得到∠DCB=∠ACE，故∠正确；同理得到∠ACD=∠BCE，故∠正确；由于BC不一定等于BE，于是得到∠BCE不一定等于∠BEC，故∠错误．【详解】∠CD∠AB，∠∠BDC=90°，∠∠DCB+B=90°，∠∠A+∠B=90，∠∠DCB=∠A，∠∠正确；∠CE是RtABC斜边AB上的中线，∠EA=EC=EB，∠∠ACE=∠A，∠∠DCB=∠A，∠∠DCB=∠ACE，∠∠正确；∠EC=EB，∠∠B=∠BCE，∠∠A+∠B=90，∠A+∠ACD=90，∠∠B= ∠ACD，∠∠ACD= ∠BCE，∠∠正确；∠BC与BE不一定相等，∠∠BCE 与∠BEC 不一定相等，∴④不正确；∠正确的个数为3个，故答案为C.【点睛】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．6．如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线，若∠BAC ＝76°，则∠EAD的度数是( )A．19°B．20°C．18°D．28°【答案】A【解析】先根据角平分线的定义求出∠BAD、∠BAE的度数；再根据角的和差关系求解即可．【详解】∵AD是△ABC的角平分线∠BAC=76°，∴∠DAC=∠DAB=38°，∵AE是△ABD的角平分线，∴∠BAE=19°，∴∠EAD=∠BAD-∠BAE=19°．故选A．【点睛】考查了三角形的角平分线．三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．7．三角形的角平分线是( )A．直线B．射线C．线段D．以上均不正确【答案】C【解析】【分析】根据三角形角平分线的定义求解即可．【详解】三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线．【点睛】解答此题的关键是区分三角形的角平分线和角的平分线：一个是线段，一个是射线．8．如图，△ABC的平分线AD与中线BE交于点O，有下列结论：①AO 是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线，下列说法正确的是( )A．①②都正确B．①不正确，②正确C．①②都不正确D．①正确，②不正确【答案】D【解析】【分析】根据三角形的角平分线的定义，三角形的中线的定义可知．【详解】AD是三角形ABC的角平分线，∴AO是∠BAC的角平分线，∴AO是△ABE的角平分线，故①正确；∵BE是三角形ABC的中线，∴E是AC是中点，而O不一定是AD的中点，故②错误．故选D．【点睛】本题是三角形的角平分线、中线、高，主要考查了学生对角平分线的定义和中线的定义的理解和掌握，理解它们的概念是解题的关键．9．如图，点O是直线AB上一点，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOC，当OC的位置发生变化时(不与直线AB重合)，那么∠EOF的度数( )A．不变，都等于90°B．逐渐变大C．逐渐变小D．无法确定【答案】A【解析】【分析】由OE与OF为角平分线，利用角平分线定义得到两对角相等，由平角的定义及等式的性质即可求出所求角的度数.【详解】∵OE、OF分别是∠AOC、∠BOC的角平分线，∴∠AOE＝∠COE，∠COF ＝∠BOF，∵∠AOC＋∠COB＝∠AOE＋∠COE＋∠COF＋∠BOF＝180°，∴2（∠COE＋∠COF）＝180°，即∠COE＋∠COF＝90°，∴∠EOF＝∠COE＋∠COF＝90°.故选A.【点睛】本题主要考查角平分线的性质和平角的定义，得出2（∠COE＋∠COF）＝180°是解题的关键.10．下列说法不正确的是（）A．三角形的三条角平分线相交于三角形内一点.B．三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形.C．正多边形的每一个外角都相等.D．三角形的三条高都在三角形内部.【答案】D【解析】【分析】利用三角形的中线、角平分线及高的性质和正多边形的外角关系逐一判断后即可确定正确的选项．【详解】A. 三角形的三条角平分线相交于三角形内一点.正确；B. 三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形.正确；C. 正多边形的每一个外角都相等.正确；D. 三角形的三条高不一定在三角形内部，钝角三角形的高在三角形的外部. 此选项错误；故选：D．【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线和高的性质及正多边形的外角，熟练掌握相关性质是解题关键.。
人教版数学八年级上册 第11章 三角形 11.1.2 三角形的高、中线和角平分线 同步练习
人教版八年级上册第11章三角形11.1.2三角形的高、中线与角平分线同步检测一．选择题（共10小题，3*10=30）1. 如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是( )2．下列说法正确的是( )A．三角形的三条高都在三角形内B．直角三角形只有一条高C．锐角三角形的三条高都在三角形内D．以上都不对3. 如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是( ) A．线段DEB．线段BEC．线段EFD．线段FG4．三角形一边上的中线把原三角形分成两个( )A．形状相同的三角形B．面积相等的三角形C．直角三角形D．周长相等的三角形5. 如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论中错误的是( )A．BD是△ABC的角平分线B．CE是△BCD的角平分线C．∠ACB＝2∠3D．CE是△ABC的角平分线6. 下列图形具有稳定性的是( )7．如图，在△ABC中，CD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AC于点E，若∠ACB＝60°，则∠EDC的度数是( )A．15°B．30°C．45°D．60°8.如图,△ABC中,点E是BC上的一点,EC=2BE,BD是边AC上的中线,若S△ABC=12,则S△ADF-S△BEF=()A.1B.2C.3D.49. 如图，在△ABC中，∠1=∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E.F为AB上一点，CF⊥AD于H，下面判断正确的有()①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD边AD上的中线；③CH是△ACD边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10. 如图，AD是△ABC的角平分线，点O在AD上，且OE⊥BC于点E，∠BAC=60∘，∠C=80∘，则∠EOD的度数为()A. 20∘B. 30∘C. 10∘D. 15∘二．填空题（共8小题，3*8=24）11．如图，在△ABC中，∠AEB＝90°，则以AE为高的三角形是_______________________________．12.空调外机安装在墙壁上时,一般都会按如图所示的方法固定在墙壁上,这种方法应用的数学知识是三角形的.13. 已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，则△ABD和△BCD的周长的差是____．14．如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线，若∠BAC＝80°，则∠EAD＝_____．15. 下列说法：①自行车的三脚架；②三角形房架；③照相机的三角架；④门框的长方形架．