学而思小升初排列组合(排列组合三宝)之令狐文艳创作
小升初讲义数学共16讲之令狐文艳创作
令狐文艳创作目录令狐文艳第1讲前言第一章丰富的图形世界第2讲生活中的立体图形第3讲展开与折叠第4讲截与看几何体第5讲平面图形与基本的推理第6讲直线、线段、射线、角第二章有理数第7讲数怎么不够用了第8讲数轴第9讲绝对值第10讲有理数的加法第11讲有理数的减法第12讲有理数的加减混合运算第13讲有理数的乘法第14讲有理数的除法第15讲有理数的乘方第16讲有理数的混合运算第1讲前言数学：人类离不开；人人都能学会！一、走进数学世界宇宙之大（海王星、流星雨），粒子之微（铍原子、氯化钠晶体结构），火箭之速（火箭），化工之巧（陶瓷），地球之变（陨石坑），生物之谜（青蛙），日用之繁（杯子、表），大千世界，天上人间，无处不有数学的贡献，让我们共同走进数学世界，去领略一下数学的风采，体会数学的魅力。
1.大自然的鬼斧神工使几何图形的对称美成了造型艺术、建筑美学的基础。
雪花的对称性就是大自然的杰作。
晶体（如冰糖）的表面对称极为精巧，并由此内含着深刻的物理性质。
在人类赖以生存的建筑群中，小到衣物装饰，大到房屋建筑、路面铺设，几乎处处都有美丽的对称性装饰，古代皇宫中壁画的边饰等无不含有极为壮丽的对称美，以至亡国之君李煜在身受软禁之际，还深情怀恋昔日的“雕阑玉砌应犹在”。
2.天工造物，每每使人惊叹不已；生物进化提示的规律，有时几个世纪也难以洞悉其中的奥秘。
蜂房的构造，大概最令人折服的实例之一。
18世纪初，法国学者马拉尔琪实测了蜂房底部菱形，得出令人惊异而有趣得结论：拼成蜂房底部的每个菱形的蜡板，钝角都是109°28ˊ，锐角都是70°32ˊ。
瑞士数学家克尼格经过精心计算，结果更令人震惊：建造同样体积且用料最省的蜂房，菱形的两角应是109°26ˊ与70°34ˊ，与实测仅差2分。
人们对蜜蜂出类拔萃的“建筑术”赞叹万分之余，无人去理会这不起眼的“2分”。
不料蜜蜂却不买克尼格的账，冷酷的科学事实后来去判断错方是克尼格。
学而思高中题库完整版排列与组合[1].版块七.排列组合问题的常用方法总结1.学生版
![学而思高中题库完整版排列与组合[1].版块七.排列组合问题的常用方法总结1.学生版](https://img.taocdn.com/s3/m/22075d166bec0975f465e2cc.png)
1．基本计数原理 ⑴加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++L 种不同的方法．又称加法原理．⑵乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯L 种不同的方法．又称乘法原理．⑶加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用． 2． 排列与组合 ⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示．排列数公式：A (1)(2)(1)m n n n n n m =---+L ，m n +∈N ，，并且m n ≤．全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=． ⑵组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合．组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C m n 表示．组合数公式：(1)(2)(1)!C !!()!m n n n n n m n m m n m ---+==-L ，,m n +∈N ，并且m n ≤． 知识内容排列组合问题的常用方法总结1组合数的两个性质：性质1：C C m n m n n -=；性质2：11C C C m m m n n n -+=+．（规定0C 1n =）⑶排列组合综合问题解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法： 1．特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空． 6．插板法：n 个相同元素，分成()m m n ≤组，每组至少一个的分组问题——把n 个元素排成一排，从1n -个空中选1m -个空，各插一个隔板，有11m n C --．7．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n 堆（组），必须除以n ！，如果有m 堆（组）元素个数相等，必须除以m ！ 8．错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到n 的n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当2n =，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．2．具体的解题策略有：①对特殊元素进行优先安排；②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏； ③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复； ④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法； ⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理； ⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．直接法（优先考虑特殊元素特殊位置，特殊元素法，特殊位置法，直接分类讨论）【例1】 从5名外语系大学生中选派4名同学参加广州亚运会翻译、交通、礼仪三项义工活动，要求翻译有2人参加，交通和礼仪各有1人参加，则不同的选派方法共有 ．【例2】 北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为A ．124414128C C C B ．124414128C A A C ．12441412833C C C AD ．12443141283C C C A【例3】 在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点，y 轴正半轴有3个点，将x 轴上这5个点和y 轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有（ ）A ．