2011-2012大物B(下)试卷a

2011-2012大物b 下期末试卷
1．本题14分（2552）
一根很长的圆柱形铜导线均匀载有10 A 电流，在导线内部作一平面S ，S 的一个边是导线的中心轴线，另一边是S 平面与导线表面的交线，如图所示．试计算：
（1）通过沿导线长度方向长为1m 的一段S 平面的磁通量．
（2）长为1m 的一段导线内的磁场能量。

(真空的磁导率μ0 =4π×10-7 T ·m/A ，铜的相对磁导率μr ≈1) 解：（1）在距离导线中心轴线为x 与x x d +处，作一个单位长窄条，其面积为
x S d 1d ⋅=．窄条处的磁感强度
20
2R Ix B r π=μμ 所以通过d S 的磁通量为 x R Ix
S B r d 2d d 20π=
=μμΦ
通过１m 长的一段S 平面的磁通量为
⎰
π=
R
r x R
Ix
2
0d 2μμΦ60104-=π
=
I
r μμ Wb
（2）xdx R x I dV B dW m ππμμ2824
222⋅==
J I xdx R
x I dW W R m m 62
422010521628-⨯==⋅==⎰⎰.πμππμ
2．本题12分（2139）
如图所示，真空中一长直导线通有电流I (t ) =I 0e -λt (式中I 0、λ为常量，t 为时间)，有一带滑动边的矩形导线框与长直导线平行共面，二者相距a ．矩形线框的滑动边与长直导线垂直，它的长度为
b ，并且以匀速v
(方向平行长直导线)滑动．若忽略线框中的自感电动势，并设开始时滑动边与对边重合，试求任意时刻t 在矩形线框
内的感应电动势 i 并讨论 i 方向．
解：线框内既有感生又有动生电动势．设顺时针绕向为 i 的正方向．由 i = -d Φ /d
t 出发，先求任意时刻t 的Φ (t )
⎰⋅
=S B t
d )(Φ y t x y
t I b
a a
d )(2)
(0⎰
+π=
μ
a
b
a t x t I +π=ln )()(20
μ 再求Φ (t )对t 的导数：
)d d d d )((ln 2d )(d 0t
x
I x t I b b a t t ++π=μΦ x
I (t )
x (t )
a
b a t I t +-π=
-ln )1(e 200
λμλv )(t x v = ∴ i a
b a t I t
t +-π=
-=-ln )1(e 2d d 00
λμΦλv
i 方向：λ t <1时，逆时针；λ t >1时，顺时针．
3．本题10分（2225）
给电容为C 的平行板电容器充电，电流为i = 0.2e -t ( SI )，t = 0时电容器极板上无电荷．求： (1) 极板间电压U 随时间t 而变化的关系． (2) t 时刻极板间总的位移电流I d (忽略边缘效应)．
解： (1) )e 1(2
.0e 2.01
d 10
0t t t
t
C
C
t i C C q U ---=
⨯-===⎰ (2) 由全电流的连续性，得 t d i I -==e 2.0
4．本题10分（3659） 图示一牛顿环装置，设平凸透镜中心恰好和平玻璃接触，透镜凸表面的曲率半径是R ＝400 cm ．用某单色平行光垂直入射，观察反射光形成的牛顿环，测得第5个明环的半径是0.30 cm ． (1) 求入射光的波长．
(2) 设图中OA ＝1.00 cm ，求在半径为OA 的范围内可观察到的明环数目．
解：(1) 明环半径 ()2/12λ⋅-=
R k r
()R
k r 1222-=λ＝5×10-5 cm (或500 nm) (2) (2k －1)＝2 r 2 / (R λ) 对于r ＝1.00 cm ， k ＝r 2 / (R λ)＋0.5＝50.5 故在OA 范围内可观察到的明环数目为50个．
5．本题12分（3738）
用钠光(λ=589.3 nm)垂直照射到某光栅上，测得第三级光谱的衍射角为60°． (1) 若换用另一光源测得其第二级光谱的衍射角为30°，求后一光源发光的波长．
