《离散数学》考试试卷(试卷库14卷)及答案

第 1 页/共 4 页
《离散数学》考试试卷（试卷库14卷）
试题总分： 100 分 考试时限：120 分钟
一、选择题（每题2分，共20分）
1. 下述命题公式中，是重言式的为( )
（A ）)()(q p q p ∨→∧ （B ）q p ∨))()((p q q p →∨→⇔
（C ）q q p ∧→⌝)(
（D ）q q p →⌝∧)(
2. 对任意集合A,B,C,下列结论正确的是（ ）
（A ）若A ⊆B,B ∈C,则A ⊆C ； （B ）若A ∈B,B
⊆C,则A ⊆C ； （C ）若A ⊆B,B ∈C,则A ∈C ； （D ）若A ∈B,B ⊆C,则A ∈C ； 3. 设} 3 ,2 ,1 {=S ，定义S S ⨯上的等价关系,
,则由R 产生的
S S ⨯上一个划分共有( )个分块。

（A ）4
（B ）5
（C ）6
（D ）9
4. 下列偏序集( )能构成格
5. 连通图G 是一棵树当且仅当G 中( )
（A ）有些边是割边 （B ）每条边都是割边
（C ）所有边都不是割边 （D ）图中存在一条欧拉路径
6. 有n 个结点)3(≥n ，m 条边的连通简单图是平面图的必要条件( )
（A ） 63-≤n m
（B ）63-≤m n （C ）63-≥n m （D ） 63-≥m n
7. 设P,Q 的真值为0,R,S 的真值为1,则下面命题公式中真值为1的是（ ）
（A ）R →P （B ）Q ∧S （C ）P S （D ）Q ∨R 8. 在图G=<V,E>中,结点总度数与边数的关系是（ ）
（A ）deg()2||i v E =
（B ）deg()||i v E =
（C ）
deg()2||i
v V
v E ∈=∑
（D ）
deg()||i
v V
v E ∈=∑
9. 设有33盏灯,拟公用一个电源,则至少需有五插头的接线板数（ ）
（A ）７ （B ）８ （C ）９ （D ）１４ 10. 设集合A 上有四个元素,则A 上的不同的等价关系的个数为（ ）
（A ）11 （B ）14 （C ）17
（D ）15
二、填空题（每题2分，共20分）
1. 设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图为
则R= 。

2. 设},2|{N n x
x A n
∈==，定义A 上的二元运算*为普通乘法、除法和加法，则代数系统<A ，*>中运算*关于 运
算具有封闭性。

3. A ，B ，C 表示三个集合，文氏图中阴影部分的集合表达式为。

4. 矛盾式又叫 式，其定义为 。

5. 的图称为无向图。

6. 设<A, ≤ >是一个偏序集合，在A 的一个子集中，如果 ，则称这个子集为链。

7. 在真值表中，一个公式的真值为Ｆ的指派所对应的大项的合取，即为此公式的 范式。

8. 设R 是非空集合A 上的等价关系，对任意的a ∈A ，定义 为a 关于R 的等价类。

9. 设<G,*>是一个群，A ，B ∈P(G)且A ≠∅，B ≠∅，则A 和B 的积AB= 。

10. 的无向图称为树。

三、判断题（每题1分，共10分）
1. 公式),()(y x yQ x xP ∃→∀的前束范式为)),()((y x Q x P y x →∀∀。

（ ）
2. (A ⊕B)⨯C=(A ⨯C) ⊕(B ⨯C)。

（ ）
3. 不存在既对称又反对称的关系。

（ ）
4. 若无向连通图G 中存在桥，则G 的点连通度和边连通度都是1。

（ ）
5. {{Ø}}⊆{ Ø，{{Ø}}}。

（ ）
6. 任意图结点度数的总和等于边数的两倍。

（ ）
7. 设>∨∧<,,A 是布尔代数，则>∨∧<,,A 一定为有补分配格。

（ ） 8. 群中有零元。

（ ）
9. 质数阶群没有非平凡子群。

（ ）
10. (∀x)A(x)∨(∀x)B(x) ⇐(∀x)(A(x)∨B(x))（ ）
四、解答题（3小题，共20分）
1. （5分）考虑在七天内安排七们功课的考试，使得同一位教师所任的两们课程考试不安排在接连的两天里，试说明如果没有教
师担任多于四门课程，则符合上述要求的考试安排总是可能的。

