正比例函数优秀公开课教案(比赛课)
正比例函数公开课教案
14．2 一次函数§14．2．1 正比例函数教学目标１．认识正比例函数的意义．２．掌握正比例函数解析式特点．３．理解正比例函数图象性质及特点．４．能利用所学知识解决相关实际问题．教学重点１．理解正比例函数意义及解析式特点．２．掌握正比例函数图象的性质特点．３．能根据要求完成转化，解决问题．教学难点正比例函数图象性质特点的掌握．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境一九九六年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环．128天后人们在25600千米外的澳大利亚发现了它．１．这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米（精确到10千米）？２．这只燕鸥的行程y（千米）与飞行时间x（天）之间有什么关系？３．这只燕鸥飞行１个半月的行程大约是多少千米？我们来共同分析：一个月按30天计算，这只燕鸥平均每天飞行的路程不少于：25600÷（30×4+7）≈200（km）若设这只燕鸥每天飞行的路程为200km，那么它的行程y（千米）就是飞行时间x（天）的函数．函数解析式为：y=200x（0≤x≤128）这只燕鸥飞行１个半月的行程，大约是x=45时函数y=200x的值．即y=200×45=9000（km）以上我们用y=200x对燕鸥在128天的飞行路程问题进行了刻画．尽管这只是近似的，但它可以作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型．类似于y=200x这种形式的函数在现实世界中还有很多．它们都具备什么样的特征呢？我们这节课就来学习．Ⅱ．导入新课首先我们来思考这样一些问题，看看变量之间的对应规律可用怎样的函数来表示？这些函数有什么共同特点？并找出函数关系式中的常量和自变量。
１．圆的周长L随半径r的大小变化而变化．２．铁的密度为7．8g/cm3．铁块的质量m（g）随它的体积V（cm3）的大小变化而变化．３．每个练习本的厚度为0．5cm．一些练习本摞在一些的总厚度h（cm）随这些练习本的本数n的变化而变化．４．冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃．物体的温度Ｔ（℃）随冷冻时间t（分）的变化而变化．答：１．根据圆的周长公式可得：L=2πr ． ２．依据密度公式p=m V可得：m=7．8V ．３．据题意可知： h=0．5n ． ４．据题意可知：T=-2t ．我们观察这些函数关系式，不难发现这些函数都是常数与自变量乘积的形式，和y=200x 的形式一样．一般地，•形如y=•kx•（k•是常数，•k•≠0•）的函数，•叫做正比例函数（proportional func-tion ），其中k 叫做比例系数． Ⅲ．例题讲练：判断下列哪些是正比例函数（1）x y 2= （2）2+=x y （3）3x y =（4）xy 3=（5）12+=x y （6）121+-=xy我们现在已经知道了正比例函数关系式的特点，那么它的图象有什么特征呢？ [活动一]画出下列正比例函数的图象，并进行比较，寻找两个函数图象的相同点与不同点，考虑两个函数的变化规律．１．y=2x ２．y=-2x 结论：１．函数y=2x 中自变量x 可以是任意实数．列表表示几组对应值：画出图象如图（1）．２．y=-2x的自变量取值范围可以是全体实数，列表表示几组对应值：画出图象如图（2）．３．两个图象的共同点：都是经过原点的直线．不同点：函数y=2x的图象从左向右呈上升状态，即随着x的增大y也增大；经过第一、三象限．函数y=-2x的图象从左向右呈下降状态，即随x增大y反而减小；•经过第二、四象限．尝试练习：在同一坐标系中，画出下列函数的图象，并对它们进行比较．１．y=1x ２．y=-1x比较两个函数图象可以看出：两个图象都是经过原点的直线．函数y=12x•的图象从左向右上升，经过三、一象限，即随x增大y也增大；函数y=-12x•的图象从左向右下降，经过二、四象限，即随x增大y反而减小．让学生在完成上述练习的基础上总结归纳出正比例函数解析式与图象特征之间的规律：正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线．•当k>0时，图象经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，•图象经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．正是由于正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条直线，•我们可以称它为直线y=kx．[活动二]经过原点与点（1，k）的直线是哪个函数的图象？画正比例函数的图象时，•怎样画最简单？为什么？