(2) 若以白光(400 nm －760 nm) 照射在该光栅上，求其第二级光谱的张角．
(1 nm= 10-9 m)
解：(1) (a + b ) sin ϕ = 3λ a + b =3λ / sin ϕ ， ϕ=60° a + b =2λ'/sin ϕ' ϕ'=30° 3λ / sin ϕ =2λ'/sin ϕ'
λ'=510.3 nm
(2) (a + b ) =3λ / sin ϕ =2041.4 nm
2
ϕ'=sin -1(2×400 / 2041.4) (λ=400nm)
2
ϕ''=sin -1(2×760 / 2041.4) (λ=760nm) 白光第二级光谱的张角 ∆ϕ = 22ϕϕ'-''= 25°
6．本题10分（3766）
将两个偏振片叠放在一起，此两偏振片的偏振化方向之间的夹角为o
60，一束光强为I 0的线偏振光垂直入射到偏振片上，该光束的光矢量振动方向与二偏振片的偏振化方向皆成30°角．
(1) 求透过每个偏振片后的光束强度；
(2) 若将原入射光束换为强度相同的自然光，求透过每个偏振片后的光束强度．
解：(1) 透过第一个偏振片的光强I 1
I 1＝I 0 cos 230° ＝3 I 0 / 4 透过第二个偏振片后的光强I 2， I 2＝I 1cos 260° ＝3I 0 / 16 (2) 原入射光束换为自然光，则
I 1＝I 0 / 2 I 2＝I 1cos 260°＝I 0 / 8
7．本题10分（4366）
在惯性系S 中，有两事件发生于同一地点，且第二事件比第一事件晚发生∆t =2s ；而在另一惯性系S ＇中，观测第二事件比第一事件晚发生∆t '=3s ．那么在S ＇系中发生两事件的地点之间的距离是多少？
解：令S ＇系与S 系的相对速度为v ，有 2
)/(1c t
t v -=
'∆∆， 2
2)/(1)/(c t t v -='∆∆
则 2
/12))/(1(t t c '-⋅=∆∆v ( = 2.24×108 m ·s -
1 )
那么，在S ＇系中测得两事件之间距离为：
2/122
)(t t c t x ∆∆∆∆-'
='⋅='v = 6.72×108 m
8．本题14分（5366）
假定在康普顿散射实验中，入射光的波长λ0 = 0.0030 nm ，反冲电子的速度v = 0.6 c ，求
（1）散射光的波长λ．
（2）反冲电子的德布罗意波长e λ
(电子的静止质量m e =9.11×10-31 kg ，普朗克常量h =6.63×10-34 J ·s ，1 nm = 10-
9 m ，c 表示真空中的光速)
解：根据能量守恒,有 220mc h c m h e +=+νν
这里 2
)
/(11c m m e
v -=
∴ 20c m h h e +=νν])
/(11
1[2
c v --
则 20c m hc hc e +=λλ])
/(11
1[2c v --
解得：
]
)
/(11
1[1200
c h c m e v --+=
λλλ= 0.00434 nm
（2）反冲电子的德布罗意波长
nm v
m h
e e 003230.==
γλ
9．本题8分（4526）
粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为： )/sin(/2)(a x n a x n π=ψ (0 <x <a )
若粒子处于n =1的状态，它在 0－a /4区间内的概率是多少？
[提示： C x x x x +-=
⎰2sin )4/1(2
1
d sin 2]
解： x a
x a x P d s i n 2d d 22
π=
=ψ
粒子位于0 – a /4内的概率为： x a x a P a d sin 24
/0
2⎰
π=
)d(sin 24
/0
2a x a x a a a πππ=⎰ 4
/02
1
]2sin 41[
2
a a x a x
πππ-=)]4
2sin(414[221a a a a π-ππ= =0.091。