其中利用三角形稳定性的有__________．(填序号)16. 如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC边上的中点，已知△ADE的面积为1，则△ABC的面积是_______．17．如果等腰三角形的周长是25 cm，一腰上的中线把三角形分成周长差是4 cm的两个三角形，则这个等腰三角形的腰长为_________．18. 如图,在△ABC中,AD是△ABC边BC上的中线,CE是△ACD边AD上的中线,F是EC的中点.若S△BFC=1,则S△ABC=.三．解答题（共7小题，46分）19. （6分）画出下列三角形三边上的高．20. （6分）如图，D是△ABC中BC边上的一点，DE∥AC交AB于点E.若∠EDA＝∠EAD，试说明AD是△ABC的角平分线．21．（6分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AB＝13，BC＝12，AC＝5.(1)求△ABC的面积；(2)求CD的长．22．（6分）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝8 cm2，求阴影部分的面积．23. （6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线把三角形的周长分为24和30两部分，求△ABC各边的长．24．（6分）如图△ABC中，∠A=20∘，CD是∠BCA的平分线，△CDA中，DE是CA边上的高，又有∠EDA=∠CDB，求∠B的大小．25. （8分）如图,已知AD、AE分别是△ABC的高和中线,AB=9 cm,AC=12 cm,BC=15 cm,∠BAC=90°.试求:(1)△ABE的面积;(2)AD的长度;(3)△ACE与△ABE的周长的差.参考答案：1-5 ACBBD6-10 ABBBA11. △ABE ，△ABC ，△AED ，△AEC ，△ADC12. 稳定性13. 214. 20°15. ①②③16. 417. 7或29318. 419.解：20. 解：∵DE ∥AC ，∴∠EDA ＝∠CAD ，∵∠EDA ＝∠EAD ，∴∠CAD ＝∠EAD ，∴AD 是△ABC 的角平分线21. 解：(1)S △ABC ＝12AC·BC ＝30 (2)∵S △ABC ＝12AB·CD ，∴CD ＝2S △ABC AB ＝601322. 解：∵D 是BC 的中点，∴S △ABD ＝S △ACD ＝12S △ABC ＝4 cm 2. ∵E 是AD 的中点，∴S △BED ＝12S △ABD ＝2 cm 2，S △DCE ＝12S △ACD ＝2 cm 2， ∴S △BCE ＝S △BED ＋S △DCE ＝4 cm 2.∵F 是CE 的中点，∴S 阴影＝12S △BCE ＝2 cm 2 23. 解：设AB ＝x ，BC ＝y ，由题意知，分两种情况讨论，即⎩⎨⎧32x ＝24，12x ＋y ＝30或⎩⎨⎧32x ＝30，12x ＋y ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16，y ＝22或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20，y ＝14， ∴AB ＝AC ＝16，BC ＝22或AB ＝AC ＝20，BC ＝1424. 解：∵DE 是CA 边上的高，∴∠DEA =∠DEC =90∘，∵∠A =20∘，∴∠EDA =90∘−20∘=70∘，∵∠EDA =∠CDB ，∴∠CDE =180∘−70∘×2=40∘，在Rt △CDE 中，∠DCE =90∘−40∘=50∘，∵CD 是∠BCA 的平分线，∴∠BCA =2∠DCE =2×50∘=100∘，在△ABC 中，∠B =180∘−∠BCA −∠A =180∘−100∘−20∘=60∘．故答案为：60∘．25. 解： (1)∵△ABC 是直角三角形,∠BAC=90°,AB=9 cm,AC=12 cm,∴S △ABC =12AB·AC=12×9×12=54(cm 2).∵AE 是边BC 上的中线,∴BE=EC, ∴12BE·AD=12EC·AD,即S △ABE =S △AEC ,∴S △ABE =12S △ABC =27 cm 2.∴△ABE 的面积是27 cm 2. (2)∵∠BAC=90°,AD 是边BC 上的高,∴12AB·AC=12BC·AD,∴AD=AB·AC BC =9×1215=365 (cm),即AD 的长度为365cm. (3)∵AE 为BC 边上的中线,∴BE=CE,∴△ACE 的周长-△ABE 的周长=AC+AE+CE -(AB+BE+AE)=AC -AB=12-9=3(cm),即△ACE 与△ABE 的周长的差是3 cm.。
人教版八年级数学上册 11.1.2三角形的高、中线与角平分线 同步训练
人教版八年级数学上册11.1.2三角形的高、中线与角平分线同步训练一、选择题（共10小题，3*10=30）1．过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是()2．下列说法中正确的是()A．三角形的三条高都在三角形内B．直角三角形只有一条高C．锐角三角形的三条高都在三角形内D．三角形每一边上的高都小于其他两边3．如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是()A．线段DE B．线段BE C．线段EF D．线段FG4．若AD是△ABC的中线，下列结论错误的是()A．AB＝BC B．BD＝DCC．AD平分BC D．BC＝2DC5．如图，已知P是△ABC的重心，连接AP并延长交BC于点D，若△ABC的面积为20，则△ADC 的面积为()A．10 B．8 C．6 D．56. 如图，D ，E 分别是△ABC 的边AC ，BC 的中点，那么下列说法中不正确的是( )A ．DE 是△BCD 的中线B ．BD 是△ABC 的中线C ．AD ＝DC ，BE ＝ECD ．AD ＝EC ，DC ＝BE7．如图，CD ，CE ，CF 分别是△ABC 的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是( )A ．AB ＝2BF B ．∠ACE ＝12∠ACB C ．AE ＝BE D ．CD ⊥BE8．如图，AD ，BE ，CF 依次是△ABC 的高、中线和角平分线，下列表达式中错误的是( )A ．AE ＝CEB ．∠ADC ＝90°C ．∠CAD ＝∠CBED ．∠ACB ＝2∠ACF9．三角形一边上的中线一定可以把原三角形分成两个( )A ．形状相同的三角形B ．面积相等的三角形C ．直角三角形D ．周长相等的三角形10．如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E.若∠A ＝54°，∠B ＝48°，则∠CDE 的大小为( )A ．44°B ．40°C ．39°D ．38°二．填空题（共8小题，3*8=24）11．如图，线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的_______，则∠ADB ＝∠ADC ＝________．12. 如图，以CF 为高的三角形是_______________________________．13．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D.若BC ＝5，AD ＝2，则△ABC 的面积为________．14．如图，AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线，则AB ＝2________，BD ＝________，AE ＝12________．