pi的计算 数值分析论文
研究性学习论文——割圆术的相关算法（5篇范文）
研究性学习论文——割圆术的相关算法（5篇范文）第一篇：研究性学习论文——割圆术的相关算法研究性学习论文——割圆术的相关算法中国从古代开始就有不少有关圆的相关算法，我们从小就接触圆周率，对圆周率可算是相当熟悉。
今年高二，我们的必修二主要讲的是几何，说到几何，自然离不开圆和球，离不开圆周率，而今年高二有些公式是通过极限思想得到的，极限思想对于我们来说比较陌生，当我们听说圆周率是用无限分割和极限得到的时，我们高二八班的一些同学对此产生兴趣，并准备通过研究割圆术的相关算法，进而初步了解极限思想。
一、割圆术的含义所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法。
二、历史回顾中国两汉(公元前206 年至公元220 年)以前一直使用“周三径一”，即取π≈3，这实际上是以圆内接正六边形6边总长代替了圆周长。
东汉天文学家张衡(公元78年至139年)求得π≈ 101/2(≈ 3.1622)，创下了当时的世界纪录。
直到魏晋之际的杰出数学家刘徽于公元263年在为古代数学名著《九章算术》作注时，提出用割圆术来计算圆周率的方法，含有极限的概念，是他的最大创造，他正确地计算出圆内接正192 边形的面积，从而得到近似值为π≈ 157/50(≈ 3.14），又计算出圆内接正3072 边形的面积，得到近似值π≈ 3927/1250(≈3.1416)。
刘徽割圆术为圆周率的研究工作奠定了坚实可靠的理论基础，在数学史上占有十分重要的地位。
南北朝时南朝科学家祖冲之（公元 429 年至 500 年）求得了圆周率的两个分数值，一个是“约率”，另一个是“密率”，这两个值，在西方是由德国的奥托和荷兰的安东尼兹在16世纪末才得到的，都比祖冲之晚了一千一百年。
祖冲之计算出3.1415926< π <3.1415927同时还确定了π的两个分数形式的近似值：约率为π ＝22/7(≈3.14)，密率为π＝355/113(≈3.1415929)。
世界上最短的数学论文系列——尼文关于π无理性的证明，极为巧妙
世界上最短的数学论文系列——尼文关于π无理性的证明，极为巧妙无理数很有趣，小数点后的数字永不循环地延续下去，但整个数字总是小于一个固定值，这就有点难搞了？没有错，我所说的就是π。
在这里，我们将讨论一个半页纸的证明，证明这个数字π的无理性。
•伊万-尼文（Ivan Niven）人类文明知道π以及它与圆的周长和面积的关系已经有几千年了，可以追溯到古代巴比伦人，当时最后的猛犸象已经灭绝了。
然而，尽管π的估值从3到3.12再到3.14等等，但π的无理性本质直到1760年才被瑞士学者约翰·海因里希·兰伯特发现并证明，后来又被其他著名数学家如埃尔米特、卡特莱特、布尔巴基和拉茨科维奇证明。
这些证明中，伊万·尼文的证明用简单易懂的数学工具及矛盾方法，将其压缩在半页纸里。
让我们来看看。
首先假设π是一个有理数，可以表示为π=a/b，其中a&b是整数，b≠0。
让我们考虑一个函数：我们可以改变n，从1到任意数n的数，来创建一个多项式F(x)：现在，回到f(x)，很明显，当n!与f(x)相乘时，分母是1，因此对于任何x，f(x)值都是一个整数。
所以：现在，如果你考虑右手边，(a -bx)^n中x的最小幂是0，即a^n，当它与x^n相乘时，结果中x的最小幂是n，最大是n+n=2n。
如果对f(x)进行微分，当x=0或(a-bx)=0=>x=a/b=π（如前所述）时，结果总是0，因为分子中的所有项都有x。
现在，让我们对{F'(x)sin x - F(x)cos x}对x进行微分：经过一点点简化，我们得到了一个结果：我们知道，积分是微分的逆运算，反之亦然。
因此，如果我们对f(x)sin x进行积分，也就是对{F'(x)sin x - F(x)cos x}进行微分后得到的结果，得到{F ' (x) sin x - F(x) cos x} 在0到π的范围内的积分：这里π = a/b。
计算机类职称论文：应用Pi演算
计算机类职称论⽂：应⽤Pi演算 Pi演算起源于上世纪80年代，由图灵奖得住Robin Milner提出。
它是⼀种描述和分析并发系统的演算模型，是⽤演算中的归约表⽰由进程间的相互通信形成的动态演化。
以下是店铺今天为⼤家精⼼准备的计算机类相关职称论⽂：应⽤Pi的演算。
内容仅供阅读与参考! 应⽤Pi演算全⽂如下： 由于Internet与移动通信的快速发展和安全通信的需求，出现了适应种种形式分析⽬的的⼀⼤类应⽤π-演算(Application π-Calculus)[ ];本⽂从π-演算出发，对其进⾏严格的讨论与介绍。
1、基本π-演算与异步π-演算的语法(Synta_) 1.1 名字与进程 设Χ = {_, y, z, . .} 是名字(names)集(可将名字看作是通信中的通道channels of communication)，??_， 归纳定义(基本)?演算的进程(processes)如下(其中//…为帮助理解的直观说明)： P:: = 0 //空进程 | P|Q //并发(并⾏)进程 | !P //复制进程(⽆穷多次) | _.P //在通道_上发送y(输出)后执⾏进程P | _(y).P //将从通道_上接收的名字赋给y后执⾏进程P | ν_.P //将名字_限制到进程P中使⽤，P的私有名字 为减少括号使⽤，约定： 对于“|”，⽤左结合，例如“P|Q|R”表⽰“(P|Q)|R”; 对于_(y).P、_.P与?_.P，称_(y)、_或?_为P的前缀，P称为前缀的体(body)，为减少括号使⽤，约定前缀的体向右最⼤扩展，例如： vz._._._._.P表⽰vz..(_.(_.(_.(_.P)))) 1.2 ⾃由与约束的名字 设P、Q为进程，归纳定义名字集合fn(P)如下： fn(0) = ?; //空进程⽆⾃由名字 fn(P|Q) = fn(P) ? fn(Q); fn(!P) = fn(P); fn(_.P) = {_,y}?fn(P); //对于输出，_,y是⾃由名字 fn(_(y).P) = {_} ? (fn(P)-{y}); //对于输⼊，_是⾃由名字，y不是⾃由名字 fn(v_.P) = fn(P)-{_} //对于限制，_不是⾃由名字 称fn(P)为进程P的⾃由名字集，若_?fn(P)，称名字_在进程P中是⾃由的;如果进程P中的名字_不是⾃由名字，则称为约束名字，⽤bn(P)表⽰P的约束名字集，记nP=fn(P) ? bn(P)并称为P的名字集;对a(_).P或(?_).P，将在P中⾃由出现的_称为被a(_)或(?_)约束的名字;注意，有P，使fn(P)?bn(P) ? ?，即某个名字_可能同时在P中⾃由出现与约束出现. 例：在进程 a?_?.P | a(y).Q | (?_)a?_?.R ⾥，_既⾃由出现，也约束出现。
