高考专题训练——数列

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一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.(·郑州质量预测)已知数列{an}为等比数列,首项a1=4,数列{bn}满足bn =log2an ,且b1+b2+b3=12.则a4=( )

A .4

B .32

C .108

D .256

2.(·达州市第一次诊断性测试)在等差数列{an}中,an ≠0(n ∈N*).角α顶点在坐标原点,始边与x 轴正半轴重合,终边经过点(a2,a1+a3),则sin α+2cos α

sin α-cos α

=( )

A .5

B .4

C .3

D .2

3.(·长春质量监测)已知Sn 是等比数列{an}前n 项的和,若公比q =2,则a1+a3+a5

S6

=()

A.13

B.17

C.23

D.37

4.(·绵阳市一诊)已知x>1,y>1,且lg x ,1

4

,lg y 成等比数列,则xy 有( )

A .最小值10

B .最小值10

C .最大值10

D .最大值10

5.(·柳州市高三毕业班模拟)已知数列{an}的首项为1,第2项为3,前n 项和为Sn ,当整数n>1时,Sn +1+Sn -1=2(Sn +S1)恒成立,则S15等于( )

A .210

B .211

C .224

D .225

6.(·衡水中学模拟)已知等比数列{an}的前n 项和为Sn ,且a1+a3=52,a2+a4=54,则Sn

an =

( )

A .4n -1

B .4n -1

C .2n -1

D .2n -1

7.(·黄冈二模)设等差数列{an}的前n 项和为Sn ,等差数列{bn}的前n 项和为Tn ,若Sn

Tn

=n -13n +4,则a3

b3

=( ) A .528 B .529C .530 D .531

8.(·全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=( )

A .16

B .8

C .4

D .2

9.(·安庆二模)已知Sn 是等差数列{an}的前n 项和,a2+a4+a6=12,则S7=( )

A .20

B .28

C .36

D .4

10.(·岳阳一中二模)已知公差d ≠0的等差数列{an}满足a1=1,且a2,a4-2,a6成等比数列,若正整数m ,n 满足m -n =10,则am -an =( )

A .10

B .20

C .30

D .5或40

11.(·太原二模)13+13+6+13+6+9+…+1

3+6+9+…+30

=( )

A.

310B.1033 C.35 D.20

33

12.(·揭阳模拟)已知数列{an}满足2a1+22a2+…+2nan =n(n ∈N*),数列???

???1

log2anlog2an +1的

前n 项和为Sn ,则S1·S2·S3·…·S10=( )

A.

110B.15 C.111 D.211

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

13.(·沈阳质量监测)已知等差数列{an}的前n 项和为Sn ,若a1=1,S3=a5,am =,则m =________.

14.(·湖南湘潭一模)已知数列{an}的前n 项和公式为Sn =2n2-n +1,则数列{an}的通项公式为________.

15.(·江苏高考)已知数列{an}(n ∈N*)是等差数列,Sn 是其前n 项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是________.

16.(·柳州市高三毕业班模拟)已知点(n ,an)在函数 f (x)=2x -1的图象上(n ∈N*).数列{an}的前n 项和为Sn ,设bn =log 2Sn +1

64

,数列{bn}的前n 项和为Tn.则Tn 的最小值为________.

三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)(·黄山市高三第一次质检)已知数列{an}是公比大于1的等比数列,Sn 是{an}的前n 项和.若a2=4,S3=21.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)令bn =log4an +1,求数列??

??

??

2bnbn +1的前n 项和Tn.

18.(本小题满分12分)(·吉林市第一次调研)已知数列{an},点(n ,an)在直线y =3x -22上.

(1)求证:数列{an}是等差数列;

(2)设bn =|an|,求数列{bn}的前20项和S20.

19.(本小题满分12分)(·桂林二模)在等比数列{an}中,已知a1=-1,a2=2.

(1)求{an}的通项公式;

(2)若a3,a4分别为等差数列{bn}的前两项,求{bn}的前n项和Sn.

20.(本小题满分12分)(·北京高考)设{an}是等差数列,a1=-10,且a2+10,a3+8,a4+6成等比数列.

(1)求{an}的通项公式;

(2)记{an}的前n项和为Sn,求Sn的最小值.

21.(本小题满分12分)(·十堰二模)已知数列{an}是递增的等差数列,a3=7,且a4是a1与27的等比中项.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若bn=

1

an+an+1

,求数列{bn}的前n项和Tn.

22.(本小题满分12分)(·湖南联考)设Sn是数列{an}的前n项和,已知a1=1,Sn=2-2an +1.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设bn=(-1)nlog1

2

an,求数列{bn}的前n项和Tn.