15．如图②，AE 平分∠BAC ，交BC 于点E.若∠BAE ＝50°，则∠CAE ＝________，∠CAB ＝________．16．如图，AD ⊥BC 于点D ，那么图中以AD 为高的三角形有________个.17．如图，在△ABC 中，∠1＝∠2，点G 为AD 的中点，延长BG 交AC 于点E ，F 为AB 上一点，且CF⊥AD于点H，下列说法正确的有________个.①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的边AD上的中线；③CH是△ACD的边AD上的高．18．如图，在△ABC中，CD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AC于点E，若∠ACB＝60°，则∠EDC＝__________．三．解答题（共7小题，46分）19．(6分) 在△ABC中，∠ACB是钝角，AD是BC边上的高．若AD＝2，BD＝3，CD＝1，求△ABC 的面积．20．(6分)如图所示，已知AD是△ABC的边BC上的中线．(1)作出△ABD的边BD上的高．(2)若△ABD的面积为6，且BD边上的高为3，求BC的长21．(6分) 如图，已知△ABC.(1)画中线AD；(2)画△ABD的高BE及△ACD的高CF.22．(6分) 如图，AD是∠CAB的平分线，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于点O. DO是∠EDF的平分线吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．23．(6分)如图，D是△ABC中BC边上一点，DE∥AC交AB于点E，若∠EDA＝∠EAD，试说明AD是△ABC的角平分线．24．(8分)如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝8 cm2，求阴影部分的面积S阴影．25．(8分) 在等腰三角形ABC中，一腰AC上的中线BD将该三角形的周长分成9cm和15cm两部分，求这个三角形的腰长和底边长．参考答案1-5ACBAA 6-10DCCBC11. 高，90°12. △ABC，△BCF和△AFC13. 514. AF(BF)，CD，AC15. 50°，100°16. 617. 118. 30°19. 解：∵BD＝3，CD＝1，∴BC＝3－1＝2.∴S△ABC＝12BC·AD＝12×2×2＝2.20. 解：(1)如图所示．AM为△ABD的边BD上的高．(2)∵AD是△ABC的边BC上的中线，△ABD的面积为6，∴△ABC的面积为12.∵BD边上的高AM为3，∴BC＝12×2÷3＝8.21. 解：(1)中线AD如图．(2)△ABD的高BE及△ACD的高CF如图．22. 解：DO是∠EDF的平分线．证明：∵AD是∠CAB的平分线，∴∠EAD＝∠FAD.∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠EDA＝∠FAD，∠FDA＝∠EAD.∴∠EDA＝∠FDA.∴DO是∠EDF的平分线．23. 解：∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAD.∵∠EDA＝∠EAD，∴∠CAD＝∠EAD，∴AD是△ABC的角平分线．24. 解：∵D是边BC的中点，∴S△ABD＝S△ACD＝12S△ABC＝12×8＝4(cm2)，∵E是AD的中点，∴S△BDE＝12S△ABD＝2 cm2，S△CDE＝12S△ACD＝2 cm2，∴S△BEC＝S△BDE＋S△CDE＝4 cm2，又∵F 是CE 的中点，∴S 阴影＝12S △BEC ＝2 cm 2 25. 解：设腰长为x cm.①当腰长与腰长的一半是9 cm 时，x ＋12x ＝9， 解得x ＝6.∴底边长为15－12×6＝12(cm)． ∵6＋6＝12，∴6 cm ，6 cm ，12 cm 不能组成三角形．②当腰长与腰长的一半是15 cm 时，x ＋12x ＝15， 解得x ＝10.∴底边长为9－12×10＝4(cm)． ∵10＋4＞10，∴10 cm ，10 cm ，4cm 能组成三角形． 综上所述，三角形的腰长为10 cm ，底边长为4 cm.。
八年级上册11.1三角形的中线、高线、角平分线同步测试(人教版含答案解析)
八年级上册11.1三角形的中线、高线、角平分线同步测试（人教版含答案解析）三角形的中线、高线、角平分线时间：60分钟总分： 100 题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）下列说法错误的是( )A. 三角形三条高交于三角形内一点B. 三角形三条中线交于三角形内一点 C. 三角形三条角平分线交于三角形内一点 D. 三角形的中线、角平分线、高都是线段下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是( ) A. B. C. D. 如图，在△ABC中，若AD⊥BC，点E是BC 边上一点，且不与点B、C、D重合，则AD是几个三角形的高线( ) A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 8个如图，AD⊥BE于D，以AD为高的三角形有( )个． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6如图，在△ABC中，∠1=∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E.F为AB上一点，CF⊥AD于H，下面判断正确的有( ) ①AD是△ABE 的角平分线；②BE是△ABD边AD上的中线；③CH是△ACD边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个如图，兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在( )A. 三条边的垂直平分线的交点B. 三个角的角平分线的交点C. 三角形三条高的交点 D. 三角形三条中线的交点如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的高线，AB=3，AC=5，DE=2，那么点D到AB的距离是( )A. 10/3B. 5/3C. 6/5D. 2 已知：三角形的两边长分别为3和7，则第三边的中线长x的取值范围是( ) A. 2<x<5 B. 4<x<10 C.3<x<7 D. 无法确定如图，AD是△ABC的角平分线，点O在AD上，且OE⊥BC于点E，∠BAC=〖60〗^∘，∠C=〖80〗^∘，则∠EOD的度数为( )A. 〖20〗^∘B. 〖30〗^∘C. 〖10〗^∘D. 〖15〗^∘一个钝角三角形的三条角平分线所在的直线一定交于一点，这交点一定在( ) A.三角形内部 B. 三角形的一边上 C. 三角形外部 D. 三角形的某个顶点上二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）如图，DB是△ABC的高，AE是角平分线，∠BAE=〖26〗^∘，则∠BFE=______．平行四边形ABCD中，∠ABC的角平分线BE将边AD分成长度为5cm和6cm的两部分，则平行四边形ABCD的周长为______cm．如图，在△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点O，若∠A=〖50〗^∘，则∠BOC= ______ ．