浅议解题思维的分析法和综合法
综合法与分析法
于是∠ 于是∠PDA=∠PDB=∠PDC， ∠ ∠ ， 而∠PDA=∠PDC=90°， ∠ ° 可见PD⊥ ， ⊥ ， 可见 ⊥AC，PD⊥BD， 由此可知， 垂直于 垂直于△ 所在的平面. 由此可知，PD垂直于△ABC所在的平面 所在的平面 这个证明的步骤是： 这个证明的步骤是： 斜边上的中线, （1）由已知 是Rt△ABC斜边上的中线 ）由已知BD是 △ 斜边上的中线 推出DA=DB=DC，记为 0(已知 ⇒P1; 已知)⇒ 推出 ，记为P 已知 （2）由DA=DB=DC，和已知条件，推出 ） ，和已知条件， 三个三角形全等，记为P 三个三角形全等，记为 1⇒P2；
1 2 3 例1．求证：log 19 + log 19 + log 19 < 2 ．求证： 5 3 2
证明： 证明：因为
1 log a b = log b a
所以 左式=log195+2log193+3log192 左式 =log19(5×32×23)=log19360. × 因为log 因为 19360<log19361=2， ，
分析法证明的逻辑关系是： 分析法证明的逻辑关系是： B(结论 ⇐ B1 ⇐ B2 ⇐ … ⇐ Bn ⇐A(已知 结论) 已知). 结论 已知 在分析法证明中， 在分析法证明中，从结论出发的每一个 步骤所得到的判断都是结论成立的充分条 件，最后一步归结到已被证明的事实。因 最后一步归结到已被证明的事实。 此从最后一步可以倒推回去，直到结论， 此从最后一步可以倒推回去，直到结论， 但这个倒推过程可以省略。 但这个倒推过程可以省略。
（1）综合法与分析法是对立统一的两个方面，前者由 ）综合法与分析法是对立统一的两个方面， 因导果，宜于表达；后者由果索因，利于思考。 因导果，宜于表达；后者由果索因，利于思考。后者是 一种重要的探求方式，但不是一种好的书写形式， 一种重要的探求方式，但不是一种好的书写形式，如果 不写“只需证明” 则错。而用综合法书写证明过程， 不写“只需证明”，则错。而用综合法书写证明过程， 掩盖了分析、探索的过程。所以， 掩盖了分析、探索的过程。所以，通常是用分析法探求 证题途径，用综合法书写解题过程。 证题途径，用综合法书写解题过程。 （2）分析法与分析不同，前者为一种论证方法，后者 ）分析法与分析不同，前者为一种论证方法， 为一种思维方法，前者离不开后者。 为一种思维方法，前者离不开后者。 （3）证明的模式：论证“若A则B” ）证明的模式：论证“ 则 证明：欲证命题 成立 只需证命题B 成立，从而又…… 成立， 证明：欲证命题B成立，只需证命题 1成立，从而又 只需证命题B 成立，从而又…… 只需证命题 2成立，从而又 …… 只需证命题A为真 为真. 只需证命题 为真 已知A为真 为真， 为真. 已知 为真，故B为真 为真
(学习指导) 综合法和分析法Word版含解析
2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法学习目标核心素养1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点．(重点、易混点) 2．会用综合法、分析法解决问题．(重点、难点)通过综合法、分析法的学习和应用，培养学生的逻辑推理的核心素养.1．综合法定义推证过程特点利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q(P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)顺推证法或由因导果法2.分析法定义框图表示特点一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法逆推证法或执果索因法思考1：综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？[提示]综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．思考2: 综合法与分析法有什么区别？[提示]综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．1．用分析法证明：欲使①A >B ，只需②C <D ，这里②是①的( ) A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 A [②⇒①，∴②是①的充分条件．]2．命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2 θ”的证明：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2 θ”，其过程应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．综合法、分析法综合使用D ．间接证法B [从证明过程来看，是从已知条件入手，经过推导得出结论，符合综合法的证明思路．]3．要证明A ＞B ，若用作差比较法，只要证明________． A －B ＞0 [要证A ＞B ，只要证A －B ＞0. ]4．将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证________，即证______，由于______显然成立，因此原不等式成立．a 2＋b 2－2ab ≥0 (a －b )2≥0 (a －b )2≥0 [用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤为：要证a 2＋b 22≥ab 成立，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证a 2＋b 2－2ab ≥0，即证(a －b )2≥0.