让学生利用总结的正比例函数图象特征与解析式的关系，完成由图象到关系式的转化，进一步理解数形结合思想的意义，并掌握正比例函数图象的简单画法及原理．结论：经过原点与点（1，k）的直线是函数y=kx的图象．画正比例函数图象时，只需在原点外再确定一个点，即找出一组满足函数关系式的对应数值即可，如（1，k）．因为两点可以确定一条直线．Ⅳ．随堂练习用你认为最简单的方法画出下列函数图象：１．y=32x ２．y=-3xⅤ．课时小结本节课我们通过实例了解了正比例函数解析式的形式及图象的特征，并掌握图象特征与关系式的联系规律，经过思考、尝试，知道了正比例函数不同表现形式的转化方法，及图象的简单画法，为以后学习一次函数奠定了基础．Ⅵ．课后作业1、课本120页习题14．2─1、3题．2、《新课程标准同步练习》VII.活动与探究某函数具有下面的性质：１．它的图象是经过原点的一条直线．２．y随x增大反而减小．请你举出一个满足上述条件的函数，写出解析式，画出图象．解：函数解析式：y=-0．5x板书设计备课资料汽车由天津驶往相距120千米的北京，Ｓ（千米）表示汽车离开天津的距离，•t （小时）表示汽车行驶的时间．如图所示１．汽车用几小时可到达北京？速度是多少？ ２．汽车行驶１小时，离开天津有多远？３．当汽车距北京20千米时，汽车出发了多长时间？解法一：用图象解答：从图上可以看出4个小时可到达． 速度＝1204=30（千米／时）．行驶１小时离开天津约为30千米． 当汽车距北京20千米时汽车出发了约3．3个小时．解法二：用解析式来解答：由图象可知：Ｓ与t 是正比例关系，设S=kt ，当t=4时S=120 即120=k ×4 k=30 ∴S=30t ．当t=1时 S=30×1=30（千米）． 当S=100时 100=30t t=103（小时）．以上两种方法比较，用图象法解题直观，用解析式解题准确，各有优特点．。
初中数学人教版八年级下册第四单元第2-1课《正比例函数》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
初中数学人教版八年级下册第四单元第2-1课《正比例函数》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
初中数学人教版八年级下册第四单元第2-1课《正比例函数》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
1理解正比例函数的概念
2.经历用函数解析式表示函数关系的过程,进一步发展符号意识;经历从一类具体函数中抽象出正比例函数概念的过程,发展数学抽象概括能力
2学情分析
学习本节课之前,学生已经学习了变量和函数等知识。
在描点法的学习中初步感受了通过描点法画出图象,并感知其增感性的过程,为本节课新知识的学习做好准备,所以本节课的学习问题不大。
3重点难点
重点:正比例函数的概念
难点:理解正比例函数的概念
4教学过程
4.1第一学时
4.1.1教学活动
活动1【导入】情境导入
问题:2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318km。
设列车的平均速度为300km/h.思考以下问题:(1)乘京沪高铁列车,从始发站北京南站到终点站上海虹桥站,约需要多少小时(结果保留小数点后一位)?(2)京沪高铁列车的行程y(单位:km)与运行时间t(单位:h)之间有何数量关系?(3)京沪高铁列车从北京站出发2.5h后,是否已经经过了距始发站1100km的南京南站?
活动2【讲授】温故知新
下列问题中,变量之间的对应关系是函数关系吗?如果是,请写出函数的解析式。
11.2.1正比例函数(优质课教案)
11.2.1 正比例函数（优质课教案）一、教学目标1.能够理解正比例函数的定义，并能够根据定义筛选出函数中的正比例关系；2.能够通过图像和表格的方式表示正比例函数；3.能够根据给定的数据和框图绘制出对应的正比例函数图像。
二、教学准备1.讲义、课本；2.黑板、白板、彩色笔；3.学生练习册。
三、教学过程1. 导入（5分钟）通过生活中实际例子引入正比例函数的概念，如物体运动的速度与时间的关系、购买图书的单价与数量的关系等，让学生感受到正比例函数在生活中的应用。
2. 概念讲解（10分钟）通过板书和讲解，对正比例函数进行概念的讲解，包括定义、表达方式等。
强调正比例函数中的常数比例关系，即函数的解析式为 y = kx，k为常数。
3. 示范练习（20分钟）通过一些例题的讲解和解答，让学生理解如何筛选出正比例函数，并能够找到解析式中的常数k。
要求学生用图像和表格的方式表示正比例函数，并指导学生如何绘制图像。
4. 学生练习（25分钟）让学生在练习册上练习相关的习题，要求学生使用正确的方法和步骤解答问题，并要求学生通过图表绘制出函数的图像。
5. 提问讨论（10分钟）选择一些典型的习题，提问学生如何判断是否为正比例函数，并让学生用自己的语言解释正比例函数的概念。
鼓励学生积极思考和提问，加深对正比例函数的理解。
6. 小结（5分钟）对本节课内容进行小结，强调正比例函数的定义、特点和表达方式，并鼓励学生进行课后的巩固练习。
