江苏省扬中市第二高级中学高考数学 午时30分钟训练34 立体几何
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高三数学午时30分钟训练34
班级 姓名
1．已知m 、α,是直线n 、β、γ是平面，给出下列命题：
①若α⊥β，α∩β=m ，n ⊥m ，则n ⊥α或n ⊥β； ②若α//β，α∩γ= m ，β∩γ= n ，则m//n ；
③若m 不垂直于α，则m 不可能垂直于α内的无数条直线； ④若α∩β=m ，n//m 且n ⊄α，n ⊄β，则n//α且n//β. 其中所有正确命题的序号是 . 2．已知直线b a ,及平面α，下列命题中: ①αα//a b b a ⇒⎩⎨
⎧⊥⊥；②αα
⊥⇒⎩⎨
⎧⊥a b b
a //； ③αα//////a
b b a ⇒⎩⎨
⎧；④αα
⊥⇒⎩⎨⎧⊥a b b
a //．正确命题的序号为__________（注：把你
认为正确的序号都填上）.
3． 用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如 右图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为 .
4．一个直角梯形的两底长分别为2和5，高为4，绕其较长的底旋转一周，所得的几何体的表面积为 .
5．正四棱台的高，侧棱，对角线长分别为7cm ，9cm ，11cm ，则它的侧面积为 ．
6．半径为a 的球放在墙角，同时与两墙面和地面相切，那么球心到墙角顶点的距离为 ．
7．如图为一几何体的的展开图，其中ABCD 是边长为6的正方形， SD=PD ＝6，CR=SC ，AQ=AP ，点S,D,A,Q 及P,D,C,R 共线，沿图中 虚线将它们折叠起来，使P ，Q ，R ，S 四点重合，则需要 个 这样的几何体，可以拼成一个棱长为6的正方体。
俯视图
主视图
2
8. 一动点P 由正四面体ABCD 的B 点出发，经过△ACD 的中心后到达AD 中点，若AB=2，则P 点行走的最短路程是
9．如图，已知直三棱柱111C B A ABC -的侧棱长是2，底面ABC ∆是等腰直角三角形，且090=∠ACB ,AC =2，E 是AB 的中
点 ， D 是AA 1的中点，则三棱锥E C B D 11-的体积是
10．如图在正三棱锥A －BCD 中，E 、F 分别是AB 、 BC 的中点，EF ⊥DE ，且BC ＝1，则正三棱锥A －BCD 的体积是 ；
11．如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，
又BC 1⊥AC ，过C 1作C 1H ⊥底面ABC ，垂足为H ，则点H 一定在直线 上
12．如图,三棱柱的侧棱长和底边长均为4，且侧棱1111AA A B C ⊥面,正视图是边长为4的正方形，该三棱柱的左视图面积为 .
13．用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，所得小圆锥侧面积 与原来大圆锥侧面积的比是1∶2，那么小圆锥的高与原来大 圆锥的高的比值是 ．
14．如右图所示，在单位正方体1111D C B A ABCD - 的面对角线B A 1上存在一点P 使得P D AP 1+最短， 则P D AP 1+的最小值为 .
A
B
C
A 1
B 1
C 1 E
D
_ B _1
_ A _1
_ B
_ A
_ B _1 _ A _1
_ B _ A
正视图
俯视图
第14题图
A
B
C D A 1
B 1
C 1
D 1
P
3
1．②④2.（4）3.10，16;4.π52
;5.
7、3;8.33
5
（ 9．1 ）10．242 11、直线AB 上;12、38 13
14、22+。
江苏省扬中市第二高级中学高考数学 午时30分钟训练33 立体几何
高三数学午时30分钟训练33班级姓名1. 下面四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB//平面MNP的图形是2．给出下列关于互不相同的直线lnm,,和平面βα,的四个命题：（1）,,,mAAlm∉=⊂点ααI则l与m不共面；（2）l、m是异面直线，ααα⊥⊥⊥nmnlnml则且,,,//,//；（3）若ββαα//,//,,,mlAmlml点=⊂⊂I，则βα//（4）若mlml//,//,//,//则βαβα其中真命题是（填序号）3．已知正方体1111ABCD A B C D-中，点M、N分别是11,AB BC的中点，那么①1AA MN⊥；②11//AC MN；③1111//MN A B C D平面；④11MN A C与异面以上4个结论中，不正确．．．的结论有．个4．如图三棱锥S-ABC中，12SE BF SGEA SF GC===，则截面EFG把三棱锥分成两部分体积的比为5．已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为23，它被中截面截得的较大部分的体积是6．在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，A0，B0，分别为侧棱AA1，BB1上的点，且知BB0:B0B1=3:2，过A0，B0，C1的截面将三棱柱分成上下两个部分体积之比为2:1，则AA0:A0A1=7．已知一个正六棱锥的体积为12，底面边长为2，则它的侧棱长为 .8．直三棱柱111C B A ABC -中，11===BB BC AC ，31=AB ．求三棱锥CAB A 11-的体积 .9．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体10．在阳光下一个大球放在水平面上, 球的影子伸到距球与地面接触点10米处, 同一时刻, 一根长1米一端接触地面且与地面垂直的竹竿的影子长为2米, 则该球的半径等于 .11．一个斜三棱柱，底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，一条侧棱与底面三角形两边所成的角都是60°，则这个斜三棱柱的侧面积是 . 12．已知圆锥的母线长与底面半径长之比为3:1，一个正方体有 四个顶点在圆锥的底面内，另外的四个顶点在圆锥的侧面上（如图）， 则圆锥与正方体的表面积之比为13． 一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为1h ，2h ，h ，则12::h h h =14．如图，已知正三棱锥P －ABC 1，，Q 是侧棱PA 的中点，一条折线从A 点出发，绕侧面一周到Q 点，则这条折线长度的最小值为 .正视图侧视图俯视图ABCQ P1. 2、 （1）、（2）、（3）3、1（ 4.25）5．4376．2:37.3;;8. 1/6 9、38000cm 310.A ．10（5－2）米 B ．（6－15）米C ．（9－45）米D ．5 2米11. （A ）40 （B ）20(1+3) （C ）30(1+3) （D ）303（12.．3:π2:2 14、2。
江苏省镇江市扬中市第二高级中学2022届高三下学期高考前热身数学试题 (2)
一、单选题二、多选题1. 抛物线上任意两点､处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”.当线段经过抛物线焦点时，具有以下特征：①点必在抛物线的准线上；②为直角三角形，且；③.若经过抛物线焦点的一条弦为，阿基米德三角形为，且点的纵坐标为4，则直线的方程为（ ）A．B．C．D．2.已知，则等于（_________）A．B．C．D．3. 3个0和2个1随机排成一行，则2个1不相邻的概率为（ ）A．B．C．D．4.已知函数的部分图象如图所示，点，，在图象上，若，，且，则（）A ．3B．C ．0D．5.已知集合，则A 中元素个数为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．116.已知函数 （其中为自然对数的底数），则图象大致为（ ）A．B．C．D．7. 若，则等于（ ）A ．-1B ．2C ．3D ．68. 已知，且，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．9. 在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，点在抛物线上，点在抛物线的准线上，则以下命题正确的是（ ）A．的最小值是2B．C ．当点的纵坐标为4时，存在点，使得D．若是等边三角形，则点的横坐标是3江苏省镇江市扬中市第二高级中学2022届高三下学期高考前热身数学试题 (2)江苏省镇江市扬中市第二高级中学2022届高三下学期高考前热身数学试题 (2)三、填空题四、解答题10. 已知是坐标原点，平面向量，，，且是单位向量，，，则下列结论正确的是（ ）A．B ．若A ，B ，C三点共线，则C ．若向量与垂直，则的最小值为1D ．向量与的夹角正切值的最大值为11. 已知函数的图像为曲线，下列说法正确的有（ ）．A．都有两个极值点B．都有三个零点C ．，曲线都有对称中心D．，使得曲线有对称轴12. 下列命题中，正确的命题有（ ）A ．已知随机变量服从二项分布，若，，则B ．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变C ．设随机变量服从正态分布，若，则D．若某次考试的标准分服从正态分布，则甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过90分的概率为13. 已知，是该函数的极值点，定义表示超过实数的最小整数，则的值为___________.14. 双曲线的一条渐近线与直线平行，则此双曲线的离心率为__________．15. 在中，角的对边分别为，,，则角的最大值为_____16. 已知A ′，A 分别是椭圆C ：（a ＞b ＞0）的左、右顶点，B ，F 分别是C 的上顶点和左焦点．点P 在C 上，满足PF ⊥A ′A ，AB ∥OP ，|FA ′|＝2．(1)求C 的方程；(2)过点F 作直线l （与x 轴不重合）交C 于M ，N 两点，设直线AM ，AN 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值．17. 已知函数（）.(1)，求证：；(2)证明：.()18.已知数列的前项和为，且，________.请在①；②成等比数列；③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19.如图，已知斜三棱柱，，，的中点为.且面，.（1）求证：；（2）在线段上找一点，使得直线与平面所成角的正弦值为.20. 如图，三棱柱中，平面，分别为和的中点，是边长为2 的正三角形，.(1)证明：平面；(2)求二面角的余弦值.21.如图，在平面四边形中，，，的平分线交于点，且．(1)求及；(2)若，求周长的最大值．。
江苏省扬中市第二高级中学高考数学午时30分钟训练3
江苏省扬中市第二高级中学高考数学午时30分钟训练31．已知函数(2),2(),(3)1(),22x f x x f x f x +<⎧⎪=-⎨>⎪⎩则的值是 .2．函数,y R k 则的取值范围是 . 3．设函数110022,0(),()1,,0x x f x f x x x x --⎧≤⎪=>⎨⎪>⎩若则的取值范围是 .4．二次函数2()22f x x ax =-+在[11]-，上的最小值为5-，则a = ． 5．给出下列命题：①若“p 且q ”与“p 或q ”都是假命题，则“⌝p 且⌝q ”是真命题； ②22x y x y ≠⇔≠且x y ≠-；③命题“a b ，都是偶数，则a b +是偶数”的逆否命题是“若a b +不是偶数，则a b ， 都是偶数”；④若关于x 的实系数不等式20ax bx c ++≤的解集是∅，则必有0a >且0∆≤．正确的为__ __6．设函数f(x)＝－x x +1 (x ∈R)，区间M ＝［a ，b ］(a ＜b)，集合Ｎ＝｛y|y ＝f(x)，x ∈M ｝， 则使Ｍ＝Ｎ成立的实数对(a ，b)有__ _个7．已知函数2211(),(1)(2)()(3)()(4)=123x f x f f f f f f f x =+++++++1那么（）4 . 8．函数1()(,1)(1,2],lg(21)2f x x =⋃-求实数a 的值.1.18；2.01k≤≤；3.(,1)(1,)-∞-⋃+∞；4．二次函数2()22f x x ax=-+在[11]-，上的最小值为5-，则a=．4±；．；5．（1）_ ；6．０个；7. 72；8.2。
2022届江苏省镇江市扬中市第二高级中学高三下学期高考前热身数学试题(解析版)
