(完整)2018高考数学数列压轴专项练习集(一)

2018年高考数学数列压轴专项练习集（一）1.已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b ，其中{}n a 的公差不为0．设n S 是数列{}n a 的前n 项和．若521,,a a a 是数列{}n b 的前3项，且4S =16．（1）求数列{}na 和{}nb 的通项公式；（2）若数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-t a S n n 14为等差数列，求实数t ；（3）构造数列,...,,...,,,,...,,,,,,,,,21321321211kk b b b a b b b a b b a b a 若该数列前n 项和1821=n T ，求n 的值．2.已知数列{}n a 满足1,121=-=a a ，且)(2)1(2*2N n a a n nn ∈-+=+．（1）求65a a +的值；（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项的和，求n S ； （3）设nn n a a b 212+=-，是否存正整数i ，j ，k （i ＜j ＜k ），使得b i ，b j ，b k 成等差数列？若存在，求出所有满足条件的i ，j ，k ；若不存在，请说明理由．3.(本题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知121a a ==,(2)n n n b nS n a =++,数列{}n b 是公差为d 的等差数列,*n N ∈. (1) 求d 的值;(2) 求数列{}n a 的通项公式;(3) 求证:2112122()()(1)(2)n n n a a a S S S n n +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅<++.4.设数列{}n a 的首项1()a a a =∈R ，且13,34,3n n n n n a a a a a +->⎧=⎨-+⎩≤时，1m =，2，3，L ． (1)若01a <<，求2a ，3a ，4a ，5a ． (2)若04n a <<，证明：104n a +<<．(3)若02a <≤，求所有的正整数k ，使得对于任意*n ∈N ，均有n k n a a +=成立．5.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=0，a 1+a 2+a 3+…+a n +n=a n+1，n∈N *． （Ⅰ）求证：数列{a n +1}是等比数列；（Ⅱ）设数列{b n }的前n 项和为T n ，b 1=1，点（T n+1，T n ）在直线上，若不等式nn n a m a b a b a b 2291112211+-≥++•••++++对于n∈N *恒成立，求实数m 的最大值．6.设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧∈≤≥≤)(04*N x nx y y x 所表示的平面区域为D n ，记D n 内整点的个数为a n （横纵坐标均为整数的点称为整点）．（1）n=2时，先在平面直角坐标系中作出区域D 2，再求a 2的值； （2）求数列{a n }的通项公式；（3）记数列{a n }的前n 项的和为S n ，试证明：对任意n∈N *恒有++…+＜成立．7.在数列{}n a 中，123a =-，()*121,n n n S a n n N S +=->∈． （Ⅰ）求123,,S S S 的值；（Ⅱ）猜想n S 的表达式，并证明你的猜想．8.设数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，若1564a a =，5348S S -=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对于正整数,,k m l （k m l <<），求证：“1m k =+且3l k =+”是“5,,k m l a a a 这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；（3）设数列{}n b 满足：对任意的正整数n ，都有121321n n n n a b a b a b a b --++++L13246n n +=⋅--，且集合*|,n n b M n n N a λ⎧⎫=≥∈⎨⎬⎩⎭中有且仅有3个元素，试求λ的取值范围.9.