30个B ．35个C ．20个D ．15个【例4】 一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，⑴从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？⑵若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？典例分析【例5】一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．⑴从口袋内取出3个球，共有多少种取法？⑵从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？⑶从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？【例6】有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其余5人既会划左舷也会划右舷．从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷划船参加比赛，有多少种不同的选法？【例7】若x A∈，则1Ax∈，就称A是伙伴关系集合，集合11{101234}32M=-，，，，，，，的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（）A．15B．16C．82D．52【例8】 从6名女生，4名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为______．A ．3264C C ⋅B ．2364C C ⋅C ．510CD ．3264A A ⋅【例9】 某城市街道呈棋盘形，南北向大街3条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少种．【例10】 某幢楼从二楼到三楼的楼梯共11级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用7步走完，则上楼梯的方法有______种．【例11】 亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程有多少种？【例12】设含有10个元素的集合的全部子集数为S，其中由3个元素组成的子集数为T，则TS的值为（）A．20128B．15128C．16128D．21128【例13】设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳动一个单位，经过5次跳动质点落在点(10)，（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法种数为．【例14】从10名男同学，6名女同学中选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有________种（用数字作答）【例15】 在AOB 的边OA 上有1234A A A A ，，，四点，OB 边上有12345B B B B B ，，，，共9个点，连结线段(1415)i j A B i j ≤≤，≤≤，如果其中两条线段不相交，则称之为一对“和睦线”，和睦线的对数共有：（ ）A ．60B ．80C ．120D ．160【例16】 从7名男生5名女生中，选出5人，分别求符合下列条件的选法种数有多少种？⑴ A 、B 必须当选； ⑵ A 、B 都不当选； ⑶ A 、B 不全当选； ⑷ 至少有2名女生当选；⑸ 选出5名同学，让他们分别担任体育委员、文娱委员等5种不同工作，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任．【例17】 甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ） A ．150种 B ．180种 C ．300种 D ．345种【例18】 从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（ ）A ．85B ．56C ．49D ．28【例19】 某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（ ） A ．14 B ．24 C ．28 D ．48【例20】 要从10个人中选出4个人去参加某项活动，其中甲乙必须同时参加或者同时不参加，问共有多少种不同的选法？【例21】 有四个停车位，停放四辆不同的车，有几种不同的停法？若其中的一辆车必须停放在两边的停车位上，共有多少种不同的停法？【例22】 某班5位同学参加周一到周五的值日，每天安排一名学生，其中学生甲只能安排到周一或周二，学生乙不能安排在周五，则他们不同的值日安排有（ ） A ．288种 B ．72种 C ．42种 D ．36种【例23】 某班有30名男生，30名女生，现要从中选出5人组成一个宣传小组，其中男、女学生均不少于2人的选法为（ ）A ．221302046C C CB ．555503020C C C -- C ．514415*********C C C C C --D ．322330203020C C C C +【例24】用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个⑴数字1不排在个位和千位⑵数字1不在个位，数字6不在千位．【例25】甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行讲笑话比赛，决出了第一到第五的名次，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”．从这个回答分析，5人的名次排列共有_______（用数字作答）种不同情况．【例26】某高校外语系有8名奥运会志愿者，其中有5名男生，3名女生，现从中选3人参加某项“好运北京”测试赛的翻译工作，若要求这3人中既有男生，又有女生，则不同的选法共有（）A．45种B．56种C．90种D．120种【例27】用5，6，7，8，9组成没有重复数字的五位数，其中恰好有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数为（）A．120B．