2022届江苏省镇江市扬中市第二高级中学高三下学期高考前热身数学试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}2560A x x x =--≤，3lg 3x B x y x -⎧⎫==⎨⎬+⎩⎭，则如图所示的Venn 图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．(]3,1--B ．(]1,3-C ．(]1,3D ．[]3,6【答案】D【分析】由图可知阴影部分表示的是()U A B ⋂，求出集合A ，B ，U B ，再求出()U A B ⋂即可【详解】由题意知全集U =R ，集合{}{}256016A x x x x x =--≤=-≤≤，()(){}{}3lg 330333x B x y x x x x x x -⎧⎫===-+>=-<<⎨⎬+⎩⎭，所以{}U33B x x x =≤-≥或，于是图中阴影部分表示的集合为(){}[]U 363,6A B x x ⋂=≤≤=． 故选：D ．2．某餐厅并排有7个座位，甲、乙、丙三位顾客就餐，每人必须选择且只能选择一个座位，要求两端座位不能坐人，并且连续空座至多有2个，则不同的坐法有（ ） A ．24种 B ．36种 C ．48种 D ．56种【答案】C【分析】先安排甲、乙、丙在去掉两端的5个位子，再将连续空座超过2个的情况减去，得到答案.【详解】因为7个座位两端座位不能坐人，所以甲、乙、丙可以在剩余的5个位子有顺序的就坐，坐法有3560A =种，因为连续空座至多有2个，所以出现连续3个空座的情况为最左端的3个为空座，甲、乙、丙三人坐在第4、5、6个位子上，第7个位子是最右端，只能空着，则这种情况为336A =，同理，连续3个空座的情况为最右端的3个为空座，这种情况为336A =，所以，满足要求的坐法有3353248A A -=种.故选：C.【点睛】本题考查排列问题的应用，正确的分类和分布是解决问题的关键，利用问题的反面，将不符合要求的情况缺掉，属于中档题.3．设锐角ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，若,3A a π==，则2b 2c bc++的取值范围为（ ） A ．(1，9] B ．(3，9] C ．(5，9] D ．(7，9]【答案】D【分析】由正弦定理求出22sin ,2sin 3b B c B π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，再由余弦定理可得2b 2c bc ++28sin sin 33B B π⎛⎫=-+⎪⎝⎭，化为54sin 26B π⎛⎫+- ⎪⎝⎭，结合角的范围，利用正弦函数的性质可得结论. 【详解】因为,3A a π==由正弦定理可得22sin sin sin 3ab c AB B π===⎛⎫- ⎪⎝⎭， 则有22sin ,2sin 3b B c B π⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 由ABC 的内角,,A B C 为锐角，可得0,220,32B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，512sin 2124sin 2462666266B B B B πππππππ⎛⎫⎛⎫∴<<⇒<-<⇒<-≤⇒<-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由余弦定理可得222222cos 3,a b c bc A b c bc =+-⇒=+- 因此有2223b c bc bc ++=+ 28sin sin 33B B π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭2cos 4sin 3B B B =++22cos 25B B =-+(]54sin 27,96B π⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭故选：D.【点睛】方法点睛：正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.4．我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何?”根据这一数学思想，所有被3除余2的整数从小到大组成数列{}n a ，所有被5除余2的正整数从小到大组成数列{}n b ，把数{}n a 与{}n b 的公共项从小到大得到数列{}n c ，则下列说法正确的是（ ） A ．122a b c += B ．824b a c -=C ．228b c =D ．629a b c =【答案】C【解析】根据题意数列{}n a 、{}n b 都是等差数列，从而得到数列{}n c 是等差数列，依次对选项进行判断可得答案.【详解】根据题意数列{}n a 是首项为2，公差为3的等差数列， 23(1)31n a n n =+-=-， 数列{}n b 是首项为2，公差为5的等差数列，25(1)53n b n n =+-=-，数列{}n a 与{}n b 的公共项从小到大得到数列{}n c ，故数列{}n c 是首项为2，公差为15的等差数列，215(1)1513n c n n =+-=-，对于A ， 12222539,1521317a b c +=+⨯-==⨯-=， 122a b c +≠，错误； 对于B ， 82458332132,1541347b a c -=⨯--⨯+==⨯-=，824b a c -≠，错误； 对于C ， 2285223107,15813107b c =⨯-==⨯-=，228b c =，正确；对于D ， ()()629361523119,15913122a b c =⨯-⨯⨯-==⨯-=，629a b c ≠，错误. 故选：C.【点睛】本题考查了等差数列的定义、通项公式，解题的关键是利用数列{}n a 、{}n b 都是等差数列得到数列{}n c 的通项公式，考查了理解能力和计算能力.5．已知a 与b 为单位向量，且a ⊥b ，向量c 满足||2b c a --=，则|c |的可能取值有（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】D【分析】建立平面直角坐标系，由向量的坐标计算公式可得(1,1)c a b x y --=--，进而由向量模的计算公式可得22(1)(1)4x y -+-=，分析可得C 在以(1,1)为圆心，半径为2的圆上，结合点与圆的位置关系分析可得答案． 【详解】根据题意，设OA a =，OB b =，OC c =，以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴正方向，OB 的方向为y 轴的正方向建立坐标系， 则(1,0)A ，(0,1)B ，设(,)C x y ，则(1,1)c a b x y --=--， 若||2b c a --=，则有22(1)(1)4x y -+-=， 则C 在以(1,1)为圆心，半径为2的圆上，设(1,1)为点M，则||OM =||||||r OM OC r OM -+， 即22||22OC +，则||c的取值范围为22⎡⎣；故选：D ．6．设定义在[0,)+∞上的函数f （x ）的导函数()'f x ，若()(1)()ln(1)0f x x f x x -++<'，则（ ） A ．2(1)(3)0f f >> B ．2(1)(3)0f f << C ．2(3)(1)0f f >> D ．2(3)(1)0f f <<【答案】B【分析】构造函数()()ln(1)x g x f x +=，结合()(1)()ln(1)0f x x f x x -++<'，利用导数判断其单调性求解.【详解】设()()ln(1)x g x f x +=， 则 ()()()2()ln(1)1f x f x x x g x f x '-++'=⎡⎤⎣⎦， 因为()(1)()ln(1)0f x x f x x -++<'， 所以 ()0g x '<，则 ()g x 在 [0,)+∞上递减， 又 ()00g =，所以 0(1)(3)g g >>，即 ()()ln 2ln 4013f f >>，所以()()2130f f <<， 故选：B7．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点F ，点P 在椭圆C 上，点Q 在圆E ：(x＋3)2＋(y －4)2＝4上，且圆E 上的所有点均在椭圆C 外，若|PQ |－|PF |的最小值为25－6，且椭圆C 的长轴长恰与圆E 的直径长相等，则椭圆C 的标准方程为（ ） A ．2212x y +=B ．2214x y +=C ．22143x y +=D ．22142x y +=【答案】C【分析】因为圆E ：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4的半径为2，所以2a =，由椭圆的定义可得1||4||PF PF =-,根据题意可得当且仅当1,,,E Q P F 四点共线时，|PQ |－|PF |取得最小值为256-，所以1||25EF =，由此可解得结果.【详解】因为圆E ：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4的半径为2，所以2a =， 设椭圆的左焦点为1F (,0)c -，由椭圆的定义可得1||||24PF PF a +==，所以1||4||PF PF =-，所以1||||||||4PQ PF PQ PF -=+-1||4QF ≥-1||||6QF EQ =+-1||6EF ≥-，当且仅当1,,,E Q P F 四点共线时，等号成立，又|PQ |－|PF |的最小值为56，所以1||6256EF -=，即1||25EF = 22(3)(40)25c -++-=1c =或52c a =>=（舍）. 所以222413b a c =-=-=，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.故选：C.【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了圆的标准方程，考查了椭圆中的最值问题，属于中档题.8．在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，侧棱13AA =，D ，E 分别是1CC 与1A B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是ABD △的重心G ，则点1A 到平面ABD 的距离为（ ）A B C D ．【答案】A【分析】以C 为坐标原点，CA ，CB ，1CC 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设CA CB a ==，求出11(,,1)22GE =，利用空间向量的数量积转化求解点1A 到平面ABD 的距离．【详解】解：如图所示，以C 为坐标原点，CA ，CB ，1CC 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设CA CB a ==，则(A a ，0，0)，(0B ，a ，0)，3(0,0,)2D ，1(A a ，0，3)， 可得3(,,)222a a E ，1(,,)332a a G ，(,,1)66a a GE =，3(0,,)2BD a =-， 因为点E 在平面ABD 上的射影是ABD △的重心， 所以GE ⊥平面ABD ，所以0GE BD ⋅=，即30()10662a a a ⨯+⨯-+⨯=，解得3a =， 即11(,,1)22GE =，则点1A 到平面ABD 的距离为d ，E 是1A B 的中点， 所以2||6d GE ==． 故选：A.二、多选题9．已知2a b >，则（ ） A ．23b b a <- B ．3322a b a b ab +>+C ．ab a b >+D ．12112ab a b+>+ 【答案】BC【解析】根据不等式的性质，逐一判断即可． 【详解】解：2a b >，A 错误，比如3a =，2b =，43>不成立；B ，()3322222()()()()0a b a b ab a a b b a b a b a b +-+=---=-+>成立；C ，由1(1)(1)(1)1011b ab a b a b b b a b a b b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=--=--=--+> ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故C 成立，D ，1211(2)(2)022a b ab a b ab--+--=，故D 不成立， 故选:BC .