由于(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立．]综合法的应用【例1】 (1)已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，证明：1a ＋1b ≥4.(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C .①求证：A 的大小为π3；②若sin B ＋sin C ＝3，证明△ABC 为等边三角形． [证明](1)法一：∵a ，b 是正数且a ＋b ＝1， ∴a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤12， ∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4.法二：∵a ，b 是正数，∴a ＋b ≥2ab >0， 1a ＋1b ≥21ab >0，∴(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4.又a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ≥4.法三：1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝1＋b a ＋a b ＋1 ≥2＋2b a ·a b ＝4.当且仅当a ＝b 时，取“＝”号．(2)①由2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ， 得2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ， 即bc ＝b 2＋c 2－a 2， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12， 所以A ＝π3.②因为A ＋B ＋C ＝180°， 所以B ＋C ＝180°－60°＝120°，由sin B＋sin C＝3，得sin B＋sin(120°－B)＝3，sin B＋(sin 120°cos B－cos 120°sin B)＝3，32sin B＋32cos B＝3，即sin(B＋30°)＝1.因为0°＜B＜120°，所以30°＜B＋30°＜150°，所以B＋30°＝90°，B＝60°，所以A＝B＝C＝60°，即△ABC为等边三角形．综合法的解题步骤[跟进训练]1.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．(1)证明：CD⊥AE；(2)证明：PD⊥平面ABE.[证明](1)在四棱锥P-ABCD中，∵P A⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴P A⊥CD.∵AC⊥CD，P A∩AC＝A，∴CD⊥平面P AC.而AE⊂平面P AC，∴CD⊥AE.(2)由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，又PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD ⊂平面PCD ，∴AE ⊥PD . ∵P A ⊥底面ABCD ，∴PD 在底面ABCD 内的射影是AD . 又AB ⊥AD ，∴AB ⊥PD .又∵AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE .分析法的应用【例2】 设a ，b 为实数，求证： a 2＋b 2≥22(a ＋b )．[证明]当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0，∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立．当a ＋b ＞0时， 用分析法证明如下：要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )，只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤22(a ＋b )2.即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab . ∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立．综上所述，不等式得证．用分析法证明不等式的三个关注点(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、基本不等式、已知的重要不等式等．(2)分析法是综合法的逆过程，即从“未知”“看”“需知” ，执果索因，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件或充要条件．(3)分析法为逆推证明，因此在使用时要注意逻辑性与规范性，其格式一般为“要证……，只要证…….只需证……，……显然成立，所以……成立”．[跟进训练]2．如图所示，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过A作SB的垂线，垂足为E，过E 作SC的垂线，垂足为F.求证：AF⊥SC.