四、教学反思本节课通过引入生活中的实际例子，让学生对正比例函数有了初步的了解。
通过示范练习和学生练习，让学生掌握了筛选正比例函数的方法和绘制函数图像的技巧。
在提问讨论环节，学生也积极参与，能够较好地运用所学知识进行解答和解释。
整节课教学进程流畅，学生表现活跃，达到了预期的教学目标。
但教学过程中，有些学生还未能真正理解正比例函数和图像的关系，可能需要更多的练习和巩固。
以后教学中需要更加注重巩固和拓展练习的安排，确保学生对知识点的掌握和应用。
正比例函数课教案及教学反思
教案名称：正比例函数优质课教案及教学反思课时安排：1课时教学目标：1. 知识与技能：理解正比例函数的定义，掌握正比例函数的性质和图象特征。
2. 过程与方法：通过实例分析，培养学生的观察、分析和解决问题的能力。
3. 情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和创新精神。
教学重点：正比例函数的定义和性质。
教学难点：正比例函数图象的特征。
教学准备：课件、黑板、粉笔、教学卡片。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾已学过的函数知识，为新课的学习做好铺垫。
2. 通过生活中的实例，如速度与时间的关系，引出正比例函数的概念。
二、探究正比例函数的定义和性质（15分钟）1. 学生分组讨论，总结正比例函数的定义和性质。
2. 各组汇报讨论成果，教师点评并总结。
3. 利用多媒体展示正比例函数的图象，引导学生观察并总结图象特征。
三、实例分析与应用（10分钟）1. 出示一些实际问题，让学生运用正比例函数的知识解决。
2. 学生独立解答，教师巡回指导。
3. 学生汇报解题过程和结果，教师点评。
四、课堂小结（5分钟）1. 教师引导学生回顾本节课所学内容，总结正比例函数的定义、性质和应用。
2. 学生分享学习收获，教师给予鼓励和评价。
五、作业布置（5分钟）1. 请学生完成课后练习，巩固正比例函数的知识。
2. 布置一些开放性题目，让学生运用所学知识解决实际问题。
教学反思：本节课通过实例引入正比例函数的概念，引导学生分组讨论，总结正比例函数的定义和性质。
在实例分析环节，学生能够运用所学知识解决实际问题，培养了学生的观察、分析和解决问题的能力。
整节课节奏紧凑，学生参与度高，教学目标基本达成。
但在教学过程中，也发现部分学生在理解正比例函数图象的特征时存在困难。
在今后的教学中，应加强对这部分学生的关注，通过更多的生活实例和练习题，帮助他们更好地理解和掌握正比例函数的知识。
也要注重培养学生的团队合作意识和创新精神，提高他们的数学素养。
《正比例函数》 word版 公开课一等奖教案
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正比例函数 公开课获奖教案
19．2 一次函数19.2.1 正比例函数1．理解正比例函数的概念，并掌握正比例函数图象和性质；(重点) 2．运用正比例函数解决简单的问题．(难点) 一、情境导入 鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥(候鸟)套上标志环；大约128天后，人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它．(1)这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米？(2)这只燕鸥飞行一个半月(一个月按30天计算)的行程大约是多少千米？(3)这只燕鸥的行程y (单位：千米)与飞行时间x (单位：天)之间有什么关系？二、合作探究 探究点一：正比例函数 【类型一】 辨别正比例函数下列式子中，表示y 是x 的正比例函数的是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝x ＋2 C ．y ＝x 2 D ．y＝2x 解析：选项A ，y ＝2x ，自变量次数不为1，错误；选项B ，y ＝x ＋2，是和的形式，错误；选项C ，y ＝x 2，自变量次数不为1，错误；选项D ，y ＝2x ，符合正比例函数的含义，正确．故选D.方法总结：正比例函数y ＝kx 成立的条件是：k 为常数且k ≠0，自变量次数为1.【类型二】 确定正比例函数中字母的值若函数y ＝(m －3)x |m |－2是正比例函数，则m 的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．±3 D ．不能确定 解析：由题意得|m |－2＝1，且m －3≠0，解得m ＝－3.故选B. 方法总结：正比例函数自变量的指数为1，系数不能为0.探究点二：正比例函数的图象和性质【类型一】 正比例函数的图象在下列各图象中，表示函数y ＝－kx (k ＜0)的图象的是()解析：∵k ＜0，∴－k ＞0，∴函数y ＝－kx (k ＜0)的值随自变量x 的增大而增大，且函数为正比例函数．