量子统计与经典统计的对比分析
经典和量子统计物理学的初步认识(高工大作业,第三部分)
西安交通大学高等工程热力学报告学号：XXXXXXXXXX姓名：XXXXX专业：工程热物理班级：XXXXXX能源与动力工程学院2015/12/26经典和量子统计物理学的初步认识经典统计物理学是建立在经典力学基础上的学科，而量子统计物理学是建立在量子力学基础上的学科，从经典统计到量子统计，它们之间存在着一定的区别和联系，并在一定的条件下可以相互转换。
利用经典统计方法推证热力学中的能量均分定理，并结合热容量的定义求解某些系统内能及热容量时，发现其理论值与实际值存在差异，这是经典统计物理难以解决的问题，本文采用量子统计理论做出了合理的解释，从而使理论值和实际值吻合的很好。
因此，可以看出经典统计的局限性是量子统计理论建立的基础，量子统计理论很好的补充了经典统计理论的不足。
1. 理想气体物态方程的经典统计推导在普通物理的热学中，从气体的实验定律（如：玻意耳—马略特定律、查理定律及盖吕萨克定律）出发推导理想气体物态方程，而在理论物理中热力学统计利用经典统计方法仍能给出相应的理论，它是经典统计物理应用的一个典型的实例。
对自由粒子而言，其自由度r=3，其坐标表示为(x ，y ，z)，与之相对应的动量为(p x ，p y ，p z )，那么它的能量为：2222x y z p 1==(p +p +p )2m 2mε()1 将（1）式代入玻耳兹曼系统下的配分函数：1222x y z l (p +p +p )2m l l z e e ββεωω--==∑∑()2由于玻耳兹曼系统的特点是每个粒子可以分辨，可看成经典系统，则系统看成连续分布的，即配分函数中的求和变为积分，则有：131...222(p +p +p )x y z 2m x y z z e dxdydzdp dp dp h β-=⎰⎰()3 求解积分可得：32122()z V h β=πm ()4 其中V dxdydz =⎰⎰⎰是气体的体积，根据玻耳兹曼系统广义力的统计表达式类比压强的统计表达式为:1lnz N P Vβ∂=∂()5 将（4）式带入（5）式，求导可得理想气体的压强： NkT P V =()6化简为：PV=vRT（ν为气体的摩尔数）上式为理想气体物态方程。
量子力学和经典力学的区别与联系(完整版)
量子力学和经典力学的区别与联系量子力学和经典力学在的区别与联系摘要量子力学是反映微观粒子结构及其运动规律的科学。
它的出现使物理学发生了巨大变革，一方面使人们对物质的运动有了进一步的认识，另一方面使人们认识到物理理论不是绝对的，而是相对的，有一定局限性。
经典力学描述宏观物质形态的运动规律，而量子力学则描述微观物质形态的运动规律，他们之间有质的区别，又有密切联系。
本文试图通过解释、比较，找出它们之间的不同，进一步深入了解量子力学，更好的理解和掌握量子力学的概念和原理。
经过量子力学与经典力学的对比我们可以发现，量子世界真正的基本特性：如果系统真的从状态A跳跃到B的话，那么我们对着其中的过程一无所知。
当我们进行观察的时候，我们所获得的结果是有限的，而当我们没有观察的时候系统正在做什么，我们都不知道。
量子理论可以说是一门反映微观运动客观规律的学说。
经典物理与量子物理的最根本区别就是：在经典物理中，运动状态描述的特点为状态量都是一些实验可以测量得的，即在理论上这些量是描述运动状态的工具，实际上它们又是实验直接可测量的量，并可以通过测量这些状态量来直接验证理论。
在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数描述，一切都是不确定的。
但是当微观粒子积累到一定量是，它们又显现出经典力学的规律。
关键字：量子力学及经典力学基本内容及理论量子力学及经典力学的区别与联系三、目录摘要............................................................ ............ ... ... ...... (1)关键字.................................................................. ...... ... ... ...... (1)正文..................................................................... ...... ... ... ...... (3)一、量子力学及经典力学基本内容及理论...... ............ ... ............ ...... ... (3)经典力学基本内容及理论........................... ...... ......... ...... (3)量子力学的基本内容及相关理论.................................... ...... (3)二、量子力学及经典力学在表述上的区别与联系.................. ...... ... ...... (4)微观粒子和宏观粒子的运动状态的描述........................... ...... ... ... (4)量子力学中微观粒子的波粒二象性...... ...... ... ...... ... ......... ...... (5)三、结论：量子力学与经典力学的一些区别对比... ... .................. ...... ... (5)参考文献.................................................................. ............ ... ...... (6)量子力学和经典力学在的区别与联系一、量子力学及经典力学基本内容及理论经典力学基本内容及理论经典力学是在宏观和低速领域物理经验的基础上建立起来的物理概念和理论体系，其基础是牛顿力学（宏观物体运动规律）,麦克斯韦电磁学（场的运动规律）以及热力学与统计物理学（物质的热运动规律）。
理论物理与计算物理方法
多体系统与统计物理的前沿问题
1.多体系统与统计物理的前沿问题包括高温超导、拓扑物态、 量子计算和量子模拟等。 2.这些问题的解决需要新的理论、实验技术和计算方法的结合 。 3.研究多体系统和统计物理的前沿问题有助于推动物理学和信 息科学的发展，为未来技术提供基础科学支持。
理论物理与计算物理方法
量子场论与粒子物理简介
理论物理与计算物理简介
▪ 理论物理简介
1.理论物理的发展历程：从古典物理学到现代量子力学的演进 ，揭示了自然规律的深层次原理。 2.理论物理的研究方法：基于数学模型和逻辑推理，通过假设 、验证和修正，探索物理现象的本质。 3.理论物理的应用领域：涵盖宇宙学、粒子物理、凝聚态物理 等多个领域，为科技发展提供理论支持。
▪ 插值方法
1.插值方法是一种通过已知数据点来估算未知点数值的方法。 2.常见的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值和样条插值等 。 3.插值方法在数据处理、函数逼近和计算机图形学等领域有广 泛应用。
▪ 数值积分与微分
1.数值积分和微分是研究如何用数值方法求解函数的积分和微 分的方法。 2.常见的数值积分方法包括梯形法、辛普森法和高斯积分法等 ，而数值微分方法则包括差分法和插值法等。 3.数值积分和微分在解决实际问题中广泛应用，例如计算面积 、体积、重心等物理量，以及求解微分方程等。
数值分析与计算方法
▪ 线性方程组的数值解法
1.线性方程组的数值解法是研究如何用数值方法求解线性方程 组的方法。 2.常见的线性方程组数值解法包括高斯消元法、雅可比迭代法 和共轭梯度法等。 3.不同的数值解法有各自的优缺点和适用范围，需要根据具体 问题进行选择。
▪ 非线性方程与方程组的数值解法
1.非线性方程和方程组的数值解法是研究如何用数值方法求解 非线性方程和方程组的方法。 2.常见的非线性方程数值解法包括二分法、牛顿法和拟牛顿法 等，而非线性方程组的数值解法则包括牛顿-拉夫逊法和拟牛 顿法等。 3.非线性方程和方程组的数值解法在解决实际问题中广泛应用 ，例如求解最优化问题、求解偏微分方程等。
量子统计理论从经典统计到量子统计量子力学对经典
第三章 量子统计理论第一节 从经典统计到量子统计 量子力学对经典力学的改正 波函数代表状态 (来自实验观测) 能量和其他物理量的不连续性（来自Schroedinger 方程的特征） 测不准关系（来自物理量的算符表示和对易关系） 全同粒子不可区分（来自状态的波函数描述） 泡利不相容原理 （来自对易关系） 正则系综ρ不是系统处在某个()q p ,的概率，而是处于某个量子态的概率，例如能量的本征态。
配分函数 1E nnZ e k Tββ-==∑n E 为第n 个量子态的能量，对所有量子态求和（不是对能级求和）。
