7.12三角形的三线
三角形三线学案
（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明。
求证：DE=DF．
3.已知：AD、AE分别是△ABC和△ABD的中线，且BA=BD，求证：AE= AC
4.如图，在△ABC中，AD是中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．求证：BE=CF．
5.已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点。
2、特殊三角形中的三线
（1）等腰三角形三线合一
例3如图，已知AB＝CD，∠B＝∠C，AC和BD交于点O，E是AD的中点，连接OE.
(1)求证：△AOB≌△DOC；
(2)求∠AEO的度数。
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
变式3：已知，如图5，在△ABC中，∠BAC>90°，BD、CE分别为AC、AB上的高，F为BC的中点，求证：∠FED=∠FDE。
3、全等中的三线
例4 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点．将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．
试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．
变式4如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB=DC．求证：BE=CF．
3.你在பைடு நூலகம்何书写时要注意哪些问题？
星级达标：
1．已知，如图，D是 的内角 与外角 的平分线BD与CD的交点，过D作DE//BC，交AB于E，交AC于F。试确定EF、EB、FC的关系。
7[1].1.2__三角形的三线
![7[1].1.2__三角形的三线](https://img.taocdn.com/s3/m/832b6dd7ad51f01dc281f159.png)
AC DF BC AM AB DE ∴ = + 2 2 2
知识小结
今天我们学了什么呀？ 1.三角形的高、中线、角平分线等有关概念 及它们的画法。 2. .三角形的高、中线、角平分线 几何表达及简单应用。
三角形的 重要线段
概念 从三角形的一个 顶点向它的对边 所在的直线作垂 线,顶点和垂足之 间的线段 三角形中,连结一 个顶点和它对边 中的 线段 三角形一个内角 的平分线与它的 对边相交,这个角 顶点与交点之间 的线段
C
议一议
钝角三角形的三条高
A F D B E C
(1) 钝角三角形的 三条高交于一点吗？ (2)它们所在的直线交于一点吗？ 将你的结果与同伴进行交流.
钝角三角形的三条高 不相交于一点. 钝角三角形的三条高 所在直线交于一点.
O
小结:三角形的高
从三角形中的一个顶点向它的对边所在直线作垂线， 顶点和垂足之间的线段 叫做三角形这边的高。 三角形的三条高的特性：
×
E
③BE是⊿ABC边AC上的中线(
×)
) B
F
H
G
④CH是⊿ACD边AD上的高(
√
D
C
三角形的高、中线与角平分线都是线段
练习& 反馈 ☞
1、下列各个图形中，哪一个图形中AD是△ABC 的高( D )
C A D C B (A) 2、填空： D A (B) B C B A (C) D B
C D
(D)
B
D
C
作
业
7.1
p69页 3、 4。
27
相关知识回顾
1.垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个
角是直角时，就说这两条直线互相垂直， 其中一条直线叫做另一条直线的垂线。 把一条线段分成两条相等的线段的点。 2.线段中点的定义：
三角形中的三线问题变式题
三角形中的三线问题变式题 一、三角形中的三线问题简述 三角形中的三线呢，就是指三角形的中线、高线和角平分线啦。这三线在三角形里可有着超级重要的地位哦，就像三角形里的小明星一样。中线把三角形的一条边平分啦，高线是垂直于一条边的，角平分线就是把角给平分喽。这些线之间还有好多有趣的关系呢，而且在解题的时候也经常会用到。
二、三角形三线问题的基础题型 1. 已知一个三角形的两条边长分别为3和5，其中一条中线把这个三角形分成了两个三角形，求这条中线的取值范围。
这题啊，就用到了三角形三边关系的知识。设中线长为x，我们可以通过倍长中线的方法来构造新的三角形，然后根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边来求解。答案是1 < x < 4。
2. 在等腰三角形ABC中，AB = AC，AD是角平分线，已知∠B = 70°，求∠ADC的度数。 因为AB = AC，AD是角平分线，所以AD也是高线和中线（等腰三角形三线合一哦）。那么∠C =∠B = 70°，在三角形ADC中，∠ADC = 90°，因为AD是高线嘛。
三、三角形三线问题的变式题型 1. 在三角形ABC中，AD是中线，BE是角平分线，CF是高线，已知AD与BE相交于点G，∠BGC = 130°，求∠A的度数。
这题可有点绕啦。我们要知道∠BGC和三角形内角的关系。因为∠BGC = 130°，所以∠GBC+∠GCB = 180° - 130° = 50°。又因为BE是角平分线，AD是中线，我们可以设∠ABC = 2x，∠ACB = 2y，那么x + y = 50°。在三角形ABC中，∠A = 180°-(2x + 2y)=80°。
