2019年湖南高考数学(理科)试题

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2019年普通高等学校招生全国统一考试数学及详细解析(湖南卷·理)

2019年普通高等学校招生全国统一考试数学及详细解析(湖南卷·理)

2019年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择)题两部分,满分150分.考试用时120分钟.第Ⅰ卷(选择题)一、选择题:本大题共10小,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数z =i +i 2+i 3+i 4的值是 ( ) A .-1 B .0 C .1 D .i2.函数f (x )=x21-的定义域是( )A .(-∞,0]B .[0,+∞)C .(-∞,0)D .(-∞,+∞)3.已知数列{log 2(a n -1)}(n ∈N *)为等差数列,且a 1=3,a 2=5,则nn n a a a a a a -++-+-+∞→12312lim111(= ( )A .2B .23C .1D .21 4.已知点P (x ,y )在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-022,01,02y x y x 表示的平面区域上运动,则z =x -y 的取值范围是( )A .[-2,-1]B .[-2,1]C .[-1,2]D .[1,2]5.如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心,则O 到平面AB C 1D 1的距离为 ( ) A .21 B .42C .22D .23 6.设f 0(x )=sinx ,f 1(x )=f 0′(x ),f 2(x )=f 1′(x ),…,f n +1(x )=f n ′(x ),n ∈N ,则f 2019(x )=( ) A .sinxB .-sinxC .cos xD .-cosx7.已知双曲线22a x -22by =1(a >0,b >0)的右焦点为F ,右准线与一条渐近线交于点A,△OAF 的面积为22a (O 为原点),则两条渐近线的夹角为( )A .30ºB .45ºC .60ºD .90º8.集合A ={x |11+-x x <0=,B ={x || x -b|<a },若“a =1”是“A ∩B ≠φ”的充分条件, 则b 的取值范围是( )A .-2≤b <0B .0<b ≤2C .-3<b <-1D .-1≤b <29.4位同学参加某种形式的竞赛,竞赛规则规定:每位同学必须从甲.乙两道题中任选一题作答,选甲题答对得100分,答错得-100分;选乙题答对得90分,答错得-90分.若4位同学的总分为0,则这4位同学不同得分情况的种数是 ( )A .48B .36C .24D .1810.设P 是△ABC 内任意一点,S △ABC 表示△ABC 的面积,λ1=ABc PBC S S ∆∆, λ2=ABCPCAS S ∆∆, λ3=ABC PAB S S ∆∆,定义f (P)=(λ1, λ, λ3),若G 是△ABC 的重心,f (Q)=(21,31,61),则( )A .点Q 在△GAB 内 B .点Q 在△GBC 内C .点Q 在△GCA 内D .点Q 与点G 重合第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题:本大题共5小题,每小题4分(第15小题每空2分),共20分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 11.一工厂生产了某种产品16800件,它们来自甲.乙.丙3条生产线,为检查这批产品的质量,决定采用分层抽样的方法进行抽样,已知甲.乙.丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列,则乙生产线生产了 件产品.12.在(1+x )+(1+x )2+……+(1+x )6的展开式中,x 2项的系数是 .(用数字作答)13.已知直线ax +by +c =0与圆O :x 2+y 2=1相交于A 、B 两点,且|AB|=3,则⋅= .14.设函数f (x )的图象关于点(1,2)对称,且存在反函数f -1(x ),f (4)=0,则f -1(4)= .15.设函数f (x )的图象与直线x =a ,x =b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f (x )在[a ,b]上的面积,已知函数y =sinn x 在[0,nπ]上的面积为n 2(n ∈N *),(i )y =sin3x 在[0,32π]上的面积为 ;(ii )y =sin (3x -π)+1在[3π,34π]上的面积为 .三、解答题:本大题共6小题,共80分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分) 已知在△ABC 中,sinA (sinB +cosB )-sinC =0,sinB +cos2C =0,求角A 、B 、C 的大小. 17.(本题满分12分) 如图1,已知ABCD 是上.下底边长分别为2和6,高为3的等腰梯形,将它沿对称轴OO 1折成直二面角,如图2. (Ⅰ)证明:AC ⊥BO 1;(Ⅱ)求二面角O -AC -O 1的大小.18.(本小题满分14分) 某城市有甲、乙、丙3个旅游景点,一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6,且客人是否游览哪个景点互不影响,设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.(Ⅰ)求ξ的分布及数学期望;(Ⅱ)记“函数f (x )=x 2-3ξx +1在区间[2,+∞)上单调递增”为事件A ,求事件A的概率.图1 图219.(本小题满分14分)已知椭圆C :22a x +22by =1(a >b >0)的左.右焦点为F 1、F 2,离心率为e. 直线l :y =e x +a 与x 轴.y 轴分别交于点A 、B ,M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点,P 是点F 1关于直线l 的对称点,设AM =λAB .(Ⅰ)证明:λ=1-e 2;(Ⅱ)确定λ的值,使得△PF 1F 2是等腰三角形. 20.(本小题满分14分)自然状态下的鱼类是一种可再生资源,为持续利用这一资源,需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用x n 表示某鱼群在第n 年年初的总量,n ∈N *,且x 1>0.不考虑其它因素,设在第n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与x n 成正比,死亡量与x n 2成正比,这些比例系数依次为正常数a ,b ,c. (Ⅰ)求x n+1与x n 的关系式;(Ⅱ)猜测:当且仅当x 1,a ,b ,c 满足什么条件时,每年年初鱼群的总量保持不变?(不要求证明)(Ⅱ)设a =2,b =1,为保证对任意x 1∈(0,2),都有x n >0,n ∈N *,则捕捞强度b 的 最大允许值是多少?证明你的结论.21.(本小题满分14分) 已知函数f (x )=ln x ,g(x )=21ax 2+b x ,a ≠0. (Ⅰ)若b =2,且h (x )=f (x )-g(x )存在单调递减区间,求a 的取值范围;(Ⅱ)设函数f (x )的图象C 1与函数g(x )图象C 2交于点P 、Q ,过线段PQ 的中点作x 轴的垂线分别交C 1,C 2于点M 、N ,证明C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行.2019年普通高等学校招生统一考试(湖南,理科)解析第Ⅰ卷1.[答案]:B [评述[:本题考查复数,复数的意义及其运算。

