3.3幂函数

…0
-3.38 1-1
212
30
1
24
1-0.4.113 1.073 0.123
1…
3 2
…
1…3.38 …
幂函数的性质
观察5个幂函数的 图像，填写课本 P90 的表格.
y
y
3
x
y x2
yyx x
1

y
yx
函数 y x
定义域 R
O
x 值域 R
奇偶性 奇函数
单调性 增函数
y
第三章 函数的概念与性质
3.3幂函数
温故知新
前面我们学习了函数的概念，利用函数的概念和对图 像的观察，研究了函数的一些性质： 1.函数的单调性:定义单调性证明步骤常见函数的单 调性; 2.函数的最值:定义二次函数最值最值与函数单调性； 3.函数的奇偶性:定义奇偶性判断奇偶性与单调性； 本节我们将研究一类新的函数——幂函数.
②若底数相同,利用指数函数的单调性;
③若底数,指数都不相同,构造中间量.
课堂小结
•了解幂函数的概念 •会画常见幂函数的图象 •结合图像了解幂函数图象的变化 情况和简单性质 •会用幂函数的单调性比较两个底 数不同而指数相同的幂的大小
THANKS
LOREM IPSUM
值域 R
奇偶性奇函数
O
x
单调性增函数
你能给出函数f(x)=x3的单调性，
奇偶性的代数证明吗？
提示：(a-b)3=(a-b)(a2+ab+b2)
y=x
y=x2
y=x3
y=x
1 2
y=x-1
定义域 R
值域
R
R ［0,+∞）
奇偶性 奇函数
偶函数
单调性 增函数 在(-∞，0]上单调递减
在［0，+∞)上单调递增
y x-1
O
函数
y x-1
定义域 (-∞，0)∪(0，+∞)
值域 (-∞，0)∪(0，+∞)
奇偶性
奇函数
x
单调性 (-∞，0)单调递减
(0，+∞)单调递减
y
y x2
函数
y x2
定义域
R
O
x 值域
(0，+∞)
奇偶性
偶函数
单调性 (-∞，0)单调递减
(0，+∞)单调递增
y
1
函数 y x2
1
典例解析：
例1. 如图所示,曲线是幂函数 y = xk 在第一象限内的
图象，已知 k分别取 1,1, 2, 1 四个值，则相 2
应图象依次为:_____C_4__C_2__C_1__C_3_____
1
思维升华：幂函数图象在直线x=1的右侧时:图象越高, 指数越大;图象越低，指数越小。在Y轴与直线x =1之 间正好相反。
y x2
定义域[0,+∞)
值域 [0,+∞)
奇偶性非奇非偶函数
O
x
单调性 增函数
1
你能给出函数 f ( x) x 2 x
单调性的代数证明吗？
例 证明幂函数 f (x) x 是增函数．
证明：函数的定义域为[0,+∞),任取x1,x2∈ [0,+∞),且x1＜x2,则: f (x1) f (x2 ) x1 x2
❖ (5)如果人ts内骑车行进了1km,那么他骑车的平均速度v= 1 km/s . t
这5个关系式都是函数关系，它们有 什么共同特征？
t v 1
若将它们的自变量全部用x来表示,函数值用y来表示, 则它们的函数关系式将是:
yx
y x2
y
3
x
1
y x2
y
1
x
共 同 ❖ 幂的形式
❖ 幂的底是自变量
幂函数性质的应用——比较幂值大小
例 比较下列各组中值的大小，并说明理由
（1）1.10.5 , 1.40.5;(2) 1.53 , 1.73 , 1 ;
1
1
(3) 1.40.5 , 1.43 ;(4) ( 4 ) 2 , ( 9 ) 3
比较幂5 值大10小关键是看指数相同还是底数
相同:
①若指数相同利用幂函数的单调性；
(2) 若α>0，在第一象限内递增； 若α<0，在第一象限内递减.
y 1 1
(3) 当α为奇数时，幂函数为奇函数； 当 α为偶数时，幂函数为偶函数．
(4) 当α>1 时，图象下凸 ; 当0<α<1时，图象上凸.
(5) 图像不过第四象限.
1
o1
0 1
0
x
(6)第一象限内, 当x>1时，α越大图象越高
，-1
y x y x2
y
1
x
y
3
x
1
y x2
五个常用幂函数的图象：
(-2,4)
y y x3 y x2
4
(2,4)
yx
3
1
2
y x2
1
-4
-3
-2
-1
o
(1,1)
1 2
1
2
y x1
3
4x
yx
y x2
y
1
x
1
y x2
y
3
x
(-1,-1)
-1
-2
-3
xx
…0
3 2
1-1
yy=x3x
1 2
(1) y=x4
(2) y
1 x2
(5) y=2x2 (6) y=x3+2
(3) y= -xe
1
(4) y x 2
(7)y=(x-1)2
(8) y 1 x
随堂练习
1.已知幂函数y=f(x)的图像过点(2, 2 ),求这个 函数的解析式.
1
对于幂函数y=xα,我们只研究α 的图像和性质.
=1，2，3，2
新课引入
写出下列y关于x的函数关系式
❖ (1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付p=w元;
❖ (2)如果正方形的边长为a,那么正方形的面积 s=a2; ❖ (3)如果立方体的棱长为b,那么立方体的体积V=b3;
1
c S2
❖ (4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的边长c= S
注意:若给出的 (函x数1 是有x2 根)( 号x1的 式x子2 ) ,往往 采用有理化的方式x1. x2
x1 x2 x1 x2
因为x1 x2 0, x1 x2 0, 所以f (x1) f (x2 ),即幂函数 f (x) x在[0,)上是增函数 .
y
y x3
函数 y x3
定义域 R
特 ❖ 幂的指数是常数
征
y x
新课讲授 幂函数的定义
一般地，函数y=xα叫做幂函数，
其中x为自变量，α为常数。 几点说明:
1、y=xα中，xα的系数为1，并且后面没有常数项，要确定一 个幂函数，需要一个条件就可以，即把常数α 确定下来；
2、幂函数中的α可以为任意实数.
随堂练习
判一判
判断下列函数是否为幂函数.
R R
奇
增函数
［0,+∞）
{x|x≠0}
［0,+∞）
非奇非偶
{y|y≠0}
奇
增函数
在(-∞，0)上单调递减， 在(0，+∞)上单调递减
公共点
图象都过点(1,1)
幂函数的性质
y
y
3
x
y x2
yyx x
1
y x2
y
1
x
O
x
幂函数的性质
(1) 所有的幂函数在第一象限内都有图象,且恒过点(1,1);