已知f （n ）=1++++…+，g （n ）=﹣，n∈N *．（1）当n=1，2，3时，试比较f （n ）与g （n ）的大小关系； （2）猜想f （n ）与g （n ）的大小关系，并给出证明．10.设数列{a n }的前n 项和为S n ，若（n∈N *），则称{a n }是“紧密数列”；（1）若a 1=1，，a 3=x ，a 4=4，求x 的取值范围；（2）若{a n }为等差数列，首项a 1，公差d ，且0＜d≤a 1，判断{a n }是否为“紧密数列”； （3）设数列{a n }是公比为q 的等比数列，若数列{a n }与{S n }都是“紧密数列”，求q 的取值范围．试卷答案1.【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）设{a n}的公差d≠0．由a1，a2，a5是数列{b n}的前3项，且S4=16．可得，即，4a1+=16，解得a1，d，即可得出．（2）S n==n2．可得=．根据数列{}为等差数列，可得=+，t2﹣2t=0．解得t．（3）由（1）可得：S n=n2，数列{b n}的前n项和A n==．数列{A n}的前n项和U n=﹣n=﹣n．数列a1，b1，a2，b1，b2，a3，b1，b2，b3，…，a k，b1，b2，…，b k，…，可得：该数列前k+=项和=k2+﹣（k﹣1），根据37=2187，38=6561．进而得出．【解答】解：（1）设{a n}的公差d≠0．∵a1，a2，a5是数列{b n}的前3项，且S4=16．∴，即，4a1+=16，解得a1=1，d=2，∴a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．∴b1=1，b2=3，公比q=3．∴b n=3n﹣1．（2）S n==n2．∴ =．∵数列{}为等差数列，∴=+，t2﹣2t=0．解得t=2或0，经过验证满足题意．（3）由（1）可得：S n=n2，数列{b n}的前n项和A n==．数列{A n}的前n项和U n=﹣n=﹣n．数列a1，b1，a2，b1，b2，a3，b1，b2，b3，…，a k，b1，b2，…，b k，…，∴该数列前k+=项和=k2+﹣（k﹣1），∵37=2187，38=6561．∴取k=8，可得前=36项的和为： =1700，令T n=1821=1700+，解得m=5．∴n=36+5=41．2.【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由题意，当n为奇数时，；当n为偶数时，．结合a1=﹣1，a2=1，进一步求得，则a5+a6可求；（2）①当n=2k时，S n=S2k=（a1+a3+…+a2k﹣1）+（a2+a4+…+a2k），代入等比数列前n项和公式求解；②当n=2k﹣1时，由S n=S2k﹣a2k求解；（3）由（1）得（仅b1=0且{b n}递增）．结合k ＞j，且k，j∈Z，可得k≥j+1．然后分k≥j+2与k=j+1两类分析可得满足条件的i，j，k只有唯一一组解，即i=1，j=2，k=3．【解答】解：（1）由题意，当n为奇数时，；当n为偶数时，．又a1=﹣1，a2=1，∴，即a5+a6=2；（2）①当n=2k时，S n=S2k=（a1+a3+…+a2k﹣1）+（a2+a4+…+a2k）===．②当n=2k﹣1时，S n=S2k﹣a2k===．∴ ；（3）由（1），得（仅b 1=0且{b n }递增）．∵k＞j ，且k ，j∈Z，∴k≥j+1．①当k≥j+2时，b k ≥b j+2，若b i ，b j ，b k 成等差数列， 则=，此与b n ≥0矛盾．故此时不存在这样的等差数列． ②当k=j+1时，b k =b j+1，若b i ，b j ，b k 成等差数列， 则=，又∵i＜j ，且i ，j∈Z，∴i≤j﹣1． 若i≤j﹣2，则b i ≤b j ﹣2，得，得≤0，矛盾，∴i=j﹣1． 从而2b j =b j﹣1+b j+1，得，化简，得3j ﹣2=1，解得j=2．从而，满足条件的i ，j ，k 只有唯一一组解，即i=1，j=2，k=3． 3.1211112221220.1(2)(12)442(22)268n n n a a b nS n a b S a a b S a a a ===++∴=++===++=+=Q 解：，121111222122120.1(2)(12)442(22)2684n n na ab nS n ab S a ab S a a ad b b===++∴=++===++=+=∴=-=Q解：，…………………………………………………………3分………………………………………………8分………………………………………………12分4.