Groupe a classes de conjugaisons infinies quelques exemples

a rX iv:mat h /51255v1[mat h.GR]21D ec25GROUPES `A CLASSES DE CONJUGAISON INFINIES :QUELQUES EXEMPLES Jean-Philippe PR ´EAUX 12Abstract.We consider the group property of being with infinite conjugacy classes (or icc ,i.e.=1and of which all conjugacy classes except 1are infinite)in some particular cases,and more particulary in case of specific elementary algebraic constructions or of some 3-manifold fundamental groups.R ´e sum ´e .Nous ´e tudions la propri´e t´e pour un groupe d’ˆe tre `a classes de conjugaison infinis (ou cci ,i.e.=1et dont toutes les classes de conjugaison autres que 1sont infinies)dans certains cas particuliers,et plus particuli`e rement dans le cas de constructions alg´e briques ´e l´e mentaires,ou de groupes fondamentaux de certaines 3-vari´e t´e s.1.Introduction La propri´e t´e de groupe d’ˆe tre `a classes de conjugaison infinies est particuli`e rement simple `a ´e noncer (voir la d´e finition section 2).Elle est motiv´e e par la caract´e risation de Murray et Von-Neumann des alg`e bres de Von-Neumann qui sont des facteurs de type II-1(cf.[ROIV]):Caract´e risation de Murray et Von-Neumann.Soient Γun groupe et W ∗λ(Γ)son alg`e bre de Von-Neumann.Alors W ∗λ(Γ)est un facteur de type II-1si et seulement si Γest cci.Nous ´e tudions plus particuli`e rement la stabilit´e de cette propri´e t´e par certaines con-structions alg´e briques ´e l´e mentaires,et le cas des groupes fondamentaux de certaines 3-vari´e t´e s.L’´e tude que nous menons est somme toute ´e l´e mentaire ;le lecteur int´e ress´e pourra trouver des r´e sultats analogues de plus grande port´e e dans [Co],[HP]et [Pr].Ce travail a ´e t´e effectu´e durant l’´e t´e 2004alors que l’auteur se trouvait `a l’universit´e de Gen`e ve et a ´e t´e partiellement financ´e par le Fonds National Suisse de la Recherche Scientifique.L’auteur tient `a remercier les math´e maticiens Gen´e vois pour leur accueil,et plus particuli`e rement Goulnara Arjantseva et Pierre de la Harpe.L’auteur remercie encore Pierre de la Harpe de lui avoir introduit le probl`e me,ainsi que des nombreusesdiscussions et des commentaires apport´e s.2.D´e finitions et exemplesD´e finition 1.Un groupe est dit `a classes de conjugaisons infinies (ou cci)si il est non trivial,et si tout ´e l´e ment non trivial a une classe de conjugaison infinie.Il est commode de caract´e riser cette propri´e t´e en terme de centralisateur plutˆo t qu’en terme de classe de conjugaison.Proposition-D´e finition 1.Un groupe non trivial est cci si et seulement si tout ´e l´e ment non trivial a un centralisateur d’indice infini.Preuve.On note G le groupe,et Z(g)le centralisateur d’un´e l´e ment g∈G.Soient g∈G−{1},et a,b∈G.Supposons que aga−1=bgb−1:aga−1=bgb−1⇐⇒(b−1a)g=g(b−1a)⇐⇒b−1a∈Z(g)Ainsi aga−1=bgb−1si et seulement si a et b sont dans des right-cosets diff´e rents de G/Z(g)et donc,la classe de conjugaison de g,[[g]],est en correspondance bi-univoque avec G/Z(g).Ainsi#[[g]]=#(G/Z(g)),ce qui permet de conclure.On peut d´e j`a´e tablir quelques exemples´e vidents:Proposition2.1.(1)Les groupes libres de rang≥2sont cci.(2)Les groupes Gromov-hyperboliques non´e l´e mentaires et sans torsion sont cci.