线性代数行列式
行列式的定义计算方法
行列式的定义计算方法行列式是线性代数中一个重要的概念，用于描述线性方程组的解的性质。
行列式广泛应用于数学、物理、工程等领域，具有重要的理论和实际价值。
本文将详细介绍行列式的定义和计算方法，并通过实例加以说明。
行列式是线性代数中独特的一个概念，它起源于19世纪初，由日本数学家关孝和引入并发展起来。
行列式在线性代数中具有非常重要的地位，它与线性方程组的解有密切的关联。
掌握行列式的定义和计算方法，对于理解线性代数的相关概念和解决实际问题具有重要的意义。
一、行列式的定义行列式是一个方阵的一个标量值，它可以用来判断矩阵的很多性质和计算线性方程组的解。
对于一个n阶矩阵A=(a_ij)，它的行列式记作det(A)，其中a_ij表示在矩阵A中第i行、第j列的元素。
二、行列式的计算方法1. 二阶行列式的计算：对于一个2x2的矩阵A=(a_11 a_12; a_21 a_22)，它的行列式计算公式为：det(A) = a_11 * a_22 - a_12 * a_212. 三阶行列式的计算：对于一个3x3的矩阵A=(a_11 a_12 a_13; a_21 a_22 a_23; a_31 a_32 a_33)，它的行列式计算公式为：det(A) = a_11 * a_22 * a_33 + a_12 * a_23 * a_31 + a_13 * a_21 * a_32- a_31 * a_22 * a_13 - a_32 * a_23 * a_11 - a_33 * a_21 * a_123. 高阶行列式的计算：对于高于三阶的行列式，我们通常使用拉普拉斯展开法来计算。
选择行或列，然后对该行或列的元素依次乘以其代数余子式，再按正负号加和，即可得到行列式的值。
【举例说明】为了更好地理解行列式的计算方法，我们通过一个实例来进行说明。
考虑一个3x3的矩阵A=(1 2 3; 4 5 6; 7 8 9)，我们将按照上述的计算方法来求解其行列式值。
线性代数：矩阵行列式
线性代数：矩阵⾏列式1、矩阵的⾏列式定义矩阵的⾏列式，determinate，是基于矩阵所包含的⾏列数据计算得到的⼀个标量；⼆维矩阵[{a,c},{b,d}]的⾏列式等于：det(A) = ab-cd。
2、n维矩阵的⾏列式假设矩阵A为n维的⽅阵，定义Aij为从A中删除第i⾏、第j列之后剩下的n-1维⽅阵。
可以沿着A的第⼀⾏来求取⾏列式：det(A) = a11*A11-a12*A12+...+a1n*A1n，这是⼀个递归的定义，包含n项，每⼀项的正负号等于（-1)的(i+j)次⽅。
实际上可以对A的任意⼀⾏、任意⼀列按上⾯的⽅法来求取⾏列式，可以挑选包含0⽐较多得⾏(列)。
3、矩阵标量乘法的⾏列式当矩阵的某⼀⾏（列）与标量相乘时，det(A') = k*det(A)；当矩阵与标量相乘时，det(kA) = k的n次⽅ * det(A)。
4、矩阵⾏列式的⼀些规律1)如果矩阵A= {r1,r2,...ri...,rn} B={r1,r2,...ri',...rn} C={r1,r2,...ri+ri',...rn}，则有det(C) = det(A)+det(B)2)如果矩阵A有两⾏（列）相等则，det(A) = 03)如果矩阵A将两⾏交换后得到矩阵B，则有det(A)=-det(B)4)如果矩阵A进⾏⾏变换后得到矩阵B，则有det(A)=det(B)；可以通过⾏变换达到3)的效果，这个过程中会发⽣-1数乘某⾏。
5、上三⾓矩阵的⾏列式所谓上三⾓矩阵，就是对⾓线以下的位置全部为零（aij=0 if i>j）；上三⾓矩阵的⾏列式等于 a11*a22*...*ann；基于这个特性，可以通过⾏变换，把矩阵转换为上三⾓矩阵，再求⾏列式。
6、⾏列式与平⾏四边形⾯积两个⼆维向量v1，v2，可以作为平⾏四边形的临边来定义⼀个平⾏四边形。
两个向量构成矩阵A={v1，v2}，那么平⾏四边形的⾯积 = det(A)的绝对值。
线性代数-行列式PPT课件
矩阵的秩和行列式
矩阵的秩和行列式之间也存在关系。矩阵的 秩等于其行向量或列向量生成的子空间的维 数，而行向量或列向量生成的子空间的维数 又等于该矩阵的阶数与非零特征值的个数之 和减去一，而一个矩阵的非零特征值的个数 又等于该矩阵的行列式的值。
05
特殊行列式介绍
二阶行列式
定义