见解析解：Ⅰ∵1(0,1)a a=∈得2(3,4)a∈，∴2144a a a=-+=-+，∵3(0,1)a ∈，∴3231a a a =-=-+，4(3,4)a ∈，∴4343a a a =-+=+， 5(0,1)a ∈，∴543a a a =-=．Ⅱ证明：①当03n a <≤时，14n n a a +=-+，∴114n a +<≤， ②当34n a <<，13n n a a +=-，∴101n a +<<， 综上，04n a <<时，104n a +<<．ⅡⅠ解：①若01a <<，由Ⅰ知51a a =，所以4k =， ∴当4(*)k m m =∈N 时，对所有的*n ∈N ，n k n a a +=成立． ②若12a <≤，则24a a =-+，且2(2,3]a ∈，3214(4)4a a a a a =-+=-++==，∴2k =，∴当2(*)k m m =∈N 时，对所有的*n ∈N ，n k n a a +=成立， ③若2a =，则2342a a a ===，∴1k =，∴(*)k m m =∈N 时，对所有的*n ∈N ，n k n a a +=成立， 综上，若01a <<，则4k m =，*m ∈N ， 若12a <≤，则2k m =，*m ∈N ， 若2a =，则k m =，*m ∈N ． 5.【考点】数列的求和；等比关系的确定．【分析】（Ⅰ）利用递推式可得：a n+1=2a n +1，变形利用等比数列的定义即可证明； （Ⅱ）由（Ⅰ）得，由点（T n+1，T n ）在直线上，可得，利用等差数列的通项公式可得：，利用递推式可得b n =n ．利用不等式，可得R n =，利用“错位相减法”可得：．对n 分类讨论即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由a 1+a 2+a 3+…+a n +n=a n+1， 得a 1+a 2+a 3+…+a n ﹣1+n ﹣1=a n （n≥2），两式相减得a n+1=2a n+1，变形为a n+1+1=2（a n+1）（n≥2），∵a1=0，∴a1+1=1，a2=a1+1=1，a2+1=2（a1+1），∴{a1+1}是以1为首项，公比为2的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∵点（T n+1，T n）在直线上，∴，故是以为首项，为公差的等差数列，则，∴，当n≥2时，，∵b1=1满足该式，∴b n=n．∴不等式，即为，令，则，两式相减得，∴．由恒成立，即恒成立，又，故当n≤3时，单调递减；当n=3时，；当n≥4时，单调递增；当n=4时，；则的最小值为，所以实数m的最大值是．6.【考点】数列与不等式的综合．【分析】（1）在4×8的矩形区域内有5×9个整点，对角线上有5个整点，可求a2的值；（2）直线y=nx与x=4交于点P（4，4n），即可求数列{a n}的通项公式；（3）利用裂项法，放缩，求和即可证明结论．【解答】解：（1）D2如图中阴影部分所示，∵在4×8的矩形区域内有5×9个整点，对角线上有5个整点，∴a2==25．（另解：a2=1+3+5+7+9=25）（2）直线y=nx与x=4交于点P（4，4n），据题意有a n==10n+5．（另解：a n=1+（n+1）+（2n+1）+（3n+1）+（4n+1）=10n+5）（3）S n=5n（n+2）．（8分）∵==•＜，∴++…+＜++…+=（﹣+…+﹣）=（+﹣﹣）＜（13分）【点评】本题考查数列与不等式的综合，考查数列的通项与求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．7.（Ⅰ）11112,2,(2)2n n n i n n n n n n n a S S S S S S n S S ---≥=-∴+=--∴=-≥+当时， (3分) 11231221314,,32425S a S S S S ∴==-=-=-=-=-++ （6分） （Ⅱ）猜想12n n S n +=-+， （7分） 下面用数学归纳法证明：1)当n=1时，1211312，S +=-=-+猜想正确； （8分） 2）假设当n=k 时猜想正确，即1,2k k S k +=-+ 那么111(1)1,12(1)222k k k S k S k k +++=-=-=-++++-++即n=k+1时猜想也正确. （12分） 根据1），2）可知，对任意n N +Î，都有1.2n n S n +=-+ （13分） 略8.