平均值1E nn e Zβ-O =O ∑O 量子力学的平均值第二节 密度矩阵 量子力学 波函数∑ψΦ=ψnnn C ,归一化平均值∑ΦO Φ=ψOψ=O *mn m n m n C C ,ˆˆ 统计物理系综理论：存在多个遵从正则分布的体系 ∴∑ΦO Φ=O *mn mn m nC C,ˆ 假设系综的各个体系独立，m n C C m n ≠=*,0理解：m n C C *是对所有状态平均，假设每个状态出现的概率为...)(...m C ρ，对固定m ，－m C 和m C 以相同概率出现，所以∑ΦO Φ=O *nnn n n C C ˆ 如果选取能量表象，假设n n C C *按正则分布，重新记n n C C *为n n C C *1E nn nC C e Zβ-*=这里n n n E H Φ=Φˆ引入密度矩阵算符ρˆ[]nn n C HΦ=Φ=2ˆ0ˆ,ˆρρ显然∑ΦΦ=nn nn C 2ˆρ， ˆˆ,0H ρ⎡⎤=⎣⎦∴∑ΦOΦ=O n n ρˆˆ ()ρˆˆO=r T 归一化条件 1ˆ=ρr T 一般地 H e Zˆ1ˆβρ-=()H r e T Zˆˆ1β-O =O H r e T Z ˆβ-=这样，计算可以在任何表象进行 微正则系综⎪⎩⎪⎨⎧∆+〈〈Ω=ΦΦ=∑其它1ˆ22E E E EC C nnnn nn ρ(E ∆ « E)巨正则系综()()ˆˆˆˆ01ˆˆH N H N r NE N nne NZZ T eeeβμβμββμρ⎡⎤--⎣⎦⎡⎤--⎣⎦∞-====∑∑粒子数算符n 为N 固定的量子态第三节 玻色－爱因斯坦分布(BE)和费米－狄拉克分布（FD ） 体系：N 个独立的全同粒子，N 可变 单粒子能级i ε 巨正则分布,N E Nnn Z e N αβαβμ--==-↑∑∑对固定，所有量子态求和量子态：粒子按单粒子量子态的分布{},i n态粒子数第i Nnii↑=∑注意：i 不是粒子的指标，而是态的指标(){}()()ii ii Nn n i ii in n Z eeαβεαβε--++∑=∑=∑∑∑↑ N 可变的分布()()()i iin iiin i i i in n Z eeZ αβεαβε-+-+=∏=∏≡∏∑∑这里 i 记单粒子态例：单粒子两能级系统，玻色子，没简并()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑∑∞=+-∞=+-+-+-00,222111212211n n n n n n n n e e e Z εβαεβαεβαεβα计算平均粒子数()()()()()(){}1111jjj j i n Nn jn j in j jj j j j jin i i n i n i ni in n n n eZZ e n Z n e eZαβεαβεαβεαβερ--≠++-+-+∑==⎛⎫=∏ ⎪⎝⎭=∏∑∑∑∑∑∑∴()ln 1ii ii n ii in Z n eZ n αβεα-+∂==-∂∑（i ） 玻色－爱因斯坦情形11ii Z eαβε--=-∴,11i BE ien αβε+=-（ii ） 费米－狄拉克情形i n 只能取0，1两个值(),111i FD i iiZ een αβεαβε-++=+=+若第l 个能级l ε有l g 个简并量子态，则共有粒子,1lBE l l l FDlg ag n eαβε++==， αβμ=-平均粒子数,ll N a =∑若N 足够大，涨落相对可忽略，N 可认为常数。
3.5三种统计法(24)好
1.设有N个粒子，能级为εi，每个能级的简并度为gi。 2.假设某一种分布为：εi能级上分布粒子数为ni，求出此分布下的热力学概率， 即所包含的总的微观状态的数目。（经典粒子，玻色子、费米子） 3.求出包含微观状态数最多，即热力学概率最大的一种分布。 4.热力学量的统计表达式。
一、麦克斯韦-玻尔兹曼(M-B)统计
熵的统计意义：Boltzmann提出熵与体系 微观状态数的关系为：
S=k㏑=klnWmax ? Wmax: 最可几分布具有的微观状态数。
4. 定域体系热力学量的统计表达式 利用宏观量是相应微观量的统计平均值和玻尔兹曼分布公式可求出
ni
N Z1
giei
Z1 giei
i
1
KT
S K ln
A N kTlnq
宏观体系的热力学平衡态拥有数目极其巨大的微观运动状态。这些微观运动状 态存在于各种不同的分布中。
自然界的微观粒子分为两大类: 玻色子(Bose particle)：不遵守保利不相容原理，遵从全同性原理，交换任何两
粒子构成系统新的微观状态，任一单粒子态对填充的粒子数无限制。 费米子(Fermi particle)：遵守保利不相容原理，任一单粒子态最多只能被一个粒
直可以完全忽略不计。 • 最可几分布出现的几率仍很小，且随体系粒子数目的增多出现几率更
小，但若把最可几分布和其紧邻分布加在一起，出现几率就非常接近 于1了。
若令 N=6×1023，偏差 10 10
几 率
则
t e e 10 最可几
610231010
6000
2605
t/
表明即使与最可几分布相差很小的分布，与最
