初中数学竞赛：无理方程的解法
分式方程和无理方程的解法
分式方程和无理方程的解法分式方程是指方程中含有一个或多个分式的方程。
无理方程是指方程中含有无理数的方程。
解分式方程和无理方程的方法有很多，下面我将介绍几种常见的解法。
解分式方程的方法：1.清除分母法：对于只包含一个分子、一个分母的分式方程，可以通过消去分母来解方程。
例如，对于方程1/x-1/(x+1)=1/2，我们可以将方程两边同乘以2x(x+1)，得到2(x+1)-2x=x(x+1)，然后化简方程得到x^2+x-2=0，解这个二次方程可以得到x=-2或x=1，这就是分式方程的解。
2.通分法：对于分式方程中含有多个分母的情况，可以通过通分来化简方程。
例如，对于方程1/(x-1)+3/(x+1)=2/(x^2-1)，我们可以将方程的右边进行通分得到(x-1)/(x+1)(x-1)+3(x+1)/(x+1)(x-1)=2/(x^2-1)，然后化简得到(x-1)+3(x+1)=2，解这个一次方程可以得到x=-1，这就是分式方程的解。
3.代数方法：对于更复杂的分式方程，我们可能需要借助一些代数技巧来解方程。
例如，对于方程(x-1)/(x+2)+(x+1)/(x-2)=2，我们可以先将方程两边都乘以(x+2)(x-2)来消去分母，得到(x-1)(x-2)+(x+1)(x+2)=2(x+2)(x-2)，然后展开并化简方程，最终得到一个一次方程，解这个一次方程可以得到x=-3或x=1，这就是分式方程的解。
解无理方程的方法：1.平方法：对于一些包含平方根的无理方程，可以尝试平方来消去无理数。
例如，对于方程√x+3=5，可以将方程两边都平方，得到x+6√x+9=25，然后将方程整理为一个关于√x的一次方程，解这个一次方程可以得到√x=4或√x=-4，进一步求解得到x=16或x=-16，这就是无理方程的解。
2.分析法：对于一些无理方程，可以利用函数图像的性质进行分析和直观理解。
例如，对于方程√x-1=0，我们可以将方程理解为函数y=√x和y=1的交点，通过观察可知x=1是唯一的交点，因此方程的解为x=13.降低次数法：对于一些无理方程，可以通过一些代数技巧将其转化为一个次数更低的方程。
(完整版)无理方程的解法
无理方程的解法未知数含在根号下的方程叫作无理方程(或根式方程)，这是数学竞赛中经常出现的一些特殊形式的方程中的一种．解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法、配方法、因式分解法、设辅助元素法、利用比例性质法等．本讲将通过例题来说明这些方法的运用．例1 解方程解移项得两边平方后整理得再两边平方后整理得x2＋3x-28＝0，所以 x1=4，x2=-7．经检验知，x2=-7为增根，所以原方程的根为x=4．说明用乘方法(即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号)来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．例2 解方程方公式将方程的左端配方．将原方程变形为所以两边平方得 3x2+x=9-6x＋x2，两边平方得 3x2+x=x2＋6x＋9，即所以移项得解三个未知量、一个方程，要有确定的解，则方程的结构必然是极其特殊的．将原方程变形为配方得利用非负数的性质得所以 x=1，y=2，z=3．经检验，x=1，y=2，z=3是原方程的根．所以将①两边平方、并利用②得x2y2＋2xy-8=0，(xy＋4)(xy-2)=0．xy=2．③例6 解方程解观察到题中两个根号的平方差是13，即②÷①便得由①，③得例7 解方程分析与解注意到(2x2-1)-(x2-3x-2)=(2x2+2x+3)-(x2-x+2)．设则u2-v2＝w2-t2，①u+v=w+t．②因为u+v=w+t=0无解，所以①÷②得u-v=w-t．③②＋③得u=w，即解得x=-2．经检验，x=-2是原方程的根．例8 解方程整理得y3-1=(1-y)2，即(y-1)(y2+2)=0．解得y=1，即x=-1．经检验知，x=-1是原方程的根．整理得y3-2y2+3y=0．解得y=0，从而x=-1．例9 解方程边的分式的分子与分母只有一些项的符号不同，则可用合分比定理化简方程．根据合分比定理得两边平方得再用合分比定理得化简得x2=4a2．解得x=±2a．经检验，x=±2a是原方程的根．。
初中数学 无理数方程的解如何计算
初中数学无理数方程的解如何计算无理数方程是含有无理数的方程，其中无理数是指不能表示为两个整数的比值的实数。
解决无理数方程的关键是找到方程中无理数的近似解。
下面将介绍一些常见的无理数方程类型及其解法，以帮助初中数学学生更好地理解和解决无理数方程。