2. 三角形ABC中，中线AD = 5，高线CF = 6，角平分线BE把AD分成了两段，AG = 3，GD = 2，求三角形ABC的面积。
首先，我们可以根据中线的性质求出BC的长度，因为AD是中线，所以BC = 2BD。然后根据角平分线的性质求出一些线段的比例关系，再利用三角形面积公式S = 1/2×底×高来求解。三角形ABC的面积为30。
三角形三线
三角形三线一、情景创设，引入新课二、自主学习（阅读课本） 活动1 预备知识1．在△ABC 中，请指出与顶点A 相对的边．2．请作P 点到直线l 的距离．活动2 三角形的角平分线在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的 叫做三角形的角平分线（angular bisector of a triangle ）．如图，△ABC 的平分线交AC 于D ，线段BD 是三角形的角平分线．我们可以用折叠的方法折出角平分线．请同学们按照课本P136图11-11所示的步骤，折出三角形的角平分线．一个三角形，可以折出几条角平分线？请你折出一个三角形的所有的角平分线．你发现三角形的角平分线相交于一点吗？和其他同学交流，你们有什么发现？三角形的三条角平分线相交于一点．三角形三条角平分线的交点在三角形 部．活动3 三角形的中线 在三角形中，连结一个顶点与它对边的 点的线段，叫做三角形的中线（median of triangle ）．如右图，D 是BC 的中点，线段AD 就是三角形的中线．分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，并画出每个三角形的三条中线． 你发现什么规律？PlA B C D A B C D三角形的三条中线相交于一点．这个交点叫做三角形的 .三角形三条中线的交点在三角形 部．活动4 三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（height oftriangle ），简称三角形的高．如右图，AD 就是三角形的一条高．请在下图中的三个三角形中分别画出三角形的高．三条高线还相交于一点吗？．三角形的三条高所在的直线相交于一点．锐角三角形的三条高线的交点在三角形的 部；直角三角形的三条高线的交点是 角顶点；钝角三角形三条高线所在的直线的交点在三角形的 部．三、知识运用 把握三线特征1．三角形的高具有以下特征：如图6，△ABC 中，AD 是△ABC 的BC 边上的高，则有 （1） ⊥ .（2） = =90°；（3）S △ABC=.图6 图7 图82．三角形的中线具有以下特征：如图7，△ABC 中，AD 是△ABC 的中线，则有 （1） = ；（2） = =21S △ABC .3．三角形的角平分线具有的特征：如图8，△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线，则有：A B CD（1） = =21∠BAC.随堂练习1如图，△ABC 中，AD 是高，AE 是角平分线，BF 是中线， 则 ＝ ＝90°； ＝ ＝21∠BAC ；＝ ＝21AC2．如图：在锐角三角形ABC 中，C D 、BE 、分别是AB 、AC 边上的高，且CD,BE 交于一点P ，∠A ＝50°，则∠BPC ＝3．三角形的中线是（ ）A ．直线B ．线段C ．射线D ．射线或线段4．△ABC 中，∠B =∠ACB ，CD 是∠ACB 的角平分线，已知∠ADC=105°，则∠A 的度数（ ）A ．36°B ．40°C ．60°D ．70°5．如果一个三角形的两条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形一定是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．都有可能6．△ABC 中∠ACB=90°，把△ABC 沿直线AC 翻折180度，使B 点落在D 点位置，则在△ABD 中，线段AC 具有的性质（ ） A ．是BD 的中线 B ．是BD 的高C ．是∠BAD 的角平分线 D ．以上答案均正确四、体会联想，总结反思1．三角形的角平分线是射线吗？ 2．三角形的中线是直线吗？ 3．三角形的高线是直线吗？4．直角三角形的两条直角边也是三角形的高吗？5．三角形的角平分线、中线、高线的交点一定在三角形的内部吗？课后反思AFCE D B第1题第2题CA EDBP。
高考数学一轮复习课件 解三角形中的“三线”技巧问题(共11张PPT)
2017年 题11 题16 题17（角平分线）
2016年 题4 题15
题9（高线）
2015年 题16 题17（角平分线）
纵观近几年的全国高考，在“三角函数与解三角形”的 考查中，不仅要关注传统的“边角互化”，更要关注对“平 面图形的分析”。三角形的中线、高线、角平分线作为三角 形中的三条重要线段，以它们为背景的题目屡见不鲜。
中线
三角形中，连结一个顶点和它所对边的中点的连线段叫做三角形 A
的中线。
B
D
C
高线 从三角形一个顶点向它的对边（或对边所在的直线）作垂线，顶
点和垂足间的线段叫做C
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角
的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线。（也叫三角形 A
的内角平分线。）
NEWYORK
B
C
直击高考
1（. 2015年课标Ⅱ）在ΔABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，BD 2DC. (1)求 sinB ;
sinC (2)若BAC 60O，求B.