圆周率论文完整
题目：圆周率的由来、应用及历史作用姓名：班级：学号：目录引言1 圆周率的由来 (4)1.1 古希腊求π值 (5)1.2 古中国求π值 (5)1.3 伊斯兰求π值 (5)1.4 现代求π值 (6)2圆周率的应用 (6)2.1 用圆周率来测试计算机性能 (6)2.2 圆周率在C语言中的应用 (6)3 圆周率的历史作用 (10)3.1 通过π找出各种表达式 (10)3.2 通过π计算圆的面积和周长 (10)3.3 用π来进行一些函数的定义，积分的计算，指数的构成 (10)引言众所周知，圆周率一般以π来表示，是一个在数学及物理学普遍存在的数学常数．它定义为圆形之周长与直径之比．它也等于圆形之面积与半径平方之比．是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值．圆周率是一个常数（约等于3.1415926），是代表圆周长和直径的比例．它是一个无理数，即是一个无限不循环小数．圆周率在生产实践中应用非常广泛，在科学不很发达的古代，计算圆周率是一件相当复杂和困难的工作．俗话说得好，“有理走遍天下，无理寸步难行”圆周率π好比这个“理”．有了圆周率π不仅解决了困惑众多数学家的三大著名几何问题之一的化圆为方的不可能性更为后续的数学研究奠定了基础．因此，圆周率的理论和计算在一定程度上反映了一个国家的数学水平．本文通过对圆周率各个时期由来的认识，深刻的理解到圆周率的历史价值，包括通过π找出各种表达式，通过π计算圆的面积和周长，一些函数的定义，积分的计算，指数的构成等都要用到π；还介绍了圆周率在测试计算机性能上的应用和圆周率在C语言上的应用，最后还详述了圆周率的历史作用。
1 圆周率的由来很早以前,人们看出,圆的周长和直经的比是个与圆的大小无关的常数,并称之为圆周率.1600年,英国威廉.奥托兰特首先使用π表示圆周率,因为π是希腊之“圆周”的第一个字母,而δ是“直径”的第一个字母,当δ=1时,圆周率为π.1706年英国的琼斯首先使用π.1737年欧拉在其著作中使用π.后来被数学家广泛接受,一直没用至今.π是一个非常重要的常数.一位德国数学家评论道：“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度,可以做为衡量这个这家当时数学发展水平的重要标志.”古今中外很多数学家都孜孜不倦地寻求过π值（如图1所示）的计算方法.图11.1 古希腊求值公元前200年间古希腊数学家阿基米德首先从理论上给出π值的正确求法.他用圆外切与内接多边形的周长从大、小两个方向上同时逐步逼近圆的周长,巧妙地求得π．公元前150年左右,另一位古希腊数学家托勒密用弦表法(以1 的圆心角所对弦长乘以360再除以圆的直径)给出了π的近似值3.1416.1.2 古中国求π值公元200年间,我国数学家刘徽提供了求圆周率的科学方法----割圆术]1[（如图2所示）,体现了极限观点.刘徽与阿基米德的方法有所不同,他只取“内接”不取“外切”.利用圆面积不等式推出结果,起到了事半功倍的效果.而后,祖冲之在圆周率的计算上取得了世界领先地位,求得“约率”和“密率”(又称祖率)得到3.1415926<π<3.1415927.可惜,祖冲之的计算方法后来失传了.人们推测他用了刘徽的割圆术,但究竟用什么方法,还是一个谜.正六边形 正十二边形 正二十四边形 正四十八边形 图2 1.3 伊斯兰求π值15世纪,伊斯兰的数学家阿尔.卡西通过分别计算圆内接和外接正3 2 边形周长,把π值推到小数点后16位,打破了祖冲之保持了上千年的记录.1.4 现代求π值本世纪50年代以后,圆周率π的计算开始借助于电子计算机,从而出现了新的突破.目前有人宣称已经把π计算到了亿位甚至十亿位以上的有效数字.人们试图从统计上获悉π的各位数字是否有某种规律.竞争还在继续,正如有人所说,数学家探索中的进程也像π这个数一样:永不循环,无止无休……2 圆周率的应用2.1 用圆周率来测试计算机性能它现在可以被人们用来测试或检验超级计算机的各项性能，特别是运算速度与计算过程的稳定性．这对计算机本身的改进至关重要．就在几年前，当Intel 公司推出奔腾(Pentium)时，发现它有一点小问题，这问题正是通过运行π的计算而找到的．这正是超高精度的π计算直到今天仍然有重要意义的原因之一． 2.2 圆周率在C 语言中的应用2.2.1 简单技术公式计算圆周率—掌握C 语言的循环]2[C 语言课程盗了循环章节，它的魅力就逐渐显现了出来，许多小程序和算法都可以让学生去尝试时限．而我们在高等数学泰勒公式章节学习的圆周率公式这个时候就派上了用场．中学时我们就已经知道：14tan =π，从而4arctan1=π，如果我们应用泰勒公式将arctan展开，就可以得到{().#main h stdio include ><;1,1int ==s i double ;0=d )30000(<=i while{);1*2)(/(1*-=+i double s d ;1*-=s ;++i});*4,"\%("int d n If pi f pr =><><><h math include h stdlib include h stdio include .