(3)Les groupes ayant un nombrefini(non nul)d’´e l´e ments de torsion(en particulierles groupesfinis),ne sont pas cci.(4)Les groupes virtuellement ab´e liens ne sont pas cci.(5)Les groupes ayant un centre non trivial ne sont pas cci.Preuve.Dans un groupe libre le centralisateur d’un´e l´e ment non trivial est cyclique infini. Puisqu’un groupe libre de rang≥2n’est pas virtuellement Z,cela prouve(1).Dans un groupe hyperbolique le centralisateur d’un´e l´e ment d’ordre infini est virtuellement cyclique ([CDP]).Ainsi`a l’exception des cas o`u le groupe estfini ou virtuellement cyclique,le centralisateur d’un´e l´e ment est toujours d’ordre infini,ce qui prouve(2).Pour prouver(3) consid´e rons un´e l´e ment g de torsion(non trivial).Tous ses conjugu´e s ont mˆe me ordre que lui,et sont donc aussi de torsion.Ainsi g n’a qu’un nombrefini de conjugu´e s.Pour prouver (4)appelons A un sous-groupe ab´e lien d’indicefini dans un groupe G,et consid´e rons un ´e l´e ment non trivial g∈A.Alors Z(g)⊃A,et donc Z(g)est d’indicefini dans G.Pour prouver(5)il suffit de remarquer que tout´e l´e ment du centre a pour centralisateur le groupe ambient.3.Stabilit´e par construction alg´e briqueAfin de consid´e rer le cas d’un produit libre,il nous est n´e cessaire d’´e tablir le lemme suivant:Lemme3.1.Soient A,B des groupes non triviaux.Soit A et B sont tous deux d’ordre 2,soit A∗B contient le groupe libre de rang2.Preuve.Si A et B contiennent chacun un´e l´e ment d’ordre infini a∈A,b∈B,alors <a>∗<b>est un sous-groupe de A∗B isomorphe`a F(2).Si A ou B contient un´e l´e ment d’ordre>2,A∗B contient un sous-groupe<x,y|x r,y s>, avec r>2et s≥0,s=1.On pose a=x(xy)x−1et b=yx(xy)x−1y−1.Alors avec le th´e or`e me d’´e criture sous forme r´e duite,un mot r´e duit non trivial sur a et b est non trivial dans A∗B,et donc a et b engendrent un groupe libre de rang2.Pourfinir,si A et B ne sont pas tous deux d’ordre2,mais ne contiennent que des ´e l´e ments d’ordre2,alors A∗B contient<x,y,z|x2,y2,(xy)2,z2>.Alors comme pr´e c´e demment,a=x(yz)x et b=zx(yz)xz engendrent un groupe libre de rang2. Proposition3.1(Produit libre).Soient A,B deux groupes non triviaux.Si A ou B est d’ordre>2,alors A∗B est cci.Preuve.Soit u un´e l´e ment dans un des deux facteurs;sans perte de g´e n´e ralit´e on sup-pose u∈A.Avec le th´e or`e me de commutativit´e dans un produit libre(cf.[MKS]),le centralisateur de u dans A∗B n’est rien d’autre que le centralisateur de u dans A.PuisqueA est d’indice infini dans A∗B,il en va de mˆe me de Z(u).Maintenant si v est un´e l´e ment qui n’est pas dans un des facteurs,son centralisateur est cyclique infini.Pour conclure il suffit d’utiliser le lemme pr´e c´e dent:puisque A∗B contient le groupe libre de rang2,il ne peut pasˆe tre virtuellement Z,et donc A∗B est cci. Remarque:Dans le cas restant,celui du groupe Z2∗Z2,ce dernier contient un groupe cyclique infini d’indice2(si l’on note A∗B=<a,b|a2,b2>,consid´e rer<ab>),et n’est donc pas cci.Proposition3.2(Sous-groupe d’indicefini).Si G est cci,et si K est un sous-groupe d’indicefini de G,alors K est aussi cci.Preuve.Soit u=1dans K.On note respectivement Z G(u)et et Z K(u)son centralisa-teur dans G et K;trivialement Z K(u)=Z G(u)∩K.Puisque G a la