二阶行列式表示为2x2的矩 阵，其计算公式为a11*a22a12*a21。
对于任何n阶方阵A，其行列式|A|和转置行列式|A^T|相等，即|A^T| = |A|。
行列式的乘法规则
总结词
行列式的乘法规则
详细描述
行列式的乘法规则是两个矩阵的行列式相乘等于它们对应元素相乘后的行列式。即，如果矩阵A和B分别是m×n 和n×p矩阵，那么它们的行列式相乘|AB| = |A||B|。
向量和向量的外积
行列式可以用来描述向量的外积，即两个向量的叉积。叉积 的结果是一个向量，其方向垂直于作为叉积运算输入的两个 向量，大小等于这两个向量的模的乘积与它们之间夹角的正 弦的乘积。
在线性方程组中的应用
解线性方程组
行列式可以用来判断线性方程组是否有 解，以及解的个数。如果一个线性方程 组的系数矩阵的行列式不为零，则该线 性方程组有唯一解；如果系数矩阵的行 列式为零，则该线性方程组可能无解、 有唯一解或有无穷多解。
线性代数-行列式ppt课件
• 引言 • 行列式的计算方法 • 行列式的性质 • 行列式的应用 • 特殊行列式介绍 • 行列式的计算技巧
01
引言
主题简介
01
行列式是线性代数中的基本概念 之一，用于描述矩阵的某些性质 和运算规则。
02
行列式在数学、物理、工程等领 域有广泛的应用，是解决实际问 题的重要工具。
线性代数课件第三节 行列式
0 0 1 0
3 0 0 1 0 0 1 2
1 (1)11 1
11
0 0 1 0 0 1
2 0 1 0 2
0 3 (1)13 3 1 0 0 2
当然，按照第二列展开是最简单的计算方法！
用首行展开法Байду номын сангаас以证明
a11 a21 M an1 0 L 0 0 M ann a22 L M O an 2 L
性质1.10 如果行列式的某一行（列）的元素都是两项 的和，则可以把该行列式拆成相应的两个行列 式之和。 a a L a
11 12 1n
a21 M bi1 ci1 M
a22 M bi 2 ci 2 M an 2 a11
L M
a2 n M
L bin cin M M L
a11 a21 M bi1 M an1
下三角形 行列式
a11a22 L
下三角 形行列式 之值等于 ann 主对角线 元素之积
后面还可以证明
a11 a12 0 a22 M M 0 0 L L O L a1n a2 n M ann
上三角形 行列式
a11a22 L
上三角 形行列式 之值等于 ann 主对角线 元素之积
计算
观察哪一行或 列的零最多
即：主对角线元素之积减去副对角线元素之积。
a11 a12 a13 对于3阶方阵 A a21 a22 a23 , 定义其行列式|A|为 a a32 a33 31 a11 a12 a13 a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32 A a21 a22 a23 a13a22 a31 a12 a21a33 a11a23a32 a31 a32 a33
线性代数PPT行列式
性质
行列式的计算公式具有高度的对称性，可以方便地 计算出n阶行列式的值。
计算方法
根据行列式的展开式，将n阶行列式展开成n 个代数余子式的乘积之和。
特殊行列式的计算
01
对角线型行列式
如果一个n阶行列式的主对角线上的元素都是1，其他元素都是0，则该
该行列式称为下三角型行列式。下三角型行列式的值等于副对角线上元
素的乘积的相反数。
03
行列式在几何中的应用
行列式与向量叉积的关系
01
行列式可以表示为三个向量的叉积的线性组合，即行列式值 等于三个向量叉积的代数和。
02
当行列式值为零时，三个向量共面，即它们之间存在线性关 系。
03
行列式可以用来判断向量的叉积是否为零，从而判断三个向 量是否共面。
消元法
将方程组中的系数行列式化为0， 然后利用代数余子式求出方程组 的解。
递推法
利用递推关系式求解方程组，通 过将系数行列式展开，得到一系 列递推关系式，从而求解方程组。
克拉默法则
克拉默法则是一种利用行列 式解线性方程组的方法，其 基本思想是将方程组的解表
示为系数行列式的比值。
1
克拉默法则的前提是系数行列 式不为0，否则方程组无解。
程组无解或有无穷多解。
行列式可以用来判断方程组的解 的情况，也可以用来求解方程组 的解。
03
行列式的性质和计算方法在方程 组的求解过程中具有重要的作用