如图所示，D是BC的中点，E是AC的中点，若S_(△ADE)=1，则S_(△ABC)= ______ ．如图，已知AE是△ABC的边BC上的中线，若AB=8cm，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，则AC=______cm．在画三角形的三条重要线段(角平分线、中线和高线)时，不一定画在三角形内部的是______ ．如图，已知△ABC中，∠B=〖65〗^∘，∠C=〖45〗^∘，AD是∠ABC的高线，AE是∠BAC的平分线，则∠DAE= ______ ．如图，在△ABC中，∠A=α.∠ABC与∠ACD的平分线交于点A_1，得∠A_1；∠A_1 BC与∠A_1 CD的平分线相交于点A_2，得∠A_2；…；∠A_2011 BC与∠A_2011 CD的平分线相交于点A_2012，得∠A_2012，则∠A_2012= ______ ．如图，在△ABC中，AB=13，AC=10，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差= ______ ．如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点G，AD与BF相交于点H，∠BAC=〖50〗^∘，∠C=〖70〗^∘，则∠AHB= ______ ．三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）如图，△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=〖40〗^∘，∠C=〖60〗^∘，求∠DAE的度数．如图所示，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，求BC的长．如图所示：△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=〖60〗^∘，∠C=〖70〗^∘，求∠CAD，∠BOA的度数是多少？如图△ABC中，∠A=〖20〗^∘，CD是∠BCA的平分线，△CDA中，DE 是CA边上的高，又有∠EDA=∠CDB，求∠B的大小．四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，则：(1)∵AE是△ABC的中线，∴BE= ______ =1/2 ______ ；(2)∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD= ______ =1/2 ______ ；(3)∵AF是△ABC的高，∴∠AFB= ______ =〖90〗^∘；(4)∵AE是△ABC的中线，∴BE=CE，又∵S_(△ABE)=1/2 ______ ，S_(△AEC)=1/2 ______ ，∴S_(△ABE)=S_(△ACE)=1/2 ______ ．已知，如图，AE是∠BAC的平分线，∠1=∠D．求证：∠1=∠2．答案和解析【答案】 1. A 2. A 3. C 4. D 5. B 6. A 7. A 8.A 9. A 10. A 11. 〖64〗^∘ 12. 32或34 13. 〖115〗^∘ 14. 4 15.10 16. 高线 17. 〖10〗^∘ 18. α/2^2012 19. 3 20. 〖120〗^∘ 21. 解：∵∠B=〖40〗^∘，∠C=〖60〗^∘，∴∠BAC=〖180〗^∘-∠B-∠C=〖80〗^∘，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=1/2∠BAC=〖40〗^∘，∴∠AEC=∠B+∠BAE=〖80〗^∘，∵AD⊥BC，∴∠ADE=〖90〗^∘，∴∠DAE=〖180〗^∘-∠ADE-∠AED=〖10〗^∘．答：∠DAE的度数是〖10〗^∘． 22. 解：延长AD到E使AD=DE，连接CE，在△ABD和△ECD中{■(AD=DE@∠ADB=∠EDC@BD=DC)┤，∴△ABD≌△ECD，∴AB=CE=5，AD=DE=6，AE=12，在△AEC中，AC=13，AE=12，CE=5，∴AC^2=AE^2+CE^2，∴∠E=〖90〗^∘，由勾股定理得：CD=√(DE^2+CE^2 )=√61，∴BC=2CD=2√61，答：BC的长是2√61． 23. 解：∵AD⊥BC，∴∠ADC=〖90〗^∘，∵∠C=〖70〗^∘，∴∠CAD=〖180〗^∘-〖90〗^∘-〖70〗^∘=〖20〗^∘；∵∠BAC=〖60〗^∘，∠C=〖70〗^∘，∴∠BAO=〖30〗^∘，∠ABC=〖50〗^∘，∵BF 是∠ABC的角平分线，∴∠ABO=〖25〗^∘，∴∠BOA=〖180〗^∘-∠BAO-∠ABO=〖180〗^∘-〖30〗^∘-〖25〗^∘=〖125〗^∘．故∠CAD，∠BOA的度数分别是〖20〗^∘，〖125〗^∘． 24. 解：∵DE是CA边上的高，∴∠DEA=∠DEC=〖90〗^∘，∵∠A=〖20〗^∘，∴∠EDA=〖90〗^∘-〖20〗^∘=〖70〗^∘，∵∠EDA=∠CDB，∴∠CDE=〖180〗^∘-〖70〗^∘×2=〖40〗^∘，在Rt△CDE中，∠DCE=〖90〗^∘-〖40〗^∘=〖50〗^∘，∵CD是∠BCA的平分线，∴∠BCA=2∠DCE=2×〖50〗^∘=〖100〗^∘，在△ABC中，∠B=〖180〗^∘-∠BCA-∠A=〖180〗^∘-〖100〗^∘-〖20〗^∘=〖60〗^∘．故答案为：〖60〗^∘． 25. CE；BC；∠CAD；∠BAC；∠AFC；S_(△ABC)；S_(△ABC)；S_(△ABC) 26. 证明：∵∠1=∠D，∴AE//DC(同位角相等，两直线平行)，∴∠EAC=∠2(两直线平行，内错角相等)，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠1=∠EAC，∴∠1=∠2．【解析】 1. 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线以及三角形的面积和外角性质，熟记概念与性质是解题的关键.根据三角形的高线、外角的性质、角平分线、中线的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A.三角形的三条高所在的直线交于一点，三条高不一定相交，故本选项说法不正确； B.三角形的三条中线交于三角形内一点，故本选项说法正确； C.三角形的三条角平分线交于一点，是三角形的内心，故本选项说法正确；D.三角形的中线，角平分线，高都是线段，因为它们都有两个端点，故本选项说法正确．故选A． 2. 解：线段BD是△ABC的高，则过点B作对边AC的垂线，则垂线段BD为△ABC的高．故选A．根据三角形高的定义进行判断．本题考查了三角形的角平分线、中线和高：三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段.锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 3. 解：∵在△ABC中，AD⊥BC，点E是BC边上一点，且不与点B、C、D重合，∴AD是△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC的高．故选C．根据三角形高的定义可知，三角形的高可以在三角形内部，可以是三角形的边，还可以在三角形外部，结合图形即可求解．本题考查了三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高.注意：锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 4. 