一、平方根无理数方程平方根无理数方程是指含有平方根的方程。
例如，√x = 3是一个平方根无理数方程，其中√x是一个无理数。
1. 消去平方根法：对于方程√x = a，其中a是已知的有理数，可以将方程两边平方，得到x = a^2。
例如，对于方程√x = 3，可以平方得到x = 3^2 = 9。
因此，方程的解是x = 9。
2. 迭代法：迭代法是一种逼近法，通过不断逼近无理数的近似值来解方程。
对于方程√x = a，可以使用迭代法求解。
- 初始值：选择一个合适的初始值，例如取x = 1作为初始值。
- 迭代过程：通过迭代公式x' = (x + a/x)/2，不断更新x的值，直到x的值足够接近无理数的近似值。
- 迭代停止条件：可以设置一个迭代停止条件，例如当两次迭代之间的差值小于某个给定的精度时，停止迭代。
- 迭代结果：最终得到的x值即为方程的近似解。
二、立方根无理数方程立方根无理数方程是指含有立方根的方程。
例如，∛x = 2是一个立方根无理数方程，其中∛x是一个无理数。
1. 消去立方根法：对于方程∛x = a，其中a是已知的有理数，可以将方程两边立方，得到x = a^3。
例如，对于方程∛x = 2，可以立方得到x = 2^3 = 8。
因此，方程的解是x = 8。
2. 迭代法：对于立方根无理数方程，可以使用迭代法求解。
- 初始值：选择一个合适的初始值，例如取x = 1作为初始值。
- 迭代过程：通过迭代公式x' = (2*x + a/(x^2))/3，不断更新x的值，直到x的值足够接近无理数的近似值。
- 迭代停止条件：设置一个迭代停止条件，例如当两次迭代之间的差值小于某个给定的精度时，停止迭代。
无理方程解法九种
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本 文 特 举 出 无 理 方 程 的 九种
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乘 有理 化 因 式 法
3
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初 等 解 题 厅法 如 下
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解方 程
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乘方 法
这是 一 种 基 本 方 法
其 思 路 是将 无 理 方
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则 可 将 方程
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求 下 面 方程 的 实数 根 ( 以 下 各例
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都是 指 求实 数 根
人教版 初一数学上册 竞赛专题：方程的解与解方程(含答案)
人教版 初一数学上册 竞赛专题：方程的解与解方程（含答案）[例1] 已知关于x 的方程3[x －2(x －)]＝4x 和－＝1有相同的解，那3a 312x a +158x -么这个解是______．(北京市“迎春杯”竞赛试题)[例2] 已知a 是任意有理数，在下面各说法中(1)方程ax ＝0的解是x ＝1 (2)方程ax ＝a 的解是x ＝1(3)方程ax ＝1的解是x ＝(4)方程|a |x ＝a 的解是x ＝±11a结论正确的个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．3(江苏省竞赛试题)[例3] a 为何值时，方程＋a ＝－(x －12)有无数多个解？无解？3x 2x 16[例4] 如果a ，b 为定值时，关于x 的方程＝2＋，无论k 为何值时，它的23kx a +6x bk -根总是1，求a ，b 的值．(2013年全国初中数学竞赛预赛试题)[例5] 已知p ，q 都是质数，并且以x 为未知数的一元一次方程px ＋5q ＝97的解是1，求代数式p 2－q 的值．(北京市“迎春杯”竞赛试题)[例6] (1)在日历中(如图①)，任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个为a ，则用含a 的代数式表示这三个数(从小到大排列)分别是______．(2)现将连续自然数1至2004按图中的方式排成一个长方形阵列，用一个正方形框出16个数(如图②)．