【高考领航】2015年高考数学(理科)新一轮总复习考点突破课件：选修4-4参数方程
2015年高考数学(理)一轮总复习课件：选修4-4+第1节+坐标系(共44张PPT)
变式训练 1 求将圆 x2＋y2＝1 按照伸缩变换公式
x′＝3x y′＝5y
变换后所得椭圆的标准方程和焦距．
第十九页，编辑于星期五：十一点 五十七分。
Hale Waihona Puke 【解】 由xy′′＝＝53yx 得 x＝x′3 且 y＝y′5 ， 代入圆 x2＋y2＝1，得 x′9 2＋y2′52＝1，即x92＋2y52 ＝1. ∵a2＝25，b2＝9， ∴c2＝a2－b2＝25－9＝16. ∴c＝4,2c＝8. 即所得椭圆的标准方程为x92＋2y52 ＝1，焦距为 8.
∴x′＝13×3＝1，y′＝－22
＝－1. ∴点 A′的坐标为(1，－1)．
第十六页，编辑于星期五：十一点 五十七分。
(2)设 P′(x′，y′)是直线 l′上任意一点．
由伸缩变换 φ：x2′ y′＝＝3yx，，
得x＝x3′， y＝2y′，
代入 y＝6x，得 2y′＝6·x′ 3 ＝2x′，
∴y′＝x′为所求直线 l′的方程．
【答案】 2 3
第二十二页，编辑于星期五：十一点 五十七分。
(2)在 ρsinθ－π3＝－ 23中，令 θ＝0，得 ρ＝1， 所以圆 C 的圆心坐标为(1,0)．
因为圆 C 经过点 P
2，π4，
第二十三页，编辑于星期五：十一点 五十七分。
所以圆 C 的半径 PC＝ 22＋12－2×1× 2cos π4＝ 1，
第一页，编辑于星期五：十一点 五十七分。
第一节 坐标系 考纲传真 1.理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸 缩变换作用下平面图形的变化情况.2.能在极坐标系中用极 坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表 示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在 极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心 在极点的圆)的方程．通过比较这些图形在极坐标系和平面 直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当 坐标系的意义．
2015年高考数学总复习(人教A版,理科)配套教案：选修4-4 坐标系与参数方程 选修4-4
选修4－4 坐标系与参数方程1．极坐标系(1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，叫做________，从O 点引一条射线Ox ，叫做________，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系．设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的________，记为ρ，以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x ＝______，y ＝________. 另一种关系为ρ2＝________，tan θ＝________. 2．简单曲线的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程θ＝α (ρ∈R )表示过极点且与极轴成α角的直线； ρcos θ＝a 表示过(a,0)且垂直于极轴的直线； ρsin θ＝b 表示过⎝⎛⎭⎫b ，π2且平行于极轴的直线； ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1)表示过(ρ1，θ1)且与极轴成α角的直线方程． (2)圆的极坐标方程ρ＝2r cos θ表示圆心在(r,0)，半径为|r |的圆； ρ＝2r sin θ表示圆心在⎝⎛⎭⎫r ，π2，半径为|r |的圆； ρ＝r 表示圆心在极点，半径为|r |的圆． 3．曲线的参数方程在平面直角坐标系xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变量t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t ).并且对于t 的每一个允许值上式所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则称上式为该曲线的________________，其中变量t 称为________． 4．一些常见曲线的参数方程(1)过点P 0(x 0，y 0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为________________(t 为参数)． (2)圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为________________________(θ为参数)． (3)椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程为________________(θ为参数)．(4)抛物线方程y 2＝2px (p >0)的参数方程为________________(t 为参数)．1．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π4)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．2．极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ能表示的曲线的直角坐标方程为____________________．3．已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t (t 为参数)上，则PF ＝________.4．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t sin 40°，y ＝3＋t cos 40°(t 为参数)的倾斜角为________．5．已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ，y ＝2t 2＋1(t 为参数)．则点M 1(0,1)，M 2(5,4)在曲线C 上的是________．题型一 极坐标与直角坐标的互化例1 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝1，M ，N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标；(2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．思维升华 直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验．在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．题型二 参数方程与普通方程的互化例2 已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，求它们的交点坐标．思维升华 (1)参数方程化为普通方程常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等．对于与角θ有关的参数方程，经常用到的公式有sin 2θ＋cos 2θ＝1,1＋tan 2θ＝1cos 2θ等．(2)在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x ，y 的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 21＋t 2，y ＝4－2t21＋t2(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4cos 2θ，y ＝－1＋sin 2θ(θ为参数)．题型三 极坐标、参数方程的综合应用例3 在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝－3＋32t ，y ＝12t(t 为参数)，M ，N分别为曲线C 、直线l 上的动点，求MN 的最小值．思维升华 涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．转化后可使问题变得更加直观，它体现了化归思想的具体运用．(2013·辽宁)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2 2. (1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．参数的几何意义不明致误典例：(10分)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝22＋32t(t 为参数)，若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－π4)．(1)求直线l 的倾斜角；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求AB .易错分析 不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误． 规范解答解 (1)直线的参数方程可以化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos 60°，y ＝22＋t sin 60°，[2分]根据直线参数方程的意义，直线l 经过点(0，22)， 倾斜角为60°.[4分](2)直线l 的直角坐标方程为y ＝3x ＋22，[6分] ρ＝2cos(θ－π4)的直角坐标方程为(x －22)2＋(y －22)2＝1，[8分]所以圆心(22，22)到直线l 的距离d ＝64. 所以AB ＝102.[10分] 温馨提醒 对于直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)来说，要注意t 是参数，而α则是直线的倾斜角．与此类似，椭圆参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ的参数φ有特别的几何意义，它表示离心角．方法与技巧1．曲线的极坐标方程与直角坐标系的互化思路：对于简单的我们可以直接代入公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以ρ等．2．参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式：cos 2θ＋sin 2θ＝1,1＋tan 2θ＝1cos 2θ.3．利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法． 失误与防范1．极径ρ是一个距离，所以ρ≥0，但有时ρ可以小于零．极角θ规定逆时针方向为正，极坐标与平面直角坐标不同，极坐标与P 点之间不是一一对应的，所以我们又规定ρ≥0,0≤θ<2π，来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点． 2．在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x ，y 的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．A 组 专项基础训练1．(2013·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．2．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α，y ＝cos 2α，α∈[0,2π)，曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝－ 2.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程； (2)曲线C 与曲线D 有无公共点？试说明理由．3．(2013·福建)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A 的极坐标为(2，π4)，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－π4)＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．4．在极坐标系中，P 是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6上的动点，试求PQ 的最大值．5．在极坐标系中，已知三点M ⎝⎛⎭⎫2，－π3、N (2,0)、P ⎝⎛⎭⎫23，π6. (1)将M 、N 、P 三点的极坐标化为直角坐标； (2)判断M 、N 、P 三点是否在一条直线上．6．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝12x ，y ′＝13y后，曲线C ：x 2＋y 2＝36变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标．B 组 专项能力提升1．在极坐标系中，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin(θ－π4)＝22.(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的极坐标．2．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos(θ－π4)＝2.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．3．(2013·课标全国Ⅰ)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．4．