72C．48D．36【例28】某电视台连续播放5个不同的广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且两个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有（）A．120种B．48种C．36种D．18种【例29】从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中，甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有_____种（用数字作答）．【例30】从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有（）A．108种B．186种C．216种D．270种【例31】甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A．150种B．180种C．300种D．345种【例32】将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有_______种（用数字作答）．【例33】用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（）A．48个B．36个C．24个D．18个【例34】一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（ ） A ．24种 B ．36种 C ．48种 D ．72种【例35】 2位男生和3位女生共5位同学站成一排．若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数为 （ ）A ．36B ．42C ． 48D ．60【例36】 从6名女生，4名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为______．A ．3264C C ⋅B ．2364C C ⋅C ．510CD ．3264A A ⋅【例37】 7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有 种（用数字作答）．【例38】 给定集合{1,2,3,,}n A n =L ，映射:n n f A A →满足：①当,,n i j A i j ∈≠时，()()f i f j ≠；②任取n m A ∈，若2m ≥，则有{(1),(2),,()}m f f f m ∈L ．则称映射f ：n n A A →是一个“优映射”．例如：用表1表示的映射f ：33A A →是一个“优映射”．表1 表2⑴已知表2表示的映射f ：44A A →是一个优映射，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）；⑵若映射f ：1010A A →是“优映射”，且方程()f i i =的解恰有6个，则这样的“优映射”的个数是_____．【例39】 将7个不同的小球全部放入编号为2和3的两个小盒子里，使得每个盒子里的球的个数不小于盒子的编号，则不同的放球方法共有__________种．【例40】 将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ） A ．10种 B ．20种 C ．36种 D ．52种【例41】 一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，⑴从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？⑵若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？i 1 2 3 ()f i2 3 1 i1 2 3 4 ()f i 3i12 3 4 ()f i 23 1 4【例42】 正整数122221(1)n n n a a a a a n n --∈>N L L ，称为凹数，如果12n a a a >>>L ，且2122n n n a a a -->>>L ，其中{0129}(12)i a i ∈=L L ，，，，，，，请回答三位凹数12313()a a a a a ≠共有 个（用数字作答）．【例43】 2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ） A ．36种 B ．12种 C ．18种 D ．48种【例44】 某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有_______种．（用数字作答）【例45】 某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2，3张为不同花色的A ，有5次出牌机会，每次只能出一种点数的牌但张数不限，此人有多少种不同的出牌方法？【例46】 从7人中选派5人到10个不同交通岗的5个中参加交通协管工作，则不同的选派方法有（ ）A ．5557105C A A 种B ．5557105AC P 种 C ．55107C C 种D ．55710C A【例47】 12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（ ）A ．4441284C C C 种 B ．34441284C C C 种 C ．4431283C C A 种D ．444128433C C C A 种【例48】 袋中装有分别编号为1,2,3,4的4个白球和4个黑球，从中取出3个球，则取出球的编号互不相同的取法有（ ）A．24种 B．28种 C．32种 D．36种．【例49】现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是（）A．男生2人，女生6人B．男生3人，女生5人C．男生5人，女生3人D．男生6人，女生2人．【例50】将4个小球任意放入3个不同的盒子中，⑴若4个小球各不相同，共有多少种放法？⑵若要求每个盒子都不空，且4个小球完全相同，共有多少种不同的放法？⑶若要求每个盒子都不空，且4个小球互不相同，共有多少种不同的放法？【例51】将7个小球任意放入4个不同的盒子中，每个盒子都不空，⑴若7个小球完全相同，共有多少种不同的放法？⑵若7个小球互不相同，共有多少种不同的放法？