。
04
05
行列式的应用实例
利用行列式求平面上的点
确定点的位置
通过给定的行列式，我们可以确定平面上的一个点。例如，给 定一个行列式$D$和两个向量$vec{a}$和$vec{b}$，我们可以 使用行列式来找到满足$vec{a} cdot vec{x} = D$和$vec{b} cdot vec{x} = 0$的点$vec{x}$。
行列式的三种定义
行列式的三种定义行列式是线性代数中一个非常重要的概念，它具有着许多重要的性质和应用。
在学习行列式的过程中，需要掌握三种不同的定义方法，包括代数定义、几何定义、和递推定义。
本文将从这三个方面一步一步讲解，帮助读者更好地理解行列式的概念和计算方法。
1. 代数定义行列式的代数定义是最基本也是最常用的定义方法。
对于一个n阶矩阵A，其行列式记为|A|或det(A)，代数定义为：|A| = Σ(-1)^(i+j) * a_ij * M_ij其中i和j分别表示矩阵A中的第i行和第j列，a_ij表示A中第i行第j列的元素值，M_ij表示去掉矩阵A中第i行和第j列的子矩阵的行列式值。
这个定义可能看起来比较复杂，但是实际上非常好理解。
它的基本思路是将n阶矩阵A转化为n个n-1阶矩阵的运算，然后不断地递归计算，最终得出行列式的值。
这种方法的优点在于，它不仅适用于方阵，也适用于非方阵，所以可以广泛地应用到各种各样的问题中。
2. 几何定义几何定义是行列式另一种常用的定义方法。
它的基本思路是将矩阵A对应的线性变换视为对n维空间中一个向量的拉伸，从而将行列式的值解释为拉伸的比例因子。
具体来说，对于一个n阶矩阵A，其行列式的几何定义为：|A| = S*B/S*A其中S*A和S*B分别表示矩阵A和B对应线性变换后向量的长度，也就是表示空间中一个体积的大小。
这个定义方法非常直观，可以帮助我们更好地理解行列式的含义，也适用于二维和三维空间中的向量计算。
3. 递推定义递推定义是行列式的另一种常见定义方法。
它的基本思路是不断地删减矩阵的行和列，直至得到一个常数值。
这个定义方法虽然比较抽象，但是它有着较高的计算效率和便利性。
对于一个n阶矩阵A，其行列式的递推定义为：|A| = a_11 * |A'|其中A'是去掉A中的第一行和第一列所得的(n-1)阶矩阵。
这个定义方法可以方便地使用递归或循环算法实现，对于大规模矩阵的计算尤其有效。
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法行列式是线性代数中的重要知识点，它广泛应用于数学、物理等领域。
行列式的计算有多种方法，每种方法都有其特点和适用的场合。
下面我们就来介绍一下几种行列式的计算方法。
一、拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是一种矩阵求解行列式的方法，通过选取某一行或某一列的元素展开，将行列式转化为较小规模的行列式相乘的和的形式。
具体步骤如下：1. 选择任意一行或一列，假设选择第i行，i列的元素进行展开。
2. 对于第i行第j列的元素A[i,j]，计算其代数余子式M[i,j]。
这种方法的优点是可以将较大的行列式转化为多个规模较小的行列式相乘的形式，简化了计算的难度。
但是这种方法并不适合于计算较大规模的行列式，因为会产生大量的中间结果需要计算。
二、按行（列）展开法按行（列）展开法的计算比较直观，适合用于小规模行列式的计算。
但是对于较大规模的行列式，计算量会相当大，不够高效。
三、三角形式计算法1. 利用初等变换将方阵化为上三角形或下三角形形式。
2. 上三角形形式的行列式等于对角线元素的乘积。
比较适用于计算较大规模行列式，但是需要进行大量的初等变换操作，计算复杂度较高。
四、行列式性质法行列式性质法是一种基于行列式性质推导的计算方法，通过运用多项式代数的性质，将行列式转化为一些易于计算的形式。
行列式性质包括奇偶性、行列式的性质、对称性质等。
具体步骤如下：1. 利用行列式性质将行列式进行转化，使其具有更加易于计算的形式。
2. 依次计算每一项的值，得出行列式的结果。
行列式性质法适用于各种规模的行列式，但需要熟练掌握行列式的性质和多项式代数的运算规则。
行列式的计算有多种方法，每种方法都有其适用的场合。
选择合适的计算方法可以提高计算效率，简化计算流程。
在实际运用中，根据行列式的规模和具体情况选择合适的计算方法是非常重要的。