(2012·辽宁)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)； (2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．答案要点梳理1．(1)极点 极轴 极径(2)ρcos θ ρsin θ x 2＋y 2 y x3．参数方程 参数4．(1)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α (2)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ (3)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos θy ＝b sin θ (4)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2y ＝2pt 夯基释疑1．43 2.x 2＋y 2－2x －y ＝0 3.4 4.50° 5.M 1题型分类·深度剖析例1 解 (1)由ρcos(θ－π3)＝1 得ρ(12cos θ＋32sin θ)＝1. 从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2. 当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)．当θ＝π2时，ρ＝233，所以N (233，π2)． (2)M 点的直角坐标为(2,0)．N 点的直角坐标为(0，233)． 所以P 点的直角坐标为(1，33)． 则P 点的极坐标为(233，π6)， 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )． 跟踪训练1 解 将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，直线的方程为3x ＋4y ＋a ＝0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1， 即有|3×1＋4×0＋a |32＋42＝1，解得a ＝－8或a ＝2. 故a 的值为－8或2.例2 解 将两曲线的参数方程化为普通方程分别为x 25＋y 2＝1 (0≤y ≤1，－5<x ≤5)和y 2＝45x ，联立解得交点为⎝⎛⎭⎫1，255. 跟踪训练2 解 (1)∵x ＝2t 21＋t2， ∴y ＝4－2t 21＋t 2＝4(1＋t 2)－6t 21＋t 2＝4－3×2t 21＋t 2＝4－3x . 又x ＝2t 21＋t 2＝2(1＋t 2)－21＋t 2＝2－21＋t 2∈[0,2)． ∴x ∈[0,2)．∴所求的普通方程为3x ＋y －4＝0(x ∈[0,2))．(2)∵4cos 2θ＝2－x,4sin 2θ＝4(y ＋1)．∴4cos 2θ＋4sin 2θ＝2－x ＋4y ＋4.∴4y －x ＋2＝0.∵0≤4cos 2θ≤4，∴0≤2－x ≤4，∴－2≤x ≤2.∴所求的普通方程为x －4y －2＝0(x ∈[－2,2])．例3 解 化极坐标方程ρ＝4cos θ为直角坐标方程x 2＋y 2－4x ＝0， 所以曲线C 是以(2,0)为圆心，2为半径的圆．化参数方程⎩⎨⎧ x ＝－3＋32t ，y ＝12t(t 为参数)为普通方程x －3y ＋3＝0. 圆心到直线l 的距离d ＝|2＋3|1＋3＝52，此时，直线与圆相离，所以MN 的最小值为52－2＝12. 跟踪训练3 解 (1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2，y 2＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，⎝⎛⎭⎫22，π4， 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab 2＋1， 所以⎩⎨⎧ b 2＝1，－ab 2＋1＝2，解得a ＝－1，b ＝2.练出高分A 组 1．解 因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t(t 为参数)， 由x ＝t ＋1得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0. 同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x . 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x －1)，y 2＝2x ， 解得公共点的坐标为(2,2)，⎝⎛⎭⎫12，－1.2．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α，y ＝cos 2α，α∈[0,2π)得 x 2＋y ＝1，x ∈[－1,1]．(2)由ρsin(θ＋π4)＝－2得曲线D 的普通方程为 x ＋y ＋2＝0. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0，x 2＋y ＝1得x 2－x －3＝0. 解得x ＝1±132∉[－1,1]， 故曲线C 与曲线D 无公共点．3．解 (1)由点A (2，π4)在直线ρcos(θ－π4)＝a 上，可得a ＝ 2. 所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1，因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1， 所以直线l 与圆C 相交．4．解 ∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ，∴x 2＋y 2－12y ＝0，即x 2＋(y －6)2＝36.又∵ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6， ∴ρ2＝12ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π6＋sin θsin π6， ∴x 2＋y 2－63x －6y ＝0， ∴(x －33)2＋(y －3)2＝36，∴PQ max ＝6＋6＋(33)2＋32＝18.5．解 (1)由公式⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得M 的直角坐标为(1，－3)；N 的直角坐标为(2,0)；P 的直角坐标为(3，3)．(2)∵k MN ＝32－1＝3，k NP ＝3－03－2＝ 3.∴k MN ＝k NP ，∴M 、N 、P 三点在一条直线上．6．解 圆x 2＋y 2＝36上任一点为P (x ，y )，伸缩变换后对应的点的坐标为P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2x ′，y＝3y ′，∴4x ′2＋9y ′2＝36，即x ′29＋y ′24＝1. ∴曲线C 在伸缩变换后得椭圆x 29＋y 24＝1，其焦点坐标为(±5，0)． B 组1．解 (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝x ＋y ， 即x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin(θ－π4)＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1， 即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，故直线l 与圆O 公共点的极坐标为(1，π2)．2．解 (1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4； 因为ρ2－22ρcos(θ－π4)＝2，所以ρ2－22ρ(cos θcos π4＋sin θsin π4)＝2，所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin(θ＋π4)＝22. 3．解 (1)∵C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4＋5cos ty ＝5＋5sin t . ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5cos t ＝x －45sin t ＝y －5. ∴(x －4)2＋(y －5)2＝25(cos 2t ＋sin 2t )＝25， 即C 1的直角坐标方程为(x －4)2＋(y －5)2＝25， 把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x －4)2＋(y －5)2＝25， 化简得：ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧(x －4)2＋(y －5)2＝25x 2＋y 2＝2y 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝2. ∴C 1与C 2交点的直角坐标为(1,1)，(0,2)．∴C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，⎝⎛⎭⎫2，π2. 4．解 (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2， 圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ. 解⎩⎪⎨⎪⎧ ρ＝2，ρ＝4cos θ得ρ＝2，θ＝±π3， 故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，⎝⎛⎭⎫2，－π3. 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)方法一 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ 得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)． 故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝t ，－3≤t ≤ 3. ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫或参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝y ，－3≤y ≤3 方法二 将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ. 于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝tan θ， －π3 ≤θ≤π3.。
人教版高考数学理科一轮总复习配套课件选修4—4坐标系与参数方程
+
2 =1 的参数方程为
������ = ������cos������, (θ 为参数) . ������ = ������sin������
6
-7-
基础自测
1.若直线 解:将 ������ = 1-2������, (t 为参数)与直线 4x+ky=1 垂直,求常数 k 的值. ������ = 2 + 3������
一一对应 关系,约定极点
ρ=0 ,极角可取任意角.
3
-4-
2.直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点,x 轴正半轴作为极轴,并在两坐标系中 取相同的长度单位.设 M 是平面内的任意一点,它的直角坐标、极坐标分别 为(x,y)和(ρ,θ),则 x=ρcosθ,y=ρsin θ;也可化为关系式 ρ =x +y
2 2 2
������ ,tanθ= (x≠0). ������
4
-5-
3.直线的参数方程 ������ = ������0 + tcos������, (1)过点 P0(x0,y0),倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程是 (t ������ = ������0 + tsin������ 为参数),通常称该方程为直线 l 的参数方程的标准形式,其中 t 表示 P0(x0,y0) 到 l 上一点 P(x,y)的有向线段 ������0 P的数量.t>0 时, ������0 P的方向向上;t< 0 时, ������0 P的 方向向下;t=0 时,P 与 P0 重合. (2)直线 l 的参数方程的一般形式是
9
-10-
������ = ������ + 4������, π 4.已知直线 l: (t 为参数),圆 C 的极坐标方程为 ρ=2 2cos ������ + . 4 ������ = -1-2������ (1)求圆心 C 到直线 l 的距离; (2)若直线 l 被圆 C 截得的弦长为
人教A版高考总复习一轮理科数学精品课件 选修4—4 坐标系与参数方程 第1节 极坐标方程与参数方程
=
=
2
,
1+ 2 (t
4
1+ 2
为参
数).以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极
坐标方程为 2ρcos θ+ 3ρsin θ+11=0.
(1)求C的普通方程和l的直角坐标方程;
(2)求C上的点到l距离的最小值.
1- 2
解:(1)因为-1<1+ 2
0
参数).t 的几何意义是直线上的点 P 到点 P0(x0,y0)的数量,即|t|=|0 |,t 可正,
可负.使用该式时直线上任意两点 P1,P2 对应的参数分别为 t1,t2,则|P1P2|=
1
|t1-t2|,P1P2 的中点对应的参数为2(t1+t2).
= + cos,
(2)圆的方程(x-a) +(y-b) =r 的参数方程为
5.曲线的参数方程的
应用
6.极坐标方程的应用
强基础•固本增分
1.平面直角坐标系中的伸缩变换
' = ·, > 0,
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:
的作
' = ·, > 0
用下,点P(x,y)对应到点P'(x',y'),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,
简称伸缩变换.