故选C.方法总结：要知道正比例函数的图象是过原点的直线，且当k ＞0时，图象过第一、三象限；当k ＜0时，图象过第二、四象限．【类型二】 正比例函数的性质关于函数y ＝13x ，下列结论中，正确的是( )A ．函数图象经过点(1，3)B ．不论x 为何值，总有y ＞0C ．y 随x 的增大而减小D ．函数图象经过第一、三象限解析：A.当x ＝1时，y ＝13，故A 选项错误；B.只有当x ＞0时，y ＞0，故B 选项错误；C.∵k ＝13＞0，∴y 随x 的增大而增大，故C 选项错误；D.∵k ＝13＞0，∴函数图象经过第一、三象限，故D 选项正确．故选D.方法总结：解题的关键是了解正比例函数的比例系数的符号与正比例函数的关系及其增减性． 【类型三】 正比例函数的图象与系数的关系已知正比例函数y ＝(m －1)x 的图象上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当x 1＜x 2时，有y 1＞y 2，那么m 的取值范围是( ) A ．m ＜1 B ．m ＞1 C ．m ＜2 D ．m ＞0 解析：根据题意，y 随x 的增大而减小，则m －1＜0，即m ＜1.故选A. 方法总结：直线y ＝kx 所在的位置与k 的符号有直接的关系：k ＞0时，直线必经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大；k ＜0时，直线必经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小． 【类型四】 正比例函数图象上点的坐标特征点A (5，y 1)和B (2，y 2)都在直线y ＝－x 上，则y 1与y 2的关系是( ) A ．y 1≥y 2 B ．y 1＝y 2 C ．y 1＜y 2 D ．y 1＞y 2 解析：∵点A (5，y 1)和B (2，y 2)都在直线y ＝－x 上，∴y 1＝－5，y 2＝－2.∵－5＜－2，∴y 1＜y 2.故选C. 方法总结：熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 探究点三：求正比例函数的解析式 【类型一】 用定义求正比例函数的解析式已知y ＝y 1＋y 2，y 1与x 2成正比例，y 2与x －2成正比例，当x ＝1时，y ＝5；当x ＝－1时，y ＝11，求y 与x 之间的函数表达式，并求当x ＝2时y 的值． 解析：设y 1＝kx 2，y 2＝a (x －2)，得出y＝kx 2＋a (x －2)，把x ＝1，y ＝5和x ＝－1，y ＝11代入得出方程组，求出方程组的解即可，把x ＝2代入函数解析式，即可得出答案．解：设y 1＝kx 2，y 2＝a (x －2)，则y ＝kx 2＋a (x －2)，把x ＝1，y ＝5和x ＝－1，y ＝11代入得⎩⎪⎨⎪⎧k －a ＝5，k －3a ＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，k ＝2，∴y 与x之间的函数表达式是y ＝2x 2－3(x －2)．把x＝2代入得y ＝2×22－3×(2－2)＝8. 方法总结：用定义求函数解析式，设出解析式是解题的关键一步．【类型二】 用待定系数法求正比例函数的解析式已知正比例函数y ＝kx 图象经过点(3，－6)，求：(1)这个函数的解析式； (2)判断点A (4，－2)是否在这个函数图象上； (3)图象上两点B (x 1，y 1)、C (x 2，y 2)，如果x 1＞x 2，比较y 1，y 2的大小． 解析：(1)利用待定系数法把(3，－6)代入正比例函数y ＝kx 中计算出k 即可得到解析式；(2)将A 点的横坐标代入正比例函数关系式，计算函数值，若函数值等于－2，则A 点在这个函数图象上，否则不在这个函数图象上；(3)根据正比例函数的性质：当k＜0时，y 随x 的增大而减小，即可判断． 解：(1)∵正比例函数y ＝kx 经过点(3，－6)，∴－6＝3·k ，解得k ＝－2，∴这个正比例函数的解析式为y ＝－2x ； (2)将x ＝4代入y ＝－2x 得y ＝－8≠－2，∴点A (4，－2)不在这个函数图象上； (3)∵k ＝－2＜0，∴y 随x 的增大而减小．∵x 1＞x 2，∴y 1＜y 2.方法总结：将A 点的横坐标代入正比例函数关系式，求出函数值，再进一步判定是解决问题的关键．三、板书设计1．正比例函数的图象 2．正比例函数的性质 3．正比例函数解析式的确定本节课在教师引导下使学生通过自己的观察、研究、自学和小组的探索、讨论来发现问题、解决问题，再通过教师的点拨、总结进行知识归纳，理论提升的教学方法．由学生亲自来发现事物的特征和规律，更能使学生产生兴奋感、自信心，激发学生兴趣，产生自主学习的内在动力，更有利于发展学生的创造性思维能力．17．1勾股定理第1课时勾股定理1．经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；(重点)2．掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题；(重点)3．了解利用拼图验证勾股定理的方法．(难点)一、情境导入如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？二、合作探究探究点一：勾股定理【类型一】直接运用勾股定理如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于D，求：(1)AC的长；(2)S△ABC；(3)CD的长．解析：(1)由于在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，根据勾股定理即可求出AC的长；(2)直接利用三角形的面积公式即可求出S△ABC；(3)根据面积公式得到CD·AB＝BC·AC即可求出CD.解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，∴AC＝AB2－BC2＝12cm；(2)S△ABC＝12CB·AC＝12×5×12＝30(cm2)；(3)∵S△ABC＝12AC·BC＝12CD·AB，∴CD＝AC·BCAB＝6013cm.方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，然后根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可．【类型二】分类讨论思想在勾股定理中的应用在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，试求△ABC的周长．解析：本题应分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论．解：此题应分两种情况说明：(1)当△ABC为锐角三角形时，如图①所示．在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2＝152－122＝9.在Rt△ACD中，CD＝AC2－AD2＝132－122＝5，∴BC＝5＋9＝14，∴△ABC的周长为15＋13＋14＝42；(2)当△ABC为钝角三角形时，如图②所示．在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2＝152－122＝9.在Rt △ACD 中，CD ＝AC 2－AD 2＝132－122＝5，∴BC ＝9－5＝4，∴△ABC 的周长为15＋13＋4＝32.∴当△ABC 为锐角三角形时，△ABC 的周长为42；当△ABC 为钝角三角形时，△ABC的周长为32.方法总结：解题时要考虑全面，对于存在的可能情况，可作出相应的图形，判断是否符合题意．【类型三】勾股定理的证明探索与研究： 方法1：如图：对任意的符合条件的直角三角形ABC 绕其顶点A 旋转90°得直角三角形AED ，所以∠BAE ＝90°，且四边形ACFD 是一个正方形，它的面积和四边形ABFE 的面积相等，而四边形ABFE 的面积等于Rt △BAE 和Rt △BFE 的面积之和．根据图示写出证明勾股定理的过程；方法2：如图：该图形是由任意的符合条件的两个全等的Rt △BEA 和Rt △ACD 拼成的，你能根据图示再写出一种证明勾股定理的方法吗？解析：方法1：根据四边形ABFE 面积等于Rt △BAE 和Rt △BFE 的面积之和进行解答；方法2：根据△ABC 和Rt △ACD 的面积之和等于Rt △ABD 和△BCD 的面积之和解答．解：方法1：S 正方形ACFD ＝S 四边形ABFE ＝S △BAE ＋S △BFE ，即b 2＝12c 2＋12(b ＋a )(b －a )，整理得2b 2＝c 2＋b 2－a 2，∴a 2＋b 2＝c 2；方法2：此图也可以看成Rt △BEA 绕其直角顶点E 顺时针旋转90°，再向下平移得到．∵S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ，S 四边形ABCD＝S △ABD ＋S △BCD ，∴S △ABC ＋S △ACD ＝S △ABD ＋S △BCD ，即12b 2＋12ab ＝12c 2＋12a (b －a )，整理得b 2＋ab ＝c 2＋a (b －a )，b 2＋ab ＝c 2＋ab －a 2，∴a 2＋b 2＝c 2.方法总结：证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理证明勾股定理．探究点二：勾股定理与图形的面积如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、C 、D 的面积分别为2，5，1，2.则最大的正方形E 的面积是________．解析：根据勾股定理的几何意义，可得正方形A 、B 的面积和为S 1，正方形C 、D 的面积和为S 2，S 1＋S 2＝S 3，即S 3＝2＋5＋1＋2＝10.