[证明]要证AF⊥SC，只需证SC⊥平面AEF，只需证AE⊥SC(因为EF⊥SC)，只需证AE⊥平面SBC，只需证AE⊥BC(因为AE⊥SB)，只需证BC⊥平面SAB，只需证BC⊥SA(因为AB⊥BC)．由SA⊥平面ABC可知上式成立，所以AF⊥SC.综合法和分析法的综合应用1．在实际解题时，综合法与分析法能否可以结合起来使用？[提示]在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程．2．你会用框图表示综合法与分析法交叉使用时的解题思路吗？[提示]用框图表示如下：其中P表示已知条件、定义、定理、公理等，Q表示要证明的结论．【例3】已知a，b，c是不全相等的正数，且0<x<1.求证：log x a＋b2＋log xb＋c2＋log xa＋c2<log x a＋log x b＋log x c.思路探究：解答本题的关键是利用对数运算法则和对数函数性质转化成整式不等式证明．[证明] 要证明：log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c ， 只需要证明log x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2<log x (abc )．由已知0<x <1，只需证明a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc . 由公式a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，a ＋c2≥ac >0， 又∵a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>a 2b 2c 2＝abc . 即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc 成立．∴log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立．分析综合法的解题思路是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P ；若由P 可推出Q ，即可得证．1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因． 2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”“只需证”“即证”等词语． 3．在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用． 1．欲证2－3<6－7成立，只需证( ) A ．(2－3)2<(6－7)2 B ．(2－6)2<(3－7)2 C ．(2＋7)2<(3＋6)2 D ．(2－3－6)2<(－7)2 C [∵2－3<0，6－7<0，故2－3<6－7⇔2＋7<3＋6⇔(2＋7)2<(3＋6)2.] 2．在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形C [由sin A sin B <cos A cos B 得cos(A ＋B )＝－cos C >0，所以cos C <0, 即△ABC 一定是钝角三角形．]3．如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则实数a ，b 应满足的条件是________． a ≠b 且a ≥0，b ≥0 [a a ＋b b ＞a b ＋b a ⇔a a －a b ＞b a －b b ⇔a (a －b )＞b (a －b ) ⇔(a －b )(a －b )＞0⇔(a ＋b )(a －b )2＞0， 只需a ≠b 且a ，b 都不小于零即可．]4．设a ＞0，b ＞0，c ＞0，若a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值为________． 9 [因为a ＋b ＋c ＝1，且a ＞0，b ＞0，c ＞0，所以1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋c a ≥3＋2ba·ab＋2cb·bc＋2ca·ac＝3＋6＝9.当且仅当a＝b＝c时等号成立．]5．设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.(请用分析法和综合法两种方法证明)[证明]法一：(综合法)3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(3a2－2b2)(a－b)．因为a≥b>0，所以a－b≥0,3a2－2b2>0，从而(3a2－2b2)(a－b)≥0，所以3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.法二：(分析法)要证3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2，只需证3a2(a－b)－2b2(a－b)≥0，只需证(3a2－2b2)(a－b)≥0，∵a≥b>0.∴a－b≥0，3a2－2b2>2a2－2b2≥0，∴上式成立．。
综合法、分析法和分析综合法