高考数学(文)一轮:一课双测A+B 精练(四十五) 直线的倾斜角与斜率、直线的方程

1.若k ,-1,b 三个数成等差数列,则直线y =kx +b 必经过定点( ) A .(1,-2) B .(1,2) C .(-1,2) D .(-1,-2)

2.直线2x +11y +16=0关于点P(0,1)对称的直线方程是( ) A .2x +11y +38=0B .2x +11y -38=0 C .2x -11y -38=0D .2x -11y +16=0

3.(·衡水模拟)直线l1的斜率为2,l1∥l2,直线l2过点(-1,1)且与y 轴交于点P ,则P 点坐标为( )

A .(3,0)

B .(-3,0)

C .(0,-3)

D .(0,3)

4.(·佛山模拟)直线ax +by +c =0同时要经过第一、第二、第四象限,则a ,b ,c 应满足( )

A .ab >0,bc <0

B .ab >0,bc >0

C .ab <0,bc >0

D .ab <0,bc <0

5.将直线y =3x 绕原点逆时针旋转90°,再向右平移1个单位,所得到的直线为( )

A .y =-13x +13

B .y =-1

3x +1

C .y =3x -3

D .y =1

3

x +1

6.已知点A(1,-2),B(m,2),且线段AB 的垂直平分线的方程是x +2y -2=0,则实数m 的值是( )

A .-2

B .-7

C .3

D .1

7.(·贵阳模拟)直线l 经过点A(1,2),在x 轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是________.

8.(·常州模拟)过点P(-2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为________.

9.(·天津四校联考)不论m 取何值,直线(m -1)x -y +2m +1=0恒过定点________. 10.求经过点(-2,2),且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程. 11.(·莆田月考)已知两点A(-1,2),B(m,3).

(1)求直线AB 的方程; (2)已知实数m ∈????

??

33-1,3-1,求直线AB 的倾斜角α的取值范围. 12.如图,射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角,过点P(1,0)作直线AB 分别交OA 、OB 于A 、B 两点,当AB 的中点C 恰好落在直线y =1

2

x 上时,求直线AB 的方程.

1.若直线l :y =kx -3与直线2x +3y -6=0的交点位于第一象限,则直线l 的倾斜角的取值范围是( )

A.????π6,π3

B.????π6,π2

C.????π3,π2

D.???

?π6,π2

2.(·洛阳模拟)当过点P(1,2)的直线l 被圆C :(x -2)2+(y -1)2=5截得的弦最短时,直线l 的方程为________________.

3.已知直线l :kx -y +1+2k =0(k ∈R). (1)证明:直线l 过定点;

(2)若直线l 不经过第四象限,求k 的取值范围;

(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ,交y 轴正半轴于点B ,O 为坐标原点,设△AOB 的面积为S ,求S 的最小值及此时直线l 的方程.

[答 题 栏]

A 级

1._________

2._________

3._________

4._________

5._________

6._________

B 级

1.______

2.______

7.__________8.__________9.__________ 答 案

高考数学(文)一轮:一课双测A+B 精练(四十五)

A 级

1.A2.B3.D4.A

5.选A 将直线y =3x 绕原点逆时针旋转90°得到直线y =-1

3x ,再向右平移1个单

位,所得直线的方程为y =-13(x -1),即y =-13x +1

3

.

6.选C 线段AB 的中点?

??

?

?1+m 2,0代入直线x +2y -2=0中,得m =3.

7.解析:设直线l 的斜率为k ,则方程为y -2=k(x -1),在x 轴上的截距为1-2

k ,

令-3<1-2k <3,解得k <-1或k >1

2

.

答案:(-∞,-1)∪? ??

??12,+∞

8.解析:直线l 过原点时,l 的斜率为-32,直线方程为y =-3

2x ;l 不过原点时,设

方程为x a +y

a

=1,将点(-2,3)代入,得a =1,直线方程为x +y =1.

综上,l 的方程为x +y -1=0或2y +3x =0. 答案:x +y -1=0或3x +2y =0

9.解析:把直线方程(m -1)x -y +2m +1=0,整理得 (x +2)m -(x +y -1)=0,

则?

??

??

x +2=0,x +y -1=0,得?

??

??

x =-2,

y =3.

答案:(-2,3)

10.解:设所求直线方程为x a +y

b =1,

由已知可得?????

-2a +2

b

=1,1

2|a||b|=1,

解得?

??

??

a =-1,

b =-2或?

??

??

a =2,

b =1.

故直线l 的方程为2x +y +2=0或x +2y -2=0. 11.解:(1)当m =-1时,直线AB 的方程为x =-1; 当m ≠-1时,直线AB 的方程为y -2=1

m +1(x +1).