#.#.# void ()main{double i ;int ;,,,n k j l ;0=n);30000;0(++<=i i i for{;0.32767/()rand j = ;0.32767/()rand k = );**(k k j j sqrt l += ;)1(++<=n l if});/*4,"\%("int i n n If pi f pr =}运行结果：π=3.126167由于没初始化随机种子，所以该寒暑在执行过程中并不具有“随机性”，由于在TC 和在VC++6.0中初始化随机种子的函数并不相同，本程序为保持兼容性，未加入那些内容． 2.2.3 “外星人计算π的程序？”—C 语言阅读理解在网上流传很久的“精简”代码，如果你进入谷歌的主页，并且搜索“外星人计算π的程序”这个词汇，很容易看到这样一个程序：d%ae d/a),e ,4d"printf("%.14,c-2;*c g 0),d for(;a/5;])f[b c;-b for(; ){ Main(g;f[2801],e,d,2800,c b,10000,a Int stdio.h"include"#=+====++==}0;return b;d*-b;- -,-g d/-g,-d%f[b]a,*[b]) f d c;For(b ====+=该程序当然违背了C 语言的代码规范，不过如果你运行它，你会惊奇的发现它得到了圆周率小数点后面800位数字．这段代码来自“国际C 语言混乱代码大赛”（The International Obfuscated C Code Contest ）． 3 圆周率的历史作用 3.1 通过π找出各种表达式1579年法国韦达发现了关系式，首次摆脱了几何学的陈旧方法，寻求到了π的解析表达式．1650年瓦里斯把π表示成无穷乘积，无穷连分数，无穷级数等各种值表达式纷纷出现，值计算精度也迅速增加．稍后，莱布尼茨发现接着欧拉证明了这些公式的计算量都很大．尽管形式非常简单，π值的计算方法的最大突破是找到了它的反正切函数表达式．1706年英国数学家麦欣首先发现了其计算速度远远超过方典算法． 3.2 通过π计算圆的面积和周长某个古代文牍员以不同长度的半径画了一些圆，他取了每个圆的直径（将半径加倍）只是为了好玩．他决定以每个圆的直径为单位长度在圆周上丈量．令人惊奇的是，不管圆的大小如何，圆周总是直径的3倍多一点．由于π与圆的特殊关系，故数学家设计用来计算出圆的面积和周长的新方法．例 已知一个圆形花坛的直径是4米，沿它的外侧铺一条1米宽的小路，求这条小路的面积。
漫谈圆周率π值的计算论文
南京师范大学泰州学院毕业论文（设计）（一三届）题目：漫谈圆周率π值的计算院（系、部）：数学科学与应用学院专业：数学与应用数学姓名：学号指导教师：南京师范大学泰州学院教务处制摘要：圆周率π在数学中是一个非常重要的常数，受到广泛关注。
古今中外一代代的数学家为计算π献出了自己的智慧和劳动，人类对π值的认识过程，反映了数学和计算技术发展情形的一个侧面。
本文首先研究圆周率计算的发展历程，然后给出了利用计算机求解圆周率的三种算法的基本原理。
借助Mathematica软件编程给出了每一种算法的计算结果和误差分析，利用Matlab软件对所得数据进行了分析和比较，对三种算法的优缺点进行了讨论，最后阐述了从计算圆周率的过程中得到的启示。
关键词：圆周率；计算；近似值；数学实验Abstract:πis one of the most important constant in mathematics. It has been intensively studied recently. In this paper, we first discuss the development process of the calculating of π,and then we give the basic principles of three algorithms to calculate πby computer. Using Mathematica and Matlab, we give the results of the three algorithms and discuss the advantages and disadvantages. Finally, we get some inspiration from the above research.Keywords:π；calculation；approximation；mathematical experiment1 绪论 (3)1.1研究意义 (3)1.2国内外研究现状 (4)1.3本文的研究方法和主要解决问题 (4)2 圆周率简介和圆周率计算的四个时期 (5)2.1圆周率的简史及其重要性 (5)2.2圆周率计算的四个时期 (6)2.2.1无算法记录时期 (6)2.2.2几何推算时期 (7)2.2.3解析计算时期 (9)2.2.4计算机运算时期 (10)3借助计算机求解圆周率的方法 (12)3.1数值积分法 (12)3.1.1 算法原理 (12)3.1.2 计算结果及误差分析 (14)3.2泰勒级数法 (17)3.2.1 算法原理 (17)3.2.2 计算结果及误差分析 (18)3.3蒙特卡洛法 (21)3.3.1正方形内投点法 (21)3.3.2蒲丰投针法 (25)3.3.3 随机整数互素法 (27)4从圆周率计算中得到的启示 (30)谢辞 (31)参考文献 (32)附录 (33)我们知道，平面上圆的周长与直径之比是一个常数，称为圆周率，记作π。
Pi值的计算(mathematica数学实验报告)
arctan x x x3 x5 (1)k1 x 2k1
35
2k 1
来计算 。 从反正切函数的泰勒级数，进行如下编程来计算 ，实验运行如下：
从实验过程可以看出，这种方法花费的时间很长。原因是当 x=1 时得到的 arctan1的