2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)-含详细答案

2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)-含详细答案

2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)含详细答案一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.已知集合M={x|−4<x<2},N={x|x2−x−6<0},则M∩N=()A. {x|−4<x<3}B. {x|−4<x<−2}C. {x|−2<x<2}D. {x|2<x<3}2.设复数z满足|z−i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则()A. (x+1)2+y2=1B. (x−1)2+y2=1C. x2+(y−1)2=1D. x2+(y+1)2=13.已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则()A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. b<c<a4.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5−12(√5−12≈0.618,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是√5−12.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是()A. 165cmB. 175cmC. 185cmD. 190cm5.函数f(x)=sinx+xcosx+x2在[−π,π]的图象大致为()A. B.C. D.6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“”和阴爻“”,下图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是()A. 516B. 1132C. 2132D.11167.已知非零向量a⃗,b⃗ 满足|a⃗|=2|b⃗ |,且(a⃗−b⃗ )⊥b⃗ ,则a⃗与b⃗ 的夹角为()A. π6B. π3C. 2π3D. 5π68.下图是求12+12+12的程序框图,图中空白框中应填入()A. A=12+AB. A=2+1AC. A=11+2AD. A=1+12A9.记S n为等差数列{a n}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则()A. a n=2n−5B. a n=3n−10C. S n=2n2−8nD. S n=12n2−2n 10.已知椭圆C的焦点为F1(−1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为()A. x22+y2=1 B. x23+y22=1 C. x24+y23=1 D. x25+y24=111.关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四个结论:①f(x)是偶函数②f(x)在区间(π2,π)单调递增③f(x)在[−π,π]有4个零点④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是()A. ①②④B. ②④C. ①④D. ①③12.已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为()A. 8√6πB. 4√6πC. 2√6πD. √6π二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为________.14. 记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1=13,a 42=a 6,则S 5=________.15. 甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4:1获胜的概率是 .16. 已知双曲线C :x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ,B 两点.若F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则C 的离心率为三、解答题(本大题共7小题,共82.0分)17. △ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.设(sinB −sinC)2=sin 2A −sinBsinC . (1)求A ;(2)若√2a +b =2c ,求sin C .18. 如图,直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面是菱形,AA 1=4,AB =2,∠BAD =60°,E ,M ,N 分别是BC ,BB 1,A 1D 的中点. (1)证明:MN//平面C 1DE ;(2)求二面角A −MA 1−N 的正弦值.19. 已知抛物线C :y 2=3x 的焦点为F ,斜率为32的直线l 与C 的交点为A ,B ,与x轴的交点为P .(1)若|AF|+|BF|=4,求l 的方程;(2)若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求|AB|.20.已知函数f(x)=sinx−ln(1+x),f′(x)为f(x)的导数.证明:)存在唯一极大值点;(1)f′(x)在区间(−1,π2(2)f(x)有且仅有2个零点.21.为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得−1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得−1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列;(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,p i(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,p i=ap i−1+bp i+cp i+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=−1),b=P(X=0),c= P(X=1).假设α=0.5,β=0.8.(i)证明:{p i+1−p i}(i=0,1,2,…,7)为等比数列;(ii)求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.22.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为{x=1−t21+t2y=4t1+t2(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2ρcosθ+√3ρsinθ+11=0.(1)求C和l的直角坐标方程;(2)求C上的点到l距离的最小值.23.已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:(1)1a +1b+1c≤a2+b2+c2;(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了一元二次不等式的解法和交集的运算,属基础题.利用一元二次不等式的解法和交集的运算即可得出.【解答】解:∵M={x|−4<x<2},N={x|x2−x−6<0}={x|−2<x<3},∴M∩N={x|−2<x<2}.故选C.2.【答案】C【解析】【分析】本题考查复数的模、复数的几何意义,属基础题.由z在复平面内对应的点为(x,y),可得z=x+yi,然后根据|z−i|=1即可得解.【解答】解:∵z在复平面内对应的点为(x,y),∴z=x+yi,∴z−i=x+(y−1)i,∴|z−i|=√x2+(y−1)2=1,∴x2+(y−1)2=1,故选C.3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了指数函数和对数函数的单调性运用,属基础题.由指数函数和对数函数的单调性易得log20.2<0,20.2>1,0<0.20.3<1,从而得出a,b,c的大小关系.【解答】解:a=log20.2<log21=0,b=20.2>20=1,∵0<0.20.3<0.20=1,∴c=0.20.3∈(0,1),∴a<c<b,故选B.4.【答案】B【解析】【分析】本题考查简单的推理和估算,考查运算能力和推理能力,属于中档题.充分运用黄金分割比例,计算可估计身高.【解答】解:头顶至脖子下端的长度为26cm,说明头顶到咽喉的长度小于26cm,,由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是√5−12可得咽喉至肚脐的长度小于√5−12=√5−1≈42cm,由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5−12,可得肚脐至足底的长度小于26+52√5−1√5−12≈110,即有该人的身高小于110+68=178cm,又肚脐至足底的长度大于105cm,可得头顶至肚脐的长度大于105×√5−12≈65cm,即该人的身高大于65+105=170cm,故选B.5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了函数图象的作法及函数的奇偶性,解题关键是奇偶性和特殊值,属基础题.由f(x)的解析式知f(x)为奇函数可排除A,然后计算f(π),判断正负即可排除B,C,从而可得结果.【解答】解:∵f(x)=sinx+xcosx+x2,x∈[−π,π],∴f(−x)=−sinx−xcos(−x)+x2=−sinx+xcosx+x2=−f(x),∴f(x)为[−π,π]上的奇函数,因此排除A;又f(π)=sinπ+πcosπ+π2=π−1+π2>0,因此排除B,C,故选D.6.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查概率的求法,考查古典概型、组合的应用,考查运算求解能力,属于基础题.基本事件总数n=26=64,该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数m=C63=20,由此能求出该重卦恰有3个阳爻的概率.【解答】解:在所有重卦中随机取一重卦,基本事件总数n=26=64,该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数m=C63=20,则该重卦恰有3个阳爻的概率p=mn =2064=516.