分三步考虑：
1.若粒子与隔板都全不相同，则全排列为：(ni+gi-1)! 2.设全同粒子变成不同，排列方式应增大ni!倍。 3.同样，若把隔板也换成完全不同，则排列方式应增大(gi-1) !倍。
量子力学思考题及解答
量子力学思考题1、以下说法就是否正确:(1)量子力学适用于微观体系,而经典力学适用于宏观体系;(2)量子力学适用于η不能忽略的体系,而经典力学适用于η可以忽略的体系。
解答:(1)量子力学就是比经典力学更为普遍的理论体系,它可以包容整个经典力学体系。
(2)对于宏观体系或η可以忽略的体系,并非量子力学不能适用,而就是量子力学实际上已经过渡到经典力学,二者相吻合了。
2、微观粒子的状态用波函数完全描述,这里“完全”的含义就是什么？解答:按着波函数的统计解释,波函数统计性的描述了体系的量子态。
如已知单粒子(不考虑自旋)波函数)(r ϖψ,则不仅可以确定粒子的位置概率分布,而且如粒子的动量、能量等其她力学量的概率分布也均可通过)(r ϖψ而完全确定。
由于量子理论与经典理论不同,它一般只能预言测量的统计结果,而只要已知体系的波函数,便可由它获得该体系的一切可能物理信息。
从这个意义上说,有关体系的全部信息显然已包含在波函数中,所以说微观粒子的状态用波函数完全描述,并把波函数称为态函数。
3、以微观粒子的双缝干涉实验为例,说明态的叠加原理。
解答:设1ψ与2ψ就是分别打开左边与右边狭缝时的波函数,当两个缝同时打开时,实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ与2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示,可见态的叠加不就是概率相加,而就是波函数的叠加,屏上粒子位置的概率分布由222112ψψψc c +=确定,2ψ中出现有1ψ与2ψ的干涉项]Re[2*21*21ψψc c ,1c 与2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。
4、量子态的叠加原理常被表述为:“如果1ψ与2ψ就是体系的可能态,则它们的线性叠加2211ψψψc c +=也就是体系的一个可能态”。
(1)就是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=;(2)对其中的1c 与2c 就是任意与r ϖ无关的复数,但可能就是时间t 的函数。
半导体物理第三章3
§3.4 一般情况下的载流子统计分布一般情况指同一半导体中同时含有施主和受主杂质的情况。
在这种情况下，电中性条件为-++=+A D p n n p 00(3-80)因为n D +＝N D -n D ，p A －＝N A -p A ，电中性条件可表示成D A A D n N n p N p ++=++00式中，n D 和p A 分别是中性施主和中性受主的浓度，上式即)exp(kTE E N N VF V D --+)exp(211kTE E N AF A -++)exp(211)exp(kT E E N kT E E N N F D DF C C A -++--+= 对确定的半导体，式中的变数仅是E F 及T ，但E F 是T 的隐函数。
因此，若能利用这一关系确定出E F 与T 的函数关系，则对于半导体同时含施主和受主杂质的—般情况下，导带中的电子和价带中的空穴以及杂质能级上电子的统计分布问题就可完全确定。
然而，要想利用上式得到E F 的解析表达式是困难的。
不过，对计算机的使用已十分普及的今天并不是什么大问题。
如果实际应用时式中某些项还可忽略，求解费米能级E F 的问题还能进一步简化。
事实上，前面讨论的本征半导体和含一种杂质的半导体就是它的简化特例。
请同学阅读参考书中对含少量受主杂质的n 型半导体求解费米能级的讨论。
特别注意求解过程中的近似处理方法。
§3.5 简并半导体一、重掺杂半导体的载流子密度1、适用于玻耳兹曼统计的掺杂浓度已知n 型半导体处于施主杂质完全电离的温区时，其费米能级为D C F C N N kTE E ln=- （N A ＝0） ；AD CF C N N N kT E E -=-ln （N A ≠0） 注意此公式成立的先决条件是(E C -E F )>>kT ，因此它只适用于N D 或(N D -N A ) <<N C 的掺杂条件。
不过从这公式可以看到，随着有效杂质浓度的提高，费米能级将逐渐向导带底靠拢，从而使先决条件趋于无效。
统计物理学的基本原理
统计物理学的基本原理摘要统计物理学是物理学中的一个重要分支，它通过对大量微观粒子的状态进行统计分析，解释了许多宏观现象和物质性质的规律性。