展开式收敛太慢。要使泰勒级数收敛得快，容易想到，应当使 x 的绝对值小于 1，最好
实验基本理论和方法：
1、Mathematica中常用绘图函数Plot在绘制高次函数时的方法；
2、计算圆周率 的数值积分法、泰勒级数法、蒙特卡罗法，并且利用特定的公式来
计算圆周率 。
实验内容和步骤：
（1）数值积分法计算
半径为 1 的圆称为单位圆，它的面积等于 。只要计算出单位圆的面积，就算出了 。 在坐标轴上画出以圆点为圆心，以 1 为半径的单位圆（如下图），则这个单位圆在第一 象限的部分是一个扇形，而且面积是单位圆的 1/4，于是，我们只要算出此扇形的面积， 便可以计算出 。
0
4
利用 Mathematics 编程计算上式，过程如下：
从而得到 的近似值为 3.14159265358979323846264338328，可以看出，用这种方法 计算所得到的 值是相当精确的。n 越大，计算出来的扇形面积的近似值就越接近 的 准确值。
（2）泰勒级数法计算 利用反正切函数的泰勒级数
只要计算出单位圆的面积就算出了为半径的单位圆如下图则这个单位圆在第一象限的部分是一个扇形而且面积是单位圆的14于是我们只要算出此扇形的面积便可以计算出在计算扇形面积时很容易想到使用数学分析中积分的方法第一象限中的扇形由曲线及两条坐标轴围成实际操作中我们不能准确地计算它的面积于是就通过分割的方法将其划分为许多小的梯形通过利用梯形的面积近似于扇形面积来计算利用mathematics编程计算上式过程如下
圆周率论文定稿
摘要圆周率π的计算历史源远流长，曾经一度以π计算的精确性作为衡量一个国家数学发展程度的标准.我国古代数学最辉煌的成就之一就是祖冲之对π的计算.可是，我们对于π的认识依然局限于其是一个介于3.1415926和3.1415927之间的超越数，并没有借助现代数学工具亲自算过. 本学位论文在熟悉π的计算历史的基础上，总结已有π的计算方法，重点分析Machin算法，给出两种不同思想的程序设计，使得圆周率的计算精度达到了14400位.关键词:圆周率，计算，程序，算法ABSTRACTThe computation about the ratio of the circumference has a well-established history, once a time we considered the computational precise of πas the standard of the development degree of a national mathematics. In ancient times, the most magnificent achievements of our country in mathematical area was the computation of πby zu chong zhi. But, we have not being calculated πby means of modern mathematical instruments, only consider that it is a transcendental number situated between 3.1415926 and 3.1415927.In the thesis, based on the history of computation of π, the methods of computation of πare summarized in detail, Machin algorithm is analyzed, and two kinds of algorithm programs are given, which results that the precision of πgets to fourteen thousand and four hundred.KEY WORDS: ratio of the circumference, computation, program, algorithm目录引言 0第一章圆周率的产生 (1)1.1圆周率的最早产生 (1)1.2圆周率的符号表示 (1)1.3圆周率的性质 (2)第二章圆周率计算的四个发展阶段 (3)2.1 经验获得时期 (3)2.2 几何推算时期 (4)2.3 解析计算时期 (6)2.4 计算机运算时期 (7)第三章圆周率的计算公式 (8)3.1 圆周率的计算公式 (8)3.2对圆周率计算公式的分析 (11)3.3 Machin计算展开式的推导分析（计算机） (13)3.3.1 Machin计算式的推导 (13)3.3.2 Machin公式计算圆周率的误差及算法速度分析 (16)第四章圆周率的计算的算法思想与程序 (18)4.1算法（1） (18)4.1.1 对Machin公式的算法分析 (18)4.1.2算法基本思想 (19)4.2 算法（2） (20)4.2.1算法的基本思想 (20)4.2.2算法流程图(见下页) (20)4.2.3误差分析 (20)4.3 Machin两种算法的比较 (22)结语 (23)致谢 (24)附件1切割法与随机数法对比源程序 (25)附件2 圆周率计算程序1 (27)附件3 圆周率计算程序2 (29)附件4圆周率计算程序的结果 (34)备注知识 (40)参考文献 (41)引言圆周率是一个极其驰名的数.从有文字记载的历史开始，这个数就引起了许多人的兴趣.作为一个非常重要的常数，圆周率最早是出于解决有关圆的计算问题.仅凭这一点，求出它的尽量准确的近似值，就是一个极其迫切的问题了.事实也是如此，几千年来作为数学家们的奋斗目标，古今中外，许多人致力于圆周率的研究与计算.为了计算出圆周率的越来越好的近似值，一代代的数学家为这个神秘的数贡献了无数的时间与心血.十九世纪前，圆周率的计算进展相当缓慢.而此时我国古代数学在这方面取得了令世人瞩目的成绩.