希望本文介绍的几种行列式的计算方法能够帮助大家更好地理解和运用行列式知识。
线性代数-行列式(完整版)
01
对于二元一次方程组，可以直接应用克拉默法则求解
未知数。
02
对于三元一次方程组，需要先判断系数矩阵的行列式
是否为零，若不为零，则可以使用克拉默法则求解。
03
对于更高元次的线性方程组，克拉默法则同样适用，
但计算量会随着元次的增加而急剧增大。
矩阵可逆性判别方法
01
一个方阵可逆的充分必要条件是其行列式不等于零。
行列式基本性质
行列式中如果有两行（或两列）元素成比例，则此行列式等于零。
若行列式的某一行（或某一列）的元素都是两数之和，例如第i行的元素都是两数之 和：$a_{ij}=b_{ij}+c_{ij}$，则此行列式等于两个行列式之和，这两个行列式的第i行 分别为$b_{ij}$和$c_{ij}$，其余各行与原行列式的相应的行相同。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作|A|或det(A)， 是一个数值。
行列式的值可以通过对矩阵元素进行特定的运算 得到，该运算满足一定的性质。
行列式基本性质
行列式与它的转置行列式相等。
交换行列式的两行（或两列），行列式变号。 行列式的某一行（或某一列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘 此行列式。
克拉默法则介绍
克拉默法则（Cramer's Rule）是线性 代数中一个关于求解线性方程组的定理。
该法则适用于具有相同数量方程的方程组， 且系数矩阵的行列式不为零的情况。
克拉默法则通过计算系数矩阵的行 列式以及将系数矩阵的某一列替换 为常数项列后得到的新矩阵的行列 式，来求解方程组的解。
克拉默法则在方程组求解中应用
应用领域
范德蒙德行列式在多项式插值、数值分析等领域有广 泛应用。
范德蒙德行列式在多项式拟合中应用
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行列式一、 行列式的定义对于n 阶方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n nin n a a a a a a a a a A 22222111211， （11—2—1）与之相联系的一个数，表示成nnn ninna a a a a a a a a22222111211， （11—2—2）称为一个n 阶行列式或A 的行列式，记为A 或A det 。
在行列式中，ij a 也称为元素。
为了规定行列式的值，我们引入下面的概念。
定义 1 在方阵（11—2—1）中，划去元素ij a 所在的第i 行和第j 列，余下的()21-n 个元素按原来的排法构成的一个1-n 阶行列式nnj n j n n ni j i j i i n i j i j i i n j j a a a a a a a a a a a a a a a a1,1,1,11,11,11,1,11,11,11,111,11,111+-+++-++-+----+-，称为元素ij a 的余子式，记为ij M 。
()ij ji M +-1称为元素ij a 的代数余子式，记为ij A 。
例1 在四阶方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----132********33112 中，第2行第3列的元素5的余子式是12420131223--=M 。
而其代数余子式为()321+-乘它的余子式M ，即12420131223---=A 。
定义2 一阶行列式只有一个元素，其值就规定为这个元素的值。
n 阶行列式（2≥n ）的值规定为它任意一行的各元素与对应的代数余子式的乘积之和。
用符号表示，就是()∑∑=+=-==nj ij ij ji nj ij ij M a A a A 111。
上式称为行列式按第i 行展开。
可以证明，这个值与展开时所用的行是没有关系的（见例3）。
例2 用定义展开二阶行列式22211211a a a a 。
解 按第1行展开。
因为()222211111a a A =-=+，()212121121a a A -=-=+，于是得这个行列式的值为2112221112121111a a a a A a A a -=+。