A
B
C D
NEWYORK
直击高考
2（. 2017 年全国卷 Ⅲ）如图，在 ΔABC中，A 120 o , a 2 7，b 2，D是BC上的点， AD AC，求ΔABD的面积.
2019届高三年级数学一轮总复习 《解三角形》专题
解三角形中的“三线”问题
回顾
正弦定理：a b c sinA sinB sinC
余弦定理：a 2 b2 c 2 2bc cosA b2 a 2 c 2 2ac cosB c 2 a 2 b2 2ab cosC
解三角形： ①已知三角形的一边及两角，可用正弦定理 ②已知三角形的两边及一边的对角，可用正弦定理或余弦定理
三角形的三线
自学课本第4-5页的内容,完成下列问题：
1.三角形的高、中线、角平分线及重心是怎样 定义的 注意：①把定义中的关键词画出来；
②试用几何语言表述前三个定义. 2.怎样画三角形的高、中线、角平分线
如图,过△ABC的顶点
A
A,你能画出它对边BC上
的垂线段吗
01 23 4 5 01 23 4 5 01 23 4 5
社会文化
•人口统比收入 分配 •社会稳定 •生活方式的变 化 •教育水平 •消费
技术
•政府对研究的 投入
•政府和行业对 技术的重视
•新技术的发明 和进展
•技术传播的速 度
•折旧和报废速 度
OT机会与威胁分析方法一：波特五力模型
行业内竞争者的均衡 程度、增长速度、固 定成本比例、本行业 产品或服务的差异化 程度、退出壁垒等,决 定了一个行业内的竞 争激烈程度
进入本行业有哪些壁垒它们阻碍 新进入者的作用有多大本企业怎 样确定自己的地位 自己进入或 者阻止对手进入
构造SWOT矩阵
在构造SWOT过程中,将那些对公司发展有直接的、重要的、大量的、迫切的、 久远的影响因素优先排列出来,而将那些间接的、次要的、少许的、不急的、短 暂的影响因素排列在后面。
案例：1997年香港邮政对特快专递业务单元做的SWOT分析
根据SW分析,公司建立并维持自身的竞争优势
通过一定努力, 建立自身竞争 优势
竞争优势受到 削弱,寻找新的 策略增强自身 竞争优势
引起竞争者 注意,开始 作出反应
直接进攻企 业优势所在, 或采取更为 有力的策略
企业在维持竞争优势过 程中,必须深刻认识自 身的资源和能力,采取 适当的措施。因为一个
企业一旦在某一方面具 有了竞争优势,势必会 吸引到竞争对手的注意。
三角形三线合一定理
等腰三角形的三线合一，指的是底边的中线和高、顶角的角平分线三线合一。
打个比方说，如果已经知道某条线段是上述三线之一，即可知道这条线段也是另外两类线。
应用
三线合一中的三线是在等腰的三角形的，它们分别是，一条是与顶角有关的，顶上的角的平分线，另两条是与底边(不是腰，但等边三角形正三角形特殊)有关的的，一条是底边的高，另一条是底边的垂直平分线。
这是等腰三角形的一特殊的性质，应用它可以处理许多平面几何问题。
上海初中 三角形的三线及中位线课件
例题： 例题： 求证三角形的一条中位线与第 三边上的中线互相平分． 三边上的中线互相平分．
已知： 如图所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF ＝FC． 求证： AE、DF互相平分． 连结DE、EF． 证明 连结 ∵ AD＝DB，BE＝EC， ∴ DE∥AC（三角形的中位线平行 于第三边并且等于第三边的一 半）． 同理EF∥AB． ∴四边形ADEF是平行四边形． ∴ AE、DF互相平分（平行四边形 的对角线互相平分）．
A２
C１ B２ C
分析：填表 分析：
次序 1 2 3 ……
B
n
B１
所得三角 形周长 所得三角 形面积
1 2 1 4
a s
1 4 1 16
a s
1 8 1 64
a s
……
……
1 n 2 1 n 4
a s
• 12. 如图，在△ABC中，D是BC中点，N是 AD中点，M是BN中点，P是MC的中点。 • 求证：S△MNP＝ 1/8 S△ABC