【点睛】本题考查不等式比较大小，常利用了作差法，因式分解法等．10．从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ） A ．2个球都是红球的概率为16B ．2个球不都是红球的概率为13C ．至少有1个红球的概率为23D ．2个球中恰有1个红球的概率为12【答案】ACD【分析】根据题意可知，则从甲袋中摸出一个不是红球的概率是23，从乙袋中摸出一个不是红球的概率是12，根据对立事件和相互独立事件的概率计算公式，分别求出各选项中的概率，从而可判断得出答案.【详解】解：由题可知，从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，则从甲袋中摸出一个不是红球的概率是23，从乙袋中摸出一个不是红球的概率是12， 对于A 选项，2个球都是红球的概率为111326⨯=，A 选项正确；对于B 选项，2个球不都是红球的概率为1151326-⨯=，B 选项错误；对于C 选项，至少有1个红球的概率为2121323-⨯=，C 选项正确；对于D 选项，2个球中恰有1个红球的概率1211232132⨯+⨯=，D 选项正确.故选：ACD.11．在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =12AD AA ==，P 、Q 、R 分别是AB 、1BB 、1A C 上的动点，下列结论正确的是（ ）A ．对于任意给定的点P ，存在点Q 使得1D P CQ ⊥B ．对于任意给定的点Q ，存在点R 使得1D R CQ ⊥C ．当1AR A C ⊥时，1ARD R ⊥ D ．当113AC A R =时，1//D R 平面1BDC 【答案】ABD【分析】本题先建立空间直角坐标系，再运用空间向量在立体几何中的应用逐一判断即可.【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，设(2,,0)P a ，0a ⎡∈⎣，(2,)Q b ，[]0,2b ∈，设11A R AC λ=，得到(22,,22)R λλ--，[]0,1λ∈. 1(2,,2)D P a =-，(2,0,)CQ b =，142D P CQ b ⋅=-，当2b =时，1D P CQ ⊥，A 正确；1(22,2)D R λλ=--，12(22)2D R CQ b λλ⋅=--，取22bλ=+时，1D R CQ ⊥，B 正确；1AR A C ⊥，则1(2,23,22)(2,23,2)412440AR AC λλλλλλ⋅=--⋅--=+-+=，解得：15λ=，此时122388232(,,)(,,)0555555AR D R --⋅=⋅≠，1AR D R ⊥不成立，C 错误；113AC A R =，则4234(,,)333R ，14232(,,)333D R =-，设平面1BDC 的法向量为(,,)n x y z =，则10n BD n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得(3,1,3)n =-，故10n D R ⋅=，故1//D R 平面1BDC ，D 正确. 故选：ABD.【点睛】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，是偏难题.12．已知点(2,0)A -，圆22:(4)16C x y ++=，点P 在圆C 上运动，给出下列命题，其中正确的有（ ）A ．PA PC ⋅的取值范围是[8，25]B ．在x 轴上存在定点(4,0)B ，使||:||PA PB 为定值C ．设线段PA 的中点为Q ，则点Q 到直线30x y +-=的距离的取值范围321,321⎡⎤⎣⎦D ．过直线40x y +-=上一点T 引圆C 的两条切线，切点分别为M ，N ，则CM CN ⋅的取值范围是(-16，0] 【答案】BD【解析】多项选择题，一个一个选项验证： 向量坐标化，把有关向量用坐标表示出来.(1)把PA PC ⋅用坐标表示出来，利用三角函数求最值； (2)用坐标把||:||PA PB 表示，整理化简即可；(3)点Q 到直线30x y +-=的距离用坐标表示出来，三角函数求最值； (4)把CM CN ⋅用坐标表示出来，利用三角函数求最值．【详解】对于A ，设(4cos 4,4sin )P αα-，∵(2,0)A -，(4,0)C -，则[]22=(24cos 4sin )(4cos ,4sin )16cos 8cos 16sin 168cos 8,24PA PC αααααααα⋅---=-+=-∈，故A 错误；对于B ，设(4cos 4,4sin )P αα-，则 22224cos 24sin 2016cos 1:===28064cos 4cos 84sin PA PB αααααα-+---+（）（）（）（），故B 正确；对于C ，设(4cos 4,4sin )P αα-，则点Q 到直线30x y +-=的距离|22sin()6||2cos 2sin 6|4322,32222d πααα+-+-⎡⎤==∈-+⎣⎦， 故C 错误； 对于D ，如图示：min 422CT ==CM TM CN TN ⊥ ,⊥， ∴2cos02242MCN CM MCNCT ==>∠∠ ∴))°°°°45,9090,1802MCN MCN ⎡⎡∈∈⎣⎣∠，∴∠， ∴(]=||||cos MCN 16,0CM CN CM CN ⋅∈-∠ 故D 正确． 故选：BD ．【点睛】解析几何问题常见处理方法：(1)正确画出图形，利用平面几何知识简化运算； (2)坐标化，把几何关系转化为坐标运算． 三、填空题13．若i 为虚数单位，复数z 满足11i 2z ≤++≤，则1i z --的最大值为_______. 【答案】32【分析】利用复数的几何意义知复数z 对应的点Z 到点(1,1)C --的距离d 满足12d ≤≤，1i z --表示复数z 对应的点Z 到点(1,1)P 的距离，数形结合可求得结果.【详解】复数z 满足112z i ≤++≤，即()11i 2z ≤---≤ 即复数z 对应的点Z 到点(1,1)C --的距离d 满足12d ≤≤ 设(1,1)P ，1i z --表示复数z 对应的点Z 到点(1,1)P 的距离数形结合可知1i z --的最大值22||||222232AP CP =+=++= 故答案为：3214．在()*43,29,,N 2npx n p n p x ≥≤≤∈展开式中，第2,3,4项二项式系数依次成等差数列，且展开式中有常数项，则该常数项是第________项． 【答案】5【分析】根据等差数列的知识求得n ，结合二项式展开式的通项公式求得正确答案. 【详解】由于第2,3,4项二项式系数依次成等差数列，所以()2132C C C 3n n n n =+≥，()()()1217321n n n n n n n ---=+⇒=⨯⨯.742p x x 展开式的通项公式为71714417711C C 22kkk kkk kpp p k T x x x ----+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-=-⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 令704k k p p --=，整理得284k p =+， 由于*,0,1,2,3,4,5,6,729,N p p k ≤≤∈=， 所以3,4p k ==，即常数项是第15k +=项. 故答案为：515．已知函数()2f x x 2ax =+，()2g x 4a lnx b =+，设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点P ，且在P 点处的切线相同，当()a 0,∞∈+时，实数b 的最大值是______．【答案】【分析】由题意可得()()00f x g x =，()()00''f x g x =，联立后把b 用含有a 的代数式表示，再由导数求最值得答案． 【详解】设()00,P x y ， ()'22f x x a =+，()24'a g x x=．由题意知，()()00f x g x =，()()00''f x g x =，即2200024x ax a lnx b +=+，①200422a x a x +=，②解②得0x a =或02(x a =-舍)，代入①得：2234b a a lna =-，()0,a ∞∈+，()'684214b a alna a a lna =--=-，当140,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0b >，当14,a e ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，'0b <．∴实数b的最大值是1144b e elne ⎛⎫== ⎪⎝⎭．故答案为【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查数学转化思想方法，训练了利用导数求最值，是中档题． 四、双空题16．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知向量21-2sin,cos 2A m C →⎛⎫= ⎪⎝⎭，()4,n c b a →=-且m n →→⊥，E 为BC边上一点，满足AE →=2BE EC →→=.则sin A =_______，ABC 面积的最大值为________.【答案】【分析】（1）由m n →→⊥得到(4)cos cos 0c b A a C -+=，再利用正弦定理和三角恒等变换化简得解；（2）设,,AB c AC b BC a →→→→→→===,根据已知得到2245||4||||||c b b c →→→→=++，再利用重要不等式得到||||9b c →→≤，即得解.【详解】（1）因为m n →→⊥，所以0,m n →→= 所以21-2sin,cos 2A C ⎛⎫ ⎪⎝⎭()4,0c b a -=， 所以(4)cos cos 0c b A a C -+=,由正弦定理得(sin 4sin )cos sin cos 0C B A A C -+=, 所以sin cos 4sin cos sin cos 0C A B A A C -+=， 所以sin()=sin =4sin cos C A B B A +， 因为0B π<<，所以sin 0B >,所以1115cos ,sin 0,sin 14164A A A =>∴=-=. （2）设,,AB c AC b BC a →→→→→→===,因为2BE EC →→=，所以2212()3333AE AB BE AB BC AB AC AB c b →→→→→→→→→→=+=+=+-=+，由5AE →=2222221445=,4544,45||4||||||999c b b c c b b c c b b c →→→→→→→→→→→→++∴=++∴=++所以452||||||||,||||9b c b c b c →→→→→→≥+∴≤.（当且仅当||2||c b →→=时等号成立） 所以ABC 面积的最大值115159||||sin |||91528S b c A b c →→→→===故答案为： 15915. 五、解答题17．已知ABC 中，D 是AC 边的中点，且①3BA =；②7BC =③7BD =④60A ∠=︒. （1）求AC 的长；（2）BAC ∠的平分线交BC 于点E ，求AE 的长.上面问题的条件有多余，现请你在①，②，③，④中删去一个，并将剩下的三个作为条件解答这个问题，要求答案存在且唯一.你删去的条件是___________，请写出用剩余条件解答本题的过程.【答案】删去条件见解析；（1）2；（2【分析】若删去②③，由余弦定理易得出两解，不满足题意.删①，在ABD △中和ABC 中分别利用余弦定理建立关系可求解，再利用ABEACEABCSSS+=可求AE 的长；删④，在ABD △中，由余弦定理有2cosADB ∠=，在BCD △中，cos CDB ∠=，由cos cos ADB CDB ∠=-∠求得x ，利用ABEACEABCSSS+=可求AE 的长.【详解】删①.（1）设,AD CD x BA y ===，在ABD △中，由余弦定理可得227x y xy +-=， 在ABC 中，由余弦定理可得22427x y xy +-=， 联立方程解得1,3x y ==，所以3,2BA AC ==； （2）设AE m =，则由ABEACEABCSSS+=得1113sin 302sin 3032sin 60222m m ⨯+⨯=⨯⨯，解得m =； 删②，则在ABD △中，由余弦定理有2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅⋅， 即2796cos60AD AD =+-⋅，解得1AD =或2AD =， 则2AC =或4，有2解，不满足题意； 删③，在ABC 中，由余弦定理可得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅， 即2796cos60AC AC =+-⋅，解得1AC =或2，有2解，不满足题意； 删④.