如果按第2行展开，也会得到同样的结果。
例3 证明不管按哪一行展开，行列式的值不变。
证略。
行列式有多种定义方式，实质上不同的大致有三类：除上述的归纳定义外，常见的还有完全展开式定义和公理化定义等。
将行列式逐阶按行展开，可得它的完全展开式。
一个n 阶的行列式，首次展开时是n 项的和，将每一项中的余子式再展开时又都是1-n 项的和，这样下去，将和中的行列式一直展开到一阶，可知在n 阶行列式的完全展开式中共有!n 项。
例4 求三阶行列式333231232221131211a a a a a a a a a 的完全展开式。
解 第一行各元素的代数余子式依次是()322333223332232211111a a a a a a a a A -=-=+， ()332131233331232121121a a a a a a a a A -=-=+， ()312232213231222131131a a a a a a a a A -=-=+。
于是131312121111333231232221131211A a A a A a a a a a a a a a a ++= ()()()312232211333213123123223332211a a a a a a a a a a a a a a a -+-+-=312213332112322311322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++=。
在这个展开式中共有6!3=项。
例5 计算下三角形行列式nnn n a a a a a a21222111000。
解 逐阶将行列式按第一行展开，由于每次展开时该行除第一列之外的元素都是零，于是()nn nnn nnn n a a a a a a a a a a a a a22112221111212221110000==-=+。
二、 行列式的性质性质1 方阵转置，其行列式不变，即A A T =。
证略。
性质1表明，在行列式中行与列的地位是对称的，因之凡是有关行的性质，对列也同样成立。
例如，由例5即得上三角形行列式nn nnnna a a a a a a a a 12112221121100=。
下面我们所谈的行列式的性质大多是对行来说的。
对于列也有相同的性质，就不重复了。
性质2 将行列式中某一行的各元素均乘以同一数k ，所得行列式是原行列式的k 倍。
或者说行列式一行的公因子可以提出去。
证 假设将行列式（11—2—2）中第i 行的各元素ij a ),,2,1(n j =均乘以数k ，得行列式B 。
则A 、B 两方阵除第i 行之外都相同，因而它们第i 行相应元素的代数余子式也相同。
将B 按第i 行展开，注意到该行第j 列上的元素为ka ),,2,1(n j =，于是()A k A a k A ka B nj ij ij n j ij ij ===∑∑==11，这就是性质2。
令0=k ，就有，如果行列式中有某一行的元素全为零，则行列式为零。
性质3 互换行列式中两行的位置，行列式反号。
证 设互换行列式（11—2—2）中第i l ,两行（不妨设i l <）的位置，得行列式B 。
在换位的两行是A 的相邻行这样一种特殊情形，有1+=l i ，而且方阵B 第i 行上的元素的余子式就是A 的第l 行上相应的元素的余子式lj M ),,2,1(n j =。
将行列式B 按第i 行展开，因为该行第j 列上的元素为lj a ),,2,1(n j =，所以()()A M a M aB nj lj lj jl nj lj lj ji -=--=-=∑∑=+=+1111。
因此对这一特殊情形，性质是对的。
再看一般的情形，假设第i l ,两行之间相隔m 行，要互换这两行的位置，可通过一系列相邻行的换位来实现。
从A 出发，把它的第l 行先与第1+l 行换位，再与第2+l 行换位…，也就是说，把第l 行一行一行地向下移动，经过1+m 次相邻行的换位，A 原来的第l 行就刚好到了它原来的第i 行下面，接着把原来的第i 行一行一行地向上移动，经过m 次相邻行的换位，A 就变成了B 的样子。
因此，互换A 中两行的位置，如果这两行之间相隔m 行，可以通过12+m 次相邻行的换位来实现。
12+m 是奇数。
相邻行的换位使A 反号。