综合法、分析法和分析综合法证明一个数学命题，重要的是寻找“条件”（已知）与“结论”（未知）之间的逻辑关系．寻找的方法通常分成正面思考和反面思考两大类．正面思考的方法有综合法、分析法和分析综合法等，反面思考的方法有反证法和同一法等．（一）综合法所谓综合法就是从“已知条件”出发，运用已学过的数学知识（定义、公理、定理等），一步步地进行推理，直至导出“结论”为止．综合法以“结论”为目标，由“已知”推出“可知”，逐步靠拢目标．因例1 如图1-1．已知：α⊥β，b⊥β且bα．求证：b∥α．【分析】由α⊥β和平面与平面垂直的性质定理可知，在α内，作垂直于α与β交线的直线c必垂直于β．从而由b⊥β、c⊥β和直线与平面垂直的性质定理可得，b与c重合或平行．若b与c重合，则bα，与已知条件bα不合；若 b∥c，则 b∥α．【证明】设α∩β=m，在α内作直线c⊥m．【解说】用综合法证明立体几何题，从“已知”过渡到“可知”时，必须注意挖掘几何图形的性质，充分运用性质定理去推证，这是综合法证题的一个规律．例2 如图1-2．已知：在四面体ABCD中，AB⊥DC，AC⊥BD．求证：AD⊥BC．【分析】由AB⊥DC和AC⊥BD可得出什么？注意到CD、BD都在平面BCD内，AB、AC都是这个平面的斜线，这样，已知条件就是平面BCD的两条斜线与该平面内的两条直线分别垂直．因此，由三垂线定理的逆定理可得，两条斜线的射影也分别垂直于这两条直线．于是，作AH垂直于平面BCD，垂足为H，连结BH、CH、DH，则BH⊥CD，CH⊥BD．从而H是△BDC的垂心，可知DH⊥BC．由DH是AD 在平面BDC内的射影和三垂线定理，可得AD⊥BC．【证明】如图1-2．过A作AH垂直于平面BCD，垂足为H，连结BH、CH、DH．（二）分析法所谓分析法就是从“结论”入手，去追溯“结论”成立的条件（即在什么条件下“结论”成立），再把所得的条件作为结论，去寻找这个新结论成立的条件．像这样，追根求源，一直追溯到“已知”为止．例3如图1-3．已知A1B1C1—ABC是正三棱柱，D是AC的中点．求证：AB1∥平面DBC1．（1994年全国高考文科、理科试题）【分析】欲证AB1∥平面DBC1，即证AB1平行于平面DBC1内的一条直线．由于D是AC的中点，联想△CAB1的中位线的性质，只需找到B1C的中点E．而由已知易得B1BCC1是矩形，B1C与BC1的交点就是E．【证明】连结B1C、BC1，设B1C∩BC1=E，再连结DE．【解说】在本例的分析中，用分析法作了一番探索后，发现了由“已知”通向“未知”的思维过程，为综合法证明铺平了道路．例4 如图1-4．已知：在四面体ABCD中，AC=BC，AD=BD．求证：AB⊥DC．【分析1】欲证 AB⊥DC，由直线与平面垂直的性质知，需证AB垂直于过DC 的某个平面．因此，需找两条相交直线，它们都垂直于AB，且与DC共面．因AB 是△CAB和△DAB的公共边，问题转化为在AB上是否存在一点M，使AB⊥MC，且AB⊥MD，但这由已知条件CA=CB和DA=DB可知．【证法1】设M是AB的中点，连结MC和MD．【分析2】如图1-5．AB在平面ABD内，CD与这个平面相交．要证AB⊥CD，若CD是平面ABD的斜线，则问题转化为证CD在平面ABD内的射影 DH（CH⊥平面ABD）垂直于AB．因DA=DB，只需证∠ADH=∠BDH．由DA=DB知，只需证AH=BH，这可由CA=CB得出．若CD⊥平面ABD，则易得CD⊥AB．【证法2】（1）当CD不垂直于平面DAB时（如图1-5），过C作CH⊥平面DAB，垂足为H，连结AH、BH、DH．于是，由（1）、（2）可知，CD⊥AB．【解说】这两种证法都需要添置适当的辅助线，而这些辅助线都是在探索“结论”成立的条件中发现的．因此，分析法是立体几何中添置辅助线的一种重要方法．（三）分析综合法综合法由“条件”靠拢“结论”是正向思维，分析法由“结论”追溯“条件”是逆向思维．因此，在思维方法上，这两种方法构成一对矛盾．分析法和综合法是证明数学命题的两种有效方法，在立体几何中都大有用武之地，但是，使用这两种方法要灵活机动，因题制宜，不可拘泥于某一种方法．有的题目，单用一种方法简直到了山穷水尽疑无路的地步，一旦改换另一种方法，思维沿着相反的方向进行，就会出现柳暗花明又一村的美景．因此，一旦把两种方法结合起来，互相穿插使用，便能加快解题速度．这样，分析法和综合法互相配合就产生了分析综合法．这种方法从一个命题的两头（“条件”和“结论”）向中间靠拢，思路清晰，目标明确，思维集中，容易找到问题的突破口，发现解题途径．例5 如图1-6，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E∈BB1，截面A1EC⊥侧面AC1．求证：BE=EB1．（1996年全国高考理科试题改编）在平面A1CE内可作EG⊥A1C于G，设AC的中点为F，连BF、FG，【证明】如图1-6．在截面A1EC内，过E作EG⊥A1C于G，则由截面EA1C⊥侧面A1C，得EG⊥侧面A1C．■设F是AC的中点，连结BF、FG，则由BA=BC，得BF⊥AC．∵平面ABC⊥侧面AC1，∴BF⊥侧面AC1．∴BF∥EG．从而BF、EG确定一个平面，这个平面与侧面A1C的交线为FG．又 BE∥侧面A1C，∴BE∥FG．于是 BE=FG．在△CAA1中，∵FG∥BE，BE∥AA1，∴FG∥AA1．又 F是AC的中点，。
小学数学《常规应用题的解题思路——综合法和分析法》教案
常规应用题的解题思路——综合法和分析法教学目标：使学生学会使用综合法和分析法教学内容：综合法和分析法的应用教学重点：如何去理解分析法和综合法教学难点：分析法的介绍和应用教学方法：情境导入，然后逐步展开情境导入：同学们，有一天啊，小明的妈妈给小明5元钱去买酱油，酱油4元5毛一瓶，而小明太不小心了，在路上的时候掉了一元钱。
请问小明的钱够买一瓶酱油吗？哦，不够，为什么不够呢？哦，本来有5元钱，结果掉了一元钱，口袋里就只有4元钱了。
而酱油是4元5毛一瓶，所以小明的钱不够买一瓶酱油了。
同学们，我们回想一下，我们刚才是怎么知道小明的钱不够买一瓶酱油的啊？我们是不是根据已知的条件，来知道小明不够买一瓶酱油的啊？我们已经算出来小明口袋里只有4元钱了，所以她不够买一瓶酱油。