化简得ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+1=0,
即☉C的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+1=0,
又由直线 l 的极坐标方程是
π
θ= (ρ∈R),可得直线
4
(2)设点 A,B 的极坐标分别为
2015届高三数学一轮总复习课件：选修4-4参数方程
题型一
3
x = 1 + t,
2 (t为参数)
1
y=1+ t
2
题型二
(2)2
题型三
第十三页，编辑于星期五：八点 三十五分。
重点难点
题型二 直线的参数方程
解析:(1)直线的参数方程为
(2)把直线
得 1+
3
t
2
2
+
x = 1 + t ,
6
即
y = 1 + t ,
6
3
t,
2 代入
1
1+ t
y=t
.
2 5
5
5
4
解析:由两曲线参数方程消去 x,y,t 得 5cos θ= sin2θ,
即 5cos2θ+4 5cos θ-5=0.
5
5
x = 1,
2
5
sin θ= 1- 2 θ =
.因此
2 5
5
y=
.
x = 1,
2 5
5
.
2 5 故交点坐标为 1,
5
y=
.
5
又∵0≤θ<π,∴解得 cos θ= .
y = 2θ
.
答案:(1,1)
解析:由曲线 C1 的参数方程可得 y= x,
基础梳理
自我检测
第八页，编辑于星期五：八点 三十五分。
重点难点
题型一 参数方程化为普通方程
例1
点拨提示
迁移训练1
x = 8θ,
x = -4 + t,
已知曲线 C 1 :
(t为参数),C 2:
(θ为参数).
2015高考数学一轮复习配套课件：选4-4-2参数方程
第三页，编辑于星期五：十二点 二十八分。
金版教程 ·高三一轮总复习 ·新课标 ·数学 理
抓住2个必备考点
突破3个热点考向
迎战2年高考模拟
限时规范特训
1个重要策略——参数方程与普通方程的互化 参数方程是新课标新增的选学内容，对该部分知识的复习，只 需要掌握好参数方程与普通方程的互化、常见曲线参数方程中 参数的几何意义，会解与教材例题、习题难度相当的题目即 可．
x＝t y＝ t
(t为参数)，求曲线C与C1的交点的直角坐标．
选修4－4 第2讲
第17页
第十七页，编辑于星期五：十二点 二十八分。
金版教程 ·高三一轮总复习 ·新课标 ·数学 理
抓住2个必备考点
突破3个热点考向
迎战2年高考模拟
解：C的直角方程为(x－1)2＋y2＝1，
C1的直角方程为y2＝x，
∴联立yx2－＝1x2＋y2＝1 ，得xy11＝＝00 ，xy12＝＝11
(3)常见曲线的参数方程中的参数都有几何意义，注意利用几何 意义常能够给解题带来方便.
选修4－4 第2讲
第6页
第六页，编辑于星期五：十二点 二课标 ·数学 理
抓住2个必备考点
突破3个热点考向
迎战2年高考模拟
限时规范特训
01抓住2个必备考点
选修4－4 第2讲
第7页
抓住2个必备考点
突破3个热点考向
迎战2年高考模拟
限时规范特训
考向二 参数方程的应用
例2 (1)[2012·湖南高考]在直角坐标系xOy中，已知曲线
C1：
x＝t＋1， y＝1－2t
(t为参数)与曲线C2：
x＝asinθ y＝3cosθ
(θ为参数，a>0)
2015届高三数学湘教版一轮复习配套课件：选修4-4 第2节 参数方程
下一页
末页
第十七页，编辑于星期五：八点 五十分。
第二节 参数方程 结束
在本例(1)条件下，若直线 C1：xy＝＝t1s＋intαco，s α (t 为参
数)，与直线
x＝s C2y＝1－as
(s 为参数)垂直，求 a.
解：由(1)知C1的普通方程为y＝ 3 (x－1)，C2的普通方程
为y＝1－ax，由两线垂直得－a×
第二节 参数方程 结束
第二节
参数方程
1．参数方程和普通方程的互化 (1) 曲 线 的 参 数 方 程 和 普 通 方 程 是 曲 线 方 程 的 不 同 形 式．一般地，可以 通过消去参数 而从参数方程得到普通方程．
数学
首页
上一页
下一页
末页
第一页，编辑于星期五：八点 五十分。
第二节 参数方程 结束
数学
首页
上一页
下一页
末页
第十四页，编辑于星期五：八点 五十分。
第二节 参数方程 结束
[典例]
(2013·郑州模拟)已知直线
C1：
x ＝1＋tcos y＝tsin α
α，
(t 为
参数)，曲线
C2：
x ＝cos y＝sin
θ， θ
(θ为参数)．
(1)当α＝π时，求 3
C1
与
C2
的交点坐标；
(2)过坐标原点 O 作 C1 的垂线，垂足为 A，P 为 OA 的中点，
从而直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.
(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，
所以圆C的圆心为(1,0)，半径r＝1，
因为圆心C到直线l的距离d＝
1＝ 2
22<1，
2015年高考数学总复习配套教案：选修4-4参数方程
选修4－4坐标系与参数方程第2课时参数方程(对应学生用书(理)195～197页)考情分析考点新知理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义．①会正确将参数方程化为普通方程.②会根据给出的参数，依据条件建立参数方程.1. (选修44P56习题第2题改编)若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x＝1＋2t，y＝2－3t(t为参数)，求直线的斜率．解：k＝y－2x－1＝－3t2t＝－32.∴直线的斜率为－32.2. (选修44P56习题第2题改编)将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x＝2＋sin2θ，y＝sin2θ(θ为参数)化为普通方程．解：转化为普通方程：y＝x－2，x∈[2，3]，y∈[0，1]．3. 求直线⎩⎪⎨⎪⎧x＝3＋at，y＝－1＋4t(t为参数)过的定点．解：y＋1x－3＝4a，－(y＋1)a＋4x－12＝0对于任何a都成立，则x＝3，且y＝－1.∴定点为(3，－1)．4. 已知曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x＝4t2，y＝t(t为参数)，若点P(m，2)在曲线C上，求m的值．解：点P(m ，2)在曲线C 上，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4t22＝t，所以m ＝16.5. (选修44P 57习题第6题改编)已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t ，y ＝2－4t (t 为参数)与直线l 2：2x －4y ＝5相交于点B ，又点A(1，2)，求|AB|.解：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t ，y ＝2－4t代入2x －4y ＝5得t ＝12，则B ⎝⎛⎭⎫52，0，而A(1，2)，得|AB|＝52.1. 参数方程是用第三个变量(即参数)分别表示曲线上任一点M 的坐标x 、y 的另一种曲线方程的形式，它体现了x 、y 的一种间接关系．2. 参数方程是根据其固有的意义(物理、几何)得到的，要注意参数的取值范围．3. 一些常见曲线的参数方程(1) 过点P 0(x 0，y 0)，且倾斜角是α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋lcos α，y ＝y 0＋lsin α(l 为参数). l 是有向线段P 0P 的数量．(2)圆方程(x －a)2＋(y －b)2＝r 2的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋rcos θ，y ＝b ＋rsin θ(θ为参数)．(3) 椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos θ，y ＝bsin θ(θ为参数)．(4) 双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的参数方程是⎩⎨⎧x ＝a 2⎝⎛⎭⎫t ＋1t ，y ＝b 2⎝⎛⎭⎫t －1t (t 为参数)．(5) 抛物线方程y 2＝2px(p>0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)．4. 在参数方程与普通方程的互化中注意变量的取值范围．[备课札记]题型1 参数方程与普通方程的互化例1 将参数方程⎩⎨⎧x ＝2⎝⎛⎭⎫t ＋1t ，y ＝4⎝⎛⎭⎫t －1t (t 为参数)化为普通方程．解：(解法1)因为⎝⎛⎭⎫t ＋1t 2－⎝⎛⎭⎫t －1t 2＝4，所以⎝⎛⎭⎫x 22－⎝⎛⎭⎫y 42＝4.化简得普通方程为x 216－y264＝1. (解法2)因为⎩⎨⎧x ＝2⎝⎛⎭⎫t ＋1t ，y ＝4⎝⎛⎭⎫t －1t ，所以t ＝2x ＋y 8，1t ＝2x －y 8，相乘得（2x ＋y ）（2x －y ）64＝1.化简得普通方程为x 216－y 264＝1.备选变式（教师专享）将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝cos2θ，x ＝sinθ 化为普通方程，并说明它表示的图形．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝cos2θ，x ＝sinθ，可得⎩⎨⎧y ＋12＝cos 2θ，x 2＝sin 2θ，即y ＋12＋x 2＝1，化简得y ＝1－2x 2.又－1≤x 2＝sin 2θ≤1，则－1≤x ≤1，则普通方程为y ＝1－2x 2，在[]－1，1时此函数图象为抛物线的一部分．题型2 求参数方程例2 已知直线l 经过点P(1，1)，倾斜角α＝π6.(1) 写出直线l 的参数方程；(2) 设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． 解：(1) 直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋tcos π6，y ＝1＋tsin π6，即⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t (t 为参数)．(2) 把直线⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t代入x 2＋y 2＝4，得⎝⎛⎭⎫1＋32t 2＋⎝⎛⎭⎫1＋12t 2＝4，t 2＋(3＋1)t －2＝0，t 1t 2＝－2，则点P 到A 、B 两点的距离之积为2. 