A D O B F C E A A D O B F C O B D C
E
E
F
已知：如图， 的角平分线BM、 练习： 已知：如图，△ABC的角平分线 、CN 的角平分线 相交于点P. 相交于点 求证： 到三边AB、 、 的距离相等 的距离相等. 求证：点P到三边 、BC、CA的距离相等 到三边 证明：过点 作 分别垂直于AB、 、 ， 证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于 、BC、CA， 、 分别垂直于 垂足为D、 、 垂足为 、E、F 的角平分线， ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上 是 的角平分线 在 上 ∴PD=PE 在角平分线上的点到角的两边的距离相等） （在角平分线上的点到角的两边的距离相等） A 同理 PE=PF. D ∴ PD=PE=PF. F 即点P到边 到边AB、 、 即点 到边 、BC、 N PM CA的距离相等 的距离相等
三角形三线定理
的是努力使弱点趋于最小,
使机会趋于最大
O
T ST对策
最小与最大对策,即着重考 苦乐
虑优势因素和威胁因素,目 参半
大
小
的是努力使优势因素趋于 最大,是威胁因素趋于最小。
SO对策
最大与最大对策,即着重考 虑优势因素和机会因素,目 的在于努力使这两种因素 都趋于最大。
理想
PEST法
政治／法律:
•垄断法律 •环境保护法 •税法 •对外贸易规定 •劳动法 •政府稳定性
经济
•经济周期 •GNP趋势 •利率 •货币供给 •通货膨胀 •失业率 •可支配收入 •能源供给 •成本
社会文化
•人口统比收入 分配 •社会稳定 •生活方式的变 化 •教育水平 •消费
技术
•政府对研究的 投入
三角形三线定理
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三角形的高
从三角形的一个顶点 向它的对边 所在直线作垂线,顶点 和垂足 之间的线段 叫做三角形这边的高,
简称三角形的高。 B
如图, 线段AD是BC边上的高.
考
三角形的角平分线是一条线段 , 角 的平分线是一条射线.
基础练习
1、点D是△ABC的BC边上的一点。 A ∵BD=CD,
∴线段AD是△ABC的中__线_
B
D
C
∵∠BAD=∠CAD,
A
∴线段AD是△ABC的角__平__分_ 线
B
D
C
A
∵∠ADC=90°,
∴线段AD是△ABC的_高__
B
D
C
2、如图,AD、AM、AH分别是△ABC的角平分线、中线 、高。
三线合一是哪三线
三线合一是哪三线
三线合一是高、中线、角平分线。
平面几何中把三角形的高、中线、角平分线叫做三线，三线合一就是说这三条线重合。
三角形高的位置
总的来说，三角形的三条高所在的直线相交于一点。
锐角三角形：三条高都在三角形的内部。
交点也在三角形的内部。
直角三角形：两条高分别在两条直角边上，另一条高在三角形的内部。
交点是直角的顶点。
钝角三角形：钝角的两边上的高在三角形外部。
交点在三角形的外部。
三角形的中线
三角形的中线是接三角形顶点和它的对边中点的线段。
每个三角形都有三条中线，它们都在三角形的内部。
在三角形中，三条中线的交点是三角形的重心。
三角形的三条中线交于一点，这点位于各中线的三分之二处。
三角形角平分线
三角形的一个角的平分线与这个内角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫三角形的角平分线。
（也叫三角形的内角平分线。
）由定义可知，三角形的角平分线是一条线段。
由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。
且任意三角形的角平分线都在三角形内部。
三角形三条角平分线永久交三角形内部于一点，这个点我们称之为内心。