矩阵的特征值与特征向量的求法

摘要：首先给出了求解矩阵特征值和特征向量的另外两种求法,然后运用特征值的性质讨论了矩阵合同、相似的充要条件,以及逆矩阵的求解等相关问题.

关键词：矩阵的特征多项式,特征值,特征向量,对角矩阵,逆矩阵

Abstract：Firstly，it is given matrix eigenvalues and eigenvectors of two other methods, then with the properties of eigenvalue the contract of matrix discussed,we deeply discuss the sufficient and necessary conditions for the similar matrix contract, and the inverse matrix of the related problem solving.

Keywords:matrix characteristic polynomial, eigenvalue, eigenvector, diagonal matrices, inverse matrix

目录

1 前言 (4)

2 矩阵的特征值和特征向量的求法 (4)

2.1 矩阵的初等变换法 (4)

2.2 矩阵的行列互逆变换法 (6)

3 矩阵特征值的一些性质及应用 (7)

3.1 矩阵之间的关系 (7)

3.1.1 矩阵的相似 (7)

3.1.2 矩阵的合同 (7)

3.2 逆矩阵的求解 (8)

3.3 矩阵相似于对角矩阵的充要条件 (8)

3.4 矩阵的求解 (9)

3.5 矩阵特征值的简单应用 (10)

结论 (11)

参考文献 (12)

致谢 (13)

1 前言

矩阵特征值是高等代数研究的中心问题之一,也是硕士研究生招生考试的热点.而

且在自然科学（如物理学、控制论、弹性力学、图论等）和工程应用（如结构设计、振动系统、矩阵对策）的研究中也同样离不开矩阵特征值问题,因而对其研究具有重要的理论和应用价值.

2 特征值和特征向量的求解方法

求n 阶矩阵A 的特征根和特征向量,传统方法是先求出矩阵A 的特征多项式

()A E f -=λλ的全部特征根,然后对每个特征根 ()n i i ,,2,1 =λ求解齐次线性方程组

()0=-X A E i λ的一个基础解系,即为A 的属于特征根i λ的线性无关的特征向量.现再此基

础上另外介绍两种求矩阵特征值和特征向量的方法.

2.1 矩阵的初等变换法

这种方法在求解矩阵特征向量的同时就得到属于特征根的特征向量.

定理[]

11设齐次线性方程组0m n A X ⨯=的系数矩阵A 的秩数n r <,00

0r

E PAQ ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

的非奇异矩阵n n Q ⨯ 的后n r - 列便构成线性方程组的一个基础解系.

在运用传统方法求解矩阵A 的特征值时,我们求()A E f -=λλ的全部特征根时是通过将矩阵()A E -λ经过一系列的初等变换化成三角矩阵，这里我们可以受此启发,将它变

换成下三角矩阵()λG .由定理1知,当矩阵⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-E A E λ经过一系列的初等列变换变换成

()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλQ G 时,求 ()0=λG 得的i λ就是矩阵A 的特征值,然后将i λ代入()()⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛λλQ G ,()i G λ中的0

列所对应的列就是所对应i λ的特征向量()i Q λ.

例1 已知矩阵211031213A -⎛⎫

⎪

=- ⎪ ⎪⎝⎭,求矩阵A 的特征值和特征向量.

解

22

2

1120103102121324310010001001000101100110022112254433454100001010010211112E A E λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-⎛⎫ ⎪⎝⎭

----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------=→ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

--⎛⎫ ⎪---- ⎪ ⎪-+-----+→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭()()2

1001203468001011113.G Q λλλλλλλλ⎛⎫ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

-⎛⎫ ⎪- ⎪

⎪---+→ ⎪

⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎛⎫= ⎪⎝⎭

由()()2

240λλ--=知A 的特征根122λλ==,43=λ.

当122λλ==时,()()10010021202001011111G Q -⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪⎛⎫--=

⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪

- ⎪ ⎪-⎝⎭,特征向量1111ξ⎛⎫

⎪

=- ⎪ ⎪

-⎝⎭. 当34λ=时,()()10012041004001011111G Q -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫=

⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪

- ⎪ ⎪⎝⎭

,特征向量3111ξ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪

⎝⎭.

2.2 矩阵的行列互逆变换法

定理[]

22 对于任意的矩阵A ,矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛

E A 都能经过一系列的行列互逆变换变成⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛P J T .其

中()()(){}

()()

()r i P P P P P J J J J T

i i i i r r k k k i

k r ,,2,1,,,,,,,,,,,,21212121 ====βββλλλ.因为若尔当矩阵是下三角形矩阵,在一个若尔当形矩阵中,主对角线上的元素正是特征多项式的全

部根（重根按重数计算）.因此在求解矩阵A 的特征值时我们又可以通过将矩阵⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛E A 进行

行列互逆变换,从而得到A 特征值i λ,以及它对应的特征向量i

k i i βξ=.

例2 求矩阵211031213A -⎛⎫ ⎪

=- ⎪ ⎪⎝⎭

的特征值与特征向量.

解

.11

1110111400021002211121102111400021002111010011400121002101010001400131

11110001000131

213011233

3223211

213312

1221

21

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛---−→−⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛---−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛---−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-+-+-r c r r c c r r c c r r c

c E A