①图中框出的这16个数的和是______；②在右图中，要使一个正方形框出的16个数之和等于2000，2004，是否可能？若不可能，试说明理由；若有可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数．2003200419971999200020012002…… (36)37383940414219962930313233343522232425262728151617181920218910111213141234567图②(湖北省黄冈市中考试题)能力训练A 级1．若关于x 的方程(k －2)x |k －1|＋5k ＝0是一元一次方程，则k ＝______；若关于x 的方程(k ＋2)x 2＋4kx －5k ＝0是一元一次方程，则方程的解x ＝______．2．方程x －[x －(x －)]＝(x －)的解是______．34143731637(广西赛区选拔赛试题)3．若有理数x ，y 满足(x ＋y －2)2＋|x ＋2y |＝0，则x 2＋y 3＝______．(“希望杯”邀请赛试题)4．若关于x 的方程a (2x ＋b )＝12x ＋5有无数个解，则a ＝______，b ＝______．(“希望杯”邀请赛试题)5．已知关于x 的方程9x －3＝kx ＝14有整数解，那么满足条件的所有整数k ＝______．(“五羊杯”竞赛试题)6．下列判断中正确的是( )．A ．方程2x －3＝1与方程x (2x －3)＝x 同解B ．方程2x －3＝1与方程x (2x －3)＝x 没有相同的解C ．方程x (2x －3)＝x 的解都是方程2x －3＝1的解D ．方程2x －3＝1的解都是方程x (2x －3)＝x 的解7．方程＋＋…＋＝1995的解是( )．12x ⨯23x ⨯19951996x ⨯A ．1995 B ．1996 C ．1997 D ．19988．若关于x 的方程＝0的解是非负数，则b 的取值范围是()．21x b x --A ．b ＞0B ．b ≥0C ．b ≠2D ．b ≥0且b ≠2(黑龙江省竞赛试题)9．关于x 的方程a (x －a )＋b (x ＋b )＝0有无穷多个解，则( )．A ．a ＋b ＝0B ．a －b ＝0C ．ab ＝0D ．＝0a b10．已知关于x 的一次方程(3a ＋8b )x ＋7＝0无解，则ab 是( )．A ．正数 B ．非正数 C ．负数 D ．非负数(“希望杯”邀请赛试题)11．若关于x 的方程kx －12＝3x ＋3k 有整数解，且k 为整数，求符合条件的k 值．(北京市“迎春杯”训练题)12．已知关于x 的方程＋a ＝x －(x －6)，当a 取何值时，(1)方程无解？(2)方程有3x ||2a 16无穷多解？(重庆市竞赛试题)B 级1．已知方程2(x ＋1)＝3(x －1)的解为a ＋2，则方程2[2(x ＋3)－3(x －a )]＝3a 的解为______．2．已知关于x 的方程＝的解是x ＝2，其中a ≠0且b ≠0，则代数式－的2a x -33bx -b a a b 值是______．3．若k 为整数，则使得方程(k －1999)x ＝2001－2000x 的解也是整数的k 值有______个．(“希望杯”邀请赛试题)4．如果＋＋＋…＋＝，那么n ＝______．12161121(1)n n +20032004(江苏省竞赛试题)5．用※表示一种运算，它的含义是A ※B ＝＋，如果2※1＝，那么1A B +(1)(1)x A B ++533※4＝______．(“希望杯”竞赛试题)6．如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是______克．第6题图(河北省中考试题)7．有四个关于x 的方程①x －2＝－1②(x －2)＋(x －1)＝－1＋(x －1)③x ＝0④x －2＋＝－1＋11x -11x -其中同解的两个方程是( )．A ．①与②B ．①与③C ．①与④D ．②与④8．已知a 是不为0的整数，并且关于x 的方程ax ＝2a 3－3a 2－5a ＋4有整数解，则a 的值共有( )．A ．1个B ．3个C ．6个D ．9个(“希望杯”邀请赛试题)9．(1)当a 取符合na ＋3≠0的任意数时，式子的值都是一个定值，其中m －n ＝6，23ma na -+求m ，n 的值．(北京市“迎春杯”竞赛试题)(2)已知无论x 取什么值，式子必为同一定值，求的值．35ax bx ++a b b+(“华罗庚杯”香港中学竞赛试题)10．甲队原有96人，现调出16人到乙队，调出后，甲队人数是乙队人数的k (k 是不等于1的正整数)倍还多6人，问乙队原有多少人？(上海市竞赛试题)11．