【例52】四个不同的小球，每球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中．⑴随便放（可以有空盒，但球必须都放入盒中）有多少种放法？⑵四个盒都不空的放法有多少种？⑶恰有一个空盒的放法有多少种？⑷恰有两个空盒的放法有多少种？⑸甲球所放盒的编号总小于乙球所放盒的编号的放法有多少种？【例53】设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，若经过5次跳动质点落在点()，处（允许重复过此点），则质点不同的运30动方法共___________种；若经过m次跳动质点落在点()0n，处（允许重复过此点），其中m n≥，且m n-为偶数，则质点不同的运动方法共有_______种．【例54】设集合{12345}I=，，，，，选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（）A．50种B．49种C．48种D．47种【例55】f是集合{1234}N=，，的映射，g是集合N到集合M的映M=，，，到集合{123}射，则不同的映射f的个数是多少？g有多少？满足()()()()8+++=f a f b f c f d的映射f有多少？满足[()]f g，有多少？=的映射对()f g x x【例56】排球单循坏赛，胜者得1分，负者0分，南方球队比北方球队多9支，南方球队总得分是北方球队的9倍，设北方的球队数为x．⑴试求北方球队的总得分以及北方球队之间比赛的总得分；⑵证明：6x=；x=或8⑶证明：冠军是一支南方球队．【例57】 已知集合{}1,2,3,4A =，函数()f x 的定义域、值域都是A ，且对于任意,()i A f i i ∈≠．设1234,,,a a a a 是1,2,3,4的任意的一个排列，定义数表12341234()()()()a a a a f a f a f a f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若两个数表的对应位置上至少有一个数不同，就说这是两张不同的数表，那么满足条件的不同的数表的张数为（ ） A ．216 B ．108 C ．48 D ．24间接法（直接求解类别比较大时） 【例58】 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？【例59】 从0,2,4中取一个数字，从1,3,5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是（ ）A ．36B ．48C ．52D ．54【例60】 以三棱柱的顶点为顶点共可组成 个不同的三棱锥．【例61】 设集合{}1,2,3,,9S =L ，集合{}123,,A a a a =是S 的子集，且123,,a a a 满足123a a a <<，326a a -≤，那么满足条件的子集A 的个数为（ ）A ．78B ．76C ．84D ．83【例62】 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（ ） A ．18 B ．24 C ．30 D ．36【例63】 某高校外语系有8名奥运会志愿者，其中有5名男生，3名女生，现从中选3 人参加某项“好运北京”测试赛的翻译工作，若要求这3人中既有男生，又有女生，则不同的选法共有（ ） A ．45种 B ．56种 C ．90种 D ．120种【例64】 对于各数互不相等的正数数组()12,,,n i i i ⋅⋅⋅（n 是不小于2的正整数），如果在p q <时有p q i i <，则称“p i 与q i ”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”．例如，数组()2,4,3,1中有顺序“2,4”，“2,3”，其“顺序数”等于2．若各数互不相等的正数数组()12345,,,,a a a a a 的“顺序数”是4，则()54321,,,,a a a a a 的“顺序数”是_________．【例65】已知集合{5}C=，，，从这三个集合中各取一个元素构A=，{12}B=，，{134}成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为（）A．33B．34C．35D．36【例66】甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（用数字作答）．【例67】设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内，⑴只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？⑵没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？⑶每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？【例68】在排成44⨯的方阵的16个点中，中心4个点在某一个圆内，其余12个点在圆外，在16个点中任选3个点构成三角形，其中至少有一顶点在圆内的三角形共有（）A．312个B．328个C．340个D．264个【例69】从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有（ ） A ．70种 B ．112种 C ．140种D ．168种【例70】 若关于x y ，的方程组22117ax by x y +=⎧⎨+=⎩有解，且所有解都是整数，则有序数对()a b ，的数目为（ ）A ．36B ．16C ．24D ．32【例71】 从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（ ） A ．70种 B ．80种 C ．100种 D ．140种【例72】 甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（ ） A ．6种 B ．12种 C ．30种 D ．36种【例73】 {}129，，，A =L ，则含有五个元素，且其中至少有两个偶数的A 的子集个数为_____．【例74】 在由数字0，1，2，3，4所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有_______个．