（1）设AD CD x ==，在ABD △中，由余弦定理有22222cos2BD AD AB ADB BD AD ∠+-===⋅同理，在BCD △中，cosCDB ∠=，cos cos ADB CDB ∠∠=-，2=1x =，2AC ∴=； （2）设AE m =，则由ABEACEABCSSS+=得1113sin 302sin 3032sin 60222m m ⨯+⨯=⨯⨯，解得635m =. 【点睛】关键点睛：解决本题得关键是熟练应用余弦定理建立等量关系求解. 18．已知数列{}n a 满足111,31n n a a a +==+.(1)证明12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(2)证明：121113 (2)n a a a +++<. 【答案】（1）证明见解析，113322n n a -+=；（2）证明见解析. 【详解】试题分析：本题第（1）问，证明等比数列，可利用等比数列的定义来证明，之后利用等比数列，求出其通项公式；对第（2）问，可先由第（1）问求出1na ，然后转化为等比数列求和，放缩法证明不等式.试题解析：（1）证明：由131n n a a +=+得1113()22n n a a ++=+，所以112312n n a a ++=+，所以12n a ⎧+⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，首项为11322a +=，公比为3，所以12n a +=1332n -⋅，解得n a =312n-. （2）由（1）知：n a =312n -，所以1231n n a =-，因为当1n ≥时，13123n n --≥⋅，所以1113123n n -≤-⋅，于是11a +21a +1na =31(1)23n -32<， 所以11a +21a +1n a 32<. 【易错点】对第（1）问，构造数列证明等比数列不熟练；对第（2）问，想不到当1n ≥时，13123n n --≥⋅，而找不到思路，容易想到用数学归纳法证明而走弯路.【解析】本小题考查等比数列的定义、数列通项公式的求解、数列中不等式的证明等基础知识，考查同学们的逻辑推理能力，考查分析问题与解决问题的能力.数列是高考的热点问题之一，熟练数列的基础知识是解决好该类问题的关键.19．如图，在四棱锥P –ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，AD ∥BC ，P A =AD =CD =2，BC =3．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =． （Ⅰ）求证：CD ⊥平面P AD ； （Ⅱ）求二面角F –AE –P 的余弦值； （Ⅲ）设点G 在PB 上，且23PG PB =．判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由．【答案】(Ⅰ)见解析； (Ⅱ)33； (Ⅲ)见解析.【分析】(Ⅰ)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；(Ⅱ)建立空间直角坐标系，结合两个半平面的法向量即可求得二面角F -AE -P 的余弦值； (Ⅲ)首先求得点G 的坐标，然后结合平面AEF 的法向量和直线AG 的方向向量可判断直线是否在平面内.【详解】(Ⅰ)由于P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，则P A ⊥CD ， 由题意可知AD ⊥CD ，且P A ∩AD =A ， 由线面垂直的判定定理可得CD ⊥平面P AD .(Ⅱ)以点A 为坐标原点，平面ABCD 内与AD 垂直的直线为x 轴，AD ,AP 方向为y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，易知：()()()()0,0,0,0,0,2,2,2,0,0,2,0A P C D ， 由13PF PC =可得点F 的坐标为224,,333F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由12PE PD =可得()0,1,1E ， 设平面AEF 的法向量为：(),,m x y z =，则()()()224224,,,,0333333,,0,1,10m AF x y z x y z m AE x y z y z ⎧⎛⎫⋅=⋅=++=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⋅=⋅=+=⎩， 据此可得平面AEF 的一个法向量为：()1,1,1m =-， 很明显平面AEP 的一个法向量为()1,0,0n =， 13cos ,331m n m n m n⋅<>===⨯⨯， 二面角F -AE -P 的平面角为锐角，故二面角F -AE -P 的余弦值为33. (Ⅲ)易知()()0,0,2,2,1,0P B -，由23PG PB =可得422,,333G ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 则422,,333AG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，注意到平面AEF 的一个法向量为：()1,1,1m =-，其0m AG ⋅=且点A 在平面AEF 内，故直线AG 在平面AEF 内.20．为全面推进学校素质教育，推动学校体育科学发展，引导学生积极主动参与体育锻炼，促进学生健康成长，从2021年开始，参加漳州市初中毕业和高中阶段学校考试的初中毕业生，体育中考成绩以分数(满分40分计入中考总分)和等级作为高中阶段学校招生投档录取依据.考试由必考类､抽考类､抽选考类三部分组成，必考类是由笔试体育保健知识(分值4分)，男生1000米跑､女生800米跑(分值15分)组成；抽考类是篮球､足球､排球，由市教育局从这三项技能中抽选一项考试(分值5分)；抽选考类是立定跳远､1分钟跳绳､引体向上(男)､斜身引体(女)､双手头上前掷实心球､1分钟仰卧起坐，由市教育局随机抽选其中三项，考生再从这三个项目中自选两项考试，每项8分，已知今年教育局已抽选确定：抽考类选考篮球，抽选考类选考立定跳远､1分钟跳绳､双手头上前掷实心球这三个项目，甲校随机抽取了100名本校初三男生进行立定跳远测试，根据测试成绩得到如下的频率分布直方图．（1）若漳州市初三男生的立定跳远成绩X (单位：厘米)服从正态分布()2,N μσ，并用上面样本数据的平均值和标准差的估计值分别作为μ和σ，已计算得上面样本的标准差19(各组数据用中点值代替)，在漳州市2021届所有初三男生中任意选取3人，记立定跳远成绩在231厘米以上(含231厘米)的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望．（2）已知乙校初三男生有200名，男生立定跳远成绩在250厘米以上(含250厘米)得满分．（i ）若认为乙校初三男生立定跳远成绩也服从（1）中所求的正态分布，请估计乙校初三男生立定跳远得满分的人数(结果保留整数)；（ii ）事实上，（i ）中的估计值与乙校实际情况差异较大，请从统计学的角度分析这个差异性．(至少写出两点)附：若()2~,X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=，()330.9974P X μσμσ-<<+=.【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：32；（2）（i ）32；（ii ）答案见解析.【分析】（1）根据直方图求得数据平均值，结合正态分布求出成绩在231厘米以上的概率，利用二项分布求取随机变量ξ的分布列和期望；（2）（i ）由正态分布概率公式求得立定跳远成绩在250厘米以上的概率，结合总数即可估计乙校初三男生立定跳远得满分的人数；（ii ）本题结论开放，只要考生能从统计学的角度作出合理的分析即可． 【详解】解：（1）由题意，得19σ=，1800.052000.052200.352400.42600.15231μ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以(231)()0.5P X P X μ≥=≥=，所以1~3,2B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以0303111(0)1228P C ξ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，213113(1)1228P C ξ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，223113(2)1228P C ξ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，333111(3)1228P C ξ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以ξ的分布列为：13313()012388882E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）（i ）记乙校初三男生立定跳远成绩为Y 厘米，则 ()2~,Y N μσ，231μ=，19σ=，所以1(250)()(1())2P Y P Y P Y μσμσμσ≥=≥+=--<<+1(10.6826)0.15872=-=， 所以估计乙校初三男生立定跳远得满分的人数为2000.158732⨯≈；（ii ）本题结论开放，只要考生能从统计学的角度作出合理的分析即可，如：①一次取样未必能客观反映总体；②样本容量过小也可能影响估计的准确性；③忽略异常数据的影响也可能导致估计失真；④模型选择不恰当，模型的拟合效果不好，也将导致估计失真；⑤样本不具代表性，也会对估计产生影响.等等．【点睛】求离散型随机变量的分布列时，关键要判断随机变量是否服从二项分布或超几何分布等特殊的分布．21．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，离心率为12，短轴长为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设左、右顶点分别为A 、B ，点M 在椭圆上（异于点A 、B ），求MA MB k k 的值；（3）过点2F 作一条直线与椭圆C 交于,P Q 两点，过,P Q 作直线2ax c=的垂线，垂足为,S T .试问：直线PT 与QS 是否交于定点？若是，求出该定点的坐标，否则说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）34-；（3）是，5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】（1）由题意，列出,,a b c 所满足的等量关系式，结合椭圆中,,a b c 的关系，求得224,3a b ==，从而求得椭圆的方程；（2）写出(2,0),(2,0)A B -，设00(,)M x y ，利用斜率坐标公式求得两直线斜率，结合点在椭圆上，得出2200334x y =-，从而求得结果；（3）设直线PQ 的方程为：1x my =+，()()1122,,,P x y Q x y ，则()()124,,4,S y T y ，联立方程2234121x y x my ⎧+=⎨=+⎩可得：()2234690m y my ++-=，结合韦达定理，得到()121223my y y y =+，结合直线PT 的方程，得到直线所过的定点坐标.