显然，奇数次这种换位的最终结果还是使A 反号。
故对一般的情形，性质也是对的。
性质4 如果行列式中有两行相同，则行列式为零。
证 设行列式A 的第i l ,两行)(i l ≠相同，互换这两行的位置后，所得的行列式仍然是A 。
但根据性质3，互换A 的两行应该得到A -。
因此有A A -=或02=A 。
所以0=A 。
性质5 在行列式中，一行的元素与另一行相应元素的代数余子式的乘积之和为零。
证 设将行列式（11—2—2）中第l 行的元素lj a 全都部换成第i 行的相应元素a ),,2,1;(n j i l =≠，所得行列式记为B 。
一方面，由于B 的第i l ,两行相同，根据性质4，有0=B ；另一方面，B A ,两矩阵除第l 行之外都相同，因此它们第l 行上对应元素的代数余子式也都相同。
把B 按第l 行展开，得∑==nj lj ij A a B 1。
从而01=∑=nj lj ij A a 。
性质6 如果行列式中两行的元素成比例，则行列式为零。
证 设行列式（11—2—2）的第i l ,两行)(i l ≠成比例，比例系数为k ，即,,2,1( ==j ka a ij lj )n ，从A 的第l 行提取出公因子k ，余下的行列式记为B 。
根据性质2，有B k A =。
然而B 的第i l ,两行相同，由性质4知0=B ，从而0=A 。
性质7 若行列式A 中某行j j ij c b a +=，n j ,,2,1 =，则A 是两个行列式的和，这两个行列式的第i 行，一个是n b b b ,,,21 ；另一个是n c c c ,,,21 ；其余各行与A 的完全一样。
证 把行列式A 按第i 行展开，得()∑∑∑∑====+=+==nj ij j nj ij j nj ij j j nj ij ij A c A b A c b A a A 1111，将上式右端的∑=n j ij j A b 1和∑=nj ij j A c 1各看成一个行列式按第i 行的展开式，则这两个行列式的第i 行，前一个的是n b b b ,,,21 ；后一个的是n c c c ,,,21 ；其余各行与A 的完全一样。
性质7显然可以推广到某一行是多组数的和的情形，读者可以自己写出来。
性质8 把一行的倍数加到另一行，行列式不变。
或者说用()()k j i P ,型初等矩阵左乘方阵，其行列式不变。
证 利用性质7及性质6便得证。
例 证明：对任意的n 阶方阵A ，均存在()()k j i P ,型矩阵t P P P ,,,21 ，使得()t s n s P P d d d diag P P A 1211,,,+=。
证 如果A 的第一行和第一列的元素不全为零，，那么总可以通过“把一行的倍数加到另一行”或“把一列的倍数加到另一列”这两种初等变换使左上角的元素不为零，于是再通过适当的这两种初等变换可以把A 化为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛110000A d ； 如果A 中第一行和第一列的元素全为零，那么A 已形如⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100000A 。
对于子矩阵1A ，再重复以上的做法，如此做下去即可逐步把A 化成对角形矩阵()n d d d diag ,,,21 。
矩阵A 也可以反过来通过对()n d d d diag ,,,21 施行上述两种初等变换而得出。
这就是说，存在()()k j i P ,型矩阵t P P P ,,,21 ，使()t s n s P P d d d diag P P A 1211,,,+=。
最后我们讨论一下矩阵乘积的行列式。
性质9 若A 和B 是同阶方阵，则B A AB =。
证 先看一个特殊情形，即A 是一个对角矩阵的情形。
设()n d d d diag A ,,,21 =，()ij b B =，容易算出⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n n n n n b d b d b d b d b d b d b d b d b d B d d d AB21222222121112111121， 因此由性质2得()B A B d d d diag B d d d AB n n === 2121。
再看一般的情形。