变式训练 过点P ⎝⎛⎭⎫102，0作倾斜角为α的直线与曲线x 2＋2y 2＝1交于点M 、N ，求|PM|·|PN|的最小值及相应的α的值．解：设直线为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝102＋tcos α，y ＝tsin α(t 为参数)，代入曲线并整理得(1＋sin 2α)t 2＋(10cos α)t＋32＝0， 则|PM|·|PN|＝|t 1t 2|＝321＋sin 2α.所以当sin 2α＝1时，|PM|·|PN|的最小值为34，此时α＝π2.题型3 参数方程的应用例3 已知点P(x ，y)是圆x 2＋y 2＝2y 上的动点． (1) 求2x ＋y 的取值范围；(2) 若x ＋y ＋a ≥0恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1) 设圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ，2x ＋y ＝2cos θ＋sin θ＋1＝5sin(θ＋φ)＋1， ∴ －5＋1≤2x ＋y ≤5＋1. (2) x ＋y ＋a ＝cos θ＋sin θ＋1＋a ≥0，∴ a ≥－(cos θ＋sin θ)－1＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－1，∴ a ≥2－1.备选变式（教师专享）在椭圆x 216＋y 212＝1上找一点，使这一点到直线x －2y －12＝0的距离最小．解：设椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θy ＝23sin θ，d ＝|4cos θ－43sin θ－12|5＝455||cos θ－3sin θ－3＝455⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3－3， 当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1时，d min ＝455，此时所求点为(2，－3)．1. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ⎝⎛⎭⎫θ为参数，0≤θ≤π2和⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝－22t(t 为参数)，求曲线C 1和C 2的交点坐标．解：曲线C 1的方程为x 2＋y 2＝5(0≤x ≤5)， 曲线C 2的方程为y ＝x －1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝5，y ＝x －1x ＝2或x ＝－1(舍去)，则曲线C 1和C 2的交点坐标为(2，1)．2. (2013·湖南)在平面直角坐标系xOy 中，若l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，求常数a 的值．解：直线的普通方程为y ＝x －a.椭圆的标准方程为x 29＋y 24＝1，右顶点为(3，0)，所以点(3，0)在直线y ＝x －a 上，代入解得a ＝3.3. (2013·重庆)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A 、B 两点，求|AB|.解：极坐标方程为ρcos θ＝4的直线的普通方程为x ＝4.曲线的参数方程化为普通方程为y 2＝x 3，当x ＝4时，解得y ＝±8，即A(4，8)，B(4，－8)，所以|AB|＝8－(－8)＝16.4. (2013·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)，试求直线l 与曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．解：∵ 直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t ，∴ 消去参数t 后得直线的普通方程为2x －y －2＝0，①同理得曲线C 的普通方程为y 2＝2x ，②①②联立方程组解得它们公共点的坐标为(2，2)，⎝⎛⎭⎫12，－1.1. 在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，以极点为坐标原点、极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝1＋2t (t 为参数)，判断直线l 和圆C的位置关系．解：ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)，得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.消去参数t ，得直线l 的直角坐标方程为y ＝2x ＋1.圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－1＋1|22＋12＝255.因为d ＝255<2，所以直线l 和圆C 相交．2. 已知极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－1＝0的直线与x 轴的交点为P ，与椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)交于点A 、B ，求PA ·PB 的值． 解：直线过点P(1，0)，参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝22t(t 为参数)．代入椭圆方程x 24＋y 2＝1，整理得52t 2＋2t －3＝0，则PA·PB ＝|t 1t 2|＝65.3. 已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝6sin θ，以极点为原点、极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝32t ＋1(t 为参数)，求直线l 被曲线C 截得的线段的长度．解：将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程x 2＋y 2－6y ＝0，即x 2＋(y －3)2＝9，它表示以(0，3)为圆心、以3为半径的圆，直线l 的普通方程为y ＝3x ＋1，圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝1，故直线l 被曲线C 截得的线段长度为232－12＝4 2.4. 已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋tcos α，y ＝tsin α(t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1) 当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2) 过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．解： (1) 当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3（x －1），x 2＋y 2＝1，解得C 1与C 2的交点为(1，0)，⎝⎛⎭⎫12，－32.(2) C 1的普通方程为xsin α－ycos α－sin α＝0.A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α(α为参数)．P 点轨迹的普通方程为⎝⎛⎭⎫x －142＋y 2＝116. 故P 点轨迹是圆心为⎝⎛⎭⎫14，0，半径为14的圆．直线的参数方程：经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2的直线l 的普通方程是y －y 0＝tan α(x －x 0)，而过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋tcos α，y ＝y 0＋tsin α(t 为参数)．特别说明：直线参数方程中参数的几何意义：过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋tcos α，y ＝y 0＋tsin α(t 为参数)，其中t 表示直线l 上以定点M 0为起点，任一点M(x ，y)为终点的有向线段M 0M →的数量，当点M 在M 0上方时，t ＞0；当点M 在M 0下方时，t ＜0；当点M 与M 0重合时，t ＝0.我们也可以把参数t 理解为以M 0为原点，直线l 向上的方向为正方向的数轴上的点M 的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同．请使用课时训练（B ）第2课时（见活页）.选修4－5 不等式选讲第1课时 绝对值不等式(对应学生用书(理)198～199页)考点分析考点新知含有绝对值的不等式的解法．①理解绝对值的几何意义.②会解绝对值不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c.③了解绝对值不等式：|x－c|＋|x－b|≥a的解法.1. 解不等式：|x＋1|>3.解：由|x＋1|＞3得x＋1＜－3或x＋1＞3，解得x＜－4或x＞2.所以解集为(－∞，－4)∪(2，＋∞)．2. 解不等式：3≤|5－2x|<9.解：⎩⎪⎨⎪⎧|2x－5|<9|2x－5|≥3Þ⎩⎪⎨⎪⎧－9<2x－5<92x－5≥3或2x－5≤－3Þ⎩⎪⎨⎪⎧－2<x<7，x≥4或x≤1，得解集为(－2，1]∪[4，7)．3. 已知|x－a|<b(a、b∈R)的解集为{x|2<x<4}, 求a－b的值．解：由|x－a|<b，得a－b<x<a＋b.又|x－a|<b(a、b∈R)的解集为{x|2<x<4}，所以a－b＝2.4. 解不等式：|2x－1|－|x－2|<0.解：原不等式等价于不等式组①⎩⎪⎨⎪⎧x≥2，2x－1－（x－2）＜0，无解；②⎩⎪⎨⎪⎧12＜x＜2，2x－1＋（x－2）＜0，解得12<x<1；③⎩⎪⎨⎪⎧x≤12，－（2x－1）＋（x－2）＜0，解得－1＜x≤12.综上得－1＜x＜1，所以原不等式的解集为{x|－1＜x＜1}．5. 求函数y＝|x－4|＋|x－6|的最小值．解：y＝|x－4|＋|x－6|≥|x－4＋6－x|＝2.所以函数的最小值为2.1. 不等式的基本性质①a>bÛb<a；②a>b，b>cÞa>c；③a>bÞa＋c>b＋c；④a>b，c>0Þac>bc；a>b，c<0Þac<bc；⑤a>b>0Þa n>b n(n∈N，且n>1)；⑥a>b>0Þna>nb(n∈N，且n>1)．