故答案为10.方法总结：能够发现正方形A 、B 、C 、D 的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A 、B 、C 、D 的面积和即是最大正方形的面积．三、板书设计 1．勾股定理如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b2＝c 2.2．勾股定理的证明“赵爽弦图”、“刘徽青朱出入图”、“詹姆斯·加菲尔德拼图”、“毕达哥拉斯图”．3．勾股定理与图形的面积课堂教学中，要注意调动学生的积极性．让学生满怀激情地投入到学习中，提高课堂效率．勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，设计一些拼图活动，并自制精巧的课件让学生从形上感知，再层层设问，从面积(数)入手，师生共同探究突破本节课的难点．。
正比例函数优秀公开课教案(比赛课)
正比例函数优秀公开课教案(比赛课)删除明显有问题的段落和格式错误：一次函数第一课时正比例函数教学目标：知识与技能：初步理解正比例函数的概念。
能够根据所给条件写出简单的正比例函数表达式，并且能够判断两个变量是否构成正比例函数关系。
过程与方法：通过对实际问题的研究，体会建立函数模型的思想，以及体验从特殊到一般的辩证关系。
情感态度价值观：通过分析变量间的关系，发展学生的数学思维；通过正比例函数概念的引入，使学生进一步认识数学是来源于生活并用于生活，同时渗透热爱自然和生活的教育。
教学重点：正比例函数的概念及关系；会根据已知信息写出正比例函数的表达式。
教学难点：会根据已知信息写出正比例函数的表达式。
教具：PPT课件教学方法：尝试教学法教学过程：一、复旧知1、教师让学生回忆前面学过的函数的定义，并指名学生回答。
2、学生回忆小学学过的正比例关系。
我们在日常生活中，会去买东西，如果某人去买苹果，苹果4元钱一斤，下面我们看到这些数量与价格之间的关系。
数量/斤价格/元1 42 83 124 16教师引导学生得出价格与数量成正比例关系。
二、小组合作（观察与思考）XXX骑自行车去上学，行驶时间和路程之间的关系如下表：时间/分钟路程/公里1 0.22 0.43 0.64 0.81.5 0.32.5 0.53.5 0.74.5 0.91）XXX行驶的路程和时间成正比例吗？为什么？2）如果用t（分钟）表示时间，s（公里）表示路程，那么s与t之间的函数关系式具有什么特征？学生以小组为单位合作交流完成上题，并主动回答。
三、尝试练（开动脑筋）1）XXX每小时读20页书，若读书时间用字母t（小时）表示，读过的页数用字母m（页）表示，则用t表示m的函数表达式为m=20t。
2）小米去给学校运动会买奖品，每支铅笔0.5元，若购买铅笔的数量用n（支）表示，花钱总数用w（元）表示，则用n表示w的函数表达式为w=0.5n。
3）拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升。
初中八年级数学：正比例函数（优质课教案）
初中八年级数学：正比例函数（优质课教案）新修订初中阶段原创精品配套教材正比例函数(优质课教案)教材定制 / 提高课堂效率 /内容可修改Proportional function (quality lesson plan)教师：风老师风顺第二中学编订：FoonShion教育正比例函数(优质课教案)11．2．1正比例函数教案教学目标知识技能1、理解正比例函数的概念及正比例函数图象特征。
2、知道正比例函数图象是直线，会画正比例函数的图象；进一步熟悉作函数图象的主要步骤。
数学思考1、通过“燕鸥飞行路程问题”的探究和学习，体会函数模型的思想。
2、经历运用图形描述函数的过程，初步建立数形结合，体会函数的三种表示方法的相互转换。
经历探索正比例函数图象形状的过程，体验“列表、描点、连线”的内涵。
问题解决能从数学角度提出问题，运用y= kx中，x、y的关系等知识解决问题。
情感态度1、结合描点作图培养学生认真细心严谨的学习态度和学习习惯。
2、培养学生积极参与数学活动，勇于探究数学现象和规律，形成良好的质疑和独立思考的习惯。
教学重点探索正比例函数图形的形状，会画正比例函数图象教学难点正比例函数图象性质教学过程安排活动过程活动内容和目的活动1、问题引入通过“燕鸥飞行路程问题”建立数学模型，理解行程与时间的对应函数关系，为导出正比例函数做铺垫。
活动2、正比例函数概念的学习通过若具体实例，概括归纳出一类有共性的函数关系表达式，导入正比例函数概念。
活动3、画正比例函数的图象通过师生共同活动，学会运用描点法画出正比例函数图象活动4、正比例函数图象特征的探究通过对若干实例的观察分析、比较、概括归纳出正比例函数图象的特征。
活动5、小结、布置作业回顾和重现本节重点内容加深本节知识范围的理解，通过巩固性练习尝试运用本节知识解决问题。