故选A.7.【答案】B【解析】【分析】本题考查了平面向量的数量积和向量的夹角,属基础题.由(a⃗−b⃗ )⊥b⃗ ,可得(a⃗−b⃗ )⋅b⃗ =0,进一步得到|a⃗||b⃗ |cos<a⃗,b⃗ >−b⃗ 2=0,然后求出夹角即可. 【解答】 解:∵(a ⃗ −b ⃗ )⊥b ⃗ ,∴(a ⃗ −b ⃗ )⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅b ⃗ −b ⃗ 2=|a ⃗ ||b ⃗ |cos <a ⃗ ,b ⃗ >−b ⃗ 2=0, ∴cos <a ⃗ ,b ⃗ >=|b⃗ |2|a ⃗ ||b⃗ |=12,∵<a ⃗ ,b ⃗ >∈[0,π],∴<a ⃗ ,b ⃗ >=π3,故选B . 8.【答案】A【解析】【分析】本题考查了程序框图的应用问题,是基础题.模拟程序的运行,由题意,依次写出每次得到的A 的值,观察规律即可得解. 【解答】解:模拟程序的运行,可得: A =12,k =1;满足条件k ≤2,执行循环体,A =12+12,k =2;满足条件k ≤2,执行循环体,A =12+12+12,k =3;此时,不满足条件k ≤2,退出循环,输出A 的值为12+12+12,观察A 的取值规律可知图中空白框中应填入A =12+A . 故选A . 9.【答案】A【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式,关键是求出等差数列的公差以及首项,属于基础题.根据题意,设等差数列{a n }的公差为d ,则有{4a 1+6d =0a 1+4d =5,求出首项和公差,然后求出通项公式和前n 项和即可. 【解答】解:设等差数列{a n }的公差为d , 由S 4=0,a 5=5,得 {4a 1+6d =0a 1+4d =5,∴{a 1=−3d =2, ∴a n =2n −5,S n =n (−3+2n−5)2=n 2−4n ,故选:A .10.【答案】B【解析】【分析】本题考查了椭圆的定义以及方程、余弦定理,属中档题.根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得a=√3,b=√2,可得椭圆的方程.【解答】解:∵|AF2|=2|BF2|,∴|AB|=3|BF2|,又|AB|=|BF1|,∴|BF1|=3|BF2|,又|BF1|+|BF2|=2a,∴|BF2|=a2,∴|AF2|=a,|BF1|=32a,则|AF2|=|AF1|=a,所以A为椭圆短轴端点,在Rt△AF2O中,cos∠AF2O=1a,在△BF1F2中,由余弦定理可得cos∠BF2F1=4+(a2)2−(32a)22×2×a2=4−2a22a,根据cos∠AF2O+cos∠BF2F1=0,可得1a +4−2a22a=0,解得a2=3,∴a=√3,b2=a2−c2=3−1=2.所以椭圆C的方程为:x23+y22=1,故选B.11.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断,结合绝对值的应用以及利用三角函数的性质是解决本题的关键,属于中档题.根据绝对值的应用,结合三角函数的性质分别进行判断即可.【解答】解:f(−x)=sin|−x|+|sin(−x)|=sin|x|+|sinx|=f(x),且f(x)的定义域为R,则函数f(x)是偶函数,故①正确;当x∈(π2,π)时,sin|x|=sinx,|sinx|=sinx,则f(x)=sinx+sinx=2sinx为减函数,故②错误;当0≤x≤π时,f(x)=sin|x|+|sinx|=sinx+sinx=2sinx,由f(x)=0,得2sinx=0,即x=0或x=π,由f(x)是偶函数,得在[−π,0)上还有一个零点x=−π,即函数f(x)在[−π,π]有3个零点,故③错误;当sin|x|=1,|sinx|=1时,f(x)取得最大值2,故④正确,故正确是①④,故选C.12.【答案】D【解析】【分析】本题考查多面体外接球体积的求法,是中档题.设∠PAC=θ,PA=PB=PC=2x,EC=y,根据余弦定理以及勾股定理证明三条侧棱两两互相垂直,即可求外接球O的体积.【解答】解:设∠PAC=θ,PA=PB=PC=2x,EC=y,因为E,F分别是PA,AB的中点,所以EF=12PB=x,AE=x,在△PAC中,cosθ=4x2+4−4x22×2x×2=12x,在△EAC中,cosθ=x2+4−y22×2x,整理得x2−y2=−2,①因为△ABC是边长为2的正三角形,所以CF=√3,又∠CEF=90°,则x2+y2=3,②,由①②得x=√22,所以PA=PB=PC=√2,所以PA2+PB2=4=AB2,即PA⊥PB,同理可得PA⊥PC,PB⊥PC,则PA、PB、PC两两垂直,则球O是以PA为棱的正方体的外接球,则外接球的直径为√2+2+2=√6,所以球O的体积为.故选D.13.【答案】y=3x【解析】【分析】本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程,属基础题.对y=3(x2+x)e x求导,可将x=0代入导函数,求得斜率,即可得到切线方程.【解答】解:∵y=3(x2+x)e x,∴y′=3(2x+1)e x+3(x2+x)e x=3e x(x2+3x+1),∴当x=0时,y′=3,∴y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线斜率k=3,∴切线方程为:y=3x.故答案为y=3x.14.【答案】1213【解析】【分析】本题主要考查等比数列前n项和的计算,属于基础题.根据等比数列的通项公式,建立方程求出q的值,结合等比数列的前n项和公式进行计算即可.【解答】解:设等比数列{a n}的公比为q,由a42=a6,得(a1q3)2=a1q5,即q6a12=q5a1,解得q=3,则S5=13(1−35)1−3=1213,故答案为1213.15.【答案】0.18【解析】【分析】本题考查概率的求法,考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.甲队以4:1获胜包含的情况有:①前5场比赛中,第一场负,另外4场全胜,②前5场比赛中,第二场负,另外4场全胜,③前5场比赛中,第三场负,另外4场全胜,④前5场比赛中,第四场负,另外4场全胜,由此能求出甲队以4:1获胜的概率.【解答】解:甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,第六场一定是甲胜,甲队以4:1获胜包含的情况有:①前5场比赛中,第一场负,另外4场全胜,其概率为:p 1=0.4×0.6×0.5×0.5×0.6=0.036,②前5场比赛中,第二场负,另外4场全胜,其概率为:p 2=0.6×0.4×0.5×0.5×0.6=0.036,③前5场比赛中,第三场负,另外4场全胜,其概率为:p 3=0.6×0.6×0.5×0.5×0.6=0.054,④前5场比赛中,第四场负,另外4场全胜,其概率为:p 4=0.6×0.6×0.5×0.5×0.6=0.054,则甲队以4:1获胜的概率为:p =p 1+p 2+p 3+p 4=0.036+0.036+0.054+0.054=0.18. 故答案为:0.18. 16.【答案】2【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质,是中档题.由题意画出图形,结合已知可得F 1B ⊥OA ,可得一条渐近线方程的倾斜角为,从而可得,进而求出离心率.【解答】 解:如图,∵F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, ∴F 1B ⊥F 2B,F 1A =AB , ∴OA ⊥F 1B ,则△AOF 1≌△AOB , 则,所以一条渐近线的斜率为,所以e =c a =√1+b 2a 2=2,故答案为:2.17.【答案】解:(1)∵△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .设(sinB −sinC)2=sin 2A −sinBsinC .则sin 2B +sin 2C −2sinBsinC =sin 2A −sinBsinC , ∴由正弦定理得:b 2+c 2−a 2=bc , ∴cosA =b 2+c 2−a 22bc=bc 2bc =12,∵0<A <π,∴A =π3.(2)∵√2a +b =2c ,A =π3,∴由正弦定理得√2sinA +sinB =2sinC , ∴√62+sin(2π3−C)=2sinC ,即√62+√32cosC +12sinC =2sinC ,即√62+√32cosC −32sinC =0, 即sin(C −π6)=√22,,则,∴C −π6=π4,C =π4+π6, ∴sinC =sin(π4+π6)=sin π4cos π6+cos π4sin π6=√22×√32+√22×12=√6+√24.【解析】本题考查了正弦定理、余弦定理,属于中档题. (1)由正弦定理得:b 2+c 2−a 2=bc ,再由余弦定理求出A .(2)由已知及正弦定理可得:sin(C −π6)=√22,可解得C 的值,由两角和的正弦函数公式即可得解.18.【答案】(1)证明:如图,过N 作NH ⊥AD ,连接BH ,则NH//AA 1,H 是AD 中点,且NH =12AA 1, 又MB//AA 1,MB =12AA 1,∴四边形NMBH 为平行四边形,则NM//BH ,由H 为AD 中点,而E 为BC 中点,∴BE//DH ,BE =DH ,则四边形BEDH 为平行四边形,则BH//DE , ∴NM//DE ,∵NM ⊄平面C 1DE ,DE ⊂平面C 1DE , ∴MN//平面C 1DE ;(2)解:以D 为坐标原点,以平面ABCD 内垂直于DC 的直线为x 轴,以DC 所在直线为y 轴,以DD 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系,则N(√32,−12,2),M(√3,1,2),A 1(√3,−1,4),NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,32,0),NA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,−12,2), 设平面A 1MN 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z),由{m ⃗⃗⃗ ⋅NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√32x +32y =0m⃗⃗⃗ ⋅NA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√32x −12y +2z =0,取x =√3,得m ⃗⃗⃗ =(√3,−1,−1), 又平面MAA 1的一个法向量为n ⃗ =(1,0,0), ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3√5=√155. ∴二面角A −MA 1−N 的正弦值为√105.