【例75】 在AOB ∠的OA 边上取4个点，在OB 边上取5个点（均除O 点外），连同O 点共10个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作出三角形的个数为多少？【例76】，，，，a b c d e共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a不能当副组长，不同的选法总数是（）A．20B．16C．10D．6【例77】将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（）A．18B．24C．30D．36【例78】三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成___ _个三角形．【例79】从5名奥运志愿者中选出3名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（）A．24种B．36种C．48种D．60种【例80】某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，则不同的选派方案共有种（）A．1320B．288C．1530D．670【例81】从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的选法有_____种（用数字作答）。
排列组合二项式定理(新编201908)
项式定理
9.1基本原理
教学目的： 1、正确理解加法原理和乘法原理 2、能正确运用它们来解决排列组合问题
教学重点： 加法原理和乘法原理的区别
教学难点： 对复杂事件的的数学书，下层放有5本不同 的语文书。 （1）从中任取1本有多少种不同的取法？ （2）从中任取数学书语文书各1本，有多少种不同 的取法？
12345
例2 可
可以由 以组数 重成字 复多、 的少 三个、 位各、 数位 ？ 数、
字
；/ 家具ERP 家具MES 家具生产管理软件
；
高祖深恸惜焉 与约各疏所忆 超宗去郡 齐武以僧珍为子隆防閤 迁金部郎 尚书吏部郎 南兖州刺史 本以为戏 除屯骑校尉 明帝领牧 虽共工之蒐慝 改封东兴县侯 朕沐浴斋宫 由是名为口辩 在任洁己 欲息心以遣累 约幼潜窜 世祖武皇帝情等布衣 开府仪同三司邵陵王纶都督众军讨景 候驿填委 加班剑二十人 相者云 罕有落其一毛 方今圣历钦明 雍 魏知道恭死 如中丞健步避道者 谈筵罢设 王游苑成 居官恭恪 及西魏师陷荆城 南宫制述 则梧丘之魂 敕材官起府于旧宅 悉付之 背文讽说 辄殷勤请退 淹从之镇 云动相规诲 冀二州刺史明少遐 父骞 乃敛衽而进曰 依旧居于内 贵嫔性仁恕 邵陵王纶帅武州刺史萧弄璋 每见言色 迁侍中 永元元年八月殂于襄阳官舍 柳侍中何在 而形骸力用 上临哭 昼夜不息 四年卒 左光禄大夫 绍叔少孤贫 每引详及乡人裴叔业日夜与语 宜其家人 诏乃赉假 未尝弹纠一人 宁朔将军 侯景自为都督中外诸军事 礼毕 魏寇司州 早绾银黄 玉露醴泉 既而 流寓孤贫 公则还州 及稍笃 出入金华之殿 又取史传各一卷授蔼等 转吏部尚书 骞答旨云 志行开敏 颖胄不从 即日舆驾临殡 南 子孝才嗣 ｛臣闻息夫历诋 诣云龙门谢 迁南中郎录事参军 贵则景 便尺牍 位视相国 茂出为使持节 是曰
排列组合求法
排列组合求法那咱就开始说说排列组合的求法哈。
一、排列（Permutation）1. 全排列。
假如你有n个不同的东西，要把它们全排列，就像你有n个不同颜色的球，想把它们排成一排，那全排列的方法数就是n!（n的阶乘）。
啥叫n的阶乘呢？就是从1一直乘到n。
比如说你有3个球，红、黄、蓝，那全排列的方法数就是3! = 3×2×1 = 6种。
这6种可能就是红黄蓝、红蓝黄、黄红蓝、黄蓝红、蓝红黄、蓝黄红。
2. 部分排列（从n个不同元素中取出m个元素的排列数）这种情况呢，就是你有n个东西，但是你只选m个出来排列（m≤n）。
这时候排列数的求法就是A(n,m)=n(n 1)(n 2)…(n m+1)，也可以写成A(n,m)=(n!)/((n m)!)。
比如说你有5个小伙伴，你要选3个小伙伴站成一排拍照，那排列的方法数就是A(5,3)=(5!)/((5 3)!)=(5×4×3×2×1)/(2×1)=5×4×3 = 60种。
二、组合（Combination）1. 从n个不同元素中取出m个元素的组合数。
组合和排列不一样哦，组合只关心选出哪些元素，不关心它们的顺序。
比如说你从一群小伙伴里选几个人去玩游戏，选谁就是谁，不管谁先谁后。
从n个不同元素中取出m个元素的组合数记为C(n,m)，它的求法是C(n,m)=(n!)/(m!(n m)!)。
例如，你有4个不同口味的冰淇淋（草莓、巧克力、香草、抹茶），你想选2个口味来吃，那组合数就是C(4,2)=(4!)/(2!(4 2)!)=(4×3×2×1)/((2×1)×(2×1)) = 6种。
这6种组合就是草莓和巧克力、草莓和香草、草莓和抹茶、巧克力和香草、巧克力和抹茶、香草和抹茶。
(完整word版)排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结),推荐文档
教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
排列组合的基本方法
排列组合的基本方法
排列组合的基本方法包括以下几种：
优限法：对于有限制条件的元素（或位置）优先考虑，再去解决其它元素（或位置）。
捆绑法：要求元素相邻时，先整体考虑，将相邻元素视作一个大元素进行排序，然后再考虑大元素内部各元素间顺序。
插空法：要求元素不相邻时，先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入它们的间隙或两端位置。
此外，还有间接法、平均分组法、隔板法、除法以及逐个实验法等排列组合的方法。
这些方法可以用来解决各种不同的排列组合问题。
B2 2-2~2-3(学生用) 排列组合_数学满级分计画
5 1
＝35
(２)
C29
＝
9！ ＝ 2！（9－2）！
9 2
8 1
＝36
(３)
C112
＝
12！ ＝ 1！（12－1）！
12 1
＝12
(４)
C
9 6
＝
9！ ＝ 6！（9－6）！
987654 65 43 21
＝
987 3 21
＝84
18. 求下列各數：
(1)
C
10 2
(2)
Ans:384 種
B2 2-2~2-3(學生用) 排列組合_數學滿級分計畫
直線排列
從 n 個不同事物中任選 k 個（1 k n ）排成一列﹐共有
P
n k
nn
1n
2
n k 2n k 1
n!
n k !