【详解】（1）由题意可知，122c a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩222a b c =+，所以224,3a b ==，所以椭圆C 的标准方程为：22143x y +=. （2）(2,0),(2,0)A B -,设00(,)M x y ， 因为点M 在椭圆上，所以2200143x y +=， 20002000224MA MBy y y k k x x x ==-+-， 又2200334x y =-，2020333444MA MBx k k x -∴==--. （3）设直线PQ 的方程为：1x my =+，()()1122,,,P x y Q x y ，则()()124,,4,S y T y ，联立方程2234121x y x my ⎧+=⎨=+⎩可得：()2234690m y my ++-=，所以12122269,3434m y y y y m m +=-=-++， 所以()121223my y y y =+ ，又直线PT 的方程为：()()()()211244y y x x y y --=--， 令0y =， 则()()112212121212121241482242y my y y x y y y my y x y y y y y y -+---=+==---()()()()121212121282355222y y y y y y y y y y --+-===--，所以直线PT 恒过5,02⎛⎫⎪⎝⎭，同理，直线QS 恒过5,02⎛⎫⎪⎝⎭，即直线PT 与QS 交于定点5,02⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关椭圆的问题，解题思路如下：（1）根据题中所给的条件，结合椭圆中,,a b c 的关系，建立方程组求得椭圆方程；（2）根据斜率坐标公式，结合点在椭圆上，整理求得斜率之积，可以当结论来用； （3）将直线与椭圆方程联立，结合韦达定理，结合直线方程，求得其过的定点. 22．已知0a >，函数()ln x f x x =，1g x ax ．（1）当a 为何值时，直线()y g x =是曲线()y f x =的切线；（2）是否存在实数a ，使得()()g x a f ax ≥⋅恒成立？若存在，求实数a 的取值集合；若不存在，请说明理由．【答案】（1）1a =；（2）存在，1a =.【分析】(1) 设切点为000ln x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，设出切线方程为()000020ln 1ln x x y x x x x --=-，由()y g x =恒过()01-，，代入可求得a 的值. (2) ()()g x a f ax ≥⋅恒成立，等价于()2ln 0a x x x a --≥恒成立，构造函数()()2ln F x a x ax x =--，需()min 0F x ≥，从而可求得a 的取值.【详解】（1）因为()ln x f x x =，所以()'21ln x f x x -=， 若直线()y g x =是曲线()y f x =的切线，设切点为000ln x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，此时切线方程为()000020ln 1ln x x y x x x x --=-， 又()y g x =恒过()01-，，所以()200000ln 1ln 10x x x x x ---=-，即002ln +10x x -=， 令()2ln +1h x x x =-，则()12ln1+110h =-=，且()h x 在()0+∞，上单调递增， 所以方程002ln +10x x -=有唯一的解01x =，所以()'021l 11(1)n1f x a f '-====， 所以当1a =时，直线()y g x =是曲线()y f x =的切线；（2）假设存在实数a ，使得()()g x a f ax ≥⋅恒成立，即()2ln 0a x x x a --≥恒成立.令()()2ln F x a x ax x =--，则2'21()ax x F x x --=，令2()21G x ax x =--，又0a >，则180a ∆=+>，所以()0G x =有两个不等根1x ，2x ，12102x x a=-<，不妨设120x x <<. 所以()F x 在2(0,)x 上递减，在()2,x +∞上递增.所以22222()ln()0F x ax x ax =--≥成立. 因为2222()210G x ax x =--=，所以22212x ax x +=，所以()222211()ln 022x x F x F x x -+≥=-≥．令111()ln ln 2ln(1)222x x x H x x x x -+-=-=+-+，(1)(2)()2(1)x x H x x x '-+=-+， 所以'()H x 在(0,1)有'()>0H x ，在(1,)+∞上有'()0H x <，所以()H x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减.所以()(1)0H x H ≤=.又()222211ln 022x x F x x -+=-≥，所以()20F x =，21x =. 代入22212x ax x +=，得1a =， 所以存在实数a ，使得()()g x a f ax ≥⋅恒成立，此时1a =．【点睛】本题考查函数与导数的综合问题.由导数的几何意义求切线方程，恒成立问题一般可转化为最值问题，属于较难题.。
苏教版高中数学必修二高三午时30分钟训练34.docx
桑水高三数学午时30分钟训练34班级 姓名1．已知m 、α,是直线n 、β、γ是平面，给出下列命题：①若α⊥β，α∩β=m ，n ⊥m ，则n ⊥α或n ⊥β； ②若α//β，α∩γ= m ，β∩γ= n ，则m//n ；③若m 不垂直于α，则m 不可能垂直于α内的无数条直线； ④若α∩β=m ，n//m 且n ⊄α，n ⊄β，则n//α且n//β. 其中所有正确命题的序号是 .2．已知直线b a ,及平面α，下列命题中: ①αα//a b b a ⇒⎩⎨⎧⊥⊥；②αα⊥⇒⎩⎨⎧⊥a b ba //；③αα//////a b b a ⇒⎩⎨⎧；④αα⊥⇒⎩⎨⎧⊥a b ba //．正确命题的序号为__________（注：把你认为正确的序号都填上）.3． 用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如 右图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为 .4．一个直角梯形的两底长分别为2和5，高为4，绕其较长的底旋转一周，所得的几何体的表面积为 .俯视图主视图桑水5．正四棱台的高，侧棱，对角线长分别为7cm ，9cm ，11cm ，则它的侧面积为 ．6．半径为a 的球放在墙角，同时与两墙面和地面相切，那么球心到墙角顶点的距离为 ．7．如图为一几何体的的展开图，其中ABCD 是边长为6的正方形， SD=PD ＝6，CR=SC ，AQ=AP ，点S,D,A,Q 及P,D,C,R 共线，沿图中 虚线将它们折叠起来，使P ，Q ，R ，S 四点重合，则需要 个 这样的几何体，可以拼成一个棱长为6的正方体。
8. 一动点P 由正四面体ABCD 的B 点出发，经过△ACD 的中心后到达AD 中点，若AB=2，则P 点行走的最短路程是9．如图，已知直三棱柱111C B A ABC -的侧棱长是2，底面ABC ∆是等腰直角三角形，且090=∠ACB ,AC =2，E 是AB 的中点 ， D 是AA 1的中点，则三棱锥E C B D 11-的体积是10．如图在正三棱锥A －BCD 中，E 、F 分别是AB 、 BC 的中点，EF ⊥DE ，且BC ＝1，则正三棱锥A －BCD 的体积是 ；11．如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC=90°， 又BC 1⊥AC ，过C 1作C 1H ⊥底面ABC ，垂足为H ，则点H 一定在直线 上12．如图,三棱柱的侧棱长和底边长均为4，且侧棱1111AA A B C ⊥面,正视图是边长为4的正方形，该三棱柱的左视图面积为 .13．用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，所得小圆锥侧面积AB C A 1B 1C 1 ED_ B _1_ A _1_ B_ A _ B _1 _ A _1 _ B _ A 正视图桑水与原来大圆锥侧面积的比是1∶2，那么小圆锥的高与原来大 圆锥的高的比值是 ．14．如右图所示，在单位正方体1111D C B A ABCD - 的面对角线B A 1上存在一点P 使得P D AP 1+最短， 则P D AP 1+的最小值为 .1．②④2.（4）3.10，16;4.π52 ;5.2465;6.3a7、3;8.335（ 9．1 ）10．242 11、直线AB 上;12、38 13、2214、22+ 第14题图ABC D A 1B 1C 1D 1P。
苏教版高中数学必修二高三午时30分钟训练32.docx
桑水高三数学午时30分钟训练32班级 姓名1．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖B ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖C ．,,m n m n αα若则‖‖‖D ．,,m m αβαβ若则‖‖‖2．已知直线m,n 和平面βα,满足βα⊥⊥⊥,,a m n m ,则 ( ).A n β⊥ ,//.βn B 或β⊂nα⊥n C . ,//.αn D 或α⊂n3．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 4.已知正四棱柱的对角线的长为6，且对角线与底面所成角的余弦值为33，则该正四棱柱的体积等于_____________。
5．若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为060的菱俯视图正(主)视图 侧(左)视图2 3 2 2桑水2 23形，则该棱柱的体积等于 .6．用与球心距离为1的平面去截面面积为π，则球的体积为 .7．圆台的上、下底面半径和高的比为1: 4: 4，母线长为10，则圆台的侧面积为 .8．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为3，底面周长为3，则这个球的体积为 ．9.若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 .10．一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是 .11．在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，∠BAC ＝，AB ＝AC ＝AA 1＝1．已知G 与E 分别为A 1B 1和CC 1的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点(不包括端点)．若GD ⊥EF ，则线段DF 的长度的取值范围为12．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为a ，将该正方体沿对角面 D D BB 11切成两块，再将这两块拼接成一个不是正方体的四棱柱，那么所得四棱柱的全面积为_______．13．三棱锥Ｓ－ABC,Ｅ、F 、G 、Ｈ分别是棱SA 、SB 、 A BC D A 1D 1B 1C 1BC、AC的中点，截面EFGH将三棱锥分割为两个几何体：AB－EFGH、SC－EFGH，将其体积分别是V1、V2，则V1∶V2的值是14．一只蚂蚁从棱长为1cm的正方体的表面上某一点P处出发，走遍正方体的每个面的中心的最短距离d=f(P), 那么d的最大值是．1.B2.D 3．12π_4.2__ 5.22 6.823π;7. 100π ;8.43π 9.9π10.2483+;11．[ ，1) ;12. 2)224(a+ 13.１∶１;14. 252+桑水。
苏教版高中数学必修二高三午时30分钟训练35.docx
桑水高三数学午时30分钟训练35班级 姓名1．关于直线a ,b,c 以及平面M ，N ，给出下面命题：①若a //M ，b//M, 则a //b ②若a //M, b ⊥M ，则b ⊥a ③若a ⊂M ，b ⊂M,且c ⊥a ， c ⊥b,则c ⊥M ④若a ⊥M, a //N ，则M ⊥N ，其中正确命题的个数 .2．若圆台的上、下底面半径的比为3：5，则它的中截面分圆台上、下两部分侧面积的比为3．已知正三棱台的上下底面边长分别为1和4，侧棱长为2，则此棱台的高为 .4．四边形ABCD A B C D ，，，，(,)(,)(,)(,)00102103，绕y 轴旋转一周，则所得旋转体的表面积和体积分别为 和 ．5．若一个三棱锥中有一条棱长为x （其中30<<x ），其余各棱长均为1，则它的体积=)(x V ．6．已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA=AB=BC=3， 则球O 的体积等于 。