解：∵AD⊥BC于D，而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，∴以AD为高的三角形有6个．故选：D．由于AD⊥BC 于D，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线CB上，由此即可确定以AD为高的三角形的个数．此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三角形内，所以确定三角形的高比较灵活． 5. 解：①根据三角形的角平分线的概念，知AG是△ABE的角平分线，故此说法错误；②根据三角形的中线的概念，知BG是△ABD的边AD上的中线，故此说法错误；③根据三角形的高的概念，知CH为△ACD的边AD上的高，故此说法正确；④根据三角形的角平分线和高的概念，知AH是△ACF的角平分线和高线，故此说法正确．故选B．根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断．连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高．本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段.透彻理解定义是解题的关键． 6. 解：猎狗到△ABC三个顶点的距离相等，则猎狗应蹲守在△ABC的三条(边垂直平分线)的交点．故选：A．用线段垂直平分线性质判断即可．此题考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握性质是解本题的关键． 7. 解：∵AC=5，DE=2，∴△ADC的面积为1/2×5×2=5，∵AD是△ABC的中线，∴△ABD的面积为5，∴点D到AB的距离是2×5÷3=10/3．故选A．根据三角形的面积得出△ADC的面积为5，再利用中线的性质得出△ABD的面积为5，进而解答即可．此题考查三角形的面积问题，关键是根据三角形的面积得出△ADC的面积为5． 8. 解：7-3<2x<7+3，即2<x<5．故选A．根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.倍长中线，构造一个新的三角形.根据三角形的三边关系就可以求解．本题主要考查了三角形的三边关系，注意此题构造了一条常见的辅助线：倍长中线． 9. 解：∵∠BAC=〖60〗^∘，∠C=〖80〗^∘，∴∠B=〖40〗^∘．又∵AD 是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=1/2∠BAC=〖30〗^∘，∴∠ADE=〖70〗^∘，又∵OE⊥BC，∴∠EOD=〖20〗^∘．故选A．首先根据三角形的内角和定理求得∠B，再根据角平分线的定义求得∠BAD，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求得∠ADC，最后根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．此类题要首先明确思路，考查了三角形的内角和定理及其推论、角平分线的定义． 10. 解：一个钝角三角形的三条角平分线所在的直线一定交于一点，这交点一定在三角形的内部．故选A．根据三角形的高的性质即可判断．本题考查了三角形的高线，锐角三角形的三高线交于三角形内部一点，直角三角形三高线的交点是直角三角形的直角顶点，钝角的三条高所在的直线一定交于一点，这交点一定在三角形的内部． 11. 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理以及三角形的高以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是利用角平分线的定义和直角三角形的性质求解.由角平分线的定义可得，∠FAD=∠BAE=〖26〗^∘，而∠AFD 与∠FAD互余，与∠BFE是对顶角，故可求得∠BFE的度数．【解答】解：∵AE是角平分线，∠BAE=〖26〗^∘，∴∠FAD=∠BAE=〖26〗^∘，∵DB是△ABC的高，∴∠AFD=〖90〗^∘-∠FAD=〖90〗^∘-〖26〗^∘=〖64〗^∘，∴∠BFE=∠AFD=〖64〗^∘．故答案为〖64〗^∘． 12. 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB=CD，AD//BC，∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE， (1)当AE=5时，AB=5，平行四边形ABCD的周长是2×(5+5+6)=32； (2)当AE=6时，AB=6，平行四边形ABCD的周长是2×(5+6+6)=34；故答案为：32或34．由平行四边形ABCD推出∠AEB=∠CBE，由已知得到∠ABE=∠CBE，推出AB=AE，分两种情况(1)当AE=5时，求出AB的长；(2)当AE=6时，求出AB的长，进一步求出平行四边形的周长．本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，三角形的角平分线等知识点，解此题的关键是求出AE=AB.用的数学思想是分类讨论思想． 13. 解；∵∠A=〖50〗^∘，∴∠ABC+∠ACB=〖180〗^∘-〖50〗^∘=〖130〗^∘，∵∠B和∠C的平分线交于点O，∴∠OBC=1/2∠ABC，∠OCB=1/2∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=1/2×(∠ABC+∠ACB)=1/2×〖130〗^∘=〖65〗^∘，∴∠BOC=〖180〗^∘-(∠OBC+∠OCB)=〖115〗^∘，故答案为：〖115〗^∘．求出∠ABC+∠ACB=〖130〗^∘，根据角平分线定义得出∠OBC=1/2∠ABC，∠OCB=1/2∠ACB，求出∠OBC+∠OCB=1/2×(∠ABC+∠ACB)=〖65〗^∘，根据三角形的内角和定理得出∠BOC=〖180〗^∘-(∠OBC+∠OCB)，代入求出即可．本题考查了三角形的内角和定理和三角形的角平分线等知识点，关键是求出∠OBC+∠OCB的度数． 14. 解：∵D是BC的中点，E是AC的中点，∴△ADC的面积等于△ABC的面积的一半，△ADE的面积等于△ACD的面积的一半，∴△ADE的面积等于△ABC的面积的四分之一，又∵S_(△ADE)=1，∴S_(△ABC)=4．故答案为：4．先根据D是BC的中点，E是AC的中点，得出△ADE的面积等于△ABC的面积的四分之一，再根据S_(△ADE)=1，得到S_(△ABC)=4．本题主要考查了三角形的面积，解决问题的关键是掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 15. 解：∵AE是△ABC的边BC上的中线，∴CE=BE，又∵AE=AE，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，∴AC-AB=2cm，即AC-8=2cm，∴AC=10cm，故答案为：10；依据AE是△ABC的边BC上的中线，可得CE=BE，再根据AE=AE，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，即可得到AC的长．本题考查了三角形的角平分线、中线和高，求出两个三角形的周长的差等于两边的差是解题的关键． 16. 解：三角形的角平分线和中线都在三角形内部，而锐角三角形的三条高在三角形内部，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．故答案为：高线．根据三角形的角平分线、中线和高的定义求解．