我国古代最初把圆周率取作3，这虽应用起来简便，但太不准确.在求准确圆周率值的征途中，首先迈出关键一步的是刘徽.他创立割圆术，用圆内接正多边形无限逼近圆而求取圆周率值.用这种方法他求得圆周率的近似值为3.14，也有人认为他得到了更好的结果：3.1416.青出于蓝，而胜于蓝.后继者祖冲之利用割圆术得出了正确的小数点后七位.而且他还给出了约率与密率,密率的发现是数学史上卓越的成就，保持了一千多年的世界纪录，是一项空前杰作.历史上最马拉松式的计算，其一是德国的Ludolph Van ceulen，他几乎耗尽了一生的时间，计算到圆的内接正262边形，于1609年得到了圆周率的35位精度值，以至于圆周率在德国被称为Ludolph数；其二是英国的Willian Shanks，他耗费了15年的光阴，在1874年算出了圆周率的小数点后707位.可惜，后人发现，他从第528位开始就算错了.以前的人计算圆周率，是要探究圆周率是否循环小数.自从1761年Lanmber证明了圆周率是无理.十九世纪后，计算圆周率的世界纪录频频创新.整个十九世纪，可以说是圆周率的手工计算量最大的世纪.1882年Lindeman证明了圆周率是超越数后，圆周率的神秘面纱就被揭开了.进入二十世纪，随着计算机的发明，圆周率的计算有了突飞猛进.借助于超级计算机，人们已经将圆周率达到2061亿位精度.现在的人计算圆周率, 多数是为了验证计算机的计算能力，还有就是为了兴趣.本篇论文重点介绍了两种算法思想一种是采用“手除补零”的算法，而另一种是通过子程序将计算中涉及到的所有运算精度都达到万位，同样通过对两种算法的比较，可以体会到一般性与特殊性的区别和联系，深层次的理解计算机运行时计算精度与计算实现速度的差别产生原因.第一章 圆周率的产生1.1圆周率的最早产生圆周率（现在用希腊字母π表示）是一个非常独特的数，他是一个“存在于”自然界之中（因而在某种程度上可以说是“客观存在”）的无理数，其它的无理数都是人为的创造出来的，由于这一点，人们很早就开始了认识圆周率的过程，而认识其他的无理数尤其是超越数则是相当晚近的事了（注：超越数见论文备注）.圆周率这一字眼最早见于文字记载的有基督教《圣经》中的章节，其上取圆周率为3.这一段描述的事大约发生在公元前950年前后.其他如巴比伦、印度、中国等也长期使用3这个粗略而简单实用的数值,在我国数学家刘徽之前“圆径一而周三”曾广泛流传.我国第一部《周髀算经》中，就记载有圆“周三径一”这一结论.东汉时期官方还明文规定圆周率取3为计算面积的标准.后人称之为“古率”.而作为最早计算圆周率的人则是在公元前3世纪那位古希腊著名的伟大的数学家、物理学家Ardhimedes .他通过正多边形内接于圆，将其边数逐渐的增加来计算圆周的方法求得了圆周率的近似值71371103+<<+π，14163.367441211875≈≈π]2[. 1.2圆周率的符号表示沙夫（William Schaaf L .）在《π的历史和本质》中也说：“在所有的数学符号中，最神秘、浪漫，被人误解的最深，却最吸引人的符号也就是π了”下面让我们了解下圆周率符号的变化发展]2[. 首先，英国的数学家奥特雷德（1573或1600~1574）用π作周长、δ作为直径的符号，从而圆周率用δπ的值来表示，这是圆周率有史以来的第一个符号.在此后的一段时间里也出现了一些表示法，例如达维德.格雷戈采用了ρπ，其中ρ表示的是半径，这种与奥特雷德大同小异.此后，英国的数学家、作家威廉·琼斯（1745~1675）第一次令1=ρ，从而得到了圆周率用π来表示.从此π来表示圆周率得到了世界的广泛认可.虽然古今中外有许多标新立异的符号像r c ，口，g,c,,p,周等，但是随着π 的广泛使用，那些稀奇古怪的符号随着时间的流逝消失在历史的舞台.1.3圆周率的性质圆周率到底是一个什么样的数？它是整数还是分数？是常数还是一个变量？是有理数还是无理数等等.其实人们对圆周率的认识经历了四个阶段：人文初始之后，无理数，超越数，寻找新规律.在很早人们意识到了圆周率是一个常数但是它的准确值无人知晓.而到了约公元前5世纪古希腊毕达哥拉斯学派中的西帕索斯发现的由于无理数的特征是“无限不循环”，而苏格兰数学家詹姆斯格·雷戈第一个证明了π是无理数的人，不过不太严密.此外，还有许多的数学家继续用级数、无限连分数计算平方根等等，进行了证明，但是都没有得到完美的答案.人们德出了圆周率可能不是有理系数方根的猜测，这也是对π是超越数最早的猜测.1873年法国的数学家艾尔米特（19011822）证明了e是~超越数引起了人们的推测：π是否为超越数，而后德国的数学家林德曼借助于欧拉的e iπ证明了π是超越数]2[.公式01=+第二章圆周率计算的四个发展阶段人类是在什么时候首先发现了圆的周长是其直径三倍多的事实现在已经很难追溯了,从那个难以确定的时间以来,人们一直在努力地回答圆的周长究竟是其直径的三倍多多少的问题.古往今来,从没有哪一个数学常数能像圆周率那样吸引众多的学者.圆周率在各个时期的文明中都像一颗闪耀的明珠,它往往能够在一定程度上折射出该文明数学发展的水平.下面就介绍π计算的四个时期.2.1 经验获得时期该阶段的特点是,π的获得并没有理论上的根据,而是从实际经验中得到的, 一般说来,精确度是不高的.古埃及和巴比仑的π属于经验获得阶段.在古埃及所留下的两批草纸之一的莱登草纸上有一个例子“有一块9凯特(即直径为9)的圆形土地,其面积多大? 今取其直径的九分之一,即1,则余8,作乘以8,得64,这个大小就是面积.”由此可见,他们认为圆的面积等于一个边长为此圆直径的九之八的正方形面积,通过简单的推算,就可得圆周长与其直径之比是81256 ,大约是1605.3.在古巴比仑,他们把圆的面积取为圆周平方的十二分之一,由此似乎可以看出,他们认为圆周是直25即径的三倍,即π取3.但在给出正六边形及外接圆周长之比时,实际上又用了8 .3作为π的值.以上的时间大约是公元前2000年左右.