7.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。
已知该六棱柱的顶点都在同一个球桑水面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，那么这个球的体积为 ______8．如图，将边长为25+的正方形，剪去阴影部分后，得到圆锥的侧面和底面的展开图，则圆锥的体积是 ．9．在半径为R 的半球内有一内接圆柱，则这个圆柱的体积的最大值是10.如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AA 1、C 1D 1的中点，G 侧面BCC 1B 1的中心，则空间四边形AEFG 在正方体的六个表面上的射影图形面积的最大值是11．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，16,4,3AB AD AA ===，分别过11,BC A D 的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为111AEA DFD V V -= 11112,EBE A FCF D V V -=11113,B E B C F C V V -= 若123::1:4:1V V V =，则截面11A EFD 的面积12.某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a + b 的最大值为 .13．如图，在三棱台111ABC A B C -中，111112,,,,AB A B A B AC B C =连把棱台分成三个三棱锥，则三棱锥111C A B C -，11,B A BC -1A ABC -的体积之比为F E F1E1D1C1B1A1D C BA桑水14．如图是某多面体的三视图，如果图中每个正方形的边长均为2.（1）请描述满足该三视图的一个几何的形状（或出画它的直观图）；（2）求你得到的几何体的体积；（3）求你得到的几何体的表面积。
江苏省扬中市第二高级中学-高考数学 午时30分钟训练30
高三数学午时30分钟训练30班级 姓名1．在数列{}n a 中，2111,10n n a a a +=--=，则此数列的前2008项之和为：_____ ____；2．数列{}n a 的通项公式为11++=n n a n ，若Sn=10，则n= ．3．等差数列{an}中，a1+a4+a10+a16+a19=150,则18142a a -的值是4．在数列{}n a 中，2111,10n n a a a +=--=，则此数列的前2008项之和为：__________；5．已知{an}是等差数列，a6+a8=6，前12项的和S12=30，则其公差d=___ __.6．设Sn 为等比数列{an}的前n 项和，若a1=1，q=3，Sk=364，则ak=___ ___.7．对任意实数x 、y ，函数f(x)满足f(x)+f(y)=f(x+y)-xy-1，若f(1)=1，则对于正整数n ， f(n)的表达式为f(n)=___ ______.8．已知数列{}n a 满足01a =，0121n n a a a a a -=+++(1)n ≥，则当1n ≥时，n a =9. 已知{an}是首项为a ，公差为1的等差数列，n n n 1+a b =a ，若对任意的n ∈N*，都有 bn ≥b8成立，则实数a 的取值范围是___ _ _10．已知函数*)( )(1:}{32)(11N n a f a a a x x f n n n ∈==+=+且满足，数列，则该数列的通项公式n a =11.设()442x x f x =+，则 12320072008200820082008f f f f ++++=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ _.12．若数列{an}的通项公式⋅⋅2n-2n-1n 22a =5()-4()55，数列{an}的最大项为第x 项，最小项为第y 项，则x+y=________.13．有一种病毒可以通过电子邮件进行传播，如果第一轮被感染的计算机数是1台，并且以后每一台已经被感染的计算机都感染下一轮未被感染的3台计算机，则至少经过___________轮后，被感染的计算机总数超过2000台.14．已知数列{n a }的前n 项和2332n n n S +=-，且n n n a x y =⋅，其中{n x }为等差数列，{n y }为等比数列，则n x =_ _，n y =_ _．1. -1002___2.120 3．30- 4. -1002___5. 1__6.243 7. 2n +3n -22_8. 12n - 9. (-8,-7)10．321-+n 11.20072 12.3 13. 7n x =_21n -_，n y =_1()2n12．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。
江苏省扬州市扬州中学高考数学立体几何多选题之知识梳理与训练及答案
江苏省扬州市扬州中学高考数学立体几何多选题之知识梳理与训练及答案一、立体几何多选题1．在三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆是边长为23的等边三角形，侧棱长为43，则（ ）A ．直线1A C 与直线1BB 之间距离的最大值为3B ．若1A 在底面ABC 上的投影恰为ABC ∆的中心，则直线1AA 与底面所成角为60︒ C ．若三棱柱的侧棱垂直于底面，则异面直线AB 与1A C 所成的角为30D ．若三棱柱的侧棱垂直于底面，则其外接球表面积为64π 【答案】AD 【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求解. 【详解】如图示，以A 为原点，AC 为y 轴正方向，Ax 为x 轴正方向，过A 点垂直于面ABC 的向上方向为z 轴正方向建系，则()()()0,0,0,3,0,0,23,0,A B C 设()()()100010001000,,,3,3,,,23,,A x y z B x y z C x y z ++所以()()()1000100011,23,,,,,3,3,0,AC x y z BB x y z A B =---== 对于A:设n 为直线1A C 与直线1BB 的公垂线的方向向量，则有：11·0·0AC n BB n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即()()0000002300x x y y zz x x y y zz ⎧-+-=⎪⎨++=⎪⎩解得：()00,0n z x =- 设直线1A C 与直线1BB 之间距离为d ，则22011222200009||||z A B nd d x z n x z ===++ 22009x d ≥∴≤，即3d ≤，故A 正确；对于B ：若1A 在底面ABC 上的投影恰为ABC ∆的中心，则()11,3,211A 底面法向量()()10,0,1,1,3,211m AA ==，设直线 1AA 与底面所成角为θ，则：121133sin |cos ,|6143AA n θ===⨯，故B 错误； 对于C ： 三棱柱的侧棱垂直于底面时，则()()()1110,0,43,3,3,43,0,23,43,A B C则()()13,3,0,0,23,43,AB AC ==-设异面直线AB 与1A C 所成的角为θ，则1115cos |cos ,|||||||23215AB AC AB AC AB AC θ====⨯,故C 错误；对于D ：若三棱柱的侧棱垂直于底面时，外接球的球心O 为上下底面中心DD 1连线的中点,所以外接球的半径()222324R =+=，所以2464S R ππ==.故D 正确故选：AD 【点睛】向量法解决立体几何问题的关键： (1)建立合适的坐标系； (2)把要用到的向量正确表示； (3)利用向量法证明或计算.2．已知图1中，A 、B 、C 、D 是正方形EFGH 各边的中点，分别沿着AB 、BC 、CD 、DA 把ABF 、BCG 、CDH △、DAE △向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面ABCD 垂直，再顺次连接EFGH ，得到一个如图2所示的多面体，则（ ）A ．AEF 是正三角形B ．平面AEF ⊥平面CGHC ．直线CG 与平面AEF 2D ．当2AB =时，多面体ABCD EFGH -的体积为83【答案】AC 【分析】取CD 、AB 的中点O 、M ，连接OH 、OM ，证明出OH ⊥平面ABCD ，然后以点O 为坐标原点，OM 、OC 、OH 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，求出EF ，可判断A 选项的正误，利用空间向量法可判断BC 选项的正误，利用几何体的体积公式可判断D 选项的正误. 【详解】取CD 、AB 的中点O 、M ，连接OH 、OM ， 在图1中，A 、B 、C 、D 是正方形EFGH 各边的中点，则1122CH GH EH DH ===，O 为CD 的中点，OH CD ∴⊥，平面CDH ⊥平面ABCD ，平面CDH 平面ABCD CD =，OH ⊂平面CDH ，OH ∴⊥平面ABCD ，在图1中，设正方形EFGH 的边长为()220a a >，可得四边形ABCD 的边长为2a ， 在图1中，ADE 和ABF 均为等腰直角三角形，可得45BAF DAE ∠=∠=， 90BAD ∴∠=，∴四边形ABCD 是边长为2a 的正方形，O 、M 分别为CD 、AB 的中点，则//OC BM 且OC BM =，且90OCB ∠=，所以，四边形OCBM 为矩形，所以，OM CD ⊥，以点O 为坐标原点，OM 、OC 、OH 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则()2,,0A a a -、()2,,0B a a 、()0,,0C a 、()0,,0D a -、(),,E a a a -、()2,0,F a a 、(),,G a a a 、()0,0,H a .对于A 选项，由空间中两点间的距离公式可得2AE AF EF a ===，所以，AEF 是正三角形，A 选项正确；对于B 选项，设平面AEF 的法向量为()111,,m x y z =，(),0,AE a a =-，()0,,AF a a =，由111100m AE ax az m AF ay az ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取11z =，则11x =，11y =-，则()1,1,1m =-，设平面CGH 的法向量为()222,,n x y z =，(),0,CG a a =，()0,,CH a a =-，由222200n CG ax az n CH ay az ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取21z =-，可得21x =，21y =-，则()1,1,1n =--，()22111110m n ⋅=+--⨯=≠，所以，平面AEF 与平面CGH 不垂直，B 选项错误；对于C 选项，6cos ,23CG m CG m a CG m⋅<>===⨯⋅， 设直线CG 与平面AEF 所成角为θ，则sin 6θ=，23cos 1sin θθ=-=，所以，sin tan 2cos θθθ==，C 选项正确； 对于D 选项，以ABCD 为底面，以OH 为高将几何体ABCD EFGH -补成长方体1111ABCD A B C D -，则E 、F 、G 、H 分别为11A D 、11A B 、11B C 、11C D 的中点，因为2AB =，即1a =，则1OH =，长方体1111ABCD A B C D -的体积为2214V =⨯=，11211111113326A A EF A EF V S AA -=⋅=⨯⨯⨯=△，因此，多面体ABCD EFGH -的体积为111044463ABCD EFGH A A EF V V V --=-=-⨯=， D 选项错误.故选：AC. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin hlθ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=<>.3．如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是60，下列说法中正确的是（ ）A ．()()2212AA AB ADAC ++=B ．1A 在底面ABCD 上的射影是线段BD 的中点C ．1AA 与平面ABCD 所成角大于45 D ．