下图的数阵是由77个偶数排成：第11题图 (142144146148150152154)30323436384042161820222426282468101214用一平行四边形框出四个数(如图中示例)．(1)小颖说四个数的和是436，你能求出这四个数吗？(2)小明说四个数的和是326，你能求出这四个数吗？参考答案例1 提示：两方程的解分别为x ＝a 和x ＝，由题意知a ＝，27282727221a -2727221a -得a ＝.从而可以得到x ＝a ＝×＝.27827272782728例2 A 提示：当a ＝0时，各题结论都不正确.例3 提示：原方程化为0x ＝6a －12（1）当6a －12＝0，即a ＝2时，原方程有无数个解.（2）当6a －12≠0，即a≠2时，原方程无解．例4 原方程整理可得：(4x ＋b)k ＝12＋x －a ． ∵ 无论k 为何值时，它的根总是1． ∴ x ＝1且k 的系数为0．∴ 4＋b ＝0，13－2a ＝0．∴ ，．132a =4b =例5 提示：把x ＝1代入方程px ＋5q ＝97，得p ＋5q ＝97，故p 与5q 之中必有一个数是偶数（1）若p ＝2，则5q ＝95，q ＝19，；215p q -=-（2）若5q 是偶数，则q ＝2，p ＝87，而87不是质数，与题设矛盾，舍去；因此．215p q -=-例5 （1）a －7，a ，a ＋7； （2）①44×8＝352；②设框出的16个数中最小的一 个数为a ，则这16个数组成的正方形方框如右图所示，因为框中每两个关于正方形的中心对称的数之和都等于2a ＋24，所以这16个数之和为8×（2a ＋24）＝16a ＋192．当16a ＋192＝2000时，a ＝113；当16a ＋192＝2004时，a ＝113.25．∵a 为自然数，∴ a ＝113.25不合题意，则框出的16个数之和不可能等于2004，由长方形阵列的排列可知，a 只能在1，2，3，4列，则a 被7整除的余数只能是1，2，3，4．因为113＝16×7＋1，所以，这16个数之和等于2000是可能的．这时，方框涨最小的数是113，最大的数是113＋24＝137．A 级1．0；2．x ＝0 3．8 4．6；54565．10；26；8；－8 提示：，能被17整除，则，或179x k=-9k -91k -=±917k -=±6．D 7．B 提示：原方程化为111111199522319951996x ⎛⎫-+-++-= ⎪⎝⎭8．D 9．A10．B11．原方程的解为 ，31221333k x k k +==+-- 显然 k －3＝±1，±3，±7，±21，a a ＋1a ＋2a ＋3a ＋7a ＋8a ＋9a ＋10a ＋14a ＋15a ＋16a ＋17a ＋21a ＋22a ＋23a ＋24即 k ＝4，2，6，0，－4，10，24，－18．12．提示：原方程化为()()121a x a -=-（1）当a ＝－1时，方程无解；（2）当a ＝1时，方程有无穷多解．B 级1．10.5 2． 提示：当x ＝2时，代入得． 712-34b a =3．16提示：为整数，2001＝1×3×23×29，故k 可取±1，±3，±23，±29，20011x k =+±3×23，±3×29，±23×29，±22001共16个值．4．2003 提示：()()11111111126121122334451n n n n ++++=++++++⨯⨯⨯⨯+ ＝，得．1111111120031122334112004n n n -+-+-++-=-=++ 1112004n =+5．提示：，解得 x ＝8．1935()()152********x =+=+++※6．207．A8．C9．（1）取a ＝0，则；取a ＝1，则，2233ma na -=-+2233m n -=-+ 得 ，又，解得，．()()32230m n -++=6m n -=125m =185n =- （2）令x ＝0，则；令x ＝1，则，3355ma na +=+3355m n +=+ 得，即，故．()()5335a b +=+35a b =381155a b a b b +=+=+=10．设乙队原有x 人，则80＝k(x ＋16)＋6，解得．7416kx k-=∵x 必须为正整数且k≠1，∴ ，，得出k ＝2或37，7416x N k=-∈＋74k 只有当k ＝2时，x ＝21人．11．（1）能，这四个数分别是100，102，116，118． （2）不能．。
无理方程解法九种
作者： 李迪淼;楼保林;王得全
作者机构： 湖南绥宁二中;歙县教师进修学校;歙县北岸中学
出版物刊名： 中学数学教学
页码： 10-12页