这样，通过已知的条件，推出未知的条件来，我们把这样的方法，叫做综合法。
好，同学们，我再给大家出一道题。
小明的妈妈给小明一些钱去买酱油，酱油4元5毛一瓶，而小明太不小心了，在路上掉了一元钱，结果呢，小明只差5毛钱就可以买一瓶酱油了，。
问小明的妈妈给了小明多少钱去买酱油呢？大家来看啊，小明的妈妈给了小明一些钱去买酱油，但是不知道有多少钱，好，大家看，她在路上掉了一元钱。
那么要求出妈妈给小明的钱，就必须先求出小明在路上钱掉了之后还剩多少钱。
大家看一下，小明在掉了一元钱之后，她口袋里有多少钱呢？她离买一瓶酱油只差5毛钱。
哦，那么是不是只要知道了酱油多少钱一瓶，就可以知道这个时候小明的口袋里有多少钱啊？哦，这样啊。
那么酱油多少钱一瓶呢？哦，酱油4元5毛钱一瓶。
那么我这道题是不是求出来了啊？（是的）哦，想这样的，从未知条件出发，来看怎么样才能得到未知条件的方法，我们就把它叫做分析法。
正课讲解：例一．两个打字员共同输入一本39500字的书稿。
甲每小时打3500字，乙每小时打3000字，两人合打5小时后，还有多少字没打？思路点拨：根据甲每小时打3500字，乙每小时打3000字，可求出两人每小时可打：3500+3000=6500（字）；根据两个人每小时打6500字，两人合打5小时，可求出两人5小时已打；6500X5=32500（字）；根据书稿是39500字，两人已打32500字，可求出还有多少字没打：39500-32500=7000（字），问题得到解决。
分析综合法
提要分析法就是执果索因的解题方法，即首先抓住问题的结论，追索结论成立的条件，该条件找到后，在追索该条件成立的另一个条件，这样一直追索下去，直到最后出现显然成立的条件；综合法是一种由因索果的解题方法，从顺序上看其与分析法恰好相反，是从已知到未知（即从题设到结论）的推理方。
解题时，分析法和综合法是交替使用的。
知识全解一．分析法的概念解数学问题，若从命题的结论出发，根据已知的定义、公理和定理逐步寻找这个结论成立的条件，直至这个结论成立的条件就是已知条件，这种方法叫作分析法。
它的思维形式是逆向推理。
对问题的分析过程不能代替解答过程的书写，通常是“倒退着分析”，书写解题过程时则需反过来“顺着书写”。
二．综合法的概念解数学问题，若从已知条件出发，运用已学过的公理、定义和定理逐步推理，直到推出结论为止，这种方法叫作综合法。
用综合法进行推理时，语气是肯定的，且每一步推理都必须是正确的。
书写时应先写原因后写结论，一般都用“因为……，所以……”来表述推理。
在叙述过程中，当前面一步陈述的结论，同时是后面一步陈述的条件时，常把后一步推理的条件省略不写。
三．分析综合法的概念对于比较复杂的数学问题，利用分析法和综合法很难解决问题，常常将分析法和综合法结合起来使用。
一方面从已知条件入手，看能推出什么结论；另一方面从结论着眼，想需要找到什么条件，从而找到解题途径。
这种方法称为分析综合法。
寻求解题要因题而异，有时用分析法，有时用综合法；有时用分析法分析思路，用综合法书写表达；有时分析法，综合法同时并用，一边分析，一边综合或交替使用。
四．分析法，综合法的解题策略应用分析法证明数学问题，尤其是证明几何问题时，语言是假定的；若要证明A成立则先证明B成立，若要证明B成立，则先证明C成立……应用综台法时，语气是肯定的，且每一步的推理都必须是正确的。
解题时，分析是为了综合，综合又必须根据分析。
因而有的题目往往同时应用两种方法：一边分析，一边综合，有时甚至交替运用。
高考数学知识点：综合法与分析法
高考数学知识点：综合法与分析法高考数学知识点：综合法与分析法综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。
图解：分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫做分析法。
图解：分析法的思维特点：执果索因；分析法的书写格式：要证明命题B为真，只需要证明命题为真，从而有……，这只需要证明命题为真，从而又有…… 这只需要证明命题A为真，而已知A为真，故命题B必为真。
分析法与综合法综合：综合法的思维方法：综合法的思维方向是”，即由已知条件出发，逐步推出其必要条件（由因导果），最后推导出所要证明的结论成立，故综合法又叫顺推证法或由因导果法．综合法的依据：已知条件以及逻辑推理的基本理论，在推理时要注意：作为依据和出发点的命题一定要正确．分析法的思维方向：分析法的思维方向是”，即由待证的结论出发，逐步逆求它要成立的充分条件（执果索因），最后得到的充分条件是已知（或已证）的命题,高考历史，故分析法又叫逆推证法或执果索因法．用分析法证明的模式：用分析法证：为了证明命题B为真，这只需证明命题B，为真，从而有……这只需证明命题B：为真，从而有……这只需证明命题A为真．而已知A为真，故B必真．可见分析法是”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法。
特别提醒：当命题不知从何人手时，有时可以运用分析法来解决，特别是对于条件简单而结论复杂的题目，往往更是行之有效．用分析法证明时，往往在最后加上一句步可逆，这无形中就出现了两个问题：①分析法证明过程的每一步不一定”，也没有必要要求”，因为这时仅需寻找充分条件，而不是充要条件；②如果非要”，则限制了分析法解决问题的范围，使得分析法只适用于证明等价命题了，但是，只要我们搞清了用分析法证明问题的逻辑结构，明确四种命题之间的关系，那么用分析法证明不等式还是比较方便的。
综合法和分析法 课件
[典例] 设数列{an}的前 n 项和为 Sn，且(3－m)Sn＋2man ＝m＋3(n∈N*)，其中 m 为常数，且 m≠－3.