2. 含有绝对值的不等式的解法①|f(x)|>a(a>0) Ûf(x)>a或f(x)<－a；②|f(x)|<a(a>0)Û－a<f(x)<a.3. 含有绝对值的不等式的性质①|a|＋|b|≥|a＋b|；②|a|－|b|≤|a＋b|；③|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.[备课札记]题型1 含绝对值不等式的解法 例1 解不等式：|x ＋3|－|2x －1|<x2＋1.解： ① 当x<－3时，原不等式化为－(x ＋3)－(1－2x)<x2＋1，解得x<10，∴ x<－3.② 当－3≤x<12时，原不等式化为(x ＋3)－(1－2x)<x 2＋1，解得x<－25，∴ －3≤x<－25.③ 当x ≥12时，原不等式化为(x ＋3)－(2x －1)<x2＋1，解得x>2，∴ x>2.综上可知，原不等式的解集为{x|x<－25或x>2}．备选变式（教师专享）(2011·南京一模)解不等式|2x －4|＜4－|x|.解：原不等式等价于①⎩⎪⎨⎪⎧x<0，4－2x<4＋x或②⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，4－2x<4－x 或③⎩⎪⎨⎪⎧x>2，2x －4<4－x ，不等式组①无解．由②0<x ≤2，③2<x<83，得不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x<83. 题型2 含绝对值不等式性质的运用例2 已知函数f(x)＝|x －1|＋|x －2|. 若不等式|a ＋b|＋|a －b|≥|a|f(x)(a ≠0，a 、b ∈R )恒成立，求实数x 的取值范围．解：由题知，|x －1|＋|x －2|≤|a －b|＋|a ＋b||a|恒成立，故|x －1|＋|x －2|不大于|a －b|＋|a ＋b||a|的最小值．∵ |a ＋b|＋|a －b|≥|a ＋b ＋a －b|＝2|a|，当且仅当(a ＋b)·(a －b)≥0时取等号， ∴|a －b|＋|a ＋b||a|的最小值等于2.∴ x 的范围即为不等式|x －1|＋|x －2|≤2的解，解不等式得12≤x ≤52.变式训练已知函数f(x)＝|x －a|.(1) 若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2) 在(1)的条件下，若f(x)＋f(x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1) 由f(x)≤3得|x －a|≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.(2) 当a ＝2时，f(x)＝|x －2|，设g(x)＝f(x)＋f(x ＋5)，于是g(x)＝|x －2|＋|x ＋3|≥|(2－x)＋(x ＋3)|＝5，当且仅当(2－x)(x ＋3)≥0即当－3≤x ≤2时等号成立．所以实数m 的取值范围是{m|m ≤5}．题型3 含绝对值不等式综合运用例3 设函数f(x)＝|x －a|＋3x ，其中a ＞0.(1) 当a ＝1时，求不等式f(x)≥3x ＋2的解集；(2) 若不等式f(x)≤0的解集为{x|x ≤－1}，求a 的值．解：(1) 当a ＝1时，f(x)≥3x ＋2可化为|x －1|≥2.由此可得x ≥3或x ≤－1，故不等式f(x)≥3x ＋2的解集为{x|x ≥3或x ≤－1}．(2) 由f(x)≤0得|x －a|＋3x ≤0，此不等式化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎨⎧x ≤a a －x ＋3x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a ，x ≤－a 2.因为a ＞0，所以不等式组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ≤－a 2.由题设可得－a2＝－1，故a ＝2.变式训练已知关于x 的不等式|ax －1|＋|ax －a|≥2(a>0)． (1) 当a ＝1时，求此不等式的解集；(2) 若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围． 解：(1) 当a ＝1时，不等式为|x －1|≥1，∴ x ≥2或x ≤0， ∴ 不等式解集为{x|x ≤0或x ≥2}．(2) 不等式的解集为R ，即|ax －1|＋|ax －a|≥2(a>0)恒成立．∵ |ax －1|＋|ax －a|＝a ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪x －1a ＋|x －1|≥a ⎪⎪⎪⎪1－1a ，∴ a ⎪⎪⎪⎪1－1a ＝|a －1|≥2.∵ a>0，∴ a ≥3， ∴ 实数a 的取值范围为[3，＋∞)．1. (2013·重庆)若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，求实数a 的取值范围． 解：因为不等式|x －5|＋|x ＋3|的最小值为8，所以要使不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，则a ≤8，即实数a 的取值范围是(－∞，8]．2. (2013·江西)在实数范围内，求不等式||x －2|－1|≤1的解集．解：由||x －2|－1|≤1得－1≤|x －2|－1≤1，即0≤|x －2|≤2，即－2≤x －2≤2，解得0≤x ≤4，所以原不等式的解集为[0，4]．3. 已知实数x 、y 满足：|x ＋y|<13，|2x －y|<16.求证：|y|<518.证明：∵ 3|y|＝|3y|＝|2(x ＋y)－(2x －y)|≤2|x ＋y|＋|2x －y|， 由题设|x ＋y|<13，|2x －y|<16，∴ 3|y|<23＋16＝56.∴ |y|<518.4. (2013·福建理)设不等式|x －2|<a(a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12 A.(1) 求a 的值；(2) 求函数f(x)＝|x ＋a|＋|x －2|的最小值． 解：(1) 因为32∈A ，且12A ，所以⎪⎪⎪⎪32－2<a ，且⎪⎪⎪⎪12－2≥a ， 解得12<a ≤32.因为a ∈N *，所以a ＝1.(2) 因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，即－1≤x ≤2时取等号，所以f(x)的最小值为3.1. 解不等式：|x －1|>2x.解：当x<0时，原不等式成立；当x ≥1时，原不等式等价于x(x －1)>2，解得x>2或x<－1，所以x>2； 当0<x<1时，原不等式等价于x(1－x)>2，这个不等式无解． 综上，原不等式的解集是{x|x<0或x>2}．2. 若不等式|3x －b|＜4的解集中整数有且只有1，2，3，求实数b 的取值范围． 解：由|3x －b|＜4，得－4＜3x －b ＜4，即b －43＜x ＜b ＋43.因为解集中整数有且只有1，2，3，所以⎩⎪⎨⎪⎧0≤b －43＜1，3＜b ＋43≤4，解得⎩⎪⎨⎪⎧4≤b ＜7，5＜b ≤8，所以5＜b ＜7.3. 已知函数f(x)＝|x ＋a|＋|x －2|.(1) 当a ＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2) 若f(x)≤|x －4|的解集包含[1，2]，求a 的取值范围．解：(1) 当a ＝－3时，f(x)≥3|x －3|＋|x －2|≥3⎩⎨⎧x ≤23－x ＋2－x ≥3或⎩⎨⎧2<x<33－x ＋x －2≥3或⎩⎨⎧x ≥3x －3＋x －2≥3x ≤1或x ≥4.(2) 原命题f(x)≤|x －4|在[1，2]上恒成立 |x ＋a|＋2－x ≤4－x 在[1，2]上恒成立－2－x ≤a ≤2－x 在[1，2]上恒成立－3≤a ≤0.4. 已知f(x)＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f(x)≤3的解集为{x|－2≤x ≤1}． (1) 求a 的值，(2) 若⎪⎪⎪⎪f （x ）－2f ⎝⎛⎭⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围． 解：(1) 由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2，又f(x)≤3的解集为{x|－2≤x ≤1}，所以，当a ≤0时，不合题意当a>0时，－4a ≤x ≤2a ，得a ＝2.(2) 记h(x)＝f(x)－2f ⎝⎛⎭⎫x 2，则h(x)＝⎩⎨⎧1，x ≤－1－4x －3，－1<x<－12－1，x ≥－12，所以|h(x)|≤1，因此k ≥1.1. |ax ＋b|≤c(c ＞0)和|ax ＋b|≥c(c ＞0)型不等式的解法(1) |ax ＋b|≤c －c ≤ax ＋b ≤c ； (2) |ax ＋b|≥c ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c.2. |x －a|＋|x －b|≥c(c ＞0)和|x －a|＋|x －b|≤c(c ＞0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．请使用课时训练（A ）第1课时（见活页）.[备课札记]。
2015届高考数学(人教,理科)大一轮复习配套讲义：选修4-4 坐标系与参数方程