【解析】本题考查直线与平面平行的判定,考查空间想象能力与思维能力,训练了利用空间向量求解空间角,是中档题.(1)过N 作NH ⊥AD ,证明NM//BH ,再证明BH//DE ,可得NM//DE ,再由线面平行的判定可得MN//平面C 1DE ;(2)以D 为坐标原点建立空间直角坐标系,分别求出平面A 1MN 与平面MAA 1的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得二面角A −MA 1−N 的正弦值.19.【答案】解:(1)设直线l :y =32x +t ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由题意可得F (34,0),故|AF |+|BF |=x 1+x 2+32, 因为|AF|+|BF|=4, 所以x 1+x 2=52, 联立{y =32x +t y 2=3x,整理得9x 2+12(t −1)x +4t 2=0,由韦达定理可知,x 1+x 2=−12(t−1)9,从而−12(t−1)9=52,解得t =−78,所以直线l 的方程为y =32x −78.(2)设直线l :y =32x +m ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,可得y 1=−3y 2, 联立{y =32x +m y 2=3x,整理得y 2−2y +2m =0,由韦达定理可知,y 1+y 2=2,又y 1=−3y 2,解得y 1=3,y 2=−1, 代入抛物线C 方程得,x 1=3,x 2=13, 即A (3,3),B (13,−1),故|AB |=√(3−13)2+(3+1)2=4√133.【解析】本题考查了抛物线的定义,考查直线与抛物线的位置关系,属于中档题.(1)根据韦达定理以及抛物线的定义可得.(2)由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,可得y 1=−3y 2,由韦达定理可得y 1+y 2=2,从而解出A 、B 两点坐标,使用弦长公式计算即可.20.【答案】证明:(1)f(x)的定义域为(−1,+∞), 令f′(x )=ℎ(x)=cosx −11+x , ℎ′(x )=−sinx +1(1+x)2,令g(x)=−sinx +1(1+x)2,则g′(x)=−cosx −2(1+x)3<0在(−1,π2)恒成立, ∴ℎ′(x )在(−1,π2)上为减函数,又ℎ′(0)=1,ℎ′(π2)=−1+1(1+π2)2<−1+1=0,由零点存在定理可知,函数ℎ′(x )在(−1,π2)上存在唯一的零点x 0,结合单调性可得,f′(x )在(−1,x 0)上单调递增,在(x 0,π2)上单调递减, 可得f′(x )在区间(−1,π2)存在唯一极大值点; (2)由(1)知,当x ∈(−1,0)时,f′(x )单调递增, 则f′(x )<f′(0)=0,则f(x)单调递减; 当x ∈(0,x 0)时,f′(x )单调递增, 则f′(x )>f′(0)=0,f(x)单调递增; 由于f′(x )在(x 0,π2)上单调递减, 且f′(x 0)>0,,由零点存在定理可知,函数f′(x )在(x 0,π2)上存在唯一零点x 1,结合单调性可知, 当x ∈(x 0,x 1)时,f′(x )单调递减,则f′(x )>f′(x 1)=0,故f(x)单调递增; 当x ∈(x 1,π2)时,f′(x )单调递减, 则f′(x )<f′(x 1)=0,f(x)单调递减. 当x ∈(π2,π)时,cosx <0,−11+x <0, 于是f′(x )=cosx −11+x <0,f(x)单调递减, 其中f(π2)=1−ln(1+π2)>1−ln(1+3.22)=1−ln2.6>1−lne =0,f(π)=−ln(1+π)<−ln3<0. 于是可得下表:结合单调性可知,函数f(x)在(−1,π2]上有且只有一个零点0,由函数零点存在性定理可知,f(x)在(π2,π)上有且只有一个零点x2,当x∈[π,+∞)时,f(x)=sinx−ln(1+x)<1−ln(1+π)<1−ln3<0,因此函数f(x)在[π,+∞)上无零点.综上,f(x)有且仅有2个零点.【解析】本题考查利用导数求函数的极值,考查函数零点的判定,考查数学转化思想方法,考查逻辑思维能力,难度较大.(1)f(x)的定义域为(−1,+∞),求出原函数的导函数,令f′(x)=ℎ(x)=cosx−11+x,进一步求导,得到ℎ′(x)在(−1,π2)上为减函数,结合ℎ′(0)=1,ℎ′(π2)=−1+1(1+π2)2<−1+1=0,由零点存在定理可知,函数ℎ′(x)在(−1,π2)上存在唯一得零点x0,结合单调性可得,f′(x)在(−1,x0)上单调递增,在(x0,π2)上单调递减,可得f′(x)在区间(−1,π2)存在唯一极大值点;(2)由(1)知,当x∈(−1,0)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(0,x0)时,f′(x)> 0,f(x)单调递增;由于f′(x)在(x0,π2)上单调递减,且f′(x0)>0,,可得函数f′(x)在(x0,π2)上存在唯一零点x1,结合单调性可知,当x∈(x0,x1)时,f(x)单调递增;当x∈(x1,π2)时,f(x)单调递减.当x∈(π2,π)时,f(x)单调递减,再由f(π2)>0,f(π)<0.然后列x、f′(x)与f(x)的变化情况表得答案.21.【答案】(1)解:X的所有可能取值为−1,0,1.P(X=−1)=(1−α)β,P(X=0)=αβ+(1−α)(1−β),P(X=1)=α(1−β),(2)(i)证明:∵α=0.5,β=0.8,∴由(1)得,a=0.4,b=0.5,c=0.1.因此p i=0.4p i−1+0.5p i+0.1p i+1(i=1,2,…,7),故0.1(p i+1−p i)=0.4(p i−p i−1),即p i+1−p i=4(p i−p i−1),又∵p1−p0=p1≠0,∴{p i+1−p i}(i=0,1,2,…,7)为公比为4,首项为p1的等比数列;(ii)解:由(i)可得,p8=(p8−p7)+(p7−p6)+⋯+(p1−p0)+p0=p1(1−48)1−4=48−13p1,∵p 8=1,∴p 1=348−1,∴p 4=(p 4−p 3)+(p 3−p 2)+(p 2−p 1)+(p 1−p 0)+p 0=44−13p 1=1257.由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为p 4=1257≈0.0039,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案合理.【解析】本题主要考查数列的应用,考查离散型随机变量的分布列,属于难题. (1)由题意可得X 的所有可能取值为−1,0,1,再由相互独立试验的概率求P(X =−1),P(X =0),P(X =1)的值,则X 的分布列可求;(2)(i)由α=0.5,β=0.8结合(1)求得a ,b ,c 的值,代入p i =ap i−1+bp i +cp i+1,得到(p i+1−p i )=4(p i −p i−1),由p 1−p 0=p 1≠0,可得{p i+1−p i }(i =0,1,2,…,7)为公比为4,首项为p 1的等比数列;(ii)由(i)可得,p 8=(p 8−p 7)+(p 7−p 6)+⋯+(p 1−p 0)+p 0,利用等比数列的前n 项和与p 8=1,得p 1=348−1,进一步求得p 4=1257,即可求解. 22.【答案】解:(1)由{x =1−t 21+t 2y =4t 1+t 2(t 为参数),得{x =1−t 21+t 2y 2=2t1+t2, 两式平方相加,得x 2+y 24=1(x ≠−1),∴C 的直角坐标方程为x 2+y 24=1(x ≠−1),由2ρcosθ+√3ρsinθ+11=0,得2x +√3y +11=0,即直线l 的直角坐标方程为2x +√3y +11=0.(2)设与直线2x +√3y +11=0平行的直线方程为2x +√3y +m =0,联立{2x +√3y +m =04x 2+y 2−4=0,得16x 2+4mx +m 2−12=0. 由Δ=16m 2−64(m 2−12)=0, 得m =±4,∴当m =4时,直线2x +√3y +4=0与曲线C 的切点到直线2x +√3y +11=0的距离最小, 即为直线2x +√3y +4=0与直线2x +√3y +11=0之间的距离√22+3=√7.【解析】本题考查简单曲线的极坐标方程,考查参数方程化为普通方程,考查直线与椭圆位置关系的应用,训练了两平行线间的距离公式的应用,是中档题.(1)把曲线C 的参数方程变形,平方相加可得普通方程,把x =ρcosθ,y =ρsinθ代入2ρcosθ+√3ρsinθ+11=0,可得直线l 的直角坐标方程.(2)写出与直线l 平行的直线方程为2x +√3y +m =0,与曲线C 联立,化为关于x 的一元二次方程,利用判别式等于0求得m ,转化为两平行线间的距离求C 上的点到l 距离的最小值.23.【答案】证明:(1)分析法:已知a ,b ,c 为正数,且满足abc =1.要证1a +1b+1c≤a2+b2+c2;因为abc=1.即证:abca +abcb+abcc≤a2+b2+c2;即证:bc+ac+ab≤a2+b2+c2;即证:2bc+2ac+2ab≤2a2+2b2+2c2;即证:2a2+2b2+2c2−2bc−2ac−2ab≥0,即证(a−b)2+(a−c)2+(b−c)2≥0;∵a,b,c为正数,且满足abc=1.∴(a−b)2≥0;(a−c)2≥0;(b−c)2≥0恒成立;当且仅当:a=b=c=1时取等号.即(a−b)2+(a−c)2+(b−c)2≥0得证.故1a +1b+1c≤a2+b2+c2得证.(2)已知a,b,c为正数,且满足abc=1.(a+b)为正数;(b+c)为正数;(c+a)为正数;(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3(a+b)⋅(b+c)⋅(c+a);当且仅当(a+b)=(b+c)=(c+a)时取等号;即:a=b=c=1时取等号;∵a,b,c为正数,且满足abc=1.a+b≥2√ab;b+c≥2√bc;c+a≥2√ac;当且仅当a=b,b=c,c=a时取等号;即:a=b=c=1时取等号;∴(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3(a+b)⋅(b+c)⋅(c+a)≥3×8√ab⋅√bc⋅√ac=24abc=24;当且仅当a=b=c=1时取等号;故(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.得证.故得证.【解析】本题考查基本不等式的运用,分析法和综合法的证明方法,属于中档题.(1)利用基本不等式和“1”的运用可证;(2)利用综合法可证.。