propri´e t´e H,Z G(u) est d’indice infini dans G.Si Z K(u)´e tait d’indicefini dans K,il serait aussi d’indicefini dans G,ce qui est impossible puisque Z G(u)⊃Z K(u). Remarque:La r´e ciproque est fausse;il suffit pour voir cela de consid´e rer le groupe F2×Z2.Elle devient vraie lorsque l’on suppose que le groupe est sans torsion.Proposition3.3(Extensionfinie).Si G est sans torsion,et si K est un sous-groupe d’indicefini de G cci,alors G est aussi cci.Preuve.Supposons que G ne soit pas cci,bien qu’il contienne un sous-groupe d’indice fini cci.Ainsi,il existe u=1dans G,tel que Z G(u)soit d’indicefini dans G,et donc Z G(u)∩K=K0est d’indicefini dans K.N´e cessairement u∈K,car cela contredirait le fait que K est cci.Mais il est facile de voir qu’il existe n>1tel que u n∈K.L’ensemble K0est inclus dans Z K(u n),qui est donc n´e cessairement d’indicefini dans K.Puisque K est cci,on a u n=1,et donc G a de la torsion. Proposition3.4(Epi-r´e siduellement cci).Soit G un groupe;si pour tout g∈G−{1} il existe un morphisme surjectifφsur un groupe cci,tel queφ(g)=1(on dira que G est ´e pi-r´e siduellement H),alors G est cci.Preuve.Soitφ:G−→K un´e pimorphisme sur un groupe K cci.Remarquons que puisqueφest surjectif,un conjugu´e deφ(g)dans K est l’image parφd’un conjugu´e de g dans G.Ainsi,puisque K est cci,siφ(g)=1sa classe de conjugaison dans K est infinie, et donc la classe de conjugaison de g dans G est elle-mˆe me infinie.On en d´e duit directement:Proposition3.5(Produit direct).Soient A et B deux groupes non triviaux.Le produit direct A×B est cci si et seulement si A et B sont cci.Preuve.Si A ou B est non cci,trivialement A×B n’est pas cci;aussi supposons dans la suite que A et B sont tous deux cci et montrons que A×B est cci.Soit u=ab,avec a∈A et b∈B.Si u=1,alors sans perte de g´e n´e ralit´e on peut supposer a=1.En consid´e rant la projection canonique A×B−→A,la proposition3.4permet de conclure.On peut v´e rifie aussi la stabilit´e de la propri´e t´e d’ˆe tre cci par extension.Proposition3.6(Extension).Soit G l’extension de deux groupes cci K et Q:1−→K−→G p−→Q−→1Alors G est aussi cci.Preuve.Soitω=1un´e l´e ment de G.Siω∈K,sa classe de conjugaison dans K est infinie,et il en est donc de mˆe me de sa classe de conjugaison dans G.Siω∈K,alors p(ω)a une classe de conjugaison infinie dans Q,et donc puisque p est surjectif,la classe de conjugaison deωdans G est aussi infinie. Proposition3.7(Amalgame).Si A et B sont deux groupes cci,et si C=A∩B n’est pas d’indice1ou2dans chaque facteur,alors le produit amalgam´e A∗C B est cci. Preuve.On peut supposer que A,B={1},car autrement le groupe obtenu n’est autre que A ou B.De la mˆe me fa¸c on on peut supposer que C est d’indice>1dans A et dans B.Soit u∈A∗C B;si u est dans un des facteurs,par exemple A,sa classe de conjugaison dans A∗C B contient sa classe de conjugaison dans A,et est donc infinie.Supposons sans perte de g´e n´e ralit´e que C est d’indice>2dans A.Consid´e rons un ´e l´e ment u=1quelconque dans A∗C B,que l’on peut supposer cycliquemet r´e duit.Le cas o`u u est dans un des facteurs ayant d´e j`a´e t´e trait´e,on peut supposer que u s’´e crit sous forme cycliquement r´e duite u=a1b1.