选修4－4 坐标系与参数方程第一节坐标系1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，(λ＞0)，y ′＝μ·y ，(μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系与极坐标 (1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)．一般地，不做特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． 3．极坐标与直角坐标的互化设M 是坐标系平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：4.1．在将直角坐标化为极坐标求极角θ时，易忽视判断点所在的象限(即角θ的终边的位置)．2．在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视．注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2k π)，(－ρ，π＋θ＋2k π)(k ∈Z )表示同一点的坐标． [试一试]1．点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的极坐标为________．解析：因为点P (1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP 与x 轴所成的角为－π3.答案：⎝⎛⎭⎫2，－π3 2．极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ能表示的曲线的直角坐标方程为________． 解析：由ρ＝sin θ＋2cos θ，得ρ2＝ρsin θ＋2ρcos θ， ∴x 2＋y 2－2x －y ＝0. 答案：x 2＋y 2－2x －y ＝01．确定极坐标方程的四要素极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可． 2．直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)的步骤 (1)运用ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)(2)在[0,2π)内由tan θ＝yx (x ≠0)求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限．[练一练]1．在极坐标系中，圆心在(2，π)且过极点的圆的方程为________． 解析：如图，O 为极点，OB 为直径，A (ρ，θ)，则∠ABO ＝θ－90°，OB ＝22＝ρsin (θ－90°)，化简得ρ＝－22cos θ. 答案：ρ＝－22cos θ2．已知直线的极坐标方程为ρsin (θ＋π4)＝22，则极点到该直线的距离是________．解析：极点的直角坐标为O (0,0)，ρsin(θ＋π4)＝ρ22sin θ＋22cos θ＝22，∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，化为直角坐标方程为x ＋y －1＝0. ∴点O (0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离为d ＝12＝22， 即极点到直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22的距离为22. 答案：22平面直角坐标系中的伸缩变换1.(2014·佛山模拟)设平面上的伸缩变换的坐标表达式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y ，则在这一坐标变换下正弦曲线y ＝sin x 的方程变为________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝12x ，y ′＝3y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝13y ′.代入y ＝sin x 得y ′＝3sin 2x ′. 答案：y ′＝3sin 2x ′2．函数y ＝sin(2x ＋π4)经伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝12y 后的解析式为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝2x ，y ′＝12y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝2y ′.① 将①代入y ＝sin(2x ＋π4)，得2y ′＝sin(2·12x ′＋π4)，即y ′＝12sin(x ′＋π4)．答案：y ′＝12sin(x ′＋π4)3．双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 变换后所得曲线C ′的焦点坐标为________．解析：设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，由上述可知，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′，代入x 2－y 264＝1得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，即x 29－y 216＝1为曲线C ′的方程，可见仍是双曲线，则焦点F 1(－5,0)，F 2(5,0)为所求．答案：(－5,0)或(5,0) [类题通法]平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，(λ>0)y ′＝μ·y ，(μ>0)下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．极坐标与直角坐标的互化[典例] 中，以坐标原点x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为3ρ2＝12ρcos θ－10(ρ>0)．(1)求曲线C 1的直角坐标方程；(2)曲线C 2的方程为x 216＋y 24＝1，设P ，Q 分别为曲线C 1与曲线C 2上的任意一点，求|PQ |的最小值．[解] (1)曲线C 1的方程可化为3(x 2＋y 2)＝12x －10， 即(x －2)2＋y 2＝23.(2)依题意可设Q (4cos θ，2sin θ)，由(1)知圆C 1的圆心坐标为C 1(2,0)． 故|QC 1|＝(4cos θ－2)2＋4sin 2θ ＝12cos 2θ－16cos θ＋8＝23⎝⎛⎭⎫cos θ－232＋23， |QC 1|min ＝263，所以|PQ |min ＝63. [类题通法]直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行．[针对训练](2013·安徽模拟)在极坐标系中，直线ρcos θ－ρsin θ＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的位置关系是________．解析：直线ρcos θ－ρsin θ＋1＝0可化成x －y ＋1＝0，圆ρ＝2sin θ可化为x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1.圆心(0,1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|0－1＋1|2＝0<1.故直线与圆相交．答案：相交极坐标方程及应用[典例]xOy 中，曲线C ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 的方程为ρsin(θ＋π4)＝2 2.(1)求曲线C 在极坐标系中的方程； (2)求直线l 被曲线C 截得的弦长．[解] (1)由已知得，曲线C 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4， 即x 2＋y 2－4x ＝0，化为极坐标方程是ρ＝4cos θ. (2)由题意知，直线l 的直角坐标方程为x ＋y －4＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＝0，x ＋y ＝4，得直线l 与曲线C 的交点坐标为(2,2)，(4,0)，所以所求弦长为2 2.解：由曲线C ，C 1极坐标方程联立 ∴cos 2θ＝34，cos θ＝±32，又ρ≥0，θ∈[0，π2)．∴cos θ＝32，θ＝π6，ρ＝23，故交点极坐标为⎝⎛⎭⎫23，π6. [类题通法]求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式； (3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程． [针对训练](2013·荆州模拟)在极坐标系中，过圆ρ＝6cos θ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________．解析：ρ＝6cos θ在直角坐标系中表示圆心为(3,0)，半径为3的圆．过圆心且垂直于x 轴的直线方程为x ＝3，其在极坐标系下的方程为ρcos θ＝3.答案：ρcos θ＝3第二节参数方程1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )就是曲线的参数方程．2．常见曲线的参数方程和普通方程1．不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误，对于直线参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α.(t 为参数)注意：t 是参数，α则是直线的倾斜角．2．参数方程与普通方程互化时，易忽视互化前后的等价性． [练一练]1．若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t (t 为参数)，则直线的斜率为________．A.23 B ．－23C.32D ．－32解析：∵y －2x －1＝－3t 2t ＝－32，∴tan α＝－32.答案：－322．参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t 2＋2y ＝t 2－1(0≤t ≤5)的曲线为__________(填“线段”、“双曲线”、“圆弧”或“射线”)．解析：化为普通方程为x ＝3(y ＋1)＋2， 即x －3y －5＝0，由于x ＝3t 2＋2∈[2,77]，故曲线为线段． 答案：线段1．化参数方程为普通方程的方法消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法．2．利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t 0＝t 1＋t 22； (2)|PM |＝|t 0|＝t 1＋t 22； (3)|AB |＝|t 2－t 1|； (4)|P A |·|PB |＝|t 1·t 2|. [练一练]1．已知P 1，P 2是直线⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝－2＋32t (t 为参数)上的两点，它们所对应的参数分别为t 1，t 2，则线段P 1P 2的中点到点P (1，－2)的距离是________．