考查了三角形的角平分线、中线和高：三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段.锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 17. 解：在△ABC中，∵∠BAC=〖180〗^∘-∠B-∠C=〖70〗^∘，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE=∠CAE=〖35〗^∘．又∵AD是BC边上的高，∴∠ADB=〖90〗^∘，∵在△ABD中∠BAD=〖90〗^∘-∠B=〖25〗^∘，∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=〖10〗^∘．由三角形的内角和定理，可求∠BAC=〖70〗^∘，又由AE是∠BAC的平分线，可求∠BAE=〖35〗^∘，再由AD是BC边上的高，可知∠ADB=〖90〗^∘，可求∠BAD=〖25〗^∘，所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=〖10〗^∘．本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质，高线的性质，熟知三角形的内角和定理是解答此题的关键． 18. 解：∵∠ABC与∠ACD的平分线交于点A_1，∴∠A_1 BC=1/2∠ABC，∠A_1 CD=1/2∠ACD，根据三角形的外角性质，∠A+∠ABC=∠ACD，∠A_1+∠A_1 BC=∠A_1 CD，∴∠A_1+∠A_1 BC=∠A_1+1/2∠ABC=1/2(∠A+∠ABC)，整理得，∠A_1=1/2∠A=α/2，同理可得，∠A_2=1/2∠A_1=1/2×α/2=α/2^2 ，…，∠A_2012=α/2^2012 ．故答案为：α/2^2012 ．根据角平分线的定义可得∠A_1 BC=1/2∠ABC，∠A_1 CD=1/2∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠ABC=∠ACD，∠A_1+∠A_1 BC=∠A_1 CD，然后整理即可得到∠A_1与∠A的关系，同理得到∠A_2与∠A_1的关系并依次找出变化规律，从而得解．本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，求出后一个角是前一个角的一半是解题的关键． 19. 解：∵AD是△ABC中BC边上的中线，∴BD=DC=1/2 BC，∴△ABD与△ACD的周长之差 =(AB+BD+AD)-(AC+DC+AD) =AB-AC =13-10=3．则△ABD与△ACD的周长之差=3．故答案为3．根据三角形的周长的计算方法得到△ABD的周长和△ADC的周长的差就是AB与AC的差．本题考查三角形的中线的定义：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，同时考查了三角形周长的计算方法． 20. 解：∵在△ABC中，∠BAC=〖50〗^∘，∠C=〖70〗^∘，∴∠ABC=〖60〗^∘，∵在△AB C中，AD是高，AE，BF是角平线，∴∠EAD=〖90〗^∘-(〖25〗^∘+〖60〗^∘)=5^∘，∴∠AGH=〖25〗^∘+〖30〗^∘=〖55〗^∘，∴∠AHB=〖180〗^∘-〖55〗^∘-5^∘=〖120〗^∘．故答案为：〖120〗^∘．根据三角形的内角和得出∠ABC=〖60〗^∘，再利用角平分线的定义和高的定义解答即可．此题考查三角形的内角和问题，关键是根据三角形的内角和得出∠ABC=〖60〗^∘． 21. 根据三角形的内角和定理求出∠BAC的度数，根据角平分线的定义求出∠BAE的度数，根据三角形的外角性质得到∠AEC的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出答案．本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线，垂直的定义等知识点，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键． 22. 延长AD到E 使AD=DE，连接CE，证△ABD≌△ECD，求出AE和CE的长，根据勾股定理的逆定理求出∠E=〖90〗^∘，根据勾股定理求出CD即可．本题综合考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、全等三角形的性质和判定、三角形的中线等知识点的应用，关键是正确地作辅助线，把已知条件转化成一个直角三角形，题型较好． 23. 因为AD是高，所以∠ADC=〖90〗^∘，又因为∠C=〖70〗^∘，所以∠CAD度数可求；因为∠BAC=〖60〗^∘，∠C=〖70〗^∘，所以∠BAO=〖30〗^∘，∠ABC=〖50〗^∘，BF是∠ABC的角平分线，则∠ABO=〖25〗^∘，故∠BOA的度数可求．本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义.关键是利用角平分线的性质解出∠ABO、∠BAO，再运用三角形内角和定理求出∠AOB． 24. 根据直角三角形两锐角互余求出∠EDA的度数，再根据平角的定义求出∠CDE的度数，再次利用直角三角形两锐角互余求出∠DCE的度数，从而得到∠BCA的度数，最后利用三角形内角和等于〖180〗^∘计算即可．本题考查了三角形的角平分线的定义，三角形的高以及三角形的内角和定理，稍微复杂，但仔细分析图形也不难解决． 25. 解：(1)根据AE是△ABC的中线，可得BE=CE=1/2 BC； (2)根据AD是△ABC 的角平分线，可得∠BAD=∠CAD=1/2∠BAC； (3)根据AF是△ABC的高，可得∠AFB=∠AFC=〖90〗^∘； (4)根据AE是△ABC的中线，可得BE=CE，所以S_(△ABE)=1/2 S_(△ABC)，S_(△AEC)=1/2 S_(△ABC)，即S_(△ABE)=S_(△ACE)=1/2 S_(△ABC)．故答案为：(1)CE，BC；(2)∠CAD，∠BAC；(3)∠AFC；(4)S_(△ABC)，S_(△ABC)，S_(△ABC)． (1)三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线； (2)三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线； (3)从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高； (4)三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．本题主要考查了三角形的中线、高线以及角平分线的概念的运用，解题时注意：三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 26. 由∠1=∠D，根据同位角相等，两直线平行可证AE//DC，根据两直线平行，内错角相等可证∠EAC=∠2，再根据角平分线的性质即可求解．本题考查了平行线的判定与性质和三角形的角平分线的性质，有一定的综合性，但难度不大．。
人教版数学八年级上册 三角形的高、中线、角平分线 专题训练
∵AD⊥BC，∴∠ADE＝90°. ∴∠B＋∠BAD＝90°. ∴∠BAD＝90°－∠B. ∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝90°－12(∠B＋∠C)－(90°－∠B) ＝12(∠B－∠C)． ∵∠B－∠C＝40°，∴∠DAE＝12×40°＝20°.