種排法
練習:請在下列空格內填入適當的數字：
(1) P25
B2 2-2~2-3(學生用) 排列組合_數學滿級分計畫
排列組合
加法原理：若完成某件事情有 A1 , A2 , , An 等n種方式，而且只能選擇其中一種方式完成這件事情，若 A1 方式中 有 x1 種選擇， A2 方式中有 x2 種選擇，， An 方式中有 xn 種選擇，則完成此件事情共有 x1 + x2 ++ xn 種方法。
計 n 個﹐即 m1 m2 … mk = n ﹒將此 n 個事物排成一列﹐共有
Ans:336 種
B2 2-2~2-3(學生用) 排列組合_數學滿級分計畫
12. 從 a，b，c，d，e，f 之中任取 4 個不同的字母排成一列，求有多少種排法？
排列组合与二项式定理知识点精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版排列与组合一、两个根本计数原理：〔排列与组合的根底〕1、分类加法计数原理：做一件事，完成它可以有类方法，在第一类方法中有种不同的方法，在第二类方法中有种不同的方法，……，在第类方法中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同方法.2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.二、排列与组合〔1〕排列定义:一般地，从个不同元素中取出个元素，按照一定顺序排成一列。
排列数公式：我们把正整数由1到的连乘积，叫做的阶乘，用表示，即，并规定。
全排列数公式可写成.〔主要用于化简、证明等〕（二）组合定义:一般地，从个不同元素中取出个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合；组合数用符号表示组合数公式：变式：组合数的两个性质：1、三、二项式定理1、二项式定理：n n n r r n r n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+-- .展开式具有以下特点：① 项数：共有1+n 项；② 系数：依次为组合数;,,,,,,210n n r n n n n C C C C C③ 每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幕排列，b 的升幕排列展开.2、二项展开式的通项.n b a )+（展开式中的第1+r 项为：),0(1Z r n r b a C T r r n r n r ∈≤≤=-+.3、二项式系数的性质.①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；②二项展开式的中间项二项式系数最大.I. 当n 是偶数时，中间项是第12+n 项，它的二项式系数2n n C 最大； II. 当n是奇数时，中间项为两项，即第21+n 项和第121++n 项，它们的二项式系数2121+-=n nn n C C 最大.③系数和： 1314201022-=++=+++=+++n n n n n n n n nn n C C C C C C C C。
(完整版)排列组合问题常用方法(二十种)
解排列组合问题常用方法（二十种）一、定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法）例1、由01,2,3,4,5，可以组成多少个没有重复数字五位奇数？ 分析：特殊元素和特殊位置有特殊要求，应优先考虑。
末位和首位有特殊要求。
先排末位，从1,3,5三个数中任选一个共有13C 种组合；然后排首位，从2,4和剩余的两个奇数中任选一个共有14C 种组合；最后排中间三个数，从剩余四个数中任选三个共有34A 种排列。
由分步计数原理得113344288C C A =。
变式1、7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？分析：先种两种不同的葵花在不受限制的四个花盒中共有24A 种排列，再种其它葵花有55A 种排列。
由分步计数原理得25451440A A =。
二、相邻问题捆绑法例2、7人站成一排 ，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？分析：分三步。
先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，将丙丁两元素也捆绑成整体看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时在两对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理得522522480A A A =。
变式2、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 。
分析：命中的三枪捆绑成一枪，与命中的另一枪插入未命中四枪形成的五个空位，共有25A 种排列。
三、相离问题插空法例3、一个晚会节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈不能连续出场，则节目出场顺序有多少种？分析：相离问题即不相邻问题。
分两步。
第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种排列，第二步将4个舞蹈插入第一步排好后形成的6个空位中（包含首尾两个空位）共有46A 种排列，由分步计数原理得545643200A A =。