(1)求证：{an}是等比数列； (2)若数列{an}的公比为 q＝f(m)，数列{bn}满足 b1＝a1， bn＝32f(bn－1)(n∈N*，n≥2)，求证：b1n为等差数列．
[活学活用] 已知△ABC 三边 a，b，c 的倒数成等差数列，求证：B 为锐角． 证明：要证 B 为锐角，根据余弦定理， 只需证明 cos B＝a2＋2ca2c－b2>0，即证 a2＋c2－b2>0. 由于 a2＋c2－b2≥2ac－b2，要证 a2＋c2－b2>0， 只需证 2ac－b2>0. ∵a，b，c 的倒数成等差数列，∴1a＋1c＝2b，即 2ac＝b(a＋c)． 要证 2ac－b2>0，只需证 b(a＋c)－b2>0，即 b(a＋c－b)>0， 上述不等式显然成立，∴B 为锐角.
∵△ABC 三个内角 A，B，C 成等差数列． ∴B＝60°. 由余弦定理，有 b2＝c2＋a2－2cacos 60°， 即 b2＝c2＋a2－ac. ∴c2＋a2＝ac＋b2 成立，命题得证． 法二：∵△ABC 三个内角 A，B，C 成等差数列． ∴B＝60°. 由余弦定理，有 b2＝c2＋a2－2cacos 60°， 即 b2＝c2＋a2－ac.
2.分析法 定义
从要证明的 结论出发，逐步寻 求使它成立的 充分条件 ，
直至最后，把要证明的结论归 结为判定一个明显成立的条件
(已知条件、 定理 、 定义 、 公理 等)为止．这种证明方法
叫做分析法
框图表示
Q⇐P1 → P1⇐P2 → P2⇐P3 →…→
得到一个明显 成立的条件
浅谈在解数学题时如何运用综合法与分析法
浅谈在解数学题时如何运用综合法与分析法发表时间：2017-07-19T16:00:18.897Z 来源：《教育学》2017年5月总第119期作者：蔡丹颖[导读] 本文将对综合法和分析法在解数学题时的具体应用进行分析，解读它们各自的优缺点、区别以及联系。
华南师范大学广东广州510631摘要：在解数学题时，依据从条件入手或从结论入手，将之划分为综合法和分析法。
本文将对综合法和分析法在解数学题时的具体应用进行分析，解读它们各自的优缺点、区别以及联系。
关键词：综合法分析法优缺点综合法：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，它是由因导果，又称为顺推证法。
分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判断一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，它是执果索因，又称为倒推证法。
一、综合法例1：在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC是等边三角形。
思路分析：从条件中三个内角A，B，C成等差数列，可知B满足B= ，即2B=A+C，又三角形的内角和为180°可知，3B=180°，可以解得B=60°，从另一个条件入手，△ABC的三条边a，b，c成等比数列，可知b满足b2=ac，此时，涉及到B，b2，ac，自然地想到跟余弦定理有关：b2=a2+c2-2ac cosB，即ac=a2+c2-ac，变形得（a+c）2=0,解得a=c，前面已知b2=ac，b>0，解得a=b=c，所以△ABC是等边三角形。
二、分析法例2:设a>b>0，求证：< - ab< 。