2019年高考真题——理科数学(全国卷)Word版含答案

2019年高考真题——理科数学(全国卷)Word版含答案

2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修Ⅱ)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第1至2页,第Ⅱ卷第3至第4页。

考试结束,务必将试卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷注意事项:全卷满分150分,考试时间120分钟。

考生注意事项:1.答题前,考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码。

请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。

2.没小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

在试题卷上作答无效.........。

3.第I 卷共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

一、选择题(1)复数131i i (A )2i (B )2i (C )12i (D )12i(2)已知集合{1,3,}A m ,{1,}B m ,A B A ,则m (A )0或3(B )0或3(C )1或3(D )1或3(3)椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为4x ,则该椭圆的方程为(A )2211612x y (B )221128x y (C )22184x y (D )221124x y (4)已知正四棱柱1111ABCD A BC D 中,2AB ,122CC ,E 为1CC 的中点,则直线1AC 与平面BED 的距离为(A )2(B )3(C )2(D )1(5)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,55a ,515S ,则数列11{}n n a a 的前100项和为(A )100101(B )99101(C )99100(D )101100。

普通高等学校招生全国统一考试湖南卷理科数学试题及答案

普通高等学校招生全国统一考试湖南卷理科数学试题及答案

2019年一般高等学校招生湖南卷理工农医类数学试题第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题:本大题共12小题,每题5分,共60分,在每题给出的四个选项中,只有一项切合要求的.1.复数(11)4的值是()iA.4ix2y2B.-4i C.4D.-41上一点P到右焦点的距离等于13,那么点P到右准线的距离2.假如双曲线1213是()13B.13C.55A.D.5133.设f1(x)是函数f(x)log2(x1)的反函数,若[1f1(a)][1f1(b)]8,则f(a b)的值为()A.1B.2C.3D.log234.把正方形ABCD沿对角线AC折起,当A、B C、D四点为极点的三棱锥体积最大时,直线BD与平面ABC所成的角的大小为()A.90°B.60°C.45°D.30°5.某企业甲、乙、丙、丁四个地域分别有150个、120个、180个、150个销售点企业为了检查产品销售的状况,需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本,记这项调查为①;在丙地域中有20个特大型销售点,要从中抽取7个检查其收入和售后服务等状况,记这项检查为②则达成①、②这两项检查宜采纳的抽样方法挨次是()A.分层抽样法,系统抽样法B.分层抽样法,简单随机抽样法C.系统抽样法,分层抽样法D.简单随机抽样法,分层抽样法6.设函数f(x)x2bx c,x0,若f(4)f(0),f(2)2,则对于x的方程2,x0.f(x)x解的个数为()A.1B.2C.3D.47.设a0,b0,则以下不等式中不恒成立的是()....A.(a b)(11)4B.a3b32ab2a bC.a2b222a2b D.|ab|a b8.数列a n中,a116,n N*,则lim(a1a2a n),a n a n1n1()55x n2B.214A.7C.D.54259.会合U{(x,y)|x R,yR},A{(x,y)|2x ym0},B{(x,y)|x y n0},那么点P(2,3)A(C U B)的充要条件是()A.m1,n5B.m1,n5C.m1,n5D.m1,n510.从正方体的八个点中任取三个点点作三角形,此中直角三角形的个数()A.56B.52C.48D.4011.民收入由工性收入和其余收入两部分组成2003年某地域民人均收入3150元(其中工性收入1800元,其余收入1350元),地域自2019年起的5年内,民的工性收入将以每年6%的年增率增,其余收入每年增添160元依据以上数据,2008年地域民人均收入介于()A.4200元~4400元B.4400元~4600元C.4600元~4800元D.4800元~5000元12.f(x),g(x)分是定在R上的奇函数和偶函数,当x0,f(x)g(x) f(x)g(x)0,且g(3)0,不等式f(x)g(x)0的解集是()A.(3,0)(3,)B.(3,0)(0,3)C.(,3)(3,)D.(,3)(0,3)第Ⅱ卷(非共90分)二、填空:本大共4小,每小4分,共16分,把答案填在中横上13.已知向量a=(cos,sin),向量b=(3,1),|2a-的最大是.b|14.同抛物两枚同样的平均硬,随机量ξ=1表示果中有正面向上,ξ=0表示果中没有正面向上,Eξ=.15.若(x31)n的睁开式中的常数84,n=.x x16.F是x2y21的右焦点,且上起码有21个不一样的点P(i=1,2,3,⋯),76i使|FP1|,|FP2|,|FP3|,⋯成公差d的等差数列,d的取范.三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知sin(2)sin(2)1,(,),求2sin2tancot1的值.4444218.(本小题满分12分)甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种部件,已知甲机床加工的部件是一等品而乙机床加工的部件不是一等品的概率为1,乙机床加工的部件是一等品而丙机床加工的部件不142是一等品的概率为,甲、丙两台机床加工的部件都是一等品的概率为.129(Ⅰ)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工部件是一等品的概率;(Ⅱ)从甲、乙、丙加工的部件中各取一个查验,求起码有一个一等品的概率.19.(本小题满分12分)如图,在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中,∠ABC=600,PA=AC=a,PB=PD=2a,(点E在PD上,且PE:ED=2:1.I)证明PA⊥平面ABCD;(II)求以AC为棱,EAC与DAC为面的二面角的大小;(Ⅲ)在棱PC上能否存在一点F,使BF//平面AEC?证明你的结论.PEA DB C20.(本小分12分)已知函数f( x x 2e ax ,此中 a 0, e 自然数的底数.)(Ⅰ)函数 f(x)的性;(Ⅱ)求函数f(x)在区[0,1]上的最大.21.(本小分12分)如,抛物x 2 =4y 的称上任一点P (0,m )(m>0)作直与抛物交于A ,B 两点,点Q 是点P 对于原点的称点.(I )点P 分有向段AB 所成的比,明:QP(QAQB);II )直AB 的方程是x-2y+12=0,A 、B 两点的C 与抛物在点A 有共同的切,求C 的方程.22.(本小分14分)如,直l 1:ykx1k(k0,k 1)与l 2 :y1x 1 订交于点P.直l 1与x222交于点P 1,点P 1作x 的垂交直 l 2于点Q 1,点Q 1作y 的垂交直 l 1于点P 2,点P 2作x 的垂交直l 2于点Q 2,⋯,向来作下去,可获得一系列点 P 1、Q 1、P 2、Q 2,⋯,点P n (n=1,2,⋯)的横坐组成数列x n .(Ⅰ)明x n111(x n 1),nN*;(Ⅱ)求数列x n2k的通公式;(Ⅲ)比2|PP n|2与4k 2|PP 1|25的大小.2019年一般高等学校招生湖南卷理工农医类数学试题参照答案13.414.15.916.[1 ,0) (0, 1 ]101017.解:由sin(2)sin(2 )sin(2 ) cos(2)444 414 ) 11sin( 2 cos4,22 4得cos41. 又(,),因此 5.24 212222cos2于是2tan cot1cos2sincos2sinsincos2sin2cos(cos2 2cot2 )(cos 55 ) 3 2 3) 5 3.2cot ( 26 6 2 18.解:(Ⅰ)设A 、B 、C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的部件是一等品的事件.P(A B) 1P(A) (1 P(B))1, ,①44由题设条件有P(B C)1 ,即P(B) (1 P(C))1, ②1212P(AC) 2.P(A)P(C)2.③99由①、③得P(B)19P(C)代入②得27[P(C)]2-51P(C)+22=0.8解得P(C) 2或11 (舍去).2 391,P(B)1.将P(C)分别代入 ③、②可得P(A)334即甲、乙、丙三台机床各加工的部件是一等品的概率分别是1,1,2.3 4 3(Ⅱ)记D 为从甲、乙、丙加工的部件中各取一个查验,起码有一个一等品的事件,则P(D) 1P(D) 1 (1 P(A))(1 P(B))(1P(C))12 3 1 5.3 4 36 故从甲、乙、丙加工的部件中各取一个查验,起码有一个一等品的概率为5.619.(Ⅰ)证明 由于底面 ABCD 是菱形,∠ABC=60°,因此AB=AD=AC= a , 在△PAB 中,2222知PA ⊥AB. 由PA+AB=2a=PB同理,PA ⊥AD ,因此PA ⊥平面ABCD.(Ⅱ)解 作EG//PA 交AD 于G ,由PA ⊥平面ABCD.知EG ⊥平面ABCD.作GH ⊥AC 于H ,连接EH , 则EH ⊥AC ,∠EHG 即为二面角的平面角.BPE A G DHC又PE:ED=2:1,因此EG1a,AG2a,GHAGsin603a.3 33进而tanEG 3, 30.GH3(Ⅲ)解法一 以A 为坐标原点,直线 AD 、AP 分别为y 轴、z 轴,过A 点垂直平面PAD 的直线为x 轴,成立空间直角坐标系如图.由题设条件,有关各点的坐标分别为31 3 1 a,0).zA(0,0,0),B(a,a,0),C(a,2222PD(0,a,0),P(0,0,a),E(0,2 1a, a).3 3因此AE(0,2a,1a),AC(3a,1a,0). FE3 32 2AP(0,0,a),PC ( 3a,1a, a).AD2 2ByBP(31x Ca,a,a).22设点F 是棱PC 上的点,PFPC3 a 1, a ),此中0 1,则( , a 2 2BF BP PF ( 3 1 a,a) ( 3 , 1 , a )2 a, a a2 2 23 a( 1), 1 ),a(1 )). 令BF 1AC2 AE 得( a(1 2 23a(1) 3a 1,11,221a(1)1a12a 2, 即114 2,2233a(1)1a 2.11 2.33解得1, 11, 23.即1时,BF1AC3AE.222222亦即,F 是PC 的中点时, BF 、AC 、AE 共面.又BF 平面AEC ,因此当F 是棱PC 的中点时,BF//平面AEC.解法二 当F 是棱PC 的中点时,BF//平面AEC ,证明以下, 证法一 取PE 的中点M ,连接FM ,则FM//CE. ① 由EM1PEED, 知E 是MD 的中点.P2M连接BM 、BD ,设BD AC=O ,则O 为BD 的中点.因此 BM//OE. ②FE由①、②知,平面 BFM//平面AEC.又BF 平面BFM ,因此BF//平面AEC. 证法二AD由于1 1 DP)BOCBFBCCPAD(CD22AD1CD3DEAD1(ADAC)3(AEAD)2 2223 1AE AC.22因此BF 、AE 、AC 共面.又BF 平面ABC ,进而BF//平面AEC.20.解:(Ⅰ)f(x)x(ax2)e ax .(i )当a=0 时,令 f(x) 0,得x 0.若x 0,则f (x) 0,进而f (x)在(0, )上单一递加; 若x0,则f (x)0,进而f (x)在(,0)上单一递减.(ii )当a<0时,令f(x) 0,得x(ax2)0,故x0或x2. 若x 0,则f (x) 0,进而f(x)在(,0)上单一递减;a若0x2 ,则f (x)0,进而f(x)在(0, 2)上单一递加;aa若x2,则f(x)0,进而f(x)在(2, )上单一递减.aa(Ⅱ)(i )当a=0时,f(x)在区间[0,1]上的最大值是 f(1) 1.( )当2 a 0 时,f(x)在区间, 上的最大值是f(1)e aii[01].(iii )当a2时,f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(2 ) 4 .aa 2e 2 x 221.解:(Ⅰ)依题意,可设直线 AB 的方程为ykxm,代入抛物线方程4y 得x 2 4kx4m0.①设A 、B 两点的坐标分别是 (x 1,y 1)、(x 2,y 2),则x 1、x 2是方程①的两根.因此 x 1x 2 4m.由点P (0,m )分有向线段AB 所成的比为 ,得x1x 20,即x1.1x 2又点Q 是点P 对于原点的对称点,故点Q 的坐标是(0,-m ),进而QP (0,2m).QA QB(x 1,y 1m) (x 2,y 2 m)(x 1 x 2,y 1y 2(1 )m).QP(QAQB)2m[y 1y 2(1)m]2m[x 12x 1 x 22 (1 x 1)n] 2m(x 1x 2) x 1x 2 4m4x 2 4x 24x 22m(x 1x 2)4m4m4x 2 0.因此QP(QA QB). x 2y 120,(Ⅱ)由 2得点A 、B 的坐标分别是(6,9)、(-4,4).x 4y,由x 2y得y1x 2,y1x,4 2因此抛物线x24y在点A处切线的斜率为y x63设圆C的方程是(xa)2(yb)2r2,b91,则a b3(a6)2(b9)2(a解之得a3,b23,r2223)2因此圆C的方程是(x即x2y223x23y724)2(b4)2.(a4)2(b4)2125.2(y2321252),0.2。

2018-2019年湖南高中理科数学高考精品试卷含答案

2018-2019年湖南高中理科数学高考精品试卷含答案

2018-2019年湖南高中理科数学高考精品试卷含答案解析(时间:60分钟 满分100分)班级__________ ___________ 学号___________注意事项:本试卷分选择题和非选择题,满分120分,考试时间120分钟。

