密码学数学基础第九讲 环

设环R是有单位元 的环 设环 是有单位元1的环，a∈R，如果存在 ∈R，使 是有单位元 的环， ∈ ，如果存在b∈ ， ab=ba=1，则称 是R的一个可逆元，并称 为a的逆元。 的一个可逆元， 的逆元。 ，则称a是 的一个可逆元 并称b为 的逆元 如果a可逆， 的逆元是唯一的； 的逆元记做a 如果 可逆，则a的逆元是唯一的；可逆元 的逆元记做 －1。 可逆 的逆元是唯一的 可逆元a的逆元记做 对于一个有单位元的环R 对于一个有单位元的环R，其所有可逆元组成的集合关 于环R的乘法构成群。这个群称为环R 单位群或可逆元群， 于环R的乘法构成群。这个群称为环R的单位群或可逆元群， 记做U(R) U(R)。 记做U(R)。
定 R/ I的 法 算 ： +b = a +b a b∈R 义 加 运 为 a ，， ；
定 R/ I的 法 ： = ab a b∈R 义 乘 为 ab ，， ；
则（R/I，＋，·）是一个环。 定义10：称环R/I为环R关于理想I的商环，或称为R模I 的同余类环。
定理5：设R为环，I是R的理想，则：
第9讲 环的结构 讲
教师： 教师：李艳俊
本讲内容
一、环的定义 二、环内特殊元素 三、环的分类 四、子环、理想和商环 子环、
一、环的定义
定义1： 是一个非空集合， 中定义两种二元运算， 定义 ：设R是一个非空集合，在R中定义两种二元运算， 是一个非空集合 中定义两种二元运算 一种叫加法，记做＋，另一种叫乘法，记做 ；且满足： 一种叫加法，记做＋，另一种叫乘法，记做·；且满足： ＋，另一种叫乘法 （1）（R，＋）是一个可换群； ）（R，＋）是一个可换群； 是一个可换群 （2）（R，·）是一个半群； ）（R ）是一个半群； （3）左、右分配律成立：对任何a，b，c∈R，有：a(b 右分配律成立：对任何 ， ， ∈ ( )=ab＋ ， ＋ ) = ＋ ； ＋c)= ＋ac，(a＋b)c=ac＋bc； )= 则称代数系统（ ，＋， ）是一个环 则称代数系统（R，＋，·）是一个环。 （R，＋）是一个交换群，称为环R的加法群。 ，＋）是一个交换群，称为环R的加法群。 是一个交换群 如果环R的乘法还满足交换律，则称R为交换环。 如果环R的乘法还满足交换律，则称R为交换环。
模6的同余类环Z6不是整环。 的同余类环Z 不是整环。 2. 除环 定义6 若含有单位元和零的环R中每个非零元都可逆， 定义6：若含有单位元和零的环R中每个非零元都可逆， 则称R为除环。 则称R为除环。
3． 域
定义7：若R是一个可交换的除环，则称R为域。 定义7 是一个可交换的除环，则称R 有理数集Q 实数集R 复数集C 有理数集Q、实数集R、复数集C对于通常数的加法与乘 法构成域，分别称为有理数域、实数域、复数域。 法构成域，分别称为有理数域、实数域、复数域。 注：域一定是整环，但整环却不一定是域。 域一定是整环，但整环却不一定是域。 整数环Z不是域。 整数环Z不是域。 具有有限个元素的整环是域。 具有有限个元素的整环是域。 具有有限个元素的域，称为有限域。 具有有限个元素的域，称为有限域。 定理2：（Z ，＋，·）是域的充要条件是n是素数 是素数。 定理2：（Zn，＋， ）是域的充要条件是 是素数。
例1：全体整数所成集合 对于通常数的加法与乘法构成 ：全体整数所成集合Z对于通常数的加法与乘法构成 一个环（ ，＋， ，＋，·）。 一个环（Z，＋， ）。 （Z，＋，·）是一个交换环。 ，＋， ）是一个交换环。 （Z，＋，·）称为整数环。 ，＋， ）称为整数环。 有理数集Q 实数集R 复数集C 有理数集Q、实数集R、复数集C对于通常数的加法与乘 法构成交换环。 法构成交换环。 把数集关于数的加法、乘法做成的环，称为数环。 把数集关于数的加法、乘法做成的环，称为数环。
二、环内特殊元素
1．环内一些特殊元素 的加法单位元常用0表示 的零元。 环R的加法单位元常用 表示，称为环 的零元。 的加法单位元常用 表示，称为环R的零元 的加法逆元称为a的负元 环R的元素a的加法逆元称为 的负元，记做－a。 的元素 的加法逆元称为 的负元，记做－ 。 R的零元及每个元素的负元都是唯一的。 的零元及每个元素的负元都是唯一的。 如果环R中存在元素 ，使对任意的a∈ 如果环R中存在元素e，使对任意的 ∈R，有ae=ea=a，则 = = ， 是一个有单位元的环，并称e为 的单位元。 称R是一个有单位元的环，并称 为R的单位元。 常把环R的单位元 记为 记为1 常把环R的单位元e记为1。 如果环R有单位元，则单位元是唯一的。 如果环R有单位元，则单位元是唯一的。
为素数。 注：（1）Z/(n)为域的充要条件是 为素数。 ：（1 Z/( )为域的充要条件是n为素数 （2）同一个记号Zn表示不同的意义： 同一个记号Z 表示不同的意义： (i)当 看作是整数n的商群时 的商群时， 中只有加法一种运算； (i)当Zn看作是整数 的商群时，Zn中只有加法一种运算； (ii)当 看作是整数n的商环时 的商环时， 中有加法和乘法两种运算。 (ii)当Zn看作是整数 的商环时，Zn中有加法和乘法两种运算。 关于(3)={3r|r∈Z}的商环 的商环Z/(3)的加法和乘法 例12：做出环 关于 ：做出环Z关于 ∈ 的商环 的加法和乘法 运算表。 运算表。