···.a n b n,avec n≥1.L’ensemble des right-cosets A/C contient au moins trois´e l´e ments distincts1.C,α.C etα2.C.On choisit a∈A hors de la classe1.C et dans une classe diff´e rente de celle de a−11.On choisit b∈B−C.Avec ce choix,tous les´e l´e ments(ba)n.u.(ba)−n de la classe de conjugaison de u sont distincts. Ainsi tout´e l´e ment non trivial de A∗C B a une classe de conjugaison infinie,ce qui conclut la preuve.Le mˆe me mod`e le de preuve s’applique pour montrer:Proposition3.8(Extension HNN).Si A est cci,et si C est un sous-groupe d’indice >2dans A,l’extension HNN A∗C est cci.Preuve.Soit A∗φ,avecφ:C−→φ(C).On note t une lettre stable,telle que tct−1=φ(t) pour tout c∈me pr´e c´e demment on peut se ramener facilement au cas d’un´e l´e ment cycliquement r´e duit de longueur>1,u=a1t n1.....αp t n p,avec n p=0.On a au moins3 right-cosets dans A/C:1.C,α.C,etα2.C.On choisit a∈A hors de1.C et de la classe de a−11.Alors tous les´e l´e ments(ta)n u(ta)−n pour n>0sont distincts dans la classe de conjugaison de u,ce qui permet de conclure.Et on obtient en corollaire imm´e diat:Proposition3.9(Graphes de groupes).SiΓ=π1(G,X)est le groupe d’un graphe de groupe dont tous les groupes de sommet sont cci,et tel que pour toute arˆe te e d’origine s0 et d’extr´e mit´e s1,G(e)est d’indice>2dans G(s0)ou bien dans G(s1),alorsΓest cci.4.Groupes de3-vari´e t´e sNous consid´e rons d’abord le cas des groupes fondamentaux defibr´e s de Seifert(cf.[Sei]). En utilisant le fait que dans un groupe de Seifert,la classe d’unefibre r´e guli`e re a un centralisateur d’indicefini(cf.[JS]),on´e tablit imm´e diatement:Proposition4.1(Fibr´e s de Seifert).Les groupes defibr´e s de Seifert ne sont pas cci.Consid´e rons maintenant le cas des vari´e t´e s hyperboliques de volumefini.Il montre une autre application directe de la proposition3.4.Proposition4.2(Hyperboliques etχ=0).Les groupes de3-vari´e t´e s hyperboliques de volumefini non´e l´e mentaires sont cci.Preuve.Consid´e rons une vari´e t´e M v´e rifiant les hypoth`e ses:M est une3-vari´e t´e hy-perbolique`a bord torique ou vide,qui n’est ni un tore solide,ni un tore´e paissi.En outre,la classification des isom´e tries hyperboliques montre queπ1(M)est sans torsion(cf. [BP]),et donc avec la proposition3.3,en consid´e rant le revˆe tement d’orientation de M on supposera M orientable.Le th´e or`e me de chirurgie hyperbolique de Thurston affirme qu’il existe une suite de vari´e t´e s hyperboliques ferm´e es(M n)n,obtenues par obturation de Dehn sur M,con-vergeant vers M pour la topologie g´e om´e trique(cf.[BP]).Ainsi on a une suite d’´e pimorphismes (φn:π1M−→π1M n)n.Par d´efinition de la topologie g´e om´e trique,si u=1∈π1M,pourn≫0,φn(u)=1;et tous les groupesπ1M n sont hyperboliques au sens de Gromov.De plus pour n≫0ils sont non´e l´e mentaires(ceci car leurs pointsfixes dans∂H3convergent vers les pointsfixes deπ1M et sont donc pour n≫0en nombre>2).Ainsi avec la propo-sition2.1(2),π1M est´e pi-r´e siduellement cci,et la proposition3.4permet de conclure. Nous traitons maintenant le cas des groupes de3-vari´e t´e s orientables suffisament large. Rappelons qu’un3-vari´e t´e orientable est dite suffisament large si elle contient une surface incompressible`a deux faces;une3-vari´e t´e orientable est