16．如图，AE，AD 分别是△ABC 的高和角平分线，且∠B＝36°， ∠C＝75°.求∠DAE 的度数．
9．如图，在△ABC 中，AB＝AC，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥ AC，垂足分别为点 E，F，G.求证 DE＋DF＝BG. 证明：连接 AD. ∵S△ABC＝S△ABD＋S△ADC， ∴12AC·BG＝12AB·DE＋12AC·DF. 又∵AB＝AC，∴DE＋DF＝BG.
10．如图，△ABC 的三边的中线 AD，BE，CF 的公共点为 G，
(1)求△ABC 的面积及 AC 边上的高 BE 的长；
解：S△ABC＝12BC·AD＝12×4×4＝8. ∵S△ABC＝12AC·BE＝12×5×BE＝8，∴BE＝156.
(2)求 AD∶BE 的值． 解：AD∶BE＝4∶156＝54
8. 如图，已知△ABC. (1)画出 BC 边上的高 AD 和中线 AE；
解：在△ABC 中，∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－36°－75° ＝69°. ∵AE，AD 分别是△ABC 的高和角平分线， ∴∠AED＝90°，∠BAD＝∠CAD＝12∠BAC＝34.5°.
∵∠ADE 是△ABD 的外角， ∴∠ADE＝∠B＋∠BAD＝36°＋34.5°＝70.5°. 在 Rt△ADE 中，∠DAE＝90°－∠ADE＝19.5°.
(3)若 BN⊥AD 交 AD 的延长线于 N，求证 BN＝CM.
证明：由题意知 S△ABD＝S△ACD＝12S△ABC. ∵S△ABD＝12AD·BN，S△ACD＝12AD·CM， ∴12AD·BN＝12AD·CM. ∴BN＝CM.
人教版_部编版八年级数学上册第十一章第一节三角形的高、中线与角平分线试题(含答案) (41)
人教版_部编版八年级数学上册第十一章第一节三角形的高、中线与角平分线试题（含答案)一、单选题1．如图，小聪把一块含有30°角的直角三角尺ABC的两个顶点A，C放在长方形纸片DEFG的对边上，若AC平分∠BAE，则∠DAB的度数是（）A．100°B．150°C．130°D．120°【答案】D【解析】【分析】利用角平分线定义求得∠BAC=∠CAE=30°，再利用平角定义即可解答.【详解】∵AC平分∠BAE∴∠BAC=∠CAE=30°∵∠DAB+∠BAC+∠CAE=180°∴∠DAB=120°故选D【点睛】本题考查了角平分线的定义以及平角的定义，熟练掌握相关定理是解题关键.2．如图，32ABC ︒∠=，50CBD ︒∠=，BE 平分ABD ∠，则CBE ∠的度数为（ ）A ．8︒B ．18︒C ．9︒D ．10︒【答案】C【解析】【分析】 根据题意，由角度相加，得到∠ABD 的度数，由角平分线性质，得到∠ABE 的度数，然后求出∠CBE.【详解】解：∵32ABC ︒∠=，50CBD ︒∠=，∴∠ABD=82°，∵BE 平分ABD ∠，∴∠ABE=41°，∴∠CBE=41329︒-︒=︒；故选择：C.【点睛】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是正确的进行角度的运算.3．下面四个图形中，线段BD 是△ABC 的高的是（ ）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据三角形高线的定义进行判断．【详解】解：线段BD是△ABC的高，则过点B作对边AC的垂线，垂线段BD为△ABC 的高．故选：A．【点睛】本题考查了三角形高线的定义：三角形有三条高线，它们都是线段．锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．4．如图，已知CD是△ABC的中线，E为CD的中点，若△ABC的面积为1，则△ACE的面积为（）A．12B．13C．14D．15【答案】C【分析】根据中线平分三角形的面积，CD为△ABC的中线，E是CD的中点，△ABC 的面积为1，即可求出△ACE的面积．【详解】解：∵CD为△ABC的中线，△ABC的面积为1，∴△ADC的面积为12，∵E是CD的中点，∴△ACE的面积为14，故选C.【点睛】本题考查三角形中线平分三角形的面积，熟练掌握三角形中线平分三角形的面积是解决本题的关键．5．如图,在△ABC中,点D、E分别是边AC,AB的中点,BD,CE相交于点O,连接O在AO上取一点F,使得OF=12AF若S△ABC =12,则四边形OCDF的面积为（）A．2 B．83C．3 D．103【答案】B 【解析】重心定理：三角形的三条边的中线交于一点，该点叫做三角形的重心.重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等.【详解】解：∵点D 、E 分别是边AC,AB 的中点，∴O 为△ABC 的重心， ∴13AOC S =ABC S =4, ∴12DOC DOA S S ==AOC S =2,∵OF=12AF ， ∴13DOF S =AOD S =23, ∴S 阴=DOC S+DOF S =83. 故选：B.【点睛】本题考查了重心及重心定理，熟练掌握相关定理是解题关键.6．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以原点A 为圆心，适当的长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点E ，作射线AE 交BC 于点D ，若BD ＝5，AB ＝15，△ABD 的面积30，则AC +CD 的值是（ ）A ．16B ．14C ．12D ．【答案】A【分析】过D点作DF⊥AB，垂足为F，利用三角形ABD的面积，求出CD=DF=4，得到BC=9，再利用勾股定理求出AC，最后即可得答案【详解】过D点作DF⊥AB，垂足为F∵S△ABD=30∴12AB·DF=30∴DF=4根据作图得到AD是∠CAB的角平分线∴CD=DF=4∵BD=5∴BC=5+4=9在Rt△ABC中，12=∴AC+CD=12+4=16故选A【点睛】本题主要考查角平分线性质与勾股定理，解题关键在于能够做出正确辅助线7．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，且S△ABC=4，则S△BEF的等于（）A．12B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形可得S△ABD＝12S△ABC，S△ACD＝12S△ABC，S△BDE＝12S△ABD，S△CDE＝12S△ACD，然后求出S△BCE＝12S△ABC，再根据S△BEF＝12S△BCE列式求解即可．