都是数环。 Z，Q，R，C都是数环。
பைடு நூலகம்
例2：设Z[x]={a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn | ai∈Z，n≥0为 ： ＋ ＋ ， 为 整数}， 是系数为整数的一切x的多项式所组成的集合 整数 ，则Z[x]是系数为整数的一切 的多项式所组成的集合， 是系数为整数的一切 的多项式所组成的集合， Z[x]关于多项式的加法与乘法构成一个环。 关于多项式的加法与乘法构成一个环。 关于多项式的加法与乘法构成一个环 一般地， 是一个数环， 表示系数属于A的一切 一般地，设A是一个数环，A[x]表示系数属于 的一切 是一个数环 表示系数属于 的一切x 的多项式所成集合， 的多项式所成集合，则A[x]关于多项式的加法与乘法构成 关于多项式的加法与乘法构成 一个环。 一个环。
3．无零因子环
定义2： 是一个环， ， ∈ ， 定义 ：设R是一个环，a，b∈R，若a·b=0，且a≠0和b≠0， 是一个环 ， 和 ， 则称a为 的一个左零因子 的一个左零因子， 为 的一个右零因子 的一个右零因子。 则称 为R的一个左零因子，b为R的一个右零因子。 若一个元素既是左零因子，又是右零因子，则称它为零因子。 若一个元素既是左零因子，又是右零因子，则称它为零因子。 例7：求模6的同余类环Z6的所有零因子和单位。 求模6的同余类环Z 的所有零因子和单位。 定义3 设环R不含左、右零因子，则称R为无零因子环。 定义3：设环R不含左、右零因子，则称R为无零因子环。 =0⇒ =0或 =0 =0。 R是无零因子环充要条件是：∀a，b∈R，ab=0⇒a=0或b=0。 是无零因子环充要条件是： ， ∈ =0 =0 定理1 环中无左（ 定理1：环中无左（右）零因子的充要条件是乘法消去 律成立， ≠0， = ⇒ = ； ≠0 ≠0， = ⇒ = 。 律成立，即：a≠0，ab=ac⇒b=c；a≠0，ba=ca⇒b=c。 ≠0
四、子环、理想和商环 子环、
定义8 的一个非空子集； 定义8：设（R，＋，·）是一个环，S是R的一个非空子集； ，＋， ）是一个环， 如果S关于R的运算构成环，则称S 的一个子环， 如果S关于R的运算构成环，则称S为R的一个子环，R为S的一个 扩环。 扩环。 对于任意一个环R 都有两个子环：{0}与 对于任意一个环R，都有两个子环：{0}与R。这两个子环 称为R的平凡子环。 称为R的平凡子环。 定理3 的一个非空子集； 定理3：设（R，＋，·）是一个环，S是R的一个非空子集； ，＋， ）是一个环， 则S是R的子环的充要条件是： 的子环的充要条件是： （1）对任意的a，b∈S，有a－b∈S； 对任意的 ， ∈ － ∈ （2）对任意的a，b∈S，有ab∈S。 对任意的 ， ∈ ∈
作业： 作业：
1、求模12的同余类环 12的所有零因子和单位。 、求模 的同余类环 的所有零因子和单位。 的同余类环Z 2、做出环Z关于 、做出环 关于 关于(5)={5r|r∈Z}的商环 的商环Z/(5)的加法和乘法 ∈ 的商环 的加法和乘法 运算表。 运算表。
课后作业 （1）习题1/10/14 习题1/10/14 （2）预习多项式环
2．性质 利用负元的概念，定义环 的减法 的减法“ 利用负元的概念，定义环R的减法“－”为： 对任意的a， ∈ ， 对任意的 ，b∈R，令a－b=a＋(－b)。 － ＋－ 。 倍数法则：对任意的 ， ∈ 倍数法则：对任意的m，n∈Z，a，b∈R， ， ∈ =(m＋ ) ； （1）ma＋na=( ＋n)a； ＋ =( )=ma＋ ； （2）m(a＋b)= ＋mb； ( ＋ )= )=(mn) = ( ) （3）m(na)=( )a=n(ma)； ( )=( )=(ma) = ( ) （4）m(ab)=( )b=a(mb)。 ( )=( 指数法则：对任意的 ， ∈ 指数法则：对任意的m，n∈Z，a，b∈R， ， ∈ （1）(am)n=amn； ＋ （2）am·an=am＋n。
例 设 n ={0 1 ⋯n−1 是 数 n 同 类 合 在 n中 义 3： Z ， ，， } 整 模的 余 集 ， Z 定 加 和 法 别 模的 法 乘 ： +b = a+b a ⋅b = ab. 法 乘 分 为 n 加 和 法 a ，
则(Zn，＋，·)是有单位元的交换环，称为整数模n的同余类 （或剩余类）环。 (Zn，＋，·)的单位群是Zn*。
例： 实 域 上 2 全 阵 8 在 数 R 的阶 矩 环 a b M2 (R) = | a b c d ∈R中 ，，， ， c d a b a 0 S S 令 1 = | a b∈R， 2 = ， | a∈R， 0 0 0 0 则 1 S2是 2 (R) 子 。 S， M 的 环