在希腊,公元五世纪以后, 125希腊人为解决“化圆为方”问题,对计算圆周率很大的努力,其中数学家Hippocrate,Anaxagoras,Antiphon,Eudoxus等人,他们的工作为Ardhimedes的进一步的研究开辟了道路,在Ardhimedes之前,希腊人的圆周率仍然是经验性的.这里我们顺便提一下罗马,公元前416年,罗马取代希腊成为地中海一带的统治者.罗马人的数学是不值一提的.Viruvius Pollio是罗马著名的建筑师,他应该熟知Ardhimedes的工作,可π,其误差比22大了十几倍,显然罗马的圆周率是经验性的.而在他却使用125.3=东方又是什么情况呢？在中国,成书大约在一世纪的《周髀算经》上记述了周公和商高的问答,在商高曰“数之法出于圆方”下,有赵爽(公元220年) 注(“周三而径一”).π,而在西汉缉为定本的中国古典数学名著《九章算术》中东汉科学家张衡提出10=仍沿用周三径一之说,其精度比不上古埃及和巴比仑,这种状况一直延续到公元三世纪的魏晋时期,因为数学家刘徽的出现而得以改变.在古印度,宗教活动中的庙宇和祭坛等的建筑设计,需要用到数学知识,在梵文经典《测绳的法规》中对此作了总结,所包含的内容可以上溯到公元前五世纪或更早的年代,其中使用π的值往往用复杂的式子表示如:...0044.3)1251(42=-=π， )1.2( ...0883.3)]12(311[42=-+=π. )2.2(显然,这些近似值比3强不了多少,并且也都是经验性.印度这种使用经验性π值的年代一直延续到公元六世纪数学家阿耶波多.2.2 几何推算时期从几何上推算出圆周率近似值的应该首推古希腊的Ardhimedes (BC 212~287) ,他得到的圆周率是大于71233而小于722,他是用96边的圆内接正多边形和圆外切正多边形来进行推算的.下面简单地介绍Ardhimedes 的推算过程半径为1的圆,分别是内截和外切正123-⨯n 边形,设它们周长的一半分别为n a 和n b ,上图是当n 2=时的情形.当n 递增时可以得到递增的数列,...,,...,21n a a a 和递减的数列,...,,...,,21n b b b 此二数列有相同的极限π,显然有:n a =)tan(K K π，)sin(K K b n π= 和)2tan(21K K a n π=+，)2sin(2K K b n π= 这里123-⨯=n K ,由上面的式子可以推导出公式:12)11(+=+n n n a b a , )3.2(211)(++=n n n b b a , )4.2(由)3.2(得到2a ,再由)4.2(得到2b ,又通过)3.2(得到3a ,通过)4.2(得到3b ,如此一直得到6a 和6b .而66b a <<π.需要说明的是, Ardhimedes 并不是用我们这里的代数和三角符号而是用纯几何的方法推导的,并且也没有使用我们现在使用的小数表示(小数的正式使用是在十六、十七世纪的事) ,所以他从1a ,1b 出发推导出6a ,6b 是极为繁琐的,计算量是惊人的.在公元前150年左右, 希腊的天文学家Ptolemy 制作了一份弦表,以半径的601作为长度单位,每一单位分为60分,每一分又分为60秒.他算出了圆心角1度所对弦长为1单位2分50秒,于是圆内接360边形的周长与直径之比是(1360⨯单位2分50秒)/120单位,即：1416.3120377603060832==++=π. )5.2( 该值是自Ardhimedes 以来的巨大进步.下面介绍古印度在这方面的研究.印度在公元1000500--年间,出现了四、五个有名的数学家,印度数学由此而出现了繁荣的景象.对圆周率得出最好近似值的是阿耶波多,他所得到的近似值是146.3,但直到十二世纪前后印度数学家始终没有使用过该值.在《阿耶波多书》里这样说的：100加4,乘以8,再加62000,结果是直径为20000的圆周的近似值,这就导致了圆周率为1416.3,由于书中没有一处地方提示过证明的方法,所以我们无从得知他是如何得出该结果的,但从其准确性上看,他应该是通过推算得出的.出生于1119年的巴士卡拉给圆周率提出了两个值,“当圆的直径乘以3927再除以1250时,商就接近于圆周,要么乘以22再除以7,便是大致的圆周了.”因此,我们自然会认为巴士卡拉能够推算出圆周率的值是:1429.3722125039271416.3≈<<=π, )6.2( 下面看中国,刘徽是三世纪中国著名的数学家,他是用割圆术来求圆周率的。
关于圆周率π在计算中的取值研究报告
关于圆周率π在计算中的取值研究报告摘要：本研究报告旨在探讨圆周率π在计算中的取值问题。
通过收集和整理相关文献、计算方法和实验数据，分析圆周率π的理论和实践取值，并讨论对计算领域的影响。
研究结果表明，圆周率π的取值与计算方法、精度、算法等因素密切相关，不同取值方法在不同场景下可能具有不同的优势和适用性。
1.引言圆周率π是数学中一个重要的无理数，代表了圆的周长与直径之比。
它出现在许多自然科学和工程领域中，具有极高的知名度和重要性。
然而，由于π是无理数，无法用有限的小数表示，因此在计算中需要采用近似值。
2.圆周率π的理论取值在历史上，人们一直试图寻找更精确的π的近似值。
古代的埃及人和巴比伦人使用简单的近似方法，如通过正方形或多边形的周长与直径之比来计算π。
随着数学的发展和计算技术的进步，越来越多的方法和算法被提出，以便更准确地计算π的值。
3.圆周率π的实践取值在实际应用中，π的取值对于计算结果的准确性和稳定性有着重要影响。
许多计算机软件和硬件都内置了π的近似值，以提高计算效率。
然而，不同的软件和硬件可能采用不同的近似方法和精度，因此在计算结果中可能存在差异。
4.影响圆周率π取值的因素π的取值受到多种因素的影响，主要包括计算方法、精度、算法和数据处理等。
不同的取值方法在不同的计算场景下可能具有不同的优势和适用性。
例如，对于科学计算和工程设计，需要更高的π近似值精度；而对于一般计算和应用程序，较低的精度可能已经足够。
5.π的应用领域π在科学和工程领域有着广泛应用。