解析：由t 的几何意义可知，线段P 1P 2的中点对应的参数为t 1＋t 22，P 对应的参数为t ＝0，∴线段P 1P 2的中点到点P 的距离为|t 1＋t 2|2.答案：|t 1＋t 2|22．已知直线⎩⎨⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t (t 为参数)与圆x 2＋y 2＝4相交于B ，C 两点，则|BC |的值为________．解析：∵⎩⎨⎧x ＝2－12t ＝2－22t ′，y ＝－1＋12t ＝－1＋22t ′，⎝⎛⎭⎫t ′＝22t 代入x 2＋y 2＝4，得⎝⎛⎭⎫2－22t ′2＋⎝⎛⎭⎫－1＋22t ′2＝4，t ′2－32t ′＋1＝0，∴|BC |＝|t ′1－t ′2|＝(t ′1＋t ′2)2－4t ′1t ′2＝(32)2－4×1＝14. 答案：14参数方程与普通方程的互化1.曲线⎩⎨⎧x ＝23cos θy ＝32sin θ(θ为参数)中两焦点间的距离是________．解析：曲线化为普通方程为y 218＋x 212＝1，∴c ＝6，故焦距为2 6.答案：2 62．(2014·西安质检)若直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝－2＋sin θ(θ为参数)相切，则实数m的值是________．解析：圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝－2＋sin θ消去参数θ，化为普通方程是(x －1)2＋(y ＋2)2＝1.因为直线与圆相切，所以圆心(1，－2)到直线的距离等于半径，即|3＋4×(－2)＋m |5＝1，解得m ＝0或m＝10.答案：0或103．(2014·武汉调研)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线⎩⎨⎧x ＝－t ，y ＝3t(t 为参数，t ∈R )与曲线C 1：ρ＝4sin θ异于点O 的交点为A ，与曲线C 2：ρ＝2sin θ异于点O 的交点为B ，则|AB |＝________.解析：由题意可得，直线y ＝－3x ，曲线C 1：x 2＋(y －2)2＝4，曲线C 2：x 2＋(y －1)2＝1， 画图可得，|AB |＝4cos 30°×12＝ 3.答案： 3 [类题通法]参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式，参数方程化为普通方程关键在于消参，消参时要注意参变量的范围．参数方程的应用[典例] (2013·郑州模拟)已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求点P 轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．[解] (1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1，联立方程⎩⎨⎧y ＝3(x －1)，x 2＋y 2＝1，解得C 1与C 2的交点坐标分别为(1,0)，⎝⎛⎭⎫12，－32.(2)依题意，C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0，则A 点的坐标为(sin 2α，－sin αcosα)，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α(α为参数)，∴点P 轨迹的普通方程为(x －14)2＋y 2＝116.故点P 的轨迹是圆心为(14，0)，半径为14的圆．a ×3＝－1，故a ＝33. [类题通法]1．解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题．2．对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题． [针对训练](2013·新课标卷Ⅱ)已知动点P ，Q 在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α为(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 解：(1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α), 因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0＜α＜2π)． 当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．极坐标、参数方程的综合应用[以坐标原点为极点，x 轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系． [解] (1)由点A ⎝⎛⎭⎫2，π4在直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a 上， 可得a ＝ 2.所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1，因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1， 所以直线l 与圆C 相交．[类题通法]涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．[针对训练](2013·石家庄质检)已知P 为半圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与半圆C 的弧AP 的长度均为π3. (1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标；(2)求直线AM 的参数方程．解：(1)由已知，点M 的极角为π3，且|OM |＝π3，故点M 的极坐标为(π3，π3)． (2)由(1)可得点M 的直角坐标为(π6，3π6)，A (1,0)，故直线AM 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝1＋(π6－1)t ，y ＝3π6t (t 为参数)．。
高考理科数学(北师大版)一轮复习课件选修4-4第1讲坐标系
极坐标方程与直角坐标方程的互化 (1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式 x＝ρcos θ 及 y＝ρsin θ 直接代入直角坐标方程 并化简即可． (2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如 ρcos θ，ρsin θ，ρ2 的形式， 再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ 及方程两边平方是常用的变 形技巧．
选修4－4 坐标系与参数方程
第1讲 坐标系
数学
01
基础知识 自主回顾
02
核心考点 深度剖析
03
高效演练 分层突破
一、知识梳理 1．坐标系 (1)伸缩变换 设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ：xy′′＝＝λ·μx·（y（λ>μ0>）0），的作用下，
点 P(x，y)对应到点(λx，μy)，称 φ 为平面直角坐标系中的伸缩变换．
2．求双曲线 C：x2－6y42 ＝1 经过 φ：x2′y＝′3＝x，y 变换后所得曲线 C′的焦点坐标． 解：设曲线 C′上任意一点 P′(x′，y′)，
由x2′y＝′3＝x，y，得xy＝＝2x3y′，′， 代入曲线 C：x2－6y42 ＝1，得x9′2－y1′62＝1， 即曲线 C′的方程为x92－1y62 ＝1， 因此曲线 C′的焦点 F1(－5，0)，F2(5，0)．
【解】 (1)由 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 得 C2 的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4. (2)由(1)知 C2 是圆心为 A(－1，0)，半径为 2 的圆．由题设知，C1 是过点 B(0，2)且关于 y 轴对称的两条射线．记 y 轴右边的射线为 l1，y 轴左边的射线为 l2.由于 B 在圆 C2 的外 面，故 C1 与 C2 有且仅有三个公共点等价于 l1 与 C2 只有一个公共点且 l2 与 C2 有两个公 共点，或 l2 与 C2 只有一个公共点且 l1 与 C2 有两个公共点．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
θ
(θ 为参数)
• 【归纳提升】 1.消去参数的方法一般有三种： • (1) 利用解方程的技巧求出参数的表示式，然 后代入消去参数； • (2)利用三角恒等式消去参数； • (3) 根据参数方程本身的结构特征，选用一些 灵活的方法从整体上消去参数．
• 2．将参数方程化为普通方程时，要注意防 止变量 x 和 y 取值范围的扩大或缩小，必须 根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的 值域，即x和y的取值范围． • 3．将普通方程化为参数方程，必须结合参 数的几何意义把坐标用参数表示．
(t 为参数)消去参数 t 得
直线 l 的一般方程：y＝x－a，由椭圆的参数方程可知其右顶点为 (3,0)．因为直线 l 过椭圆的右顶点，所以 3－a＝0，即 a＝3. 【答案】 3
• 【归纳提升】 已知圆、圆锥曲线的参数方程 解决有关问题时，一般是把参数方程化为普通 方程，通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有 关的问题，如最值、范围等．
题型一
参数方程与普通方程互化 (1)(2014· 湖北黄冈 5 月 ) 若直线 3x ＋ 4y ＋ m ＝ 0 与曲线
x＝1＋cos θ， y＝－2＋sin θ
(θ 为参数)没有公共点，则实数 m 的取值范围
是________．
• (2)(2013·陕西)如图， 以过原点的直线的倾斜角θ 为参数， 则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为 ________．
【解】
(1)直线 l 的参数方程是
5π 3 x＝－3＋tcos 6 ＝－3－ 2 t， y＝3＋tsin5π＝3＋1t 6 2
(t 为参数)．
(2)消去曲线 C 中的参数，得 4x2＋y2－16＝0，把直线的参数方程 代入曲线 C 的普通方程，得 13t2＋12(1＋4 3)t＋116＝0.