Haken si elle est irr´e ductible etsuffisament large.Proposition4.3(Le cas Haken orientable).Soit M un3-vari´e t´e Haken orientable; alors soitπ1(M)est cci soit M est unfibr´e de Seifert.Preuve.Nous avons vu qu’unfibr´e de Seifert a un groupe non cci;aussi supposons queπ1(M)est non cci et montrons que M est unfibr´e de Seifert.Rappelons que le groupe d’une3-vari´e t´e Haken est non trivial(car il contient un groupe de surface infini);ainsi, soit u=1dansπ1(M)ayant un centralisateur Z(u)d’indicefini,et soit p:N−→M lerevˆe tementfini associ´e`a Z(u).Clairementπ1(N)=Z(u)a un centre non trivial.De plusn´e cessairement N est Haken:le corollaire13.5de[He]montre que N est irr´e ductible,et de plus si S est une surface incompressible`a deux faces dans M,p−1(S)est une surface incompressible`a deux faces dans N.Le corollaire II.5.4de[JS]montre que Nest n´e cessairement unfibr´e de Seifert et le th´e or`e me II.5.3([JS])montre qu’il en est alorsde mˆe me pour M. Proposition4.4(Le cas orientable suffisament large).Soit M une3-vari´e t´e ori-entable et suffisament large ayant un groupe fondamental non di´e dral infini;alors soitπ1(M)est cci,soit la compl´e t´e e de Poincar´e P(M)est unfibr´e de Seifert.Preuve.Consid´e rons la d´e composition de Kneser-Milnor(cf.[He])de M:M=M1#···#M n#B1#···#B p#C1#···C qavec n,p,q∈N,et o`u les M i sont non simplement connexes et premiers,les B i sont des boules et les C i des fausses3-sph`e res.Puisque M est suffisament large,π1(M)est non trivial(car il contient un groupe de surface infini)et donc n> compl´e t´e e de Poincar´eP(M)est alors d´efinie comme´e tant:P(M)=M1#···#M net de plusπ1(M)=π1(P(M))=π1(M1)∗···∗π1(M n).Ainsi avec la proposition4.1siP(M)est unfibr´e de Seifert,alorsπ1(M)n’est pas cci.Supposons dans la suite queπ1(M) n’est pas cci.Alors avec la proposition3.1soitπ1(M)est di´e dral infini,soit n=1.Ainsi sous nos hypoth`e ses P(M)=M1et soit M1≡S2×S1soit M1est irr´e ductible.Dans le premier cas P(M)est unfibr´e de Seifert,et dans le second cas,puisque M contient une sur-face incompressible`a deux faces,M1est Haken,et la proposition4.3donne la conclusion.Dans[HP]ces r´e sultats ont´e t´e g´e n´e ralis´e s au cas de groupes fondamentaux de3-vari´e t´e s quelconques.References[BP]R.Benedetti,and C.Petronio,Lectures on hyperbolic geometry,Universitext,Springer,1992. [Co]Y.de Cornulier,Infinite conjugacy classes in groups acting on trees,Pr´e publication2005. [CDP]M.Coornaert,T.Delzant,and A.Papadopoulos,G´e om´e trie et th´e orie des groupes,les groupes hyperboliques de Gromov,Lecture Notes in Mathematics1441,Springer-Verlag,1991.[HP]P.de la Harpe et J.-P.Pr´e aux,Groupes fondamentaux des vari´e t´e s de dimension3et alg`e bres d’op´e rateurs,Pr´e publication arXiv:math.GR/0509449v1(2005).[He]J.Hempel,3-manifolds,Annals of mathematics studies,Priceton university press,1976.[JS]W.Jaco and P.Shalen,Seifertfibre space in3-manifolds,Memoirs of the Amer.Math.Society 220(1979).[ROIV]F.J.Murray et J.von Neumann,On rings of operators,IV,Annals of Math.44(1943),716–808. [Pr]J.-P.Pr´e aux,Group extensions with infinite conjugacy classes,Pr´e publication2005.[Sei]H.Seifert,Topology of three dimensionalfibered spaces,Acta Mathematica60(1933),147–288.。