(2)①当m =-1时,α=π

2;

②当m ≠-1时,m +1∈????

??

33,0∪(0, 3 ],

∴k =1m +1∈(-∞,- 3 ]∪??????

33,+∞,

∴α∈????π6,π2∪? ??

??π2,2π3. 综合①②知,直线AB 的倾斜角α∈????

??π6,2π3.

12.解:由题意可得kOA =tan45°=1, kOB =tan(180°-30°)=-

33

, 所以直线lOA :y =x ,lOB :y =-33

x. 设A(m ,m),B(-3n ,n), 所以AB 的中点C ?

????

m -3n 2

,m +n 2,

由点C 在y =1

2x 上,且A 、P 、B 三点共线得?????

m +n 2=12·m -3n

2,m -0m -1=n -0

-3n -1,

解得m =3,所以A(3,3). 又P(1,0), 所以kAB =kAP =

33-1

3+3

2

, 所以lAB :y =3+3

2

(x -1),

即直线AB 的方程为(3+3)x -2y -3-3=0.

B 级

1.选B 由??

?

y =kx -3,

2x +3y -6=0,

解得???

??

x =32+32+3k ,

y =6k -232+3k .

∵两直线交点在第一象限,∴???

??

x >0,y >0,

解得k >

33

. ∴直线l 的倾斜角的范围是???

?π6,π

2.

2.解析:易知圆心C 的坐标为(2,1),由圆的几何性质可知,当圆心C 与点P 的连线与直线l 垂直时,直线l 被圆C 截得的弦最短.由C(2,1),P(1,2)可知直线PC 的斜率为

2-1

1-2=-1,设直线l 的斜率为k ,则k ×(-1)=-1,得k =1,又直线l 过点P ,所以直线l 的方程为x -y +1=0.

答案:x -y +1=0

3.解:(1)证明:法一:直线l 的方程可化为y =k(x +2)+1, 故无论k 取何值,直线l 总过定点(-2,1).

法二:设直线过定点(x0,y0),则kx0-y0+1+2k =0对任意k ∈R 恒成立, 即(x0+2)k -y0+1=0恒成立, ∴x0+2=0,-y0+1=0,

解得x0=-2,y0=1,故直线l 总过定点(-2,1).

(2)直线l 的方程为y =kx +2k +1,则直线l 在y 轴上的截距为2k +1,

要使直线l 不经过第四象限,则?

??

??

k ≥0,

1+2k ≥0,

解得k 的取值范围是[0,+∞).

(3)依题意,直线l 在x 轴上的截距为-1+2k

k

,在y 轴上的截距为1+2k ,

∴A ? ??

??-1+2k k ,0,B(0,1+2k). 又-1+2k k <0且1+2k>0,∴k>0.

故S =12|OA||OB|=12×1+2k k (1+2k)

=12?

?

???4k +1k +4≥12(4+4)=4,

当且仅当4k =1k ,即k =1

2时,取等号.

故S 的最小值为4,此时直线l 的方程为 x

2y

4

0.

高考数学(文)一轮:一课双测A+B精练(四十)空间几何体的结构特征及三视图和直观图

1.(·青岛摸底)如图,在下列四个几何体中,其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是( )

A.②③④B.①②③C.①③④D.①②④

2.有下列四个命题:

①底面是矩形的平行六面体是长方体;

②棱长相等的直四棱柱是正方体;

③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体;

④对角线相等的平行六面体是直平行六面体.

其中真命题的个数是( )

A.1B.2C.3D.4

3.一个锥体的正视图和侧视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是( )

4.如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图.在正视图右侧,按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是( )

5.如图△A′B′C′是△ABC的直观图,那么△ABC是( )

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.钝角三角形

6.(·东北三校一模)一个几何体的三视图如图所示,则侧视图的面积为( )

A.2+3B.1+3C.2+23D.4+3

7.(·昆明一中二模)一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形,且体积为1

,则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________.(填入所有可能的图形前的编号) 2

①锐角三角形;②直角三角形;③四边形;④扇形;⑤圆

8.(·安徽名校模拟)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________.

9.正四棱锥的底面边长为2,侧棱长均为3,其正视图(主视图)和侧视图(左视图)是全等的等腰三角形,则正视图的周长为________.

10.已知:图1是截去一个角的长方体,试按图示的方向画出其三视图;图2是某几何体的三视图,试说明该几何体的构成.

11.(·银川调研)正四棱锥的高为3,侧棱长为7,求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少?

12.(·四平模拟)已知正三棱锥V-ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示.

(1)画出该三棱锥的直观图;

(2)求出侧视图的面积.