本文将介绍统计物理学的基本概念、基本原理以及相关应用。
首先，我们将简要介绍统计物理学的研究对象和目标；然后，我们将介绍热力学和宏观统计物理学的基本概念和原理；最后，我们将探讨量子统计和涨落等附加讨论。
1. 研究对象和目标统计物理学研究的对象是具有巨大粒子数目（通常是Avogadro常数级别）的系统。
这些系统可以是气体、固体、液体或凝聚态物质，甚至可以是宇宙等复杂系统。
统计物理学通过建立粒子数巨大的系统的平均特征描述，捕捉微观粒子个体行为与宏观特征之间的关系。
其主要目标是解释与预测热力学性质，如温度、压强、熵等，以及材料性质，如导电性、磁性等。
2. 热力学与宏观统计物理学热力学是研究宏观系统平衡态性质的科学。
其核心概念包括热容、内能、熵、温度等。
基于这些概念，热力学建立了一系列定律和公式，用于描述系统在平衡态下的性质变化。
宏观统计物理学是建立在热力学基础上的一种推导方法。
它利用分子运动论假设与统计分析方法，将微观粒子行为与宏观性质联系起来。
通过定义配分函数和自由能等概念，宏观统计物理学推导出了各种平衡态性质与微观粒子参数之间的关系。
例如，玻尔兹曼分布描述了粒子在给定能级上的分布；吉布斯关系则给出了相应温度下能量、压强和容积之间的关系。
3. 量子统计与涨落量子统计是描述具有玻色-爱因斯坦或费米-迪拉克性质的粒子（如光子或电子）行为的统计方法。
与经典统计不同，量子统计考虑了存在多个粒子处于同一量子态的可能性，并以波函数描述多粒子系统。
涨落是指系统中各种物理量在时间或空间上的随机波动。
在统计物理学中，涨落可用于解释噪声现象、相变等非平衡态过程。
涨落引入了新概念如湍流、包络函数以及噪声谱密度等，这些都是揭示系统非线性特征和微细结构关联程度的重要工具。
4. 统计物理学的应用统计物理学在许多领域有广泛应用。
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量子统计与经典统计的对比分析引言：
量子统计和经典统计是两个重要的统计物理学分支，它们分别适用于微观和宏
观尺度的系统。
本文将对两者进行对比分析，探讨它们的异同以及在不同领域的应用。
一、基本概念
1. 经典统计
经典统计是基于经典力学和经典概率论的统计方法。
它适用于大量粒子组成的
系统，其中粒子之间的相互作用可以忽略不计。
经典统计以玻尔兹曼分布为基础，通过统计系统中粒子的位置和动量分布来描述宏观物理量的统计行为。
2. 量子统计
量子统计是基于量子力学的统计方法，适用于微观尺度的系统，如原子、分子
和凝聚态物质。
量子统计考虑了粒子的波粒二象性，粒子之间存在波函数的干涉和量子力学的不确定性原理。
量子统计以费米-狄拉克分布和玻色-爱因斯坦分布为基础，描述了系统中不同类型粒子的分布行为。
二、粒子统计
1. 经典统计
在经典统计中，粒子被视为可区分的，遵循玻尔兹曼分布。
粒子之间的位置和
动量是连续的，可以通过经典概率论来描述。
经典统计适用于大量粒子组成的系统，如气体和固体。
2. 量子统计
在量子统计中，粒子被视为不可区分的，遵循费米-狄拉克分布或玻色-爱因斯
坦分布。
粒子之间的位置和动量是离散的，需要使用量子力学的数学工具来描述。
量子统计适用于微观尺度的系统，如原子和凝聚态物质。
三、统计行为
1. 经典统计
经典统计中，系统的宏观物理量可以通过统计平均值来描述，如平均能量、平
均速度等。
经典统计下的系统呈现出连续性和可预测性的特点。
2. 量子统计
量子统计中，系统的宏观物理量需要通过量子力学的平均值计算来描述，如能
级分布、激发态密度等。
量子统计下的系统呈现出离散性和不确定性的特点。
四、应用领域
1. 经典统计
经典统计广泛应用于宏观尺度的系统，如天体物理学、流体力学和热力学等。
在这些领域中，粒子数目巨大，粒子之间的相互作用可以忽略不计。
2. 量子统计
量子统计主要应用于微观尺度的系统，如原子物理学、凝聚态物理学和量子信
息科学等。
在这些领域中，粒子数目较小，粒子之间的相互作用和量子效应起着关键作用。
五、量子统计与经典统计的关系
量子统计是经典统计的推广和修正。
当粒子数目极大时，量子统计退化为经典
统计。
而在低温和微观尺度下，经典统计无法描述系统的行为，必须使用量子统计。
结论：
量子统计和经典统计是统计物理学中的两个重要分支，它们分别适用于微观和宏观尺度的系统。
经典统计适用于大量粒子组成的系统，而量子统计适用于微观尺度的系统。
两者在粒子统计、统计行为和应用领域上存在明显的差异。
量子统计是经典统计的推广和修正，两者在特定条件下可以相互转化。
这些对比分析有助于我们更好地理解和应用统计物理学的基本原理和方法。