思路分析：这道题中条件只有a>b>c，从这个条件出发，我们很难再往下证明,因此我们考虑运用分析法，先从< - ab< 入手，第一、三项是分数的形式，但是中间一项- ab却不是分数的形式，所以我们将中间那一项通分，转化为，我们观察到第一、三项的分子都是（a-b）2，且（a-b）2跟( a- b)2有联系，（a-b）2=[( a+ b)( a- b)]2，要证原不等式,即证：<< ，化简得：<1< ，即证： <1< ，即证： < =1= < ，此时，根据条件，设a>b>0，可以知道a> b>0，< =1= < 成立，再逆推证明原不等式成立即可。
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起来运用， 先用分析法寻求解题思路 ， 再用综合法有条理 速度为 ａ 方 向向右） （ 。球对板的加速度为向心加速度
：的表达解题过程 ， 这就达到了扬长避短 、 相互协调 、 相得
‘ ・
ｖ （ 向向左 ） 取 向左 的方 向为 正方 向 ， ２方 仃 。选 由相对 加
益彰的良好 目的。 例 ２ 已知金属板 Ａ的质量为 Ｍ，金属球 Ｂ的质量
际上是寻找它的必要条件。它条理清晰 ， 形式简洁， 逻辑 定律， ｇ＝１ ｖｖＶ Ｍ ｌ ｍ ２＿ 讶 ，
（） １
推理严谨， 但往往在推理过程中枝节丛生， 难于一下子达
到 目的。因此 ， 在实际解题时 ， 我们应把这两种方法结合
速度 的方 向竖直 向下 。
（） ３设球对地的加速度为 方向向左 ）板对地的加 ，
、
｛ ＾
一
０ ４
』
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它的充分条件。它叙述繁琐 ， 但常常逐步推进 ， 最终会达 （ ＋ ｖ ０ ｍ Ｍ）ｔ ＝
：到已知获得成功。综合法从已知条件 出发分析推理出可 知物理量 ， 渐渐推向待求 问题的物理量 ， 逐步的推理 ， 实 所 以ｖ ０此时极 冶好静止不动。 ’ ， ＝ （） ２设小球抵达板面时的速度为 ｖ根据机械能守恒 ，
这时球和板在水平方向有共同速度，根据动量守恒定律 为保证探索方向准确及过程 决捷 ，人们又常常把分析法
＿ ＂ … ． ｛ ＿ ｊ Ｉ ｜ ～ ＃ ≈ ’ ， 々 一 ＃ ｒ ４ ０ 一 ｉ
学生之 友 己 １，７ Ｄ１
与综合法两者并列起来使用，即常采取同时从 已知和结 用下下落的同时在切割磁力线， 因而产生电动势 ， 由于电 ： 将形成充电电流 ， 中的电流要受到安培 ： 磁场 论出发， 寻找问题的一个中间 目 。 标 从已知到中间目标运 容器 的存在 ，
，
△Ｑ即在极短时间内流过棒 的电流，也就是给 ：
起来进行思维， 寻求问题的解答途径方式 ， 就是人们通常 电容器充 电的 电量 。由电容器的特点可知 Ｑ＝Ｃ 则 Ｕ， 所说的分析 、 综合法。 下面举一具体例子来加以说 明：
ＡＱ＝ ＣＡＵ 式中△ｕ是这极短时间内电压的增量。 ， 电压
的增量等于感生电动势的增量 。即 △ ｕ＝△￡＝ Ｌ ｖ ： ＢＡ ，
ｂ
例 ３ 两根竖直地放置在绝缘地面上的金属框架， 框 说 明电压增量取决于速度的增量。 由加速度 的定义式 ：
－ △ 可得到△ｖ ａ ， ＝ Ａｔ 于是逐一向前代人后可得到 ： 架的上端接有一电容量为 Ｃ的平行板 电容器如下 图所 ａ Ａ ／ ｔ 示。 框架上有一质量为 ｍ， 长为 Ｌ的金属棒 ， 平行于地面
再将（ ） １式代入（ ） ： ＝ ４式得
最 后得 到 ＝ ＝２ Ｍｇ ’ ｍ
三、 思维过 程中分析法与综合法的结合
解析： 现在用分析法寻找解体思路 ： 要求板受到拉
实 际思维 过程 ． 分析法 与 综合 法． 是统一 运 用的 ． 分 把
力， 可先求小球受到的拉力 ； 求小球受到的拉力要运用牛 析法和综合法孤立起来运用是脱离实际的．没有分析就
：
；
好 了， 对于综合法与分析法 ， 本文就谈到此 ， 你看后有收
获 吗？
【 参考文献】
：