一、选择题(每小题5分,共50分)1.设x ,y 是两个实数,则“x ,y 中至少有一个数大于1”是“x 2+y 2>2”成立的A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充分必要条件D .既非充分又非必要条件【答案解析】D【详解】若x ,y 中至少有一个数大于1(如x=1.1,y=0.1),则x 2+y 2>2不成立 若x 2+y 2>2(如x=-2,y=-2)则x ,y 中至少有一个数大于1不成立所以“x ,y 中至少有一个数大于1”是“x 2+y 2>2”成立的既非充分又非必要条件 2.函数的图像大致是A B C D【答案解析】A3.设等差数列的前项和为,且满足,,对任意正整数,都有,则的值为( )A .1006B .1007C .1008D .1009【答案解析】C4.计算的结果为( )A.B. C. D.【答案解析】B5.已知非零向量,,满足,,若对每个确定的,的最大值和最小值分别为,,则的值()A.随增大而大 B.随增大小而变小C.等于2 D.等于4【答案解析】D6.已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D、E分别是边AB、BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则•的值为()A.-B.C.D.【答案解析】B【解答】解:如图,∵D、E分别是边AB、BC的中点,且DE=2EF,∴•========7.曲线x=|y﹣1|与y=2x﹣5围成封闭区域(含边界)为Ω,直线y=3x+b与区域Ω有公共点,则b的最小值为()A.1 B.﹣1 C.﹣7 D.﹣11【答案解析】D【分析】由约束条件画出平面区域,由y=3x+b得y=3x+B,然后平移直线,利用z的几何意义确定目标函数的最小值即可.【解答】解:x=|y﹣1|与y=2x﹣5围成的平面区域如图,由,解得A(6,7)由y=3x+b,平移直线y=3x+b,则由图象可知当直线经过点A时,直线y=3x+b的截距最小,此时b最小.∴b=﹣3x+y的最小值为﹣18+7=﹣11.故选:D.8.把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD和平面ABC所成的角的大小为()A.90°B.60°C.45°D.30°【答案解析】C如图,当平面BAC⊥平面DAC时,三棱锥体积最大取AC的中点E,则BE⊥平面DAC,故直线BD和平面ABC所成的角为∠DBE,∴∠DBE=.故选C.9.用秦九韶算法求多项式f(x)=208+9x2+6x4+x6,在x=﹣4时,v2的值为()A.﹣4 B.1 C.17 D.22【答案解析】D【考点】秦九韶算法.【分析】先将多项式改写成如下形式:f(x)=(((((x)x+6)x)x+9)x)x+208,将x=﹣4代入并依次计算v0,v1,v2的值,即可得到答案.【解答】解:∵f(x)=208+9x2+6x4+x6=(((((x)x+6)x)x+9)x)x+208,当x=﹣4时,v0=1,v1=1×(﹣4)=﹣4,v2=﹣4×(﹣4)+6=2210.过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为()A.2x+y﹣4=0 B.x+2y﹣5=0 C.x+3y﹣7=0 D.3x+y﹣5=0【答案解析】B【分析】过点A(1,2)且与原点距离最大的直线与OA垂直,再用点斜式方程求解.【解答】解:根据题意得,当与直线OA垂直时距离最大,因直线OA的斜率为2,所以所求直线斜率为﹣,所以由点斜式方程得:y﹣2=﹣(x﹣1),化简得:x+2y﹣5=0,故选:B二.填空题:(每小题5分,共25分)1.已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(﹣12,﹣15),则E的方程式为.【答案解析】﹣=1【考点】圆锥曲线的轨迹问题.【分析】利用点差法求出直线AB的斜率,再根据F(3,0)是E的焦点,过F的直线l 与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(﹣12,﹣15),可建立方程组,从而可求双曲线的方程.【解答】解:由题意,不妨设双曲线的方程为∵F(3,0)是E的焦点,∴c=3,∴a2+b2=9.设A(x1,y1),B(x2,y2)则有:①;②由①﹣②得:=∵AB的中点为N(﹣12,﹣15),∴又AB的斜率是∴,即4b2=5a2将4b2=5a2代入a2+b2=9,可得a2=4,b2=5∴双曲线标准方程是故答案为:2.一物体在力F(x)=,(单位:N)的作用下沿与力F相同的方向,从x=0处运动到x=4(单位:m)处,则力F(x)做的功为焦.【分析】本题是一个求变力做功的问题,可以利用积分求解,由题意,其积分区间是[0,1],被积函数是力的函数表达式,由积分公式进行计算即可得到答案【解答】解:W===36.故答案为:363.若x10-x5=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a10(x-1)10,则a5=.【答案解析】251【分析】根据x10﹣x5=[(x﹣1)+1]10﹣[(x﹣1)+1]5,利用二项式展开式的通项公式,求得a5的值.【解答】解:∵x10﹣x5=[(x﹣1)+1]10﹣[(x﹣1)+1]5,﹣=251,∴a5=故答案为:2514.取一根长度为3米的绳子,拉直后在任意位置剪断,则剪出的两段的长都不小于1米(记为事件A)的概率为【答案解析】试题分析:记“两段的长都不小于1m”为事件A,则只能在中间1m的绳子上剪断,剪得两段的长都不小于1m,所以事件A发生的概率 P(A)=5.如图1是某高三学生进入高中﹣二年来的数学考试成绩茎叶图,第1次到第 14次.考试成绩依次记为A1,A2,…,A14.如图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图.那么算法流程图输出的结果是.【分析】该程序的作用是累加12次考试成绩超过90分的人数,由此利用茎叶图能求出结果.【解答】解:分析程序中各变量、各语句的作用, 再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是累加12次考试成绩超过90分的人数; 根据茎叶图的含义可得超过90分的人数为10个. 故答案为:10三、解答题(共25分)1.已知四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为直角梯形,AB ∥CD ,∠DAB=90°,PA ⊥底面ABCD ,且PA=AD=DC=AB=1,M 是PB 的中点.(1)求异面直线AC 与PB 所成的角的余弦值; (2)求直线BC 与平面ACM 所成角的正弦值.【答案解析】【分析】(1)建立空间直角坐标系,利用空间向量的数量积,求AC 与PB 所成的角的余弦值,(2)设=(x ,y ,z )为平面的ACM 的一个法向量,求出法向量,利用空间向量的数量积,直线BC 与平面ACM 所成角的正弦值.【解答】解:(1)以A 为坐标原点,分别以AD 、AB 、AP 为x 、y 、z 轴,建立空间直角坐标系,则A (0,0,0),P (0,0,1),C (1,1,0),B (0,2,0),M (0,1,), 所以=(1,1,0),=(0,2,﹣1),||=,||=,=2,cos(,)==,(2)=(1,﹣1,0),=(1,1,0),=(0,1,),设=(x,y,z)为平面的ACM的一个法向量,则,即,令x=1,则y=﹣1,z=2,所以=(1,﹣1,2),则cos<,>===,设直线BC与平面ACM所成的角为α,则sinα=sin[﹣<,>]=cos<,>=2.(1)已知圆(x+2)2+y2=1过椭圆C的一个顶点和焦点,求椭圆C标准方程.(2)已知椭圆的离心率为,求k的值.【答案解析】解:(1)圆(x+2)2+y2=1与x轴的交点为(﹣1,0),(﹣3,0),由题意可得椭圆的一个焦点为(﹣1,0),一个顶点为(﹣3,0),设椭圆方程为+=1(a>b>0),可得a=3,c=1,b==2,即有椭圆的方程为+=1;(2)当焦点在x轴上时,椭圆+=1的a2=8+k,b2=9,c2=k﹣1,e2===,解得k=4;当焦点在y轴上时,椭圆+=1的b2=8+k,a2=9,c2=1﹣k,e2===,解得k=﹣.综上可得k=4或﹣.考点:椭圆的简单性质.专题:计算题;方程思想;分类法;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:(1)求出圆与x轴的交点,可得椭圆的一个焦点和一个顶点,再由a,b,c的关系可得椭圆方程;(2)讨论焦点在x,y轴上,求得a,b,c,e,解方程可得k的值.解答:解:(1)圆(x+2)2+y2=1与x轴的交点为(﹣1,0),(﹣3,0),由题意可得椭圆的一个焦点为(﹣1,0),一个顶点为(﹣3,0),设椭圆方程为+=1(a>b>0),可得a=3,c=1,b==2,即有椭圆的方程为+=1;(2)当焦点在x轴上时,椭圆+=1的a2=8+k,b2=9,c2=k﹣1,e2===,解得k=4;当焦点在y轴上时,椭圆+=1的b2=8+k,a2=9,c2=1﹣k,e2===,解得k=﹣.综上可得k=4或﹣.。

2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含解析版)

2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含解析版)

M2 2M13α r绝密★启用前2019 年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅱ)一、选择题:本题共12 小题,每小题5 分,共60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={x|x2-5x+6>0},B={ x|x-1<0},则A∩B=A.(-∞,1) B.(-2,1)C.(-3,-1) D.(3,+∞)2.设z=-3+2i,则在复平面内z 对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知AB =(2,3),AC =(3,t),BC =1,则AB ⋅BC =A.-3 B.-2C.2 D.34.2019 年1 月3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆,我国航天事业取得又一重大成就,实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L2点是平衡点,位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1,月球质量为M2,地月距离为R,L2 点到月球的距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力定律,r 满足方程:M1 +M2 = (R +r)M1 .(R +r)2r2R3α=r α3α3+ 3α4+α5≈3设,由于R 的值很小,因此在近似计算中(1+α)2,则的近似值为A.M2 RM1B.RD .3M2 R 3M15.演讲比赛共有9 位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从9 个原始评分中去掉1 个最高分、1 个最低分,得到7 个有效评分.7 个有效评分与9 个原始评分相比,不变的数字特征是A.中位数B.平均数C.方差D.极差6.若a>b,则A.ln(a−b)>0 B.3a<3bC.a3−b3>0 D.│a│>│b│7.设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行C.α,β平行于同一条直线D.α,β垂直于同一平面8.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆x y2+=1 的一个焦点,则p= 3 p pA.2 B.3 C.4 D.8π 9.下列函数中,以2ππ为周期且在区间( ,4 2)单调递增的是A.f(x)=│cos 2x│B.f(x)=│sin 2x│C.f(x)=cos│x│D.f(x)= sin│x│π10.已知α∈(0,2 A.15),2sin 2α=cos 2α+1,则sin α=B.5C.3x2 y2 D.2 5511.设F 为双曲线C:a2 -=1(a > 0, b > 0) 的右焦点,O 为坐标原点,以OF 为直径的b2圆与圆x2+y2=a2交于P,Q 两点.若PQ =OF A.,则C 的离心率为B.C.3 3M2 RM15 3232C.2 D.12.设函数f (x) 的定义域为R,满足f (x +1) = 2 f (x) ,且当x ∈ (0,1] 时,f (x) =x(x -1) .若对任意x ∈(-∞, m] ,都有f (x) ≥-8,则m 的取值范围是9A.⎛-∞,9 ⎤B.⎛-∞,7 ⎤4 ⎥ 3 ⎥ ⎝⎦C.⎛-∞,5 ⎤⎝⎦D.⎛-∞,8 ⎤2 ⎥ 3⎥ ⎝⎦⎝⎦二、填空题:本题共4 小题,每小题5 分,共20 分.13.我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10 个车次的正点率为0.97,有20 个车次的正点率为0.98,有10 个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为.14.已知f (x) 是奇函数,且当x < 0 时,f (x) =-e ax.若f (ln 2) = 8 ,则a =.15.△ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c .若b = 6, a = 2c, B =π,则△ABC 的面积3为.16.中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2 是一个棱数为48 的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有个面,其棱长为(.本题第一空2 分,第二空3 分.)三、解答题:共70 分。