1.(·江西八所重点高中模拟)底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2,当其正视图有最大面积时,其侧视图的面积为( )

A.23B.3C.3D.4

2.(·深圳模拟)如图所示的几何体中,四边形ABCD是矩形,平面

ABCD⊥平面ABE,已知AB=2,AE=BE=3,且当规定正视方向垂直平

面ABCD时,该几何体的侧视图的面积为

2

2

.若M,N分别是线段DE,CE

上的动点,则AM+MN+NB的最小值为________.

3.一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图1和2所示,其中正视图、侧视图均为边长为a的正方形.

(1)请在图2指定的框内画出多面体的俯视图;

(2)若多面体底面对角线AC,BD交于点O,E为线段AA1的中点,求证:OE∥平面A1C1C;

(3)求该多面体的表面积.

[答题栏]

A级1._________2._________3._________4._________5

._________6._________B级 1.______2.______ 7.__________8.__________9.__________

答案

高考数学(文)一轮:一课双测A+B精练(四十)

A级

1.A2.A3.C4.B

5.选B由斜二测画法知B正确.

6.选D依题意得,该几何体的侧视图的面积等于22+1

2

×2×3=4+ 3.

7.解析:如图1所示,直三棱柱ABE-A1B1E1符合题设要求,此时俯视图△A BE是锐角三角形;如图2所示,直三棱柱ABC-A1B1C1符合题设要求,此时俯视图△ABC是直角三角形;如图3所示,当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时,所得直四棱柱ABCD-A1B1C1D1符合题设要求,此时俯视图(四边形ABCD)是正方形;若俯视图是扇形或圆,体积中会含有π,故排除④⑤.

答案:①②③

8.解析:结合三视图可知,该几何体为底面边长为2、高为2的正三棱柱除去上面的一个高为1的三棱锥后剩下的部分,其直观图如图所示,故该几何体的体积为12×2×2sin60°×2-13×12×2×2sin60°×1=53

3

.

答案:53

3

9.解析:由题意知,正视图就是如图所示的截面PEF ,其中E 、F 分别是AD 、BC 的中点,连接AO ,易得AO =2,而PA =3,于是解得PO =1,所以PE =2,故其正视图的周长为2+2 2.

答案:2+22

10.解:图1几何体的三视图为:

图2所示的几何体是上面为正六棱柱,下面为倒立的正六棱锥的组合体. 11.解:如图所示,正四棱锥S -ABCD 中, 高OS =3,

侧棱SA =SB =SC =SD =7, 在Rt △SOA 中,

OA =SA2-OS2=2,∴AC =4. ∴AB =BC =CD =DA =2 2. 作OE ⊥AB 于E ,则E 为AB 中点. 连接SE ,则SE 即为斜高, 在Rt △SOE 中,

∵OE =1

2BC =2,SO =3,

∴SE =5,即侧面上的斜高为 5.

12.解:(1)三棱锥的直观图如图所示. (2)根据三视图间的关系可得BC =23, ∴侧视图中VA =

42-? ??

??23×32×232

=12=23,

∴S △VBC =1

2

×23×23=6.

B 级

1.选A 当正视图的面积达最大时可知其为正三棱柱某个侧面的面积,可以按如图所示位置放置,此时侧视图的面积为2 3.

2.解析:依题意得,点E 到直线AB 的距离等于

3

2-? ??

??222=2,因为该几何体的左(侧)视图的面积为12·BC ×2=2

2,所以BC =1,DE =EC =DC =2.所以△DEC 是正三角形,∠DEC =60°,tan ∠DEA =AD AE =3

3,∠DEA =∠CEB =30°.把△DAE ,△DEC 与△CEB 展在同一平面上,此

时连接AB ,AE =BE =3,∠AEB =∠DEA +∠DEC +∠CEB =120°,AB2=AE2+BE2-2AE ·BEcos120°=9,即AB =3,即AM +MN +NB 的最小值为3.

答案:3

3.解:(1)根据多面体的直观图、正视图、侧视图,得到俯视图如下:

(2)证明:如图,连接AC ,BD ,交于O 点,连接OE. ∵E 为AA1的中点,O 为AC 的中点, ∴在△AA1C 中,OE 为△AA1C 的中位线. ∴OE ∥A1C.

∵OE ?平面A1C1C ,A1C ?平面A1C1C , ∴OE ∥平面A1C1C.

(3)多面体表面共包括10个面,SABCD =a2, SA1B1C1D1=a2

2

S △ABA1=S △B1BC =S △C 1DC =S △ADD1=a2

2,

S △AA1D1=S △B1A1B =S △C1B1C =S △DC1D1 =12×2a 2×32a 4=3a28, ∴该多面体的表面积

S =a2+a22+4×a22+4×3a2

8=5a2.

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