１ 金铎， 物理教 学论［ 。 问 等。 Ｍ］ 南京 ： 江苏教育出版 ：
社 ． ９． １ １８ ９ ９ 。
２ ． 军。 续佩 物理能力测量研究［ 。 Ｍ］南宁： 广西教育 出 ：
１ ９ ８ ９ １ 解： 我们先采用综合法确立解题的思路 ： 棒在重力作 版 社 ． ９ ．４
ｖ ｖ ｖ ７ ｖ ｖ
：
学 之 ０１７ 生 友２１１ 骧
速度表达式 ａ＝￣ 可得 ａ￣ ２— ｍａ ａ ， ＋ ｍＶ Ｉａ ／
（） ２。
：
（） ４ 设板对球的作用力为 ， 球对板的作用力 为， 根 据牛顿第二定律 Ｔ ｍ Ｔ ＝ ａ ＝ ａ， ’Ｍ ｍ
：为 Ｉ， Ｔ 有长为 １ Ｉ 的轻杆将球与板的中央 Ｏ点相连接 ， 点 ｏ 为转动轴如下图所示， 开始时杆处于竖直位置 ， 球和板都
△Ｕ＝ Ｌ ＡｔＡＱ＝Ｃ Ｌ Ａｔ ＝Ｃ Ｌ Ｆ Ｃ ＝，最后 ： Ｂａ ， Ｂ ａ ， Ｂ ａ，＝ ＢＬａ ｉ
—
ｇ ＢＬ＝ 即 ： 一— ａ ａ 放置 ， 与框架接触 良好无摩擦 ， 离地 面高度为 ｈ 匀强 代人最前面的加速度表达式得到 ： Ｃ ｍ 棒 。 —
，
磁 场 的磁 感应 强度为 Ｂ 且磁 场 方 向与框 架平 面垂直 。 开
：
用分析法研究某一瞬间的加速度的表达式。设某瞬时加
速为， 顿二律得： 。 这瞬 度 牛第定可 Ｆ 一时； 由 是
的安培力 。 ＝Ｌ ｉ Ｆ ｉＢ，是这一瞬时的感生电流 ， 如果从 ｉ ＝
ＢＩ
—
来研究 ， 那么由于 Ｖ ｉ 无法得到 ， 我们将陷入困境。 ：
综合法与分析法是逻辑推理的思维方法， 它对于培 现在换—个思路， 取一个极短的时间间隔Ａｔ 来研究。Ｉ ＝ 养思维的严谨胜极为有用。把分析法与综合法两者并列
顿第二定律 ， 要先求小球的加速度 ； 的加速度涉及球 没有综合； 小球 没有综合也没有分析。问题仅在于 ， 在解题的 对板的向心加速度和板对地的加速度 ；球的向心加速度 思维过程 中， 有时分析法居主导地位 ， 综合法伴随着它 ；
涉及球的线速度； 求线速度要用到机械能守恒定律； 运用 有时却刚好相反， 是综合法居主导地位 ， 而分析法伴随着 机械能守恒定律时要考虑到板和球在水平方向的运动 隋 它。 况。 可以运用动量守恒定律加以解决。 思路分析清楚后就 可以用综合法来解题了。 解 ：１达到水平位置时 ， （） 设板水平运动的速度为 ｖ， ’ 特别是 ，对于那些较为复杂的思维过程，不论是从 已知” 推向“ 未知”或者是 由“ ， 未知” 靠拢“ 已知”都有一 ， 个比较长的过程，单靠分析法或综合法显得较为困难
：
用综合法思索 ， 由结论到中间 目标运用分析法思索， 而 以 力 ， 因此棒是在重力和安培力的共同作用下运动。 只有确
中间 目标为桥梁沟通已知与结论 ，构建出证 明的有效路 定了棒运动的性质， 才能根据运动规律求出下落的时间。
径 ．上 面所 言 的思维模 式可 概括 为如下 图所 示 本 问题 的关 键 是研 究棒 的加 速度 变化 ｆ况 。现 在我们 采 青
ｍｇ
，
由于 ｍ ｇＣ、 Ｌ都是常量 ， ， 、、 Ｂ、 因此 该式表
：
始时电容器两极板不带电。 由静止开始释放 ， 棒 问棒经过 明棒下落的加速度是 匣定的， 的是匀加速运动 ， 棒作 于是
多少 时间 落到地 面？
求下落的时间就十分简单了
＝２（ ｈｍ＋ｖ Nhomakorabea憎
Ｃ￣ ｉ Ｂ） Ｚ Ｌ
处 于静 止状 态， 置 于光 滑地 面 上 ， 开 Ｂ球 后 ， 倒 Ａ 放 杆将 下 。求杆抵 达 水平位 置后 ， 金属板 的拉 力 。 杆对
根据牛顿第 三定律 Ｔ Ｔ ， ａ－岢ａ ＝ ’则 Ｍ ＿ － 将（ ） ３式代入前面（ ） ２式可得
（） ３
１ 意； ＝ ａａ ｖ ｍ ２ ／ ｌ 一