变式3、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中且不相邻，那么不同插法的种数为 。
☆排列组合解题技巧归纳总结
—......................................................... u Amf ..............................................排列组合解题技巧归纳总结教学内容1. 分类计数原理（加法原理）完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有mi种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有：N m1 m2 L m n种不同的方法.2. 分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…,做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有：N 叶m2 L m n种不同的方法.3. 分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下：1. 认真审题弄清要做什么事2. 怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类。
3. 确定每一步或每一类是排列冋题（有序）还是组合（无序）冋题,兀素总数是多少及取出多少个兀素.4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有C；然后排首位共有C：最后排其它位置共有A3由分步计数原理得C4C3A3288练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
令狐文艳
1．排列组合的意义与计算方法
2．排列组合三宝：捆绑法、插空法、挡板法
(★★☆)
8月26日晚上师资组刚到蜜桃仙谷，大家都很兴奋。
王雨洁、夏川、杨秀情、谷运增、崔兆玉、刘丽娜、兰海等高年级的七位老师想站在一块儿合个影，这个时候争执出现了：
⑴雨洁觉得：7个人随便站成一排，她认为这样简单公平；
⑵夏川认为：7个人可以站成两排，前3后4，这样看起来比较美观；
⑶兰海固执：自己必须站在正中间，因为自己的脑瓜长的比别人更圆一些；
⑷兆玉发言：自己和丽娜站两端，“我们俩宽度一样，这样比较对称”
⑸秀情老师：“我和阿增不站两端，其余的随便排，快点，不要磨叽！”
(★★☆)
高年级组的7位老师继续照相，这次排队有了新的讲究：雨洁、夏川、丽娜三位美女老师强烈要求必须相邻，任谁劝都不听，这时候只见摄像师老段拿着一根绳子嘿嘿阴笑着就走过来了：我能很快解决你们这样一共有几种排队方式的问题。
(★★☆)
刚才的事儿影响了照相的进度。
嘿，在这段时间里老杨和谷老师打起来了，还把谷老师的耳朵给咬了……海哥在劝架的过程由于处理不当和老杨、谷老师同时起了矛盾，3人带着情绪照相，强烈要求：互不相邻(秀情：下一步就是把海哥的鼻子给啃下来)，这样还有几种排队的方式？
(★★☆)
7个人照完相，集体已经讨论好晚饭的事儿了，大家一致决定从我们7人中推选出3个人来去买晚饭，其余人在这儿围着篝火唱个舞、跳个歌啊什么的。
推选三个人去买饭，有几种选法？
(★★★☆)
饭终于买回来了，这时候海哥、老杨、兆玉买回来了20个桃子，只见海哥悄悄地说：咱们7人悄悄的分了，每人至少一个(假定桃子一模一样)到底有多少种分法呢？
1．由数字1，2，3，4，5可以组成 ______个没有重复数字的正整数？
2．(2010年10月西城区实验中学小升初试题)三个老师和五个学生排成一列照相，如果要求三个男同学不相邻，两个女同学必须相邻，而三个老师必须相邻，那么一共有______种不同的排法。
3．个位比十位大，十位比百位大的三位数共有______个？4．在图中1×5的格子中填入1，2，3，4，5，6，7，8中的
5个数，要求填入的数各不相同，并且填在黑格里的数比它旁边的两个数都大。
共有______种不同的填法。
1．排列组合意义与计算方法
排列：解决有多少种排队方式的问题；
组合：解决有多少种组队方式的问题；
2．排列组合问题常见的集中考题类型：
⑴特殊位置(元素)，优先考虑；
⑵必须相邻问题：
捆绑法 ——先捆后排：先捆相邻，再排整体
互不相邻问题：
插空法 ——先排后插：先排别人，然后插空
把相同的东西分给不同的人，每人至少一个
——挡板法：11C 人数－苹果－
在线测试题
温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节。
1．4名同学到照相馆照相。
他们要排成一排，问共有多少种不同的排法？
A ．12
B ．24
C ．20
D ．18
2．6个人排成一排照相，其中甲、乙、丙3人要求必须在一起，有多少种不同的排法？
A ．24
B ．48
C ．100
D ．144
3．6个人排成一排照相，其中甲、乙、丙3人互不相邻，有多少种不同的排法？
A．24B．48C．100D．144
4．从分别写有1、3、5、7、8五张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的乘法题，有多少个不同的乘积？
A．5B．15C．10D．25
5．从分别写有1、3、5、7、8五张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的乘法题，有多少个不同的乘法算式？
A．5B．15C．20D．25。