1BD 与AC 所成角的余弦值为63【答案】AC 【分析】对A ，分别计算()21++AA AB AD 和2AC ，进行判断；对B ，设BD 中点为O ，连接1A O ，假设1A 在底面ABCD 上的射影是线段BD 的中点，应得10⋅=O AB A ，计算10⋅≠O AB A ，即可判断1A 在底面ABCD 上的射影不是线段BD 的中点；对C ，计算11,,A A AC AC ，根据勾股定理逆定理判断得11⊥A A AC ，1AA 与平面ABCD 所成角为1A AC ∠，再计算1tan ∠A AC ；对D ，计算1,AC BD 以及1BD AC ⋅，再利用向量的夹角公式代入计算夹角的余弦值. 【详解】对A ，由题意，11111cos602⋅=⋅=⋅=⨯⨯=AA AB AA AD AD AB ，所以()2222111112221113262++=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯⨯=AA AB AD AA AB AD AA AB AB AD AA AD ，AC AB AD =+，所以()222221113=+=+⋅+=++=AC AB ADAB AB AD AD ，所以()()22126++==AA AB AD AC ，故A 正确；对B ，设BD 中点为O ，连接1A O ，1111111222=+=+=++AO A A AO A A AC A A AD AB ，若1A 在底面ABCD 上的射影是线段BD 的中点，则1A O ⊥平面ABCD ，则应10⋅=O AB A ，又因为21111111111110222222224⎛⎫⋅=++⋅=-⋅+⋅+=-+⨯+=≠ ⎪⎝⎭O AB A A AD AB AB AA AB AD AB AB A ，故B 错误；对D ，11,BD AD AA AB AC AB AD =+-=+，所以()()2211=2,=3=+-=+AD A B A AB AC AB AD D ，()()2211111⋅=+-⋅+=⋅++⋅+⋅--⋅=AC AD AA AB AB AD AD AB AD AA AB AA AD ABAB AD BD ，1116cos ,23⋅<>===⋅B AC D BD BD AC AC，故D 不正确；对C ，112==AC BD ，在1A AC 中，111,2,3===A A AC AC ，所以22211+=A A AC AC ，所以11⊥A A AC ，所以1AA 与平面ABCD 所成角为1A AC ∠，又1tan 21∠=>A AC ，即145∠>A AC ，故C 正确；故选：AC【点睛】方法点睛：用向量方法解决立体几何问题，需要树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算，要理解空间向量概念、性质、运算，注意和平面向量类比；同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，利用向量的夹角公式求解.4．在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，18AA =，点P 在线段11A C 上，M为AB 的中点，则（ ） A ．BD ⊥平面PACB ．当P 为11AC 的中点时，四棱锥P ABCD -外接球半径为72C ．三棱锥A PCD -体积为定值D ．过点M 作长方体1111ABCD A B C D -的外接球截面，所得截面圆的面积的最小值为4π 【答案】ACD 【分析】利用线面垂直的判定定理可判断A 选项的正误；判断出四棱锥P ABCD -为正四棱锥，求出该四棱锥的外接球半径，可判断B 选项的正误；利用等体积法可判断C 选项的正误；计算出截面圆半径的最小值，求出截面圆面积的最小值，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，因为AB BC =，所以，矩形ABCD 为正方形，所以，BD AC ⊥， 在长方体1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，1BD AA ∴⊥，1AC AA A ⋂=，AC 、1AA ⊂平面PAC ，所以，BD ⊥平面PAC ，A 选项正确；对于B 选项，当点P 为11A C 的中点时，PA ===同理可得PB PC PD ===因为四边形ABCD 为正方形，所以，四棱锥P ABCD -为正四棱锥， 取AC 的中点N ，则PN 平面ABCD ，且四棱锥P ABCD -的外接球球心在直线PN上，设该四棱锥的外接球半径为R ，由几何关系可得222PN R AN R -+=， 即2288R R -+=，解得92R =，B 选项错误； 对于C 选项，2114822ACDSAD CD =⋅=⨯=， 三棱锥P ACD -的高为18AA =，因此，116433A PCD P ACD ACD V V S AA --==⋅=△，C 选项正确；对于D 选项，设长方体1111ABCD A B C D -的外接球球心为E ，则E 为1BD 的中点， 连接EN 、MN ，则1142EN DD ==，122MN AD ==， E 、N 分别为1BD 、BD 的中点，则1//EN DD ， 1DD ⊥平面ABCD ，EN ∴⊥平面ABCD ，MN ⊂平面ABCD ，EN MN ∴⊥，EM ∴==过点M 作长方体1111ABCD A B C D -的外接球截面为平面α，点E 到平面α的距离为d ，直线EM 与平面α所成的角为θ，则sin 25sin 25d EM θθ==≤， 当且仅当2πθ=时，等号成立，长方体1111ABCD A B C D -的外接球半径为222126AB AD AA R ++'==，所以，截面圆的半径()()222226252r R d '=-≥-=，因此，截面圆面积的最小值为4π，D 选项正确.故选：ACD. 【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.5．如图，矩形ABCD 中， 22AB AD ==，E 为边AB 的中点.将ADE 沿直线DE 翻折成1A DE △（点1A 不落在底面BCDE 内），若M 在线段1A C 上（点M 与1A ，C 不重合），则在ADE 翻转过程中，以下命题正确的是（ ）A ．存在某个位置，使1DE A C ⊥B ．存在点M ，使得BM ⊥平面1A DC 成立 C ．存在点M ，使得//MB 平面1A DE 成立D ．四棱锥1A BCDE -体积最大值为24【答案】CD 【分析】利用反证法可得A 、B 错误，取M 为1A C 的中点，取1A D 的中点为I ，连接,MI IE ，可证明//MB 平面1A DE ，当平面1A DE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -体积最大值，利用公式可求得此时体积为24. 【详解】如图（1），取DE 的中点为F ，连接1,A F CF ， 则45CDF ∠=︒，22DF =，故212254222222CF =+-⨯⨯=，故222DC DF CF ≠+即2CFD π∠≠．若1CA DE ⊥，因为11,A D A E DF FE ==，故1A F DE ⊥，而111A F A C A ⋂=， 故DE ⊥平面1A FC ，因为CF ⊂平面1A FC ，故DE CF ⊥，矛盾，故A 错． 若BM ⊥平面1A DC ，因为DC ⊂平面1A DC ，故BM DC ⊥， 因为DC CB ⊥，BM CB B ⋂=，故CD ⊥平面1A CB ，因为1AC ⊂平面1A CB ，故1CD A C ⊥，但1A D CD <，矛盾，故B 错． 当平面1A DE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -体积最大值， 由前述证明可知1A F DE ⊥，而平面1A DE平面BCDE DE =，1A F ⊂平面1A DE ，故1A F ⊥平面BCDE ，因为1A DE △为等腰直角三角形，111A D A E ==，故122A F =， 又四边形BCDE 的面积为13211122⨯-⨯⨯=， 故此时体积为13223224⨯⨯=，故D 正确． 对于C ，如图（2），取M 为1A C 的中点，取1A D 的中点为I ，连接,MI IE ，则1//,2IM CD IM CD =，而1//,2BE CD BE CD =， 故//,IM BE IM BE =即四边形IEBM 为平行四边形，故//IE BM ，因为IE ⊂平面1A DE ，BM ⊄平面1A DE ，故//MB 平面1A DE ， 故C 正确． 故选：CD.【点睛】本题考查立体几何中的折叠问题，注意对于折叠后点线面的位置的判断，若命题的不成立，往往需要利用反证法来处理，本题属于难题.6．如图四棱锥P ABCD -，平面PAD ⊥平面ABCD ，侧面PAD 是边长为26的正三角形，底面ABCD 为矩形，23CD =，点Q 是PD 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．CQ ⊥平面PADB ．PC 与平面AQC 所成角的余弦值为223C ．三棱锥B ACQ -的体积为62D ．四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的表面积为3【答案】BD 【分析】取AD 的中点O ，BC 的中点E ，连接,OE OP ，则由已知可得OP ⊥平面 ABCD ，而底面ABCD 为矩形，所以以O 为坐标原点，分别以,,OD OE OP 所在的直线为x 轴，y 轴 ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量依次求解即可. 【详解】解：取AD 的中点O ，BC 的中点E ，连接,OE OP ， 因为三角形PAD 为等边三角形，所以OP AD ⊥, 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥平面 ABCD ， 因为AD OE ⊥，所以,,OD OE OP 两两垂直，所以，如下图，以O 为坐标原点，分别以,,OD OE OP 所在的直线为x 轴，y 轴 ，z 轴， 建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(6,0,0),(6,0,0)O D A ，(0,0,32),6,23,0),(6,23,0)P C B ，因为点Q 是PD 的中点，所以632)Q ， 平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)m =，632(23,2QC =-，显然 m 与QC 不共线， 所以CQ 与平面PAD 不垂直，所以A 不正确；3632(6,23,32),(,0,),(26,PC AQ AC =-==， 设平面AQC 的法向量为(,,)n x y z =，则36022260n AQ x zn AC ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩， 令=1x ，则y z ==， 所以(1,2,n =-， 设PC 与平面AQC 所成角为θ，则21sin 36n PC n PCθ⋅===， 所以cos 3θ=，所以B 正确； 三棱锥BACQ -的体积为1132B ACQ Q ABC ABCV V SOP --==⋅1116322=⨯⨯⨯=， 所以C 不正确；设四棱锥Q ABCD -外接球的球心为)M a，则MQ MD =，所以22222222a a ⎛⎫⎛⎫++-=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得0a=，即M为矩形ABCD 对角线的交点， 所以四棱锥Q ABCD -外接球的半径为3，设四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的棱长为x ， 将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线，故正方体的棱长为2x，所以22362x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，得224x =， 所以正四面体的表面积为24x =，所以D 正确. 故选：BD【点睛】此题考查线面垂直，线面角，棱锥的体积，棱锥的外接球等知识，综合性强，考查了计算能力，属于较难题.7．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且2EF =.则下列结论正确的是（ ）A ．三棱锥A BEF -的体积为定值B ．当E 向1D 运动时，二面角A EF B --逐渐变小C ．EF 在平面11ABB A 内的射影长为12D ．