题型二 直线的参数方程 5π (2014· 河北质检)设直线 l 过点 P(－3,3)，且倾斜角为 . 6 (1)写出直线 l 的参数方程； (2)设此直线与曲线 求|PA|· |PB|； (3)设 A、B 中点为 M，求|PM|.
x＝2cos θ， C： y＝4sin θ
(θ 为参数)交于 A、 B 两点，
• 1 ．参数方程化为普通方程的关键是消参 数：一要熟练掌握常用技巧 ( 如整体代换 ) ， 二要注意变量取值范围的一致性，这一点 最易忽视． • 2 ．根据直线的参数方程的标准式中 t 的几 何意义，有如下常用结论： • (1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参 数分别为t1，t2，则弦长l＝|t1－t2|；
解：(1)对于曲线 C1 消去参数 t 得 π π 当 α≠ 时，C1：y－1＝tan α(x－2)；当 α＝ 时，C1：x＝2. 2 2
2 y 对于曲线 C2：ρ2＋ρ2cos2θ＝2，x2＋y2＋x2＝2，则 C2：x2＋ ＝1. 2
π (2)当 α＝4时， 曲线 C1 的方程为 x－y－1＝0， 联立 C1， C2 的方程， 消去 y 得 2x2＋(x－1)2－2＝0， 即 3x2－2x－1＝0.
第2课时 参数方程
接电话的痕迹 www.lrxseo.c om
• (一)考纲点击 • 1．了解参数方程和参数的意义． • 2 ．能选择恰当的参数写出直线、圆、抛物线 和椭圆的参数方程． • 3．能用直线的参数方程解决线段的弦长和线 段之积问题．
• (二)命题趋势 • 高考对本节内容考查参数方程与普通方程 的互化，以及极坐标参数方程的应用，以极坐 标、参数、普通方程互化为基本题型，同时考 查直线与曲线位置关系等解析几何知识，主客 观型均可能出现，难度适中．
4 －3－ 1 2 3 2 ＋ 3＋2t ＝16，化简为 t 2
由 t 的几何意义，知|PA|· |PB|＝|t1· t2|， 116 ∴|PA|· |PB|＝|t1· t2|＝ . 13 t1＋t2 (3)由 t 的几何意义知，中点 M 对应的参数为 ， 2 |t1＋t2| 61＋4 3 ∴|PM|＝ ＝ . 2 13
【解析】
x＝1＋cos θ， (1)曲线 y＝－2＋sin θ
(θ 为参数)的普通方程是(x－1)2
＋ (y ＋ 2)2 ＝ 1 ，圆心 (1，－ 2) 到直线 3x ＋ 4y ＋ m ＝ 0 的距离 d ＝ |3×1＋4×－2＋m| |m－5| ＝ ， 2 2 5 3 ＋4 |m－5| 令 5 ＞1，得 m＞10 或 m＜0.
针对训练 2． (2013· 湖南)在平面直角坐标系 xOy 中， 若直线
x＝at， l2： y＝2t－1 x＝2s＋1， l1 ： y＝s
(s 为参数)和直线 为________． 解析：由直线
(t 为参数)平行，则常数 a 的值
x＝2s＋1， l1： y＝s
是参数．
x＝bcos φ， x2 y2 (2)椭圆b2＋a2＝1(a＞b＞0)的参数方程为 其中 φ y＝asin φ，
是参数．
对点演练
x＝5cos θ， ( 教材习题改编 )曲线 y＝3sin θ
(θ 为参数 )的左焦点的坐标是
________． x 5＝cos θ， 解析：曲线方程化为 y＝sin θ， 3 (－4,0)． 答案：(－4,0) x2 y2 ∴ ＋ ＝1，其左焦点坐标为 25 9
π 的极坐标为1，2.
π π 解：由已知可得 P(cos 2，sin2)，即 P(0,1)． (2)求曲线 C ＝4x2－9. 2π x＝tcos 3 l 的参数方程为 y＝1＋tsin2π 3 参数)． 1 x＝－2t (t 为参数)，即 y＝1＋ 3t 2
针对训练 1．(2014· 宁夏银川二模)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方
x＝2＋tcos α， 程为 y＝1＋tsin α
(t 是参数，0≤α＜π)，以原点 O 为极点，
x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ2 2 ＝ . 1＋cos2θ (1)求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程； π (2)当 α＝4时，曲线 C1 和 C2 相交于 M、N 两点，求以线段 MN 为直径的圆的直角坐标方程．
x＝2t 的参数方程 2 y＝16t －9
(t 为参数)化为普通方程得 y
(t 为
1 x＝－2t 把 y＝1＋ 3t 2 20＝0.
x＝3t＋2， (1)(教材习题改编)参数方程 y＝t－1
(t 为参数)的普通方程为
________． 解析：由 y＝t－1 得 t＝y＋1，代入 x＝3t＋2 得 x＝3(y＋1)＋2， 故所求普通方程为 x－3y－5＝0. 答案：x－3y－5＝0
x＝1＋3t， (2)(2014· 湖南十二校联考)若直线的参数方程为 y＝2－ 3t
1．直线的参数方程 直线的参数方程可以从它的普通方程转化而来， 设直线的点斜 式方程为 y－y0＝k(x－x0)． 其中 k＝tan α，α 为直线的倾斜角，代入上式，得 sin α π y－y0＝cos α(x－x0)，α≠2，
x－x0 y－y0 即 ＝ . cos α sin α 记上式的比值为 t，整理后得
(参数 θ
∈[0,2π))，则圆心 C 到直线 l 的距离是________
解析：直线 l 的普通方程为 x－y＋1＝0，圆 C 的方程为(x－1)2＋ y2＝1，其圆心坐标为(1,0)， |1－0＋1| ∴圆心 C(1,0)到直线 l 的距离为 d＝ ＝ 2. 2 答案： 2
3．椭圆的参数方程
x＝acos φ， x2 y2 (1)椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)的参数方程是 其中 φ y＝bsin φ，
x＝x0＋tcos α， y＝y0＋tsin α，
(t 为参数)．
这是直线的参数方程，其中参数 t 有明显的几何意义．
在直角三角形 M0AM 中， |M0A|＝|x－x0|； |MA|＝|y－y0|， |M0M|＝|t|， 即|t|表示直线上任一点 M 到定点 M0 的距离．
对点演练
(t 为
参数)，则直线的倾斜角为________． 3 1＋2 3 解析：直线的普通方程为 y＝－ 3 x＋ ， 3 3 ∴斜率 k＝tan α＝－ 3 ， ∴其倾斜角 α＝150° . 答案：150°
2．圆的参数方程 若 圆 心 在 点 M0(x0 ， y0) ， 半 径 为 R ， 则 圆 的 参 数 方 程 为
设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， |MN|＝ 1＋k2 x1＋x22－4x1x2 ＝ 2
2 4 2 ＋ ＝ 3 3
16 4 2 2· 9 ＝ 3 ，
x1＋x2 y1＋y2 1 2 圆心为 ，即3，－3，从而所求圆的直角坐标方程 ， 2 2 12 22 8 为x－3 ＋y＋3 ＝9.
题型三 圆与圆锥曲线的参数方程及应用 (2013· 湖南)在平面直角坐标系 xOy 中，若直线
x＝3cos φ， C： y＝2sin φ x＝t， l： y＝t－a
(t 为参数)过椭圆
(φ 为参数)的右顶点，则常
数 a 的值为________．
【解析】
由直线 l
x＝t， 的参数方程 y＝t－a
(s 为参数)，消去参数 s 得 l1 的
普通方程为 x－2y－1＝0，由直线 l2：
x＝at， y＝2t－1
(t 为参数)，消去参数 t 得 l2 的普通方程为 ay－2x＋a＝
2 1 1 1 1 0，因为 l1 与 l2 平行，所以斜率相等，即a＝2，a，a≠2，所以 a ＝4. 答案：4
1 1 (2)圆的半径为 ，记圆心为 C2，0，连 CP，则∠PCx＝2θ，故 xP 2
1 1 ＝ ＋ cos 2θ＝cos2θ， 2 2 1 yp＝2sin 2θ＝sin θcos θ(θ 为参数)． 【答案】 (1)m＞10 或 m＜0