例如，在物理学中，π出现在牛顿力学、电磁学和量子力学等方面；在工程领域，π用于计算结构力学、流体力学和信号处理等。
因此，准确的π取值对于这些领域的研究和应用至关重要。
6.结论通过深入研究和分析，本报告总结了圆周率π在计算中的取值问题。
不同取值方法在不同场景下可能具有不同的优势和适用性。
随着计算技术的不断发展，人们对π近似值的计算和应用也将不断完善和提高。
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古人计算圆周率，一般是用割圆法。
即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。
Archimedes用正96边形得到圆周率小数点后3位的精度；刘徽用正3072边形得到5位精度；Ludolph Van Ceulen用正262边形得到了35位精度。
这种基于几何的算法计算量大，速度慢，吃力不讨好。
随着数学的发展，数学家们在进行数学研究时有意无意地发现了许多计算圆周率的公式。
下面挑选一些经典的常用公式加以介绍。
除了这些经典公式外，还有很多其它公式和由这些经典公式衍生出来的公式，就不一一列举了。
1、 Machin公式[这个公式由英国天文学教授John Machin于1706年发现。
他利用这个公式计算到了100位的圆周率。
Machin公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精度。
因为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数，所以可以很容易地在计算机上编程实现。
Machin.c 源程序还有很多类似于Machin公式的反正切公式。
在所有这些公式中，Machin公式似乎是最快的了。
虽然如此，如果要计算更多的位数，比如几千万位，Machin公式就力不从心了。
下面介绍的算法，在PC机上计算大约一天时间，就可以得到圆周率的过亿位的精度。
这些算法用程序实现起来比较复杂。
因为计算过程中涉及两个大数的乘除运算，要用FFT(Fast Fourier Transform)算法。
FFT可以将两个大数的乘除运算时间由O(n2)缩短为O(nlog(n))。
2、 Ramanujan公式1914年，印度数学家Srinivasa Ramanujan在他的论文里发表了一系列共14条圆周率的计算公式，这是其中之一。
这个公式每计算一项可以得到8位的十进制精度。
1985年Gosper用这个公式计算到了圆周率的17,500,000位。
1989年，David & Gregory Chudnovsky兄弟将Ramanujan公式改良成为：这个公式被称为Chudnovsky公式，每计算一项可以得到15位的十进制精度。
1994年Chudnovsky兄弟利用这个公式计算到了4,044,000,000位。
Chudnovsky公式的另一个更方便于计算机编程的形式是：3、AGM(Arithmetic-Geometric Mean)算法Gauss-Legendre公式：这个公式每迭代一次将得到双倍的十进制精度，比如要计算100万位，迭代20次就够了。
1999年9月Takahashi和Kanada用这个算法计算到了圆周率的206,158,430,000位，创出新的世界纪录。
4、Borwein四次迭代式：这个公式由Jonathan Borwein和Peter Borwein于1985年发表，它四次收敛于圆周率。
这个公式简称BBP公式，由David Bailey, Peter Borwein和Simon Plouffe于1995年共同发表。
它打破了传统的圆周率的算法，可以计算圆周率的任意第n位，而不用计算前面的n-1位。
这为圆周率的分布式计算提供了可行性。
1997年，Fabrice Bellard找到了一个比BBP快40％的公式：【与π有关的等式】(π^2)/6 = 1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ······ + 1/n^2 + ······e^(πi) + 1 = 0e^(-x^2) 在-∞到+∞上的积分是√πsinx/x 在0到∞上的积分是π/2[瓦里斯公式] π/2 = lim (n→∞) [ (2n)!! / (2n-1)!! ]^2 / (2n+1)古人计算圆周率π，一般是用割圆法。
即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。
阿基米德(Archimedes)用正96边形得到圆周率小数点后3位的精度；刘徽用正3072边形得到5位精度；Ludolph Van Ceulen用正262边形得到了35位精度。
这种基于几何的算法计算量大，速度慢。
随着数学的发展，数学家们在进行数学研究时有意无意地发现了许多计算圆周率的公式。
下面介绍一些经典的公式。
Machin公式这个公式由英国天文学教授John Machin于1706年发现。
他利用这个公式计算到了100位的圆周率。
Machin公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精度。
因为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数，所以很容易在计算机上编程实现。
还有很多类似于Machin公式的反正切公式。
在所有这些公式中，Machin公式似乎是最快的了。
虽然如此，如果要计算更多的位数，比如几千万位，Machin 公式就力不从心了。
下面介绍的算法，在PC机上计算大约一天时间，就可以得到圆周率的过亿位的精度。
这些算法用程序实现起来比较复杂。
因为计算过程中涉及两个大数的乘除运算，要用快速傅利叶变换（FFT，Fast Fourier Transform）算法。
FFT可以将两个大数的乘除运算时间由O(n2)缩短为O(nlog(n))。