2019年湖南高考数学(理科)试题(word版)和答案详细解析及备考策略

不要让关心成为孩子甜蜜负担北京市第三十五中学教师郝乐奇案例鑫新进入高三已三月有余。

除了日渐繁重的学习任务给她带来很大压力,父母也一直困扰着她。

自高三开始,父母每天都早起为她准备营养早餐;中午打电话提醒她吃好午饭、注意午休;晚上回到家,隔一会儿就往她屋里端水果和夜宵。

鑫新虽然理解父母的良苦用心,但家人的举动也让她感受到前所未有的压力。

分析很多父母在孩子步入高三后过度关心其状态:担心孩子的营养跟不上高强度的学习,购买各种保健品;担心孩子独自上下学浪费时间,想为他们争取更多休息的时间,自己起早贪黑承担接送工作;担心孩子功课复习不扎实,额外请老师补课等。

父母都希望在高三一年中成为合格的后勤保障工作者,让孩子在高考的跑道上安心冲刺。

殊不知,正是这些无微不至的关心和不同常态的变化,成了孩子甜蜜的负担,变为孩子的精神压力。

孩子害怕自己成绩不理想而辜负了父母的关爱。

建议父母的关爱是必不可少的,它是孩子前进中的重要动力和保障,但过犹不及。

如何在其中找到平衡?这就需要父母对自己的角色定位有更清晰的认识。

生涯路途的参谋者高三学习中,孩子不仅要提高现有的学习水平,更重要的是找到发展目标。

孩子在学校里参加社会实践的机会较少,对自我能力的判断、如何选择合适的专业等缺少客观性。

父母可给予孩子建议,共同探索感兴趣的专业、职业,分析其能力和素养需求及今后的发展路径。

父母也可给孩子讲述自己的职业生涯路程,分析工作中可能遇到的困难或机遇,帮助孩子思考、规划,为其日后的社会实践做准备。

学习历程的陪伴者父母都经历过学生时代,体验过失利时的挫败和收获时的欣喜。

面对孩子,父母除了感同身受,更多的是对孩子的担忧和关切。

但这不能是对孩子不分缘由的责怪和寸步不离的看守。

很多父母说起晚上的“陪读”经历都感觉“委屈”:明明牺牲了自己的休息时间,坐在旁边也没有对孩子指手画脚,还能起到监督效果,怎么就引起了孩子的反感呢?换个角度,在孩子看来,“陪读”是对其学习的干扰,更像变相监视。

2019年全国统一高考数学试卷(理科)真题解析(解析版)

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.作答时,务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合A ={x |x 2-5x +6>0},B ={ x |x -1<0},则A ∩B =A. (-∞,1)B. (-2,1)C. (-3,-1)D. (3,+∞)【答案】A 【解析】 【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法,渗透了数学运算素养.采取数轴法,利用数形结合的思想解题.【详解】由题意得,{}{}2,3,1A x x x B x x ==<或,则{}1A B x x ⋂=<.故选A .【点睛】本题考点为集合的运算,为基础题目,难度偏易.不能领会交集的含义易致误,区分交集与并集的不同,交集取公共部分,并集包括二者部分.2.设z =-3+2i ,则在复平面内z 对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C 【解析】 【分析】本题考查复数的共轭复数和复数在复平面内的对应点位置,渗透了直观想象和数学运算素养.采取定义法,利用数形结合思想解题.【详解】由32,z i =-+得32,z i =--则32,z i =--对应点(-3,-2)位于第三象限.故选C .【点睛】本题考点为共轭复数,为基础题目,难度偏易.忽视共轭复数的定义致错,复数与共轭复数间的关系为实部同而虚部异,它的实部和虚部分别对应复平面上点的横纵坐标.3.已知AB =(2,3),AC =(3,t ),BC =1,则AB BC ⋅= A. -3 B. -2 C. 2 D. 3【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平面向量数量积的坐标运算,渗透了直观想象和数学运算素养.采取公式法,利用转化与化归思想解题.【详解】由(1,3)BC AC AB t =-=-,211BC ==,得3t =,则(1,0)BC =,(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=.故选C .【点睛】本题考点为平面向量的数量积,侧重基础知识和基本技能,难度不大.学生易在处理向量的法则运算和坐标运算处出错,借助向量的模的公式得到向量的坐标,然后计算向量数量积.4.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆,我国航天事业取得又一重大成就,实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行.2L 点是平衡点,位于地月连线的延长线上.设地球质量为M 1,月球质量为M 2,地月距离为R ,2L 点到月球的距离为r ,根据牛顿运动定律和万有引力定律,r 满足方程:121223()()M M M R r R r r R +=++.设r Rα=,由于α的值很小,因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+,则r 的近似值为A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】本题在正确理解题意的基础上,将有关式子代入给定公式,建立α的方程,解方程、近似计算.题目所处位置应是“解答题”,但由于题干较长,易使考生“望而生畏”,注重了阅读理解、数学式子的变形及运算求解能力的考查. 【详解】由rRα=,得r R α= 因为121223()()M M M R r R r r R +=++,所以12122222(1)(1)M M M R R R ααα+=++,即543232221133[(1)]3(1)(1)M M αααααααα++=+-=≈++,解得3α=所以3.r R α==【点睛】由于本题题干较长,所以,易错点之一就是能否静心读题,正确理解题意;易错点之二是复杂式子的变形出错.5.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比,不变的数字特征是A. 中位数B. 平均数C. 方差D. 极差【答案】A 【解析】 【分析】可不用动笔,直接得到答案,亦可采用特殊数据,特值法筛选答案. 【详解】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x <<<<<.则①原始中位数为5x ,去掉最低分1x ,最高分9x ,后剩余2348x x x x <<<,中位数仍为5x ,∴A 正确. ②原始平均数1234891()9x x x x x x x =<<<<<,后来平均数234817x x x x x '=<<<()平均数受极端值影响较大,∴x 与x '不一定相同,B 不正确③()()()22221119q S x x x x x x ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦ ()()()222223817s x x x x x x ⎡⎤'=-'+-'++-'⎢⎥⎣⎦由②易知,C 不正确.④原极差91=x -x ,后来极差82=x -x 显然极差变小,D 不正确. 【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.6.若a >b ,则 A. ln(a −b )>0B. 3a <3bC. a 3−b 3>0D. │a │>│b │【答案】C 【解析】 【分析】本题也可用直接法,因为a b >,所以0a b ->,当1a b -=时,ln()0a b -=,知A 错,因为3xy =是增函数,所以33a b >,故B 错;因为幂函数3y x =是增函数,a b >,所以33a b >,知C 正确;取1,2a b ==-,满足a b >,12a b =<=,知D 错.【详解】取2,1a b ==,满足a b >,ln()0a b -=,知A 错,排除A ;因为9333a b =>=,知B 错,排除B ;取1,2a b ==-,满足a b >,12a b =<=,知D 错,排除D ,因为幂函数3y x =是增函数,a b >,所以33a b >,故选C .【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义,渗透了逻辑推理和运算能力素养,利用特殊值排除即可判断.7.设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是 A. α内有无数条直线与β平行 B. α内有两条相交直线与β平行 C. α,β平行于同一条直线 D. α,β垂直于同一平面 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件,渗透直观想象、逻辑推理素养,利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断.【详解】由面面平行的判定定理知:α内两条相交直线都与β平行是//αβ的充分条件,由面面平行性质定理知,若//αβ,则α内任意一条直线都与β平行,所以α内两条相交直线都与β平行是//αβ的必要条件,故选B .【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理,最容易犯的错误为定理记不住,凭主观臆断,如:“若,,//a b a b αβ⊂⊂,则//αβ”此类的错误.8.若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点,则p =A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程,即可解出p ,或者利用检验排除的方法,如2p =时,抛物线焦点为(1,0),椭圆焦点为(±2,0),排除A ,同样可排除B ,C ,故选D .【详解】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆2231x y p p +=的一个焦点,所以23()2pp p -=,解得8p =,故选D .【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质,渗透逻辑推理、运算能力素养.9.下列函数中,以2π为周期且在区间(4π,2π)单调递增的是 A. f (x )=│cos 2x │ B. f (x )=│sin 2x │ C. f (x )=cos│x │ D. f (x )= sin│x │【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数图象与性质,渗透直观想象、逻辑推理等数学素养.画出各函数图象,即可做出选择.【详解】因为sin ||y x =图象如下图,知其不是周期函数,排除D ;因为cos cos y x x ==,周期为2π,排除C ,作出cos2y x =图象,由图象知,其周期为2π,在区间单调递增,A 正确;作出sin 2y x =的图象,由图象知,其周期为2π,在区间单调递减,排除B ,故选A .【点睛】利用二级结论:①函数()y f x =的周期是函数()y f x =周期的一半;②sin y x ω=不是周期函数;10.已知a ∈(0,π2),2sin2α=cos2α+1,则sinα=A.15B.5C. D.【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系,利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案. 【详解】2sin 2cos21α=α+,24sin cos 2cos .0,,cos 02π⎛⎫∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝⎭.sin 0,2sin cos α>∴α=α,又22sin cos 1αα+=,2215sin 1,sin 5∴α=α=,又sin 0α>,sin α∴=B .【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查,中等难度,判断正余弦正负,运算准确性是关键,题目不难,需细心,解决三角函数问题,研究角的范围后得出三角函数值的正负,很关键,切记不能凭感觉.11.设F 为双曲线C :22221x y a b-=(a >0,b >0)的右焦点,O 为坐标原点,以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a2交于P 、Q 两点.若|PQ |=|OF |,则C 的离心率为 A.B. C. 2 D.【答案】A 【解析】 【分析】准确画图,由图形对称性得出P 点坐标,代入圆的方程得到c 与a 关系,可求双曲线的离心率. 【详解】设PQ 与x 轴交于点A ,由对称性可知PQ x ⊥轴,又||PQ OF c ==,||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径,A ∴为圆心||2cOA =.,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭,又P 点在圆222x y a +=上,22244c c a ∴+=,即22222,22c c a e a =∴==.e ∴=A .【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解,难度适中,审题时注意半径还是直径,优先考虑几何法,避免代数法从头至尾,运算繁琐,准确率大大降低,双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题,需强化练习,才能在解决此类问题时事半功倍,信手拈来.12.设函数()f x 的定义域为R ,满足(1) 2 ()f x f x +=,且当(0,1]x ∈时,()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞,都有8()9f x ≥-,则m 的取值范围是A. 9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. 7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C. 5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D. 8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】本题为选择压轴题,考查函数平移伸缩,恒成立问题,需准确求出函数每一段解析式,分析出临界点位置,精准运算得到解决. 【详解】(0,1]x ∈时,()=(1)f x x x -,(+1)= ()f x 2f x ,()2(1)f x f x ∴=-,即()f x 右移1个单位,图像变为原来的2倍.如图所示:当23x <≤时,()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---,令84(2)(3)9x x --=-,整理得:2945560x x -+=,1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==(舍),(,]x m ∴∈-∞时,8()9f x ≥-成立,即73m ≤,7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦,故选B .【点睛】易错警示:图像解析式求解过程容易求反,画错示意图,画成向左侧扩大到2倍,导致题目出错,需加深对抽象函数表达式的理解,平时应加强这方面练习,提高抽象概括、数学建模能力.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________. 【答案】0.98. 【解析】 【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计,采取估算法,利用概率思想解题.【详解】由题意得,经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2⨯+⨯+⨯=,其中高铁个数为10+20+10=40,所以该站所有高铁平均正点率约为39.20.9840=. 【点睛】本题考点为概率统计,渗透了数据处理和数学运算素养.侧重统计数据的概率估算,难度不大.易忽视概率的估算值不是精确值而失误,根据分类抽样的统计数据,估算出正点列车数量与列车总数的比值.14.已知()f x 是奇函数,且当0x <时,()e axf x =-.若(ln 2)8f =,则a =__________.【答案】-3【解析】 【分析】本题主要考查函数奇偶性,对数的计算.渗透了数学运算、直观想象素养.使用转化思想得出答案. 【详解】因为()f x 是奇函数,且当0x <时,()ax f x e -=-.又因为ln 2(0,1)∈,(ln 2)8f =,所以ln 28a e --=-,两边取以e 为底的对数得ln 23ln 2a -=,所以3a -=,即3π. 【点睛】本题主要考查函数奇偶性,对数的计算.15.V ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===,则V ABC 的面积为__________.【答案】【解析】 【分析】本题首先应用余弦定理,建立关于c 的方程,应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解,本题属于常见题目,难度不大,注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查. 【详解】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-,所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=, 即212c =解得c c ==-所以2a c ==11sin 222ABC S ac B ∆==⨯= 【点睛】本题涉及正数开平方运算,易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误.解答此类问题,关键是在明确方法的基础上,准确记忆公式,细心计算.16.中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面,其棱长为_________.【答案】 (1). 共26个面. (2). 1. 【解析】 【分析】第一问可按题目数出来,第二问需在正方体中简单还原出物体位置,利用对称性,平面几何解决. 【详解】由图可知第一层与第三层各有9个面,计18个面,第二层共有8个面,所以该半正多面体共有18826+=个面.如图,设该半正多面体的棱长为x ,则A B B E x ==,延长BC 与FE 交于点G ,延长BC 交正方体棱于H ,由半正多面体对称性可知,BGE ∆为等腰直角三角形,,21)122BG GE CH x GH x x x ∴===∴=⨯+==,1x ∴==.【点睛】本题立意新颖,空间想象能力要求高,物体位置还原是关键,遇到新题别慌乱,题目其实很简单,稳中求胜是关键.立体几何平面化,无论多难都不怕,强大空间想象能力,快速还原图形.三、解答题:共70分。