教学过程设计问题与情境师生行为设计意图情境1、问题（1）你知道候鸟吗？它们在每年的迁徙中能飞多远？（2）燕鸥的飞行路程与时间之间有什么样的数量关系？教师用课件展示问题。
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正比例函数教案（教学设计）一、概述1．《正比例函数》是人教新版课标初中八年级上册第十四章第二节；2.本节课所需课时为一课时，45分钟；3.正比例函数是建立在上一节《变量与函数》的基础认识上进一步学习的内容；是函数概念及其表达形式中第一个具体的函数，在中学阶段数学学习中具有重要地位。
正比例函数是《一次函数》章节的开篇，且是特殊的一次函数，为下一步学好“一次函数的性质”奠定基础。
因此，具有承上启下的作用。
4．函数思想是一种重要的数学思想，它体现了运动变化和对立统一的观点，体现了数学的建模思想和数形结合思想，对于初次接触到正比例函数的学生而言，理解函数的意义是个难点。
二、教学目标依据以上分析，制定如下三维目标：1.知识与技能目标（1）能理解正比例函数概念；（2）识别正比例函数，能根据正比例的意义判定两个变量之间是否成正比例关系，能根据已知条件求正比例函数的解析式或比例系数；（3）在认识正比例函数图像的基础上，掌握正比例函数图像及其简单性质。
2.过程与方法目标（1）经历正比例函数概念的探究过程，在探究中学会观察归纳正比例函数的概念，培养观察能力以及语言表达能力；（2）通过正比例函数性质的探究过程，比较不同的函数图像，找出函数变化的规律，培养识图能力，增强学生数形结合的意识，渗透分类讨论的数学思想；（3）通过现实生活中的具体事例引入正比例关系，通过画图像的操作实践，体验“描点法”。
3.情感态度与价值观（1）在正比例函数概念及其性质的探究过程中，培养学生勇于探索的良好学习习惯，使学生形成主动探究的意识，感受数学的严谨性和数学结论的确定性。
（2）在合作与交流活动中发展学生的合作意识和团队精神；在数学学习活动中形成自主、自信、健康的心理；在探究活动中体验探索的乐趣，获得成功的体验。
三、教学重点、难点1.重点：理解正比例和正比例函数的意义；2.难点：判定两个变量之间是否存在正比例的关系，及通过探索正比例函数图像的变化规律得出正比例函数性质。
四、学习者特征分析通过学习《变量与函数》的内容后，学生已经理解了函数的简单概念，能够列出简单的函数关系式，为本节内容的学习奠定了基础。
本阶段的学生思维活跃，有强烈的好奇心和求知欲，并且具备了观察总结推理能力以及一定的识图能力。
五、教学策略选择与设计1.教法分析：基于以上教材特点和学生情况的分析，本节课主要采用启发探究式教学，在教学中主要以启发学生进行探究的形式展开，利用学生已有的知识，让学生自主探索。
通过观察，归纳正比例函数的概念；通过对比不同正比例函数图像，探索变化规律。
在教学中借助于课件，丰富教学内容和形式。
2.学法分析：根据教材和新课标对学生知识及能力层面的要求，以及充分考虑到学生的认知水平和接受能力，本节课学生将通过思考和探究，观察与发现，师生互动的学习方式，积极引导学生主动参与学习。
学生主动探究，突出学生是学习的主体，他们在感知知识形成的过程中，无疑提高了探索-发现-实践-总结的能力。
六、教学资源与工具设计1.教具：书、课件、投影仪、黑板、粉笔盒；2.学具：书、直尺、几何画板；3.教学环境：传统教学媒体和现代多媒体教学相结合。
七、教学过程本节课力求在学生已有知识和经验基础之上，让学生通过观察、推理、分析，从而归纳正比例函数的概念，并通过对比探索正比例函数图像的变化规律及其性质。
因此，在教学过程中主要由以下六部分来完成：1.创设情境，导入新课【提出问题】1996年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环；大约128天后，人们在25600千米外的澳大利亚发现了它。
①这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米？②这只燕鸥的行程y（单位：千米）与飞行时间x（单位：天）之间有什么关系？③这只燕鸥飞行一个月（一个月按30天计算）的行程大约是多少千米？教师活动：教师用多媒体呈现问题，引导学生列出相应的函数解析式。
学生活动：学生通过独立思考，很容易求解问题、写出函数解析式，但是部分学生会遗漏自变量的取值范围。
深化理解：我们用函数y=200x对燕鸥的飞行路程问题进行了刻画，它反映了燕鸥的行程与时间的一种对应规律。
设计意图：考察学生是否能够用前一节《变量与函数》的知识，从实际问题中提取有用的数学信息，建立数学模型，从而导入新知的学习。
通过“燕鸥”这一实际情境的引入，将学生放置于实际问题背景下，有助于激发学生的求知欲和主动性，使学生意识到生活处处有数学，同时向学生渗透热爱自然、关注珍惜物种、人与动物和谐共处的情感教育。