拉马努安(Ramanujan)公式1914年，印度数学家Srinivasa Ramanujan在他的论文里发表了一系列共14条圆周率的计算公式，这是其中之一。
这个公式每计算一项可以得到8位的十进制精度。
1985年Gosper用这个公式计算到了圆周率的17,500,000位。
1989年，David & Gregory Chudnovsky兄弟将Ramanujan公式改良成为：这个公式被称为Chudnovsky公式，每计算一项可以得到15位的十进制精度。
1994年Chudnovsky兄弟利用这个公式计算到了4,044,000,000位。
Chudnovsky 公式的另一个更方便于计算机编程的形式是：AGM(Arithmetic-Geometric Mean)算法高斯-勒让德（Gauss-Legendre）公式：初值：重复计算：最后计算：这个公式每迭代一次将得到双倍的十进制精度，比如要计算100万位，迭代20次就够了。
1999年9月Takahashi和Kanada用这个算法计算到了圆周率的206,158,430,000位，创出新的世界纪录。
Borwein四次迭代式：初值：重复计算：最后计算：这个公式由Jonathan Borwein和Peter Borwein于1985年发表，它四次收敛于圆周率。
Bailey-Borwein-Plouffe算法这个公式简称BBP公式，由David Bailey, Peter Borwein和Simon Plouffe 于1995年共同发表。
它打破了传统的圆周率的算法，可以计算圆周率的任意第n位，而不用计算前面的n-1位。
这为圆周率的分布式计算提供了可行性。
1997年，Fabrice Bellard找到了一个比BBP快40％的公式：圆周率π小数点后1000位：π=3.圆周率，一般以π来表示，是一个在数学及物理学普遍存在的数学常数。
它定义为圆形之周长与直径之比。
它也等于圆形之面积与半径平方之比。
是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。
在分析学上，π可以严格地定义为满足sin(x) = 0的最小正实数x，这里的sin是正弦函数（采用分析学的定义）。
[编辑本段]【圆周率的历史】π=Pài(π=Pi)古希腊欧几里德《几何原本》（约公元前3世纪初）中提到圆周率是常数，中国古算书《周髀算经》（约公元前2世纪）中有“径一而周三”的记载，也认为圆周率是常数。
历史上曾采用过圆周率的多种近似值，早期大都是通过实验而得到的结果，如古埃及纸草书（约公元前1700）中取pi=（4/3）^4≒3.1604 。
第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他在《圆的度量》（公元前3世纪）中用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，从正六边形开始，逐次加倍计算到正96边形，得到(3+(10/71))<π<(3+(1/7)) ，开创了圆周率计算的几何方法（亦称古典方法，或阿基米德方法），得出精确到小数点后两位的π值。
中国数学家刘徽在注释《九章算术》（263年）时只用圆内接正多边形就求得π的近似值，也得出精确到两位小数的π值，他的方法被后人称为割圆术。
他用割圆术一直算到圆内接正192边形。
南北朝时代数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的π值（约5世纪下半叶），给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，还得到两个近似分数值，密率355/113和约率22／7。
其中的密率在西方直到1573才由德国人奥托得到，1625年发表于荷兰工程师安托尼斯的著作中，欧洲称之为安托尼斯率。
阿拉伯数学家卡西在15世纪初求得圆周率17位精确小数值，打破祖冲之保持近千年的纪录。
德国数学家柯伦于1596年将π值算到20位小数值，后投入毕生精力，于1610年算到小数后35位数，该数值被用他的名字称为鲁道夫数。
无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值表达式纷纷出现，π值计算精度也迅速增加。
1706年英国数学家梅钦计算π值突破100位小数大关。
1873 年另一位英国数学家尚可斯将π值计算到小数点后707位，可惜他的结果从528位起是错的。
到1948年英国的弗格森和美国的伦奇共同发表了π的808位小数值，成为人工计算圆周率值的最高纪录。
电子计算机的出现使π值计算有了突飞猛进的发展。
1949年美国马里兰州阿伯丁的军队弹道研究实验室首次用计算机（ENIAC）计算π值，一下子就算到2037位小数，突破了千位数。
1989年美国哥伦比亚大学研究人员用克雷－2型和IBM－VF型巨型电子计算机计算出π值小数点后4.8亿位数，后又继续算到小数点后10.1亿位数，创下最新的纪录。
至今，最新纪录是小数点后25769.8037亿位。
[编辑本段]【圆周率的计算】余古今中外，许多人致力于圆周率的研究与计算。
为了计算出圆周率的越来越好的近似值，一代代的数学家为这个神秘的数贡献了无数的时间与心血。
十九世纪前，圆周率的计算进展相当缓慢，十九世纪后，计算圆周率的世界纪录频频创新。
整个十九世纪，可以说是圆周率的手工计算量最大的世纪。
进入二十世纪，随着计算机的发明，圆周率的计算有了突飞猛进。
借助于超级计算机，人们已经得到了圆周率的2061亿位精度。
历史上最马拉松式的计算，其一是德国的Ludolph Van Ceulen，他几乎耗尽了一生的时间，计算到圆的内接正262边形，于1609年得到了圆周率的35位精度值，以至于圆周率在德国被称为Ludolph数；其二是英国的威廉·山克斯，他耗费了15年的光阴，在1874年算出了圆周率的小数点后707位，并将其刻在了墓碑上作为一生的荣誉。