j几何图形中的分类讨论

变式： 变式 在等腰△ABC中，AB=3,BC=4,求∠B的余弦值。
A
解： 因为AB≠BC ，所以有以下两种情况： 因为 所以有以下两种情况： ①以点A为等腰△ABC顶角的顶点，则由问题1可知： 以点 为等腰△ 顶角的顶点，则由问题 可知： 为等腰 顶角的顶点 可知
C
B
D C
2 COSB = 3
3 2 =3 COSB = 4 8
几 何 图 形 中 的 分
金 华 四 中 童 桂 恒
类 讨 论
问题1 问题1：在等腰△ABC中，AB= AC=3,BC=4,求∠B的余弦值。
解：过点A作AD⊥BC于D， 过点 作 于 ， ∵AB=AC=3，BC=4， ∴BD=DC=2. 在Rt△ABD中， 中
C D
A
B
BD 2 COSB = = AB 3
3 Q PA = x ,∴ AN = x 2 3 8 Q AD = 4,∴ 当AN = x = 4即x = 时， 2 3 正方形 PQMN的边MN与ED重合.于是 A 8 ①当0 ≤ x < 时，y = 0. 3
8 ②当 ≤ x < 4时， 3 3 x 3 2 y = DN ⋅ MN = ( x − 4) ⋅ = x − 2 x 2 2 4
C E Q M B
C E Mபைடு நூலகம்
F
P N D
Q
F
A
P D N
B
16 当4 ≤ x < 时， 3
C E Q M F
1 y = BP ⋅ BF = x ⋅ 2 = x 2 16 ④当 ≤ x ≤ 8时, 3
A
D
P
N
B
y = BP ⋅ BF = (8 − x ) ⋅ 2 = −2 x + 16
Q E
C M F
①以点A为顶角的顶点： ③以点P为顶角的顶点： y
y P2 P8
P1
x P7
x
②以点O为顶角的顶点：
y P5
P1 (4,0), P2 (0,2)
P ( 5,0),P (− 5,0),P (0, 5),P (0,− 5) 3 4 5 6
P4 P3 x
5 5 P7 ( ,0), P8 (0, ) 4 2
E M C
Q
F
A
P D N
B
解：（3）
3 2 8 4 + 2 10 把y = 2代入y = x − 2x( ≤ x < 4)时，得x＝ 4 3 3
4 + 2 10 4 − 2 10 即点P距A点 cm( x = <0，不合，舍去) 3 3
16 把y = 2代入y = x(4 ≤ x < )时，x＝2 < 4，不合，舍去 3
E M C
Q
F
A
P D N
B
C E F B
C
A
D
C
Q E M F
E Q A M
F
A P
D N
B
P N D
B
x的范围: 0 ≤ x <
8 3
E Q M
8 x的范围: 3 ≤ x < 4
C
C
E
Q F
M
F
A D P B N
A
D P
N B
x的范围: 4 ≤ x <
16 3
x的范围:
16 ≤ x≤8 3
解：（2）
问题2 问题2：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，
点A的坐标为（1，1）。则在x轴上是否存在点P，使 △AOP为等腰三角形？若存在，写出所有符合条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由。
①以点A为顶角的顶点；
②以点O为顶角的顶点；
P1
P3
P2
③以点P为顶角的顶点。
P1 ( 2,0), P2 ( 2 ,0), P3 ( − 2 ,0), P4 (1,0)
P3
P2
P6( 0,− 5 ) P7 (0, 5 )
P6
变式1: 变式2: 1: 问题2: 问题2:如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的 坐标为（2，1）。则在坐标轴上是否存在点P, x轴上是否存在点P ，使△AOP为 直角三角形? 等腰三角形？若存在，写出所有符合条件的P点坐标；若不 存在，请说明理由。
y
P (6,1), P2 (−2,1), P3 (2, −1) 1
P2 B P3 P1 x
问题3 问题3：如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=4cm，
AB=8cm，D、E、F分别为AB,AC,BC边上的中点，若P为 AB边上的一个动点，PQ∥BC且交AC于点Q，以PQ为一边， 在A的异侧作正方形PQMN，记正方形PQMN与矩形EDBF的 公共部分面积y。 （1）当AP=3cm时，求y的值。 （2）设AP=xcm，试用含x的代 数式表示ycm2。 （3）当y=2cm2时，试确定点P 的位置。
A
D
P
B
N
问题3 问题3：如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=4cm，
AB=8cm，D、E、F分别为AB,AC,BC边上的中点，若P为 AB边上的一个动点，PQ∥BC且交AC于点Q，以PQ为一边， 在A的异侧作正方形PQMN，记正方形PQMN与矩形EDBF的 公共部分面积y。 （1）当AP=3cm时，求y的值。 （2）设AP=xcm，试用含x的代 数式表示ycm2。 （3）当y=2cm2时，试确定点P 的位置。
P6
C
解：（1）
Q
E M
F
Q PQ // BC
PQ AP ∴ = BC AB
A
P
D
N
B
Q BC = 4, AB = 8, AP = 3
∴ PQ =
3 2
Q D是AB的中点 ∴ AD = 1 AB = 4, 于是PD = 1 2 1 Q PQMN 为正方形，DN = PN − PD = 2 3 1 3 ∴ y = MN • DN = × = (cm 2 ) 2 2 4
(1)以点 为直角顶点 以点P为直角顶点 以点
(2)以点 为直角顶点 以点A为直角顶点 以点
y 5 P4
P2 P1
4 3
D C P3
P1 (2,0), P2 (0,1)
5 P3 ( ,0), P4 (0,5) 2
变式2 变式2：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标 为（2，1），若点B的坐标为（4，0），点P为坐标平面 上的一点，则当以点O、A、B 、P为顶点的四边形是平行 四边形时，求点P的坐标。
②以点C为等腰△ABC顶角的顶点，则同理可得： 以点 为等腰△ 顶角的顶点，则同理可得： 为等腰 顶角的顶点
B
E
A
2 3 所以，所求等腰三角形底角的余弦值为 3 和 8 。 所以，
问题2 问题2：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A
的坐标为（2，1）。则在x轴上是否存在点P，使△AOP为 等腰三角形？若存在，写出所有符合条件的P点坐标；若 不存在，请说明理由。
P4
①以点A为顶角的顶点：
③以点P为顶角的顶点.
P8
5 P4 ( ,0) 4 5 P 8 ( 0, )
P1 (4,0)
P5(0,2)
P5 P1
2
D C P4
②以点O为顶角的顶点：
P2 ( 5 ,0)
P7
P3 (− 5 ,0)
Q ∆ODP4 ∽ ∆OCA 5 OD OP4 2 = OP4 ∴ = 即 2 OC OA 5 5 5 ∴ OP4 = ∴ P4 ( ,0) 4 4
16 把y = 2代入y = －2x + 16( ≤ x ≤ 8)时，得x＝7 3 即点P距A点7cm 4+2 10 ∴当y = 2cm 时，点P距A点 cm或7cm 3
2
分类讨论的方法步骤：
观察运动过程 确定分类标准 画出分类图形 分类进行求解 检验得出结论
变式: 变式:如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐 标为（2，1）。则在 x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰 坐标轴上是否存在点P, 三角形？若存在，写出所有符合条件的P点坐标；若不存在， 请说明理由。