主题词： 实数根;整式方程;解题方法;文特;解方程;反函数法;单调区间;方程化;综合除法;方程根
摘要：<正> 解无理方程,历来是教学中的难点之一。
实践表明,适当总结一些解题方法,是克服这一难点、提高学生解题能力的一个有效途径。
为此,本文特举出无理方程的九种初等解题方法如下: 一、乘方法这是一种基本方法,其思路是将无理方程的两边乘方若干次后转化为有理方程,进而转化为整式方程来求解。
例1.求下面方程的实数根(以下各例都是指求实数根,不再声明)。
(完整版)无理方程的解法
无理方程的解法未知数含在根号下的方程叫作无理方程（或根式方程），这是数学竞赛中经常出现的一些特殊形式的方程中的一种•解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法•常用的方法有：乘方法、配方法、因式分解法、设辅助元素法、利用比例性质法等•本讲将通过例题来说明这些方法的运用.例1解方程卜冷-72X+8 = 0.解移项得73K-3-^+8=7気 79,两边平方后整理得J（強-3）（2蛊+ 8）=12,再两边平方后整理得2x + 3x-28= 0,所以x 1=4, X2=-7.经检验知，X2=-7为增根，所以原方程的根为x=4.说明用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根.分折与解需要注恙旳是1缶曲*可盲成是2^*屈匸？这就启发找们是否可用“两项和的半方",即显全平方公式将方程的左端配方•将原方程变形为〔了/ +x) + Z X V3K 2 + x 十/二氛 (V3?+x+ x)^ = 3,所以_绮解得筍=-|由+3：=门得= d ，9经检验"原方程的根为籃严左两边平方得 3x 2+X =9"6X +x 2,两边平方得 3x 2 2+x=x + 6x + 9,解得"空浮.而当“卑7吋，dKQ,是闻虽故垃=辰 + 7K + 2 + 2^/x2+ 2K= 4 -|解考虑到辰• <772 = J宀加于是将方槎化为（X + 27x J+ 2x 4- x + 2）+ （五4-血+ 2） -6=0.即（長* J蛊+ 2）' +（丘+ J盘十2；-6 = 0,所以（■+■+ 2 -2）（+ 订芸+2十3）= 0・因为厶十4 Vs + 2 +了>0 > 0 u所以Jx-f-Vs'+2-2=0.移项得_ 2 = r 厶 + 2 ’平方后解得“卜经检脸.V是原方程的根.晶* JyT+ 社-2 = 4-y+ 2）.解三个未知量、一个方程，要有确定的解，则方程的结构必然是极其特殊的•将原方程变形为x+ y + r -2^/7 -2^/y -1 -2VF-2 —0,& —2东4 1）十（y —] —27?^ + 1） +（5-2-2"戸+ 1）=0.配方得|（血_1）2 ——=0・利用非负数的性质得•丘二1,丽兀-],7E ---1.所以x=1，y=2，z=3.经检验，x=1，y=2，z=3是原方程的根.例6解方程经检验.X 忑是原方程的根.- 2x + 号+ - 2x-4 = IN ①解观察到题中两个根号的平方差是13,即(V3x a- 2H + - - 2忑一4)玄=13. ②②宁①便得- 2x4-9 - V^x3—4 = L ③由①，③得曲_2囂+9 T, 3K2-2z-40=0,所以乂 =耳「^ = 4.经检验"H L= -£ ,巧=4都是原方程的根.例7解方程V2?-] + ^/x2- ~ 2 * 3+ 3 + d 分析与解注意到2 2 2 2(2x -1)-(x -3x-2)=(2x +2x+3)-(x -x+2).设J2F _ [ = u r% _ 2 = v rJ2云4 2耳斗勺=科,-耳十2匸t,则u2_v2= w/-t 2, ①u+v=w+t. ②因为u+v=w+t=O无解，所以①*②得u-v=w-t .②+③得u=w,即+2K+ 3.解得x=-2.经检验，x=-2是原方程的根.例8解方程例9解方程V2 + z = 1 ™ ・|解设R 予 贝=y 2-2・因此 原方程变为y = l-7/ _1-整理得y 3-1=(1-y)2, 即(y-1)(y 2+2)=0.解得y=1,即x=-1.经检验知，x=-1是原方程的根. 这道题也可设戶 二八・原方程化为整理得y 3-2y 2+3y=0.解得y=0,从而x=-1.2a - -/K- 2a E- 2a + 4 2a 2乳分析与解对于形式为比例式1=^的方程.若方程的一边或两B D 边的分式的分子与分母只有一些项的符号不同，则可用合分比定理化简方程.根据合分比定理得两边平方得x + 2a x a 4as ■+ 4 x 2a x2- 4as + 4a 再用合分比定理得x J 十4/2a 4 ax化简得x2=4aT解得x=± 2a.经检验，x=± 2a是原方程的根.。