2.
3. （8分）求公式(Q P) ∧P ∧R 的主析取范式和主合取范式。

4. （7分）已知无向图G 有11条边,2度与3度顶点各2个,其余都是4度顶点,求G 中共有几个顶点，写出过程。

五、证明（5小题，共30分）
1. （10分）用推理P,T 规则证明：P →(Q →R)，R →(Q →S) ⇒ P →(Q →S)。

2. 对于正整数k,N k ＝{0,1,2,…,k-1},设*k 是N k 上的一个二元运算,使得a*k b=a*b(mod k),这里a,b ∈N k 。

当k ＝4时构造出的*k
运算表。

（4分）
3. （6分）设R 为集合A 上的二元关系，如果R 是反自反的和可传递的，则R 一定是反对称的。

4. （4分）设Ａ，Ｂ，Ｃ是三个集合，证明：A －(B ⋃C)＝(A －B)－C 。

5. （6分）设G 是连通简单平面图，结点数为n （3≥n ），边数为m ，面数为r ，则42-≤n r 。

试题参考答案及评分标准
一、选择题（每题2分，共20分） ADBCB ADCBD 二、填空题（每题2分，共20分）
1.{<a,b>,<a,c>,<a,d>,<b,d>,<c,d>}A I
2. 乘法
3. C B A C B ⋂--
4.永假公式 给定一个命题公式，若无论对分量作怎样的指派，其对应的真值永为F ，则称该命题公式为矛盾式。

5. 所有边都是无向边
6. 每两个元素都是有关系的
7. 主合取
8. [a]R = {x ∈A | aRx} 9. {a*b|a ∈A,b ∈B} 10. 连通且无回路
三、判断题（每题1分，共10分）×√×√× √√×√× 四、解答题（3小题，共20分） 1．（5分）设G 为七个结点的图，每一个结点对应一门功课的考试，如果这两个结点对应的课程的考试是由不同教师担任的，那么这两个结点之间有一条边，因为每个教师所任的课程不超过4，故每个结点的度数至少是3，任两个结点度数的和至少是6，故G 总包含一条汉密尔顿路，它对应于一个七门考试课目的一个适当安排。

2．（8分）各4分，步骤对，结果错，适当扣分，如果求出其一个，另一个直接写出，也不扣分。

只有结果，且结果对，给一半分，只有结果，且结果错，不给分。

解：主析取范式:(P ∧Q ∧R)
主合取范式: (P ∨Q ∨R)∧(P ∨┐Q ∨R)∧(P ∨Q ∨┐R)∧(P ∨┐Q ∨┐R) ∧(┐P ∨Q ∨R)∧(┐P ∨Q ∨┐R)∧(┐P ∨┐Q ∨R) 3.（7分）解：设图G 中有4度的顶点的个数为X ，总的顶点的个数为V ，则有V=2+2+X 根据顶点度数之和与边的数目的关系，则有2*2+3*2+4*X=2*11 （5分） 由此式得X=3 （3分）
总的顶点个数V=2+2+3=7 （2分）
五、证明（4小题，共30分）
1. （10分）每步约2分，没有P,T 标识扣3分,没有序号扣3分。

证明过程： （1）P →(Q →R) P （2）R →(Q →S) P （3）(Q →R)→S T(2)E （4）(Q →R)→(Q →S) T(3)E （5）P →(Q →S) T(1)(4)I
证明：设R 不是反对称的，即存在<x,y>∈R ∧<y,x>∈R 时有x ≠y ，则由R 是可传递的得<x,x>,<y,y>∈R,与R 是反自反的矛盾，所以R 不是反对称的不成立，即R 一定是反对称的。

（10分） 4. （4分）证明过程：
A －(
B ⋃C)＝A ⋂~(B ⋃C) = A ⋂(~B ⋂~C)= (A ⋂~B)⋂~
C ＝(A －B)－C （4分）
5. （6分）证明过程：设G 是连通简单平面图，结点数为n （3≥n ），边数为m ，面数为r ，则42-≤n r 。

当n=3,m=2时，r=1, 42-≤n r 成立。

（1分）
当m ≥3时，则每一个面的次数不小于3,由于各面的次数之和为2m,因此 ,32r m ≥（3分）
代入欧拉公式得n+r-m=2，消去m 得42-≤n r （2分）。