电磁场与电磁波(必考题)

1.已知自由空间中均匀平面波磁场强度瞬时值为：

())]

43(cos[31,,z x t-e t z x H +=πωπ

y A/m ，求①该平面波角频率

ω、频率f 、波长λ ②电场、磁场强度复矢量③瞬时

坡印廷矢量、平均坡印廷矢量。

解：① z x z k y k x k z y x ππ43+=++；π3=x k ，0=y

k ，

π4=z k ；

)

/(5)4()3(2222

2m rad k k k k z y x πππ=+=++=；

λ

π2=

k ，

)(4.02m k

==

π

λ c v f ==λ（因是自由空间），)

(105.74

.010388Hz c f ⨯=⨯==λ；)/(101528

s rad f ⨯==ππω

②

)/(31),()

43(m A e e z x H z x j y

+-=ππ

； )

/()243254331120),(),(),()

43()43(m V e e e e e e e k k z x H e z x H z x E z x j z x z x z x j y n +-+--=+⨯

⨯=⨯=⨯=πππ

π

πππηη（③ ()

[])/()43(cos 2432),,(m V z x t e e t z x E z x +--=πω

())]

43(cos[31

,,z x t-e t z x H +=πωπ

y （A/m ） ()

[]()

[])/()43(cos 322431)]

43(cos[31

)43(cos 243222m W z x t e e z x t-e z x t e e H E S z x z x +-+=+⨯+--=⨯=πωπ

πωπ

πωy ()

)43(2432),(z x j z x e e e z x E +--=π，)43(31),(z x j y e e z x H +-=ππ

()

()

)/(322461312432Re 21Re 212*

)43()43(*m W e e e e e e e H E S z x z x j y z x j z x av

+=⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩

⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=+-+-π

πππ

2.横截面为矩形的无限长接地金属导体槽，上部有电位为 的

金属盖板；导体槽的侧壁与盖板间有非常小的间隙以保证相互绝缘。试求此导体槽内的电位分布。

解: 导体槽在

z 方向为无限长，槽内电位满足直角坐标系中的

二维拉普拉斯方程。

由于槽内电位0

0x φ==和0x a φ==，则其通解形式为00001

(,)()()(sin cos )(sinh cosh )

(3)

n

n

n

n n n n n n x y A x B C y D A k x B

k x C k y D k y φ∞

==+++

++∑(0,)0

(0)y y b φ=≤<代入上式，得

0001

0()(sinh cosh )

n n n n n n B C y D B C k y D k y ∞

==+++∑为使上式对y 在0b →内成立，则0(0,1,2,)

n

B

n ==则

0001

(,)()sin (sinh cosh )

n n n n n n n x y A x C y D A k x C k y D k y φ∞

==+++∑(,)0(0)a y y b φ=≤<代入上式，得

0001

0()sin (sinh cosh )

n n n n n n n A a C y D A k a C k y D k y ∞

==+++∑为使上式对

y

在

0b

→内成立，则0

0A =

sin 0(1,2,)n n A k a n ==其中n

A 不能为零，否则

0φ≡,故有sin 0n k a =

得

(1,2,)

n n k n a

π=

=则

1

(,)sin

(sinh cosh )n n n n n x n y n y x y A C D a a a

πππφ∞

==+∑

(,0)0

(0)x x a φ=≤≤代入上式，得

1

0sin

n n n n x A D a

π∞

==∑ 为使上式对x 在0a →内成立，且0n

A ≠则

0(1,2,)n D n ==

则

1

(,)sin sinh n

n n x n y

x y A a a

ππφ∞

='=∑

其中

n

n n A A C '=； 0

(,)(0)x b U x a φ=≤≤代入上式，得

01

sin sinh n

n n x n b U A a a

ππ∞

='=∑

为确定常数

n

A '，将 在区间(0,)a 上按sin n x a π⎧⎫⎨

⎬⎩

⎭

展开为傅里叶级数，即01

sin

n n n x U f a

π∞

==∑

002sin a n n x

f U dx a a

π=

⎰041,3,5,0

2,4,6,

U n n n π⎧=⎪=⎨⎪=⎩

sinh n n

f A n b a π'=041,3,5,sinh 02,4,6,U n n b n a n ππ⎧

=⎪⎪

=⎨⎪=⎪⎩

导体槽内电位函数为

1,3,

41(,)sin

sinh sinh

n U n x n y

x y n b

a a

n a

ππφππ

∞

==

∑

)0(0

),0(b y y <≤=ϕ)0(0

),(b y y a <≤=ϕ)0(0)0,(a x x ≤≤=ϕ)

0(),(0

a x U

b x ≤≤=ϕ02=∇ϕ