华南理工大学高等数学统考试卷下1995

1995高等数学下册统考试卷及解答

一、在下列各题的横线上填上最合适的答案（16分）

1．把)94ln(2x -展开为x 的幂级数，其收敛半径=

R 3

2

2．设一阶线性非齐次微分方程)()(x Q y x P y =+'有两个线性无关的解

21,y y ，若21y y βα+也是该方程的解，则应有=+βα 1

3．设柱面322=+y x ，与曲面xy z =在),,(000z y x 点相交，且他们的交角为

6

π

，则正数=0z 2/3

4．x x f 2sin )(=在π≤≤x 0上的余弦函数的和函数为)(x s ，则)(x s 的周期

是

2

π

二、计算下列各题（本大题分2小题，共13分） 1．计算⎰⎰⎰

Ω

=zdxdydz I ，其中Ω是由柱面122=+y x 及平面1,0==z z 围成的区

域。（

2

π

）

2．设2

22)

()()(,1c z b y a x r r u -+-+-=

=

，其中c b a ,,为常数，求

2

2

2

2

22

z

u y

u x

u ∂∂+

∂∂+

∂∂.（0）

三、根据题目要求解答下列各题（共18分）

1．写出方程x y y y =-'-''32的待定特解的形式（b ax y +=*）

2．判定级数∑∞

=1

3

sin

2n n

n π

的敛散性（敛）

3．确定常数A ，使⎰⎰=+D

dxdy y x A 1)sin(，其中D 是由2

,2,π

=

==x x y x y 所围成

（3）

四、（7分）试确定可导函数)(x y ，使方程⎰++=x

t y x dt t ty 0

2)(2)(成立（2

2

42x

e

y -=）

五、（本大题7分）求质点沿椭圆4422=+y x 的逆时针方向绕行一周时，力

j

x y i x y F )2()3(-++=所做的功。（π4-）

六、（本大题8分）计算yzdxdy dzdx y dydz

y I 4)1(2)18(2

--++=

⎰⎰∑

，其中∑是由

曲线)31(0

1

≤≤⎪⎩⎪⎨⎧=-=y x y z 绕y

轴一周所成的曲面，其法向量与轴正向的夹角恒大

于

2

π

.(引入)2)(3:221≤+=∑z x y ，结果π34)

七、(8分)求方程x y y 2cos 4=+''的通解。（x

x x c x c y 2sin 412sin 2cos 21++=）。

八、（7分）设函数),(y x f z =具有连续的一阶偏导数，2

,2

η

ξη

ξ-=

+=y x ，试

用

η

ξ∂∂∂∂z

z ,变换方程

y

z x

z ∂∂=

∂∂. (

0=∂∂η

z )

九、(7分)求曲面222y x z +=包含在圆柱面x y x 222=+内的那部分（记为∑）的面积. (π22)

十、(9分)设∑∞

=1

n n

n x a 的收敛半径1R ，∑∞

=1

n n n x b 的收敛半径2R ，且210R R <<，试

证明∑∞

=+1

)(n n n n x b a 的收敛半径1R