无理方程解法
无理方程解法教学目标1. 理解无理方程的概念，会识别无理方程2. 掌握无理方程的基本解法,通过去根号转化成有理方程求解3. 理解解无理方程需要验根，并掌握验根的方法教学重难点1. 通过探索换元法解无理方程的原理,提高观察力和代数变形能力2. 通过代数变形合理化简无理方程教学内容知识梳理一.概念方程中含有根式,切被开放数是含有未知数的代数式,这样的方程叫做无理方程. 整式方程和分式方程统称有理方程,有理方程和无理方程统称代数方程.二.解法基本思想:将无理方程转化为有理方程.基本方法:(1)两边平方法(2)换元法⎧⎨⎩两个根式互为倒数时根号外与根号内含未知数项的系数对应相等或成比例时验根:把解得的无理方程的根代入原方程检验,既要看每一个根式是否有意义,同时还要看方程左右两边是否相等,只有同时满足以上两点的根才是原方程的根,否则是增根.概念一.判断方程属于哪种类型73x =+22=6=1=+8=9=二.不解方程,判断无理方程解的情况8=-0=2x =-6=10= (6). 241=--+-x x三,填空题1.在一元一次方程,一元二次方程,分式方程,无理方程中必须验根的是______________2.1=的根是___________3.若关于x m =无实数解,则m __________k x =-的根是________=的根为________6.m =的根为1,2x =m 的值为______________7.满足34)1(342--=-x x x 的x 的值有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个两边平方法解下列方程(1) 2x =0=(3) 2)2x =3=x 1=- (6)6x -=(7) 2232=--+x x (8) 01582=++-+x x(9) 33x 2x 3=++- (10) 972=-++x x=换元法 1.解方程112421222+++=+x x x x 时，若设y x x =++1242，那么，原方程可变为关于y 的方程 。
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初中数学竞赛：无理方程的解法
未知数含在根号下的方程叫作无理方程(或根式方程)，这是数学竞赛中经常出现的一些特殊形式的方程中的一种．解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法、配方法、因式分解法、设辅助元素法、利用比例性质法等．本讲将通过例题来说明这些方法的运用．例1 解方程
解移项得
两边平方后整理得
再两边平方后整理得
x2＋3x-28＝0，
所以 x1=4，x2=-7．
经检验知，x2=-7为增根，所以原方程的根为x=4．
说明用乘方法(即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号)来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
例2 解方程
方公式将方程的左端配方．将原方程变形为
所以
两边平方得
3x2+x=9-6x＋x2，
两边平方得
3x2+x=x2＋6x＋9，例3 解方程
即
所以
移项得
例4 解方程
解三个未知量、一个方程，要有确定的解，则方程的结构必然是极其特殊的．将原方程变形为
配方得
利用非负数的性质得
所以 x=1，y=2，z=3．
经检验，x=1，y=2，z=3是原方程的根．
例5 解方程
所以
将①两边平方、并利用②得
x2y2＋2xy-8=0，
(xy＋4)(xy-2)=0．
xy=2．③
例6 解方程
解观察到题中两个根号的平方差是13，即②÷①便得
由①，③得
例7 解方程
分析与解注意到
(2x2-1)-(x2-3x-2)=(2x2+2x+3)-(x2-x+2)．设
则
u2-v2＝w2-t2，①
u+v=w+t．②
因为u+v=w+t=0无解，所以①÷②得
u-v=w-t．③
②＋③得u=w，即
解得x=-2．
经检验，x=-2是原方程的根．
例8 解方程
整理得y3-1=(1-y)2，
即(y-1)(y2+2)=0．
解得y=1，即x=-1．
经检验知，x=-1是原方程的根．
整理得y3-2y2+3y=0．
解得y=0，从而x=-1．
例9 解方程
边的分式的分子与分母只有一些项的符号不同，则可用合分比定理化简方程．
根据合分比定理得
两边平方得
再用合分比定理得
化简得x2=4a2．解得x=±2a．
经检验，x=±2a是原方程的根．
【练习】
1．填空：
2．解方程
3．解方程
4．解方程
5．解方程
6．解关于x的方程。