（1）Q 数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，∴215364a a a ==，38a ∴=，又Q 5348S S -=，2458848a a q q ∴+=+=，2q ∴=，3822n n n a -∴=⋅=； ………… 4分（2）（ⅰ）必要性：设5,,k m l a a a 这三项经适当排序后能构成等差数列，①若25k m l a a a ⋅=+，则10222k m l ⋅=+，1022m k l k --∴=+，11522m k l k ----∴=+，1121,24m k l k ----⎧=⎪∴⎨=⎪⎩ 13m k l k =+⎧∴⎨=+⎩. ………… 6分 ②若25m k l a a a =+，则22522m k l ⋅=⋅+，1225m k l k +--∴-=，左边为偶数，等式不成立，③若25l k m a a a =+，同理也不成立，综合①②③，得1,3m k l k =+=+，所以必要性成立. …………8分（ⅱ）充分性：设1m k =+，3l k =+，则5,,k m l a a a 这三项为135,,k k k a a a ++，即5,2,8k k k a a a ，调整顺序后易知2,5,8k k k a a a 成等差数列， 所以充分性也成立. 综合（ⅰ）（ⅱ），原命题成立. …………10分 （3）因为11213213246n n n n n a b a b a b a b n +--++++=⋅--L ，即123112122223246n n n n n b b b b n +--++++=⋅--L ，（*）∴当2n ≥时，1231123122223242n n n n n b b b b n ----++++=⋅--L ，（**）则（**）式两边同乘以2，得2341123122223284n n n n n b b b b n +---++++=⋅--L ，（***）∴（*）－（***），得242n b n =-，即21(2)n b n n =-≥，又当1n =时，21232102b =⋅-=，即11b =，适合21(2)n b n n =-≥，21n b n ∴=-.………14分212n n n b n a -∴=，111212352222n n n n nn n b b n n n a a ------∴-=-=， 2n ∴=时，110n n n n b b a a --->，即2121b b a a >； 3n ∴≥时，110n n n n b b a a ---<，此时n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递减， 又1112b a =，2234b a =，3358b a =，44716b a =，71162λ∴<≤. ……………16分 9.【考点】用数学归纳法证明不等式；不等式比较大小．【分析】（1）根据已知，，n∈N *．我们易得当n=1，2，3时，两个函数函数值的大小，比较后，根据结论我们可以归纳推理得到猜想f （n ）≤g（n ）；（2）但归纳推理的结论不一定正确，我们可用数学归纳法进行证明，先证明不等式f（n ）≤g（n ）当n=1时成立，再假设不等式f （n ）≤g（n ）当n=k （k≥1）时成立，进而证明当n=k+1时，不等式f （n ）≤g（n ）也成立，最后得到不等式f （n ）≤g（n ）对于所有的正整数n成立；【解答】解：（1）当n=1时，f（1）=1，g（1）=1，所以f（1）=g（1）；当n=2时，，，所以f（2）＜g（2）；当n=3时，，，所以f（3）＜g（3）．（2）由（1），猜想f（n）≤g（n），下面用数学归纳法给出证明：①当n=1，2，3时，不等式显然成立．②假设当n=k（k≥3）时不等式成立，即即++…+＜，那么，当n=k+1时，，因为，所以．由①、②可知，对一切n∈N*，都有f（n）≤g（n）成立．10.【考点】数列的应用．【分析】（1）由题意，且，即可求出x的取值范围；（2）由题意，a n=a1+（n﹣1）d， ==1+，根据“紧密数列”的定义即可证明结论；（3）先设公比是q并判断出q≠1，由等比数列的通项公式、前n项和公式化简，，根据“紧密数列”的定义列出不等式组，再求出公比q的取值范围．【解答】解：（1）由题意，且，∴2≤x≤3，∴x的取值范围是[2，3]；（2）由题意，a n=a1+（n﹣1）d，∴==1+，随着n的增大而减小，所以当n=1时，取得最大值，∴≤2，∴{a n}是“紧密数列”；（3）由题意得，等比数列{a n}的公比q当q≠1时，所以a n=a1q n﹣1，S n=， =，因为数列{a n}与{S n}都是“紧密数列”，所以，≤2，解得，当q=1时，a n=a1，S n=na1，则=1， =1+∈（1，]，符合题意，∴q的取值范围是．。