【详解】解：∵点D是BC的中点，∴S△ABD＝12S△ABC，S△ACD＝12S△ABC，∵点E是AD的中点，∴S△BDE＝12S△ABD，S△CDE＝12S△ACD，∴S△BCE＝S△BDE＋S△CDE＝12（S△ABD＋S△ACD）＝12S△ABC，∵点F是CE的中点，∴S △BEF ＝12S △BCE ＝12×12S △ABC ＝12×12×4＝1． 故选：B ．【点睛】本题考查了三角形中线的性质，熟知三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形是解题关键．8．在△ABC 中，D 是BC 延长线上一点，且BC ＝m •BD ，过D 点作直线AB ，AC 的垂线，垂足分别为E 、F ，若AB ＝n •AC ．则DE DF ＝（ ） A ．1(1)n m + B ．1m(1n)- C ．1(1)n m - D ．1(1)n m - 【答案】C【解析】【分析】连接AD ，根据BC =m •BD ，得到CD =（1﹣m ）BD ，根据同高的三角形，底之比等于面积之比得到S △ACD ＝（1﹣m ）S △ABD ，根据三角形的面积公式得到()111,22AC DF m AB DE ⋅⋅=-⋅⋅把AB =n •AC ，代入即可求解. 【详解】解：连接AD ，∵BC ＝m •BD ，∴CD ＝（1﹣m ）BD∴S △ACD ＝（1﹣m ）S △ABD ，又∵11,,22ABD ACD S S AB DE AC DF =⋅⋅=⋅⋅ ∴()111,22AC DF m AB DE ⋅⋅=-⋅⋅ ∵AB ＝n •AC ，∴AC •DF ＝（1﹣m ）n •AC •DE∴DF ＝（1﹣m ）n •DE∴1.(1)n DE DF m =- 故选C ．【点睛】考查三角形的面积公式，掌握同高的三角形，底之比等于面积之比是解题的关键.9．如图，已知点O 在直线AB 上，90COE ︒∠=，OD 平分AOE ∠，25COD ︒∠=，则BOD ∠的度数为（ ）A．65︒B．100︒C．115︒D．130︒【答案】C【解析】【分析】先根据∠COE=90°，∠COD=25°，求得∠DOE=90°-25°=65°，再根据OD平分∠AOE，得出∠AOD=∠DOE=65°，最后得出∠BOD=180°-∠AOD=115°．【详解】解：∵∠COE=90°，∠COD=25°，∴∠DOE=90°-25°=65°，∵OD平分∠AOE，∴∠AOD=∠DOE=65°，∴∠BOD=180°-∠AOD=115°，故选：C．【点睛】本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义的综合应用，解决问题的关键是运用角平分线以及直角的定义，求得∠AOD的度数，再根据邻补角进行计算．10．下列说法错误的是（）A．三角形三条高交于三角形内一点B．三角形三条中线交于三角形内一点C．三角形三条角平分线交于三角形内一点 D．三角形的中线、角平分线、高都是线段【答案】A【解析】【分析】根据三角形的高线、外角的性质、角平分线、中线的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A. 三角形的三条高所在的直线交于一点，三条高不一定相交，故本选项符合题意；B. 三角形的三条中线交于三角形内一点，故本选项不符合；C. 三角形的三条角平分线交于一点，是三角形的内心，故本选项不符合；D. 三角形的中线，角平分线，高都是线段，因为它们都有两个端点，故本选项不符合；故选：A.【点睛】此题考查三角形的角平分线、中线和高，解题关键在于掌握各性质定义.。
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关于三角形中线的题目
三角形的中线能将原三角形平分成两个面积相等的三角形。
关于这一条性质考察的题目较多，也很灵活，但实质上并不难。
回忆：为什么三角形的中线能将原三角形平分成两个面积相等的三角形。
答：因为三角形的一条中线能将这个三角形的底边分成相等的两部分，而高是相等的，所以三角形的一条中线能将这个三角形分成面积相等的两个三角形。
推论：一条线段将三角形分为两个三角形，如果两个三角形的面积相等，那么这条线段必为三角形的中线。
B
如图所示，AD为BC边上的中线，则BD=CD，过点A作AE⊥
BC于点E，则S△ABD=1
2BD •AE
=
1
2CD •AE
=S△ACD
（钝角三角形的高一定要会画，因为在以后证明三角形全等时通常需要构造这样的辅助线）
知识点应用：
例一：如图（下页），在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且S△ABC=4，则S△BEF=_________
B
（同学们来做这道题）
分析：出现了中点则出现了中线，出现了中线则会平分三角形的面积，按着一条线应该可以解决。
我们可采用分析法的思路，由果索因，想知道S △BEF ，由于F 为中点，则BF 为中线， 则S △BEF =S △BCF ，则只需知道S △BEC ，除以2即可。
而S △BEC=S △BED+S △CED ，由BE ，CE 为中线 S △BED= 12S △ABD ，S △CED= 12S △ACD,
S △ABD+S △ACD =S △ABC =4，回归到已知条件，问题解决。
解： S △ABC=4⇒S △ABD+S △ACD=4
BE ，CE 为中线⇒S △BED = 12S △ABD ，S △CED = 12
S △ACD ⇒S △BEC=S △BED+S △CED=12S △ABC=12
×4=2 BF 为中线⇒S △BEF = 12
S △BEC
S △BEF =1
由此可见如果遇到几何证明题或计算题我们可采取由果索因进行分析，这样的逻辑性较明确，在将推理过程由因到果写出来。
通过此题推理过程你发现了什么？
（D 为BC 的中点我们没有用，也就是说点D 在BC 边上移动不改变S △BEF 的大小，以下图为例）
GBH 的面积 = 11.82 厘米2
BEF 的面积 = 11.82 厘米2
B
作业：变式训练，如图，S △ABC =1，若S △BDE =S △DEC =S △ACE ，
则S △
ADE =_________
B 思考：我们知道中线将三角形面积分为1:1两部分，如上图，若点D 将B
C 边分为1：2的比例，那么S △AB
D 与 S △ADC 有何关系？。