当E 与1D 重合时，异面直线AE 与BF 所成的角为π4【答案】AC 【分析】对选项分别作图，研究计算可得. 【详解】选项A:连接BD ,由正方体性质知11BDD B 是矩形，11122122BEF S EF BB ∆∴=⋅=⨯⨯=连接AO 交BD 于点O由正方体性质知AO ⊥平面11BDD B ,所以，AO 是点A 到平面11BDD B 的距离，即22AO =11221334212A BEF BEF V S AO -∆∴=⨯=⨯⨯=A BEF V -∴是定值.选项B:连接11A C 与11B D 交于点M ，连接11,AD AB ， 由正方体性质知11AD AB =,M 是11B D 中点，AM EF ∴⊥ ,又1BB EF ⊥,11//BB AAA EFB ∴--的大小即为AM 与1AA 所成的角，在直角三角形1AA M 中，12tan 2MAA ∠=为定值. 选项C:如图，作1111,,,FH A B EG A B ET EG ⊥⊥⊥ 在直角三角形EFT 中，221cos 45222FT EF =⨯=⨯= 12HG FT ∴==选项D:当E 与1D 重合时，F 与M 重合，连接AC 与BD 交于点R ，连接1D R ,1//D R BM 异面直线AE 与BF 所成的角,即为异面直线1AD 与1D R 所成的角, 在三角形1AD R 中，22111132,2AD D R MB BB M B ===+=22AR = 由余弦定理得13cos 6AD R ∠= 故选：AC 【点睛】本题考查空间几何体性质问题.求解思路：关键是弄清(1)点的变化，点与点的重合及点的位置变化；(2)线的变化，应注意其位置关系的变化；(3)长度、角度等几何度量的变化．求空间几何体体积的思路：若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法；若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解.8．已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，如图，M 为1CC 上的动点，AM ⊥平面α.下面说法正确的是（）A ．直线AB 与平面α所成角的正弦值范围为322⎣⎦B ．点M 与点1C 重合时，平面α截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大 C ．点M 为1CC 的中点时，若平面α经过点B ，则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形D ．已知N 为1DD 中点，当AM MN +的和最小时，M 为1CC 的中点 【答案】AC 【分析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，利用空间向量法可判断A 选项的正误；证明出1AC ⊥平面1A BD ，分别取棱11A D 、11A B 、1BB 、BC 、CD 、1DD 的中点E 、F 、Q 、N 、G 、H ，比较1A BD 和六边形EFQNGH 的周长和面积的大小，可判断B 选项的正误；利用空间向量法找出平面α与棱11A D 、11A B 的交点E 、F ，判断四边形BDEF 的形状可判断C 选项的正误；将矩形11ACC A 与矩形11CC D D 延展为一个平面，利用A 、M 、N 三点共线得知AM MN +最短，利用平行线分线段成比例定理求得MC ，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则点()2,0,0A 、()2,2,0B 、设点()()0,2,02M a a ≤≤，AM ⊥平面α，则AM 为平面α的一个法向量，且()2,2,AM a =-，()0,2,0AB =， 2232cos ,,32288AB AM AB AM AB AMa a ⋅<>===⎢⋅⨯++⎣⎦， 所以，直线AB 与平面α所成角的正弦值范围为32⎣⎦，A 选项正确； 对于B 选项，当M 与1CC 重合时，连接1A D 、BD 、1A B 、AC ， 在正方体1111ABCD A B C D -中，1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，1BD CC ∴⊥，四边形ABCD 是正方形，则BD AC ⊥，1CC AC C =，BD ∴⊥平面1ACC ，1AC ⊂平面1ACC ，1AC BD ∴⊥，同理可证11AC A D ⊥， 1A D BD D ⋂=，1AC ∴⊥平面1A BD ，易知1A BD 是边长为22(12322234A BD S =⨯=△为22362=.设E 、F 、Q 、N 、G 、H 分别为棱11A D 、11A B 、1BB 、BC 、CD 、1DD 的中点，易知六边形EFQNGH 是边长为2的正六边形，且平面//EFQNGH 平面1A BD ， 正六边形EFQNGH 的周长为62，面积为()236233⨯⨯=，则1A BD 的面积小于正六边形EFQNGH 的面积，它们的周长相等，B 选项错误； 对于C 选项，设平面α交棱11A D 于点(),0,2E b ，点()0,2,1M ，()2,2,1AM =-，AM ⊥平面α，DE ⊂平面α，AM DE ∴⊥，即220AM DE b ⋅=-+=，得1b =，()1,0,2E ∴，所以，点E 为棱11A D 的中点，同理可知，点F 为棱11A B 的中点，则()2,1,2F ，()1,1,0EF =，而()2,2,0DB =，12EF DB ∴=，//EF DB ∴且EF DB ≠， 由空间中两点间的距离公式可得2222015DE =++=()()()2222212205BF =-+-+-=，DE BF ∴=，所以，四边形BDEF 为等腰梯形，C 选项正确；对于D 选项，将矩形11ACC A 与矩形11CC D D 延展为一个平面，如下图所示：若AM MN +最短，则A 、M 、N 三点共线，11//CC DD ，2222222MC AC DN AD ∴===-+， 11222MC CC =-≠，所以，点M 不是棱1CC 的中点，D 选项错误.故选：AC. 【点睛】本题考查线面角正弦值的取值范围，同时也考查了平面截正方体的截面问题以及折线段长的最小值问题，考查空间想象能力与计算能力，属于难题.9．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AB BC AA P ===是1A B 上的一动点，则下列选项正确的是( )A ．DP 35B ．DP 5C ．1AP PC +6D ．1AP PC +的最小值为1705【答案】AD 【分析】DP 的最小值，即求1DA B △底边1A B 上的高即可；旋转11A BC 所在平面到平面11ABB A ，1AP PC +的最小值转化为求AC '即可.【详解】求DP 的最小值，即求1DA B △底边1A B 上的高，易知115,2A B A D BD ===，所以1A B 边上的高为355h =，连接111,AC BC ，得11A BC ，以1A B 所在直线为轴，将11A BC 所在平面旋转到平面11ABB A ，设点1C 的新位置为C '，连接AC '，则AC '即为所求的最小值，易知11122,2,cos 10AA AC AAC ''==∠=-， 所以217042222()10AC '=+-⨯⨯⨯-=. 故选：AD. 【点睛】本题考查利用旋转求解线段最小值问题.求解翻折、旋转问题的关键是弄清原有的性质变化与否， (1)点的变化，点与点的重合及点的位置变化；(2)线的变化，翻折、旋转前后应注意其位置关系的变化；(3)长度、角度等几何度量的变化．10．如图，矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，将ABM 沿直线AM 翻折成1AB M ，连结1B D ，N 为1B D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（ ）A ．存在某个位置，使得CN AB ⊥ B ．翻折过程中，CN 的长是定值C ．若AB BM =，则1AM BD ⊥D ．若1AB BM ==，当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -的外接球的表面积是4π 【答案】BD 【分析】对于选项A ，取AD 中点E ，取1AB 中点K ，连结KN ，BK ，通过假设CN AB ⊥，推出AB ⊥平面BCNK ，得到AB BK ⊥，则22AK AB BK AB =+>，即可判断；对于选项B ，在判断A 的图基础上，连结EC 交MD 于点F ，连结NF ，易得1NEC MAB ∠=∠，由余弦定理，求得CN 为定值即可；对于选项C ，取AM 中点O ，1B O ，DO ，由线面平行的性质定理导出矛盾，即可判断； 对于选项D ，易知当平面1AB M 与平面AMD 垂直时，三棱锥1B AMD -的体积最大，说明此时AD 中点E 为外接球球心即可.【详解】如图1，取AD 中点E ，取1AB 中点K ，连结EC 交MD 于点F ，连结NF ，KN ，BK ,则易知1//NE AB ，1//NF B M ，//EF AM ，//KN AD ，112NE AB =，EC AM = 由翻折可知，1MAB MAB ∠=∠，1AB AB =， 对于选项A ，易得//KN BC ，则K 、N 、C 、B 四点共面，由题可知AB BC ⊥，若CN AB ⊥，可得AB ⊥平面BCNK ，故AB BK ⊥，则22AK AB BK AB =+>，不可能，故A 错误；对于选项B ，易得1NEC MAB ∠=∠，在NEC 中，由余弦定理得222cos CN CE NE NE CE NEC =+-⋅⋅∠，整理得222212422AB AB AB CN AM AM BC AB AM =+-⋅⋅=+， 故CN 为定值，故B 正确；如图2，取AD 中点E ，取AM 中点O ，连结1B E ，OE ，1B O ，DO ，，对于选项C ，由AB BM =得1B O AM ⊥，若1AM B D ⊥，易得AM ⊥平面1B OD ，故有AM OD ⊥，从而AD MD =，显然不可能，故C 错误；对于选项D ，由题易知当平面1AB M 与平面AMD 垂直时，三棱锥B 1﹣AMD 的体积最大，此时1B O ⊥平面AMD ，则1B O OE ⊥，由1AB BM ==，易求得12BO =，DM =11B E ===，因此1EB EA ED EM ===，E 为三棱锥1B AMD -的外接球球心，此外接球半径为1，表面积为4π，故D 正确.故选：BD.【点睛】本题主要考查了立体几何中的翻折问题以及空间图形的位置关系，考查了空间想象能力，属于较难题.。
江苏省扬中市第二高级中学高考数学午时30分钟训练12
江苏省扬中市第二高级中学高考数学午时30分钟训练121．函数xey x sin=在),(ππ-的单调减区间是。
2．已知函数()sin5,(1,1).f x x x x=+∈-如果2(1)(1)0f a f a-+-<，则实数a的取值范围是3.二次函数()y f x=的导函数()2f x x m'=+，且2(0)f m m=-，则()0f x>在R上恒成立时m的取值范围是.4．函数()3sin,[0,1)xf x x x=+∈上的值域为.5．若函数32()31f x x a x=-+的图象与直线3y=只有一个公共点，则实数a的取值范围为.6．若函数3()()(33f x a x x=--的递减区间为，则实数a的取值范围为 .7．()331f x ax x=-+对于[]1,1x∈-总有()f x≥0 成立，则a．8．对于函数321()||(3)||32af x x x a x b=-+-+，（1）若(2)7f=，则(2)f-=.（2）若()f x有六个不同的单调区间，则a的取值范围为.1.),43()4,(ππππ和--2. 3.4(,0)(,)3-∞+∞;4.[1,3sin1)+;5.(1,1)-;6.(0,)+∞7.答案：4解析：本小题考查函数单调性的综合运用．若x ＝0，则不论a 取何值，()f x ≥0显然成立；当x ＞0 即[]1,1x ∈-时，()331f x ax x =-+≥0可化为，2331a x x ≥-设()2331g x x x =-，则()()'4312x g x x -=， 所以()g x 在区间10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()max 142g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，从而a ≥4；8、（1）7（2）23a <<1．垂直于直线2x+6y ＋1=0且与曲线y = x3＋3x －5相切的直线方程是 。