2019年湖南理数高考试题文档版(含答案解析)

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)理科数学本试卷共4页,23小题,满分150分,考试用时120分钟。

注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型(B )填涂在答题卡的相应位置上。

2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<,,则M N =A .}{43x x -<<B .}42{x x -<<-C .}{22x x -<<D .}{23x x <<2.设复数z 满足=1i z -,z 在复平面内对应的点为(x ,y ),则A .22+11()x y +=B .221(1)x y +=-C .22(1)1y x +-=D .22(+1)1y x +=3.已知0.20.32log 0.220.2a b c ===,,,则 A .a b c <<B .a c b <<C .c a b <<D .b c a <<4.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-(512-≈0.618,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm ,头顶至脖子下端的长度为26 cm ,则其身高可能是A .165 cmB .175 cmC .185 cmD .190 cm5.函数f (x )=2sin cos ++x xx x 在[,]-ππ的图像大致为A .B .C .D .6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是A .516B .1132C .2132D .11167.已知非零向量a ,b 满足||2||=a b ,且()-a b ⊥b ,则a 与b 的夹角为A .π6B .π3C .2π3D .5π68.如图是求112122++的程序框图,图中空白框中应填入A .A =12A+ B .A =12A+C .A =112A+D .A =112A+9.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知4505S a ==,,则 A .25n a n =-B . 310n a n =-C .228n S n n =-D .2122n S n n =- 10.已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -(),(),过F 2的直线与C 交于A ,B 两点.若22||2||AF F B =,1||||AB BF =,则C 的方程为 A .2212x y += B .22132x y += C .22143x y += D .22154x y += 11.关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论:①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间(2π,π)单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A .①②④B .②④C .①④D .①③12.已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上,P A =PB =PC ,△ABC 是边长为2的正三角形,E ,F分别是P A ,PB 的中点,∠CEF =90°,则球O 的体积为A .68πB .64πC .62πD .6π二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)(含解析版)

绝密★启用前2019 年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅲ)一、选择题:本题共12 小题,每小题5 分,共60 分。

在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A = {-1, 0,1, 2},B = {x x2≤1} ,则AA.{-1,0,1} B.{0,1} C.{-1,1} D.{0,1, 2}2.若z(1+ i) = 2i ,则z=A.-1- iB.-1+iC.1- iD.1+i3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100 学生,其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90 位,阅读过《红楼梦》的学生共有80位,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60 位,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.84.(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为A.12 B.16 C.20 D.245.已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4 项为和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=A.16 B.8 C.4 D.26.已知曲线y =a e x+x ln x 在点(1,a e)处的切线方程为y=2x+b,则A. a = e,b =-1 b =-1B.a=e,b=1 C.a = e-1,b = 1 D .a = e-1,B =7.函数y =2x32x + 2-x在[-6, 6]的图象大致为A.B.C.D.8.如图,点N 为正方形ABCD 的中心,△ECD 为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED 的中点,则A.BM=EN,且直线BM、EN 是相交直线B.BM≠EN,且直线BM,EN 是相交直线C.BM=EN,且直线BM、EN 是异面直线D.BM≠EN,且直线BM,EN 是异面直线9.执行下边的程序框图,如果输入的ε为0.01,则输出s 的值等于yA. 2 - 124B. 2 - 125C. 2 - 126D. 2 - 12710. 双曲线 C :x2- =1 的右焦点为 F ,点 P 在 C 的一条渐进线上,O 为坐标原点,若 4 2PO = PF ,则△PFO 的面积为A. 3 24B. 3 22C. 2D. 311. 设 f( x ) 是定义域为 R 的偶函数,且在(0, ∞) 单调递减,则A. f (log1 )> f (- 3)>f ( - 2 )B. f (log 34 1)> f ( 2 2- 2)> f ( 2 3- 3 )3 4 2 3 2 2C. f ( - 3)> f ( -2)> f (log1)2 22 334D. f ( - 2)> f ( -3)> f (log1 )2 32 23412. 设函数 f( x ) =sin (ω x + π)( ω >0),已知 f (x ) 在[0, 2π]有且仅有 5 个零点,下述 5四个结论:① f (x ) 在( 0, 2π )有且仅有 3 个极大值点 2 22, xy ② f (x ) 在( 0, 2π )有且仅有 2 个极小值点③ f (x ) 在( 0, π)单调递增10④ ω 的取值范围是[12 29) 5 10其中所有正确结论的编号是A . ①④B . ②③C . ①②③D . ①③④二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。

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