2.探究思考，提炼概念【提出问题】下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示？①圆的周长l 随半径r 的大小变化而变化；②铁的密度为7.8g/cm3，铁块的质量m （单位：g ）随它的体积v （单位：cm3）的大小变化而变化；③每个练习本的厚度为0.5cm ，一些练习本摞在一起的总厚度h （单位：cm ）随这些练习本的本数n 的变化而变化；④冷冻一个0 ℃物体，使它每分下降2 ℃，物体的温度T （单位：℃）随冷冻时间t （单位：分）的变化而变化。
教师活动：课件呈现四个问题，让学生进行观察思考，找到函数表达式，并发现这些函数有什么共同点？学生活动：（1②m=7.8v ；③h=0.5n ；④T=-2 t 。
（2）共同点：函数里都有常数，都有自变量，都是乘法的形式等。
因变量＝常数×自变量教师强调：第①题中学生可能将周长写成面积，且注意学生能否准确找出中的常数，第④题中每分钟下降2℃应记为“-2℃”，避免学生将写为。
学生总结：这些函数都是常数乘以自变量的形式。
引出概念：一般的，形如y=kx （k 是常数，k ≠0）的函数，叫做正比例函数，其y=kx （k ≠0）中k叫做比例系数。
教师活动：在学生已有的感性认识的基础上，给出正比例函数的完整概念，让学生用笔在教材中画出做上标记。
提出问题：比例系数不能为零，为什么？教师活动：强调k≠0的意义。
设计意图：通过指出常数、自变量、因变量，对函数的概念进行回顾，对不同函数解析式的观察、分析，学生自主发现正比例函数表达式的共同特征，归纳出正比例函数表达式的基本结构，形如y=kx，从而培养学生的观察推理能力和语言表达能力。
【实例辨析巩固概念】判断下列函数是否为正比例函数？若是，请指出比例系数。
①y=-8x；②y=12；③y=-0.5x-1；④y=6x；⑤y=8／x；⑥y=5x2+6；学生活动：观察、思考、小组交流、分析、判断。
教师点拨：根据学生的具体表现，通过引导、点拨，使学生比较、观察得出结论，并引导学生找到②③⑤⑥不是正比例函数的原因，从侧面来巩固正比例函数概念。
结论：①是正比例函数，比例系数为-8；④是正比例函数，比例系数为6。
设计意图：根据练习反馈，关注学生对正比例函数表达形式的理解，巩固概念，加深印象。
通过不同函数对比、观察，培养学生的观察、分析、归纳、概括等思维能力，使学生避免出现盲从性，正确理解正比例函数的意义。
3.合作探究，发现性质复习回顾：描点法画函数图像的一般步骤是什么？学生通过回顾回答：列表；描点；连线。
学生操作：请学生分组画出下列正比例函数的图像。
①y=2x；②y=-2x。
学生根据描点法画函数图像的三个步骤，独立完成图像的绘制。
教师活动：教师提醒描点法步骤，巡视指导课件呈现：利用几何画板动态、逐步绘制两种函数图像，从而激发学生的学习兴趣，活跃课堂气氛，营造轻松的学习氛围，借用动画形式加强学生用描点法绘图的印象。
重点解析：比较两个函数图像的相同点与不同点，寻找两个函数图像的变化规律。
归纳性质：一般的，正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图像是一条经过原点的直线，我们称它为直线y=kx。
当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小。
深化理解：（1）正比例函数的图像一定会经过原点吗？让学生画多个正比例函数的图像，观察它们是否都经过原点。
①②③（2）正比例系数k值对应的图像与经过的图像的关系。
借助几何画板，拖动直线绕原点转动，动态演示k值从正数转变为负数所对应的函数图像。
实例辨析，巩固性质：①函数y=-5x的图像在第象限内，经过点（0，）与点（1，），y 随x的增大而；②一列火车以90千米/时的速度匀速前进，求它的行驶路程s（单位：千米）随行驶时间t（单位：时）变化的函数解析式，画出函数图像。
设计意图：学生通过小组形式进行观察、分析、交流，培养学生合作探究的意识；通过动手操作，激发学生学习兴趣，加强绘图能力；通过几何画板动态演示，激发学生学习兴趣；通过深化理解过程，帮助学生加深对性质的理解，提高学生的图形认知能力，增强数形结合思维；通过实例设置分层练习，巩固性质。
4.深入探究，灵活运用思考问题：经过原点与点（1，k）的直线是哪个函数的图像？画正比例函数图像时，怎样画最简单？教师启发：正比例函数y=kx，当x=1时，y=k，所以正比例函数会经过点（1，k）。
学生归纳：学生动手尝试，绘制多个图像后，发现画正比例函数图像时，用“两点式”最简单。
连接原点与点（1，k）的直线就是函数的图像。
课堂练习：用你认为最简单的方法画出下列函数的图像。
①y=2/3x；②y=-3x设计意图：学习且巩固“两点法”画图像的方法，为后面学习一次函数的简单画法奠定基础。
5.知识梳理，加深理解学生交流讨论教师适时归纳设计意图：培养学生总结归纳能力，自我梳理知识能力，利用结构框图可以清晰地展示整节知识间的联系，使知识系统化。
6.布置作业，自主学习完成练习册14.2.1八．板书设计（如下图）14.2.1正比例函数1.教材中候鸟问题 4. 函数图象及4个函数解析式①y